CC BY
43
УДК 621.396
О СВЯЗИ ТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЕТА ВОЗДУШНОГО СУДНА С ПОКАЗАТЕЛЕМ БЕЗОПАСНОСТИ ПОЛЕТА
В.И. ВДОВИЧЕНКО
Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.
Устанавливается взаимосвязь точности оценивания навигационных параметров с показателями безопасности полетов.
Ключевые слова: навигационные параметры, безопасность полетов.
Как известно, обобщенная структурная схема системы управления перемещением ВС имеет вид, представленный на рис. 1.
I т _____________1——
х®
вс
Априорная
информация
т
Датчики пилотажнонавигационной инф ормации
Система управления состоянием
У(/)
Система оценки состояния
Рис. 1. Обобщенная структурная схема системы управления
Она включает в себя воздушное судно в качестве объекта управления, датчики пилотажнонавигационной информации, систему оценивания пилотажно-навигационных параметров и состояния ВС и систему управления. Такая система относится к классу нелинейных систем управления. Их математическая модель может быть описана в терминах пространства состояний. При этом состояние системы управления перемещением ВС задается в некотором пространстве вектором состояний (1).
В состав вектора состояния Х(^) в общем случае входят навигационные параметры (НП) и радионавигационные параметры (РНП).
Уравнение состояния системы (1) может быть представлено в виде дифференциальных уравнений первого порядка, получаемых на основе разложения соответствующего дифференциального уравнения.
Модель системы управления перемещением ВС является нелинейной. Определение ошибки
X (¿) оценивания вектора состояния Х(1), вызванной внешними воздействиями и изменением технического состояния навигационного оборудования (НО), в виде точного аналитического решения не представляется возможным. Решение возможно лишь для линеаризованной модели, описываемой уравнениями
X (0=г(0 х(0+л(0 и(г)+о(0 й (г), х(Го)=х„ ; и Л(г)=н(0 х(0+п(0, (1)
где Г(7) - переходная матрица размерностью п хп, устанавливающая взаимосвязь между НП, например, между координатами ВС и составляющими его скорости; А(0 - переходная матрица, устанавливающая зависимость компонент вектора управления и(0 и НП; О(^) - переходная матрица, устанавливающая взаимосвязь случайных факторов, воздействующих на ВС; Н(0 - матрица наблюдений, устанавливающая взаимосвязь между компонентами векторов наблюдения и состояния.
Плотность вероятностей р(х, I) ошибок оценивания навигационных параметров (НП) может быть записана в виде
dX, (2)
p(x, t) = (2p)-n/2|VX (t)|exp - 2(x - <X> J V-1 (X - <X>)
где п - количество компонентов вектора ошибок X (t) оценивания; Vx (t) - ковариационная матрица ошибок оценивания НП; | Vj~ (t)| - определитель этой матрицы; <X> (t) - вектор математического
ожидания (смещения) оценки, вызванного отклонением параметров НО от номинальных значений.
При нахождении вероятности Рб(t) нахождения ВС в границах области безопасности Д в фиксированный момент времени te Tn возможен вариант, когда наблюдению доступны компоненты XK(t) вектора состояния X(t), характеризующие навигационные координаты (НК) местоположения ВС. Распределение ошибок X k (t), как правило, принимается нормальным.
При этом искомая вероятность определяется выражением
Рб(^= j>(X k, t )dX k, (3)
где P (x k, t) определяется из (2).
Выполнение условия Рб(4)>Рбз, где 4 e Tn - момент времени, соответствующий наибольшему значению ошибки оценивания НК, Рбз - заданное значение показателя безопасности, возможно следующими путями: сужением допустимой подобласти WVr, обусловленной отклонениями параметров НО, в результирующей области Wv ошибок оценивания НК и повышением помехоустойчивости РНО, то есть сужением подобласти Q.Vn в области Wv .
При этом, поскольку при цифровых методах обработки, используемых в перспективном РНО ВС типа приемоиндикаторов спутниковых радионавигационных систем СРНС GPS и ГЛОНАСС, отклонения параметров существенно меньше, чем в традиционных средствах навигации ВС аналогового типа, которыми преимущественно оборудован парк ВС, находящихся в эксплуатации, представляется достаточно очевидным комплексирование традиционных средств навигации с высокоточными навигационными датчиками типа приемоиндикаторов СРНС, которые могут использоваться в этом случае в качестве позиционных корректоров, а в перспективе переход полностью к спутниковой технологии, при которой основу навигационного обеспечения ВС составляет СРНС, комплексируемая с другими средствами обеспечения самолетовождения.
Выше отмечалось, что управление U(t) состоянием системы управления перемещением ВС осуществляется по принципу оценивания вектора состояния X(t) по наблюдению L(t), чтобы обеспечить экстремум (минимум или максимум) показателя качества управления - Iy(t), который должен отражать цель управления и быть согласованным с ограничениями таким образом, чтобы по его величине можно было судить о степени выполнения этих условий.
