CC BY
49
УДК 621.396.96
ВЗАИМОСВЯЗЬ ОШИБОК ОЦЕНИВАНИЯ НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЕТА ВОЗДУШНОГО СУДНА С ПОКАЗАТЕЛЕМ
БЕЗОПАСНОСТИ ПОЛЕТОВ
С.А. ГАРАНИН
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Проводится исследование возможных ошибок оценивания навигационных параметров и влияние этого процесса на безопасность полетов ВС.
Ключевые слова: безопасность полетов, навигационные параметры, эксплуатация ВС.
В процессе эксплуатации ВС на радионавигационное оборудование постоянно воздействуют помехи и другие дестабилизирующие факторы различного рода, что неизбежно приводит к отклонениям значений параметров РНО от истинных и ошибкам в оценивании навигационных элементов полета.
Исходя из этого, возникает необходимость в разработке методов обеспечения заданного показателя безопасности полетов ВС в условиях воздействия помех на РНО.
Вследствие отклонения значений параметров РНО от номинальных, вектор состояний X(t), а также вектор наблюдений Z(t) будут моделироваться уравнениями, отличными от истинных. В этом случае модели X(t) и z(t) запишем в виде
ix{( )= Fi (t )Xi (t)+ Gi (i)»i (t)
jZi(t)= Hi(t)Xi(t)+ ni(l) ' ( '
Кроме того, воздействие дестабилизирующих факторов приводит к изменению параметров устройства оценки вектора X(t). Уравнение, моделирующее устройство оценки X (t), запишем в виде
X* (t ) = F> (t )x* (t)+K2 (t )[z(t)-H 2 (t )x* (t)
K (t ) = U (t )HT (i )N— (l) (2) U (1)=F2 (1 )U (t w ()+G2 (t Nv, ( GI (t) - U (t H (1 N- (t )h 2 (t )U (1).
Отличие моделей (1) от предполагаемых приведет к тому, что оценка вектора X (t) будет отличаться от оптимальной, то есть оценивание будет происходить с ошибкой X (t) = X(t)- X (t), где X (t) - истинное значение вектора состояний, а X*(t) , определяемое из уравнения
X* (t) = F2 (t )x* (i ) + K2 (i )Hi (t )Xi (t)+ K2 (t )ni (i ) - K2 (t )h 2 (i )x* (t), (3)
представляет собой оценку вектора X (t) устройством, моделируемым первым уравнением в (2).
Получим уравнение для определения ошибки оценивания X (t)
X* (t) = F2 (t) - K2 (t )H2 (t )]X (t) + [DF (t) + K2 (t )H2 (t )]X(t) - K2 (t )Hi (t )Xi (t) + G(t J(t) - K2 (t )n (t), (4) где DF (t) = F (t) - F2 (t).
Поскольку воздействующие на РНО дестабилизирующие факторы носят случайный характер, ошибка оценки вектора состояний тоже будет случайной. Будем характеризовать ее математическим ожиданием M {X (I)} и ковариационной матрицей ошибок
uX (t) = м {X (t )XT }= (X (t )XT
Для случая равенства нулю математического ожидания образующего шума модели состояния и шума измерений запишем
(X{г)) = {г) - К2 {I)Н2 {I)](X{I)) + [АГ{I) + К2 {г)н2 {гЖх(?)) - к2 (г)н {гXХ1 )> • (5)
Для стационарного случая из (5) получим
(X{г)) = [*2 {г)- к2 {г)н2 {г)]-1 {[АГ{г)+к2 {г)н2 {г)]X - к2 {г)Н {гXхО}• (6)
Анализ (6) показывает, что при (х) = (Х^ = 0 оценка вектора состояний будет несмещенной. Ковариационную матрицу ошибок оценивания определим, следуя методике, изложенной в [4]. Введем в рассмотрение новый вектор состояний X3 {I)= [х{I), X{I), Х1 {I)]' и новый вектор шу-
мов
$3 (ґ)=[і^(ґ ), Щ (ґ), $ (ґ)]Г .
Модель вектора X 3 (ґ) запишем в виде [4]
Х 3 (ґ ) = Р2(ґ )х 3 (ґ ) + Сз (ґ $3 (ґ ),
(7)
1 Р 1 '-к + К 2ч - К2 (ґ)Ч (ґ) 'С(ґ) - К2 (ґ) 0 '
где Р (ґ) = 0 Р (ґ) 0 и С3 (ґ) = С(ґ) 0 0
0 0 Р (ґ) _ 0 0 С (ґ)_
Для ковариационной матрицы их {) запишем уравнение
3 {I) = X 3 {! IX 3 {!) = (X 3 {г IX 3 {г}) + (X 3 {гIX Т {г )}.