Рассмотрим сечения допускового множества Д пространства состояний X(t) в фиксированный момент времени t, которое обозначим Дt. При этом Дt представляет собой выпуклое множество в пространстве состояний X(t), границы которого находятся из условия обеспечения безопасности полетов ВС.
Множество Д может быть задано как пересечение полупространств, ограниченных гиперплоскостями hTX(t)=p(h, t)=pj [78=4]:
Д=[Х(0; hT X(t)<p(h, t); ||h||=1; 0 < t < Tn] , (4)
_T - гг,
где h - произвольно направленный единичный вектор; Т - символ транспонирования; p - полярное расстояние от начала координат до опорной гиперплоскости.
На рис. 2 в качестве примера показано построение области Д для двумерного вектора X(t)={Xi(t),X2(t)} с помощью опорных гиперплоскостей pj представляющих в данном случае опорные прямые.
Область Д представляет собой огибающую опорных прямых (гиперплоскостей р/) при возможных вариациях направлений Д/. При этом опорная функция р(я,0, определенная для всех значений ¿е Тп и всех направлений Д, однозначно определяет допусковое множество Д.
Рис. 2. Построение границ области Д пространства состояний Х(7), обеспечивающих условия безопасности полетов (двумерный случай)
Близость точки Х(^) (рис. 3) к опорной гиперплоскости р нормальной к вектору Д в фиксированный момент времени I можно характеризовать отношением
п Т Х(/)
є[іДХ(і)] :
(5)
р(п^) ’
Путем перебора всех возможных направлений вектора Д можно найти меру близости точки Х(7) к границе множества Д, а путем перебора всех значений ¿е Тп можно оценить близость точки Х(7) к границе множества Д, то есть
~ пТ Х(/)"
Іу [х(ґ )] = тах
Р(П і)
(6)
Очевидно, значение показателя качества управления должно удовлетворять условию
Ту[Х(г1)] < 1, Г е Тп , (7)
поскольку выполнение этого условия означает отсутствие пересечений траекторий движения системы границ допускового множества Д, определяемых из условий обеспечения безопасности полета ВС.
Достоинством показателя качества управления (6) является то, что он включает в себя ограничения, накладываемые на траектории движения системы, исходя из условий безопасности полета ВС. К недостаткам показателя можно отнести:
- трудность его вычисления при большой размерности вектора состояния Х(^);
- случайный характер показателя, обусловленный случайными изменениями параметров НО (г), интенсивности шумов п(^), воздействующих на РНО, и возмущений ф(^), воздействующих на ВС.
Рассмотрим пути их устранения. Размерность вектора Х(^) можно уменьшить, если учесть, что в конкретных режимах полета ВС не все его компоненты играют роль в обеспечении безопасности полета.
Так, при полете по трассе положение ВС полностью определяется шестикомпонентным вектором состояния Х(^) - в ортодрономической системе координат: путем вдоль частной ортодромии 5, боковым отклонением от ортодромии 2, высотой полета ВС И и соответственно тремя
составляющими скорости их изменения 5 , 2, И.
Рис. 3. К объяснению формирования показателя качества управления перемещением ВС (двумерный случай)
Так как при полете по трассе РНО ВС используется только в системе стабилизации бокового отклонения ВС, то для решения задачи оценки эффективности РНО достаточно двух компонентов вектора состояния Х(7)=(г(7), г (¿)}. При этом, если в качестве первого приближения ограничиться одним компонентом вектора Х(7)=г(7), то показатель качества управления (7) может быть записан в виде
где 2/ - ширина воздушного коридора в горизонтальной плоскости, Ог и О„ - области возможных изменений параметров НО г и шумов п(^.
Что касается второго недостатка показателя (7), то его можно устранить введя в рассмотрение доверительную вероятность Рб[Z(t)] выполнения ограничений, налагаемых на траектории движения ВС в горизонтальной плоскости, исходя из норм на безопасность полета.
При этом доверительная вероятность характеризует вероятность нахождения ВС в границах коридора [-/, /] и должна удовлетворять условию
где Рбз - заданный показатель безопасности.
Однако недостатком сформированного таким образом показателя качества управления (7) является то, что ограничение (8) не входит непосредственно в его аналитическое выражение, что затрудняет количественную оценку качества управления.
Это можно устранить, если учесть, что при принятых выше линеаризованных моделях системы управления перемещением ВС и уравнения наблюдения закон распределения вектора состояния вследствие большого числа факторов, вызывающих отклонение параметров НО от номинальных значений, и большого числа источников шумов в соответствии с центральной теоремой теории вероятностей, может быть принят нормальным со средним ^(Ф и дисперсией (¿). При этом отклонение параметров Аг происходит медленно и на протяжении полета ВС Тп может считаться случайной величиной с нулевым средним (по ансамблю ВС) и дисперсией оа г 2.