Подставляя (7) в (8), получим
иX 3 {I ) = Г {I )иX 3 {I) + иX 3 {I )^ {I) + С3 {I )($3 {I ^ П + (X 3 {г « {г Ы {г).
(8)
(9)
Определим выражения ^ 3 {г)$3 {г^ и ^Ф3 {г )X 3 Решение уравнения (7) в общем виде запишем в виде
г
X 3 (ґ) = Ф(ґ,0)Х 3 (0) +1 Ф(ґ, т)С3 (т)$3 №,
о
(10)
где ф(ґ,т) - фундаментальная матрица уравнения (7), удовлетворяющая уравнению
Ф(ґ ,т) = Р3 (ґ )ф(ґ ,т) , Ф(т, т) = I, где I - единичная матрица.
й_ йґ
Получим выражение для ^Х 3 (ґ)$3 (ґ^. Для этого умножим обе части (10) на $3, а затем результат усредним. В итоге получим
(X 3 (ґ $3 (ґ}) = 11 Ф(ґ, т)С3 (т)»3 $ (ґ)л\. (11)
В (11) учтено, что в начальный момент времени X 3 (0) и шум наблюдения независимы. Для случая образующего белого шума $3 (ґ) получим
(х 3 ($3 М) = 2 С3 ДО $
2 , (12) («3 № 3 М) = 2 С3 ДО $3
где - спектральная плотность мощности шума $3 (ґ).
Дифференциальное уравнение (9) для ковариационной матрицы их3 {I) с учетом (12) запишем как
иX 3 {| ) = Г3 {| )иX 3 {|) + иX 3 {| )Г3 {| )+ ^3 {| )NА3 ,
(13)
" Nj 0 nt ly JJ
где Nj3 = 0 0
Njj 0 Nj
Расширяя матрицу для X 3 (t), получим
UX 3 (t )_
Ux (t) uXx (t)
UX tx (t ) иX !X (t)
Ux,(t)
(14)
ихх {I) их {I)
их1х{|) иххх{|)
Окончательно ковариационную матрицу ошибок оценивания ошибки определения вектора состояния х{| ), обусловленную влиянием дестабилизирующих факторов, определим с учетом (7), (13) и (14) из решения дифференциального матричного уравнения
где
Ux (') = F (t) - K 2 (t H 2 (t )UX (t)+UX (t )[f2 (t) - K (t )H 2 (t )]T +
+ [AF(i)+ K№2(t)]UxX (t)+ UXX (t)[DF(t)+K2 (t)H2(t)]T - ,
- K2 (t )H 1 (t ;K7xx (t)- UX x (t )[К 2 (t )H, (t )]T + G(t )NjGt (t)+ K2 (t }N„, KT (t)
UxX (t) = F (t )Uxx (t) + U xX (t )[F2 (t) - K2 (t )H 2 (t )]T +
+ Ux (t)[AF(t) + K2 (t)H2 (t)]T - UX1X (t)[K2 (t)#1 (t)]T + G(t)NjGt (t) ’ Ux1X (t) = F (t Uxx (t) + UXX (t )[F2 (t) - K2 (t )H 2 (t )]T +
(15)
X1X'
+ 1
UX1X K2 (t )H 2 (if - U Xj (t |K 2 (tH (t )]T + G! (t )NjjG (t)
UXjX) = F1X^XjX)+ UX^ F + G1)NJ| JG^ ();
£7 X (t) = F (t Ux (t)+ Ux (t )FT (t) + G(t )NjGt (t);
UX1 ) = F1UX1 ) + UX1 FT (t)+ G1)Nd1 Gl (t) ■
Таким образом, получено, что в условиях эксплуатации отклонение параметров РНО от номинальных значений, обусловленное влиянием на него дестабилизирующих факторов, и воздействие на РНО помех приводят не только к увеличению коэффициентов ковариационной матрицы ошибок оценивания навигационных элементов полета, но и к возможному смещению оценки вектора состояния X(t).
Особое значение имеет результат, касающийся смещенности оценки вектора (X(t м, так как
в этом случае полная ковариационная матрица и {г) = ^х {| )^X {| ^Т + их ошибок оценивания
существенно возрастает, что в итоге приводит к ухудшению характеристик безопасности полета ВС. Наличие отклонений параметров РНО от номинальных значений увеличивает ошибку оценивания навигационных элементов полета ВС.
Анализ результатов решения аналогичных задач [1, 2] показывает, что с увеличением отклонений параметров РНО от номинальных значений ошибки оценивания возрастают, а в некоторых случаях алгоритм оптимального оценивания навигационных элементов полета ВС становится рас-
ходящимся. Этим объясняется необходимость корректировки местоположения ВС при полете в автоматическом режиме.
Таким образом, отклонения параметров РНО от номинальных значений приводят к увеличению ошибок оценивания. Результирующую область W ошибок оценивания вектора состояния X(t ), компонентами которого являются навигационные элементы полета ВС длительности Тп в фиксированный момент времени t є Tn, можно представить в виде совокупности двух подобластей, а именно: подобласти Wu4 , обусловленной отклонениями параметров РНО от номинальных значений, и подобласти 0.ип, обусловленной воздействием помех на РНО. Очевидно, что одно и то же значение ошибки оценивания X(t ) может быть достигнуто как за счет наличия помех, так и за счет отклонения параметров РНО от номинальных значений. Отсюда следует вывод, что влияние помех на качество работы РНО эквивалентно увеличению отклонений его параметров от номинальных значений.
Представление области ошибок оценивания навигационных элементов полета ВС в виде двух подобластей может служить основой для разработки методологии обеспечения заданного показателя безопасности полетов ВС в условиях воздействия помех на РНО.
Полученная ковариационная матрица U X~ (t) ошибок оценивания навигационных элементов
полета ВС невырождена и ее определитель |Ux(t)| не равен нулю.
Плотность вероятностей P(X, t) ошибок оценивания навигационных элементов полета ВС в границах допустимой области (области безопасности) D в момент времени t может быть записана в виде [4]
U X (t)
exp -
2
P(X> t )=ийехр I"- і(X - (X) TUx1 (X - (X))
dX, (16)
где п - количество компонентов вектора ошибок х(1) оценивания; ^х(1 )у - вектор математического ожидания (смещение) ошибки оценивания состояния, обусловленного отклонениями параметров РНО от номинальных значений, вызванными дестабилизирующими факторами, и воздействием на него помех.
При нахождении показателя РБ (I) безопасности полета ВС возможны два случая.
Первый случай. Наблюдению доступны компоненты X к {|) вектора состояния Х(1), характеризующие навигационные координаты местоположения ВС.
Распределение ошибок X к {|) оценивания в момент времени I принимается нормальным [3, 4].
Вероятность нахождения ВС в границах области безопасности Б в этом случае для фиксированного момента времени I определим как
(2p)n
РБ ( Є Tn I ЄХР -1 (X k - (X k)T UX1 (X k - (X 0)
2
dX k , (17)
где
U.
X k
определитель матрицы U
Xk
Ковариационная матрица их и смещение оценки ^х¿у являются функциями времени.
Поэтому вероятность РБ (I) нахождения ВС в границах области безопасности Б будет изменяться в зависимости от момента времени I е Тп. Кроме того, выражение (17) позволяет вычислить вероятность нахождения ВС в момент времени I е Тп в границах области безопасности Б
только для фиксированных значений отклонений Дг параметров навигационных датчиков от номинальных значений. На самом деле отклонение Дг параметров от номинальных значений на
протяжении полета ВС является векторной случайной величиной, которая ограничивается областью Ог, то есть Дге Ог. Очевидно, что наибольшая ошибка оценивания Xк {I) будет соответствовать случаю нахождения отклонений параметров РНО на границе области Ог. Вероятность
*
РБ (I) при этом будет иметь минимальное значение.
Если окажется, что для момента времени I = 1к е Тп, где 1к - момент времени, соответствующий наибольшему значению ошибки оценивания навигационных координат ВС, показатель РБ {гк) будет иметь значение меньше заданного РБЗ, то условие безопасности полета ВС не выполняется.
Обеспечить выполнение равенства РБ {гк е Тп) = РБз можно следующими путями:
- сужением допустимой области Ог отклонений параметров датчиков навигационной информации;
- повышением помехоустойчивости РНО и воздействующими на него помехам.