Для каждой конкретной реализации траектории движения ВС математическое ожидание (г(^), обусловленное отклонением параметров НО Аг, имеет характер регулярного (в первом приближении линейно изменяющегося) бокового отклонения от частной ортодромии, на которое накладываются относительно быстрые флуктуации, обусловленные действием шумов.
(8)
А г е О г , п(^ е 0,„ , 0 < t < Тп ,
Рб[гщ > Рбз ,
(9)
Вид возможных реализаций траекторий полета ВС по трассе показан на рис. 4. Здесь обозначено: tk - момент времени, когда необходима коррекция местоположения ВС при достижении границы воздушного коридора.
Плотность вероятностей Ж^(^] бокового отклонения Z(t), вызванного уходами параметров НО и воздействием шумов, для любого из ансамбля ВС может быть определена с использованием принципа суперпозиции, справедливость которого обусловлена линейностью модели системы управления перемещением ВС.
Рис. 4. Возможные реализации траекторий полета ВС по трассе
При нормальных законах распределения ЖГ(Ь) и Жп(Ь) с нулевыми средними распределение Ж^) также нормально с нулевым средним и с дисперсией, равной сумме дисперсий бокового отклонения, обусловленных двумя указанными факторами.
Таким образом, полагая в общем случае процесс нестационарным, можем записать
(0=о!я ^ )+< (О , (10)
где —\п ^) и о| ^) - соответственно дисперсии бокового отклонения ВС, обусловленные воздействием шумов и изменением параметров НО.
Вследствие того, что для полного вероятностного описания нормального процесса Z(t) в фиксированный момент времени t достаточно двух числовых характеристик: среднеквадратического отклонения —г(^) и математического ожидания (среднего значения) ^(^), причем математическое ожидание ^(Р)) за счет усреднения по ансамблю ВС равно нулю, ограничение (8)
можно ввести в показатель качества (7) через —г^) и записать его в виде
¡у И0] = тахt —Г- = та^ТГм , 0 < t < Тп , (11)
I К Э(t)
где Кэ(0=/ / —г(0 - коэффициент эшелонирования [80=6].
При этом ограничение, связанное с обеспечением безопасности полетов ВС, определяется допустимыми (заданными) значениями ¡у[Ь(Щ и КЭ(1):
¡у^)] < ¡уз=Кэз-1 , (12)
причем, допустимое (заданное) значение КЭ(0 связано с заданным показателем безопасности Рбз соотношением 2Ф(Кбз) - 1=Рбз, где Ф() - табулированный интеграл вероятности.
Рис. 5. Связь показателя безопасности полетов с шириной воздушного коридора
Например, при Рбз=0,95 из (11) и (12) имеем: Кэз=2, /уз=0,5. Сказанное иллюстрируется рис. 5, где приведена нормальная плотность вероятностей W(Z) и показана связь показателя безопасности Рбз (соответствует площади заштрихованной области) с шириной воздушного коридора 21.
ЛИТЕРАТУРА
1. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. - М.: Наука, 1975.
2. Красовский А.А. Надежность навигации летательных аппаратов / В кн.: Проблемы надежности летательных аппаратов: сб. научн. трудов / под ред. И.Ф. Образцова, А.С. Вольмира. - М.: Машиностроение, 1985.
3. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимальному критерию. - М.: Наука, 1985.
4. Беллман Р., Гликеберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. - М.: Иностранная литература, 1962.
5. Маркович Е.Д. Взаимосвязь навигации и УВД по обеспечению безопасности полетов на воздушных трассах: сб. научн. трудов. - М.: ГосНИИГА, 1975. - Вып. 119.
6. Ляпидевский Г.А. Влияние технического состояния бортового радионавигационного оборудования на эффективность трассовых полетов самолетов гражданской авиации: дис. ... канд. техн.наук. - Рига: РКИИГА, 1982.
ABOUT RELATIONSHIP OF ACCURACY OF THE ESTIMATION NAVIGATIONAL PARAMETER FLIGHT AIR SHIP WITH SAFETY FACTOR OF THE FLIGHT
Vdovichenko V.I.
Is fixed intercoupling to accuracy of the estimation navigational parameter with safety factor flight.
Key words: navigational parameters, safety flight.
Сведения об авторе
Вдовиченко Василий Иванович, 1955 г.р., окончил Академию гражданской авиации (1989), генеральный директор Института аэронавигации, соискатель ученой степени кафедры технической эксплуатации радиоэлектронных систем воздушного транспорта МГТУ ГА, область научных интересов -управление воздушным движением.