Предлагается определять необходимую степень сужения допусковой области изменения
параметров РНО для обеспечения условия безопасного полета ВС (Р* {гк е Тп )= РБз ) следующим
образом. Провести анализ электромагнитной обстановки по трассе полета и в районе аэропорта и на основе обработки статистических данных определить уровень воздействующих на РНО помех. Затем из равенства РБ* {|к е Тп ) = РБз определяем допустимое значение полной ковариационной матрицы ошибок оценивания, знание которой при известном отношении сигнал/помеха позволяет определить допусковую область на изменение параметров радионавигационных датчиков информации.
Второй случай. Наблюдению доступны только компоненты X э (I) вектора состояния Х(|), характеризующие навигационные элементы полета ВС.
В этом случае вектор X к {|) навигационных координат местоположения ВС определяется из уравнения связи
X к {I) = ф[х э {I), I], (18)
ф[] - известная векторная функция указанных аргументов.
Ковариационная матрица ошибок оценивания Xэ (I) и возможное смещение оценки (х Э (I)), вызванное отклонениями параметров датчиков навигационной информации и воздействием на РНО помех, определяется из решения тех же, что и в 1-м случае, уравнений. Затем согласно функциональной зависимости (18) проводится преобразование плотности вероятностей распределения Xэ (I) . В результате такого преобразования получим, что плотность вероятностей распределения X к {|) в момент времени I описывается выражением
Р{Хкг Хк2,..., хК ) =
=РхЭ [у 1 {Хк,, Хк2,..., Хкп),..., уп {Х(- , Хк2,..., Хкп)] • \1„ {Хк,, Хк2,..., Хк„), (19)
где якобиан преобразования переменных
( \ Э{хэ ,ХЭ ,...,ХЭ )
Зп 1Хк ,Хк ,...,Хк )= / Э1 Э2 Эп1,
л к1 2 п) ’
) - обратная функция, то есть
Хэ{1) = у[хМ1\ (20)
С учетом (19) вероятность нахождения ВС в границах области безопасности В в момент времени I определим как
Рб{г)= /р{х„,Хк.,...,ХК]рХ„1,Хк2,...,Хп . (21)
В
При нелинейной зависимости (18) вычисление показателя РБ (t) представляет собой довольно сложную задачу. Это же относится и к определению допусковой области на изменение параметров навигационных датчиков.
Приближенно допусковую область W* на изменение параметров Дг можно определить методом линеаризации [5]. Обоснованием для линеаризации функции (18) является достаточно узкая область изменений ее аргументов. Это связано с тем, что для обеспечения высокой точности самолетовождения значения ошибок оценивания навигационных элементов полета из-за отклонений Дг поддерживается в процессе технического обслуживания навигационного оборудования в достаточно жестких границах. Вследствие этого в данной области функция (18) может быть линеаризована с приемлемой точностью.
Таким образом, методология обеспечения заданного значения показателя безопасности полетов ВС основана на:
- представлении области ошибок оценивания навигационных элементов полета в виде двух
подобластей wuu и аип ;
- адаптивном управлении границами подобластей Wu4 и (или) Wun в зависимости от конкретных условий эксплуатации и технико-экономической целесообразности;
- адаптивном управлении в границах подобласти Wu4 ;
- эксплуатационных допусках на изменение параметров различных изделий навигационного оборудования, обеспечивающего данный режим полета ВС.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. - М.: Радио и связь, 1982.
2. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. - М.: Связь, 1976.
3. Левин Б.Р., Шварц В.А. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. - М. : Радио и связь, 1985.
4. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. - М.: Радио и связь, 1985.
5. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977.
6. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1977.
7. Пугачев B.C. Теория вероятностей: учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1979.
RELATIONS ESTIMATION ERRORS OF NAVIGATION PARAMETERS OF THE AIRCRAFT WITH THE INDEX OF SAFETY FLIGHTS
Garanin S.A.
The research of possible errors of estimation of navigation parameters and its impact on the aircraft safety.
Key words: safety of flight, navigation options, aircraft exploitation.
Сведения об авторе
Гаранин Сергей Александрович, 1979 г.р., окончил МГТУ ГА (2001), кандидат технических наук, инженер Информационно-аналитического центра ГосНИИ ГА, автор 20 научных работ, область научных интересов - информационные технологии, вычислительные и радиоэлектронные системы, моделирование.
