Взаимодействие проводящей поверхности цилиндрического датчика с электрическим полем равномерно заряженной прямолинейной нити, параллельной оси цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

УДК 621.317.328

РО!: 10.25206/1813-8225-2018-159-18-21

С. В. БИРЮКОВ12 А. С. КОЛМОГОРОВ3 С. С. КОЛМОГОРОВА1

1Омский государственный технический университет, г. Омск

2Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет,

г. Омск

3ООО «Автоматика-сервис», г. Омск

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРОВОДЯЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ НИТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ОСИ ЦИЛИНДРА

В статье приводится расчет поверхностной плотности электрического заряда, индуцированного на проводящей поверхности корпуса или чувствительных электродов электроиндукционного датчика напряженности электрического поля цилиндрической формы. Встречающиеся в научной литературе выражения для плотности зарядов направлены на решения электротехнических задач и требуют адаптации к решению задач по расчету электроиндукционных датчиков. Поэтому задачей данной статьи является получение пригодных для расчетов электроиндукционных датчиков зависимостей плотности зарядов индуцированных на проводящей цилиндрической поверхности корпуса датчика от геометрических параметров электрического поля и датчика. Проведенные математические исследования позволили установить зависимости поверхностной плотности электрического заряда для случая проводящего цилиндра в поле линейного заряда. Указанные зависимости проанализированы и подтверждена их достоверность. Результатом является полученная новая форма представления поверхностной плотности электрического заряда, индуцированного на боковой проводящей поверхности цилиндра.

Ключевые слова: электрическое поле линейного заряда, линейный заряд, метод изображений, заряженная нить, плотность электрического заряда, датчик,

ным источником поля, имитирующим поля высоковольтных линий электропередач при рассмотрении взаимодействия датчика с этими полями, является поле равномерно заряженной прямолинейной нити, параллельной оси цилиндрического корпуса датчика.

Электрическое поле равномерно заряженной прямолинейной нити обладает сильной неодно-

чувствительный электрод.

Введение. При анализе работы электроиндукционных цилиндрических датчиков напряженности электрического поля (ЭП) вблизи источников поля, например, вблизи высоковольтных линий электропередачи возникает необходимость в определении распределения напряженности ЭП на проводящей поверхности цилиндрического датчика. Эквивалент-

родностью в радиальных направлениях, и поэтому может рассматриваться при решении задачи как граничный случай при оценке предельной погрешности цилиндрического датчика.

Задачи о проводящем бесконечном цилиндре, находящемся в однородном поле и неоднородном поле равномерно заряженной прямолинейной нити стали уже классическими и рассматриваются во многих учебниках по теоретическим основам электротехники [1]. Однако их решение направлено на решение электротехнических задач и напрямую непригодно для решения задач, связанных с расчетом электроиндукционных датчиков напряженности ЭП. Поэтому в данной работе будет рассмотрено взаимодействие проводящего корпуса цилиндрического датчика напряженности ЭП с равномерно заряженной прямолинейной нитью. Автором данной работы уже решены задачи для плоских и сферических форм датчиков, находящихся в поле заряженной плоскости [2], поле точечного заряда [3], поле сферического конденсатора [4].

Теория. Пусть ось проводящего незаряженного цилиндра радиуса Я совпадает с продольной осью цилиндрической системы координат и на расстоянии г от неё расположена прямолинейная нить с линейной плотностью электрического заряда т (рис. 1).

Необходимо найти поверхностную плотность зарядов на боковой поверхности цилиндра. Для этого определим параметры электростатического поля вне проводящего цилиндра и получим выражение для нормальной составляющей напряженности ЭП на его поверхности. Эту задачу можно решить с помощью метода изображений [5].

Для решения задачи обратимся к рис. 2. При этом система линейно распределенных зарядов, определяющих поле равномерно заряженной прямолинейной нити в присутствии проводящего незаряженного цилиндра с плавающим потенциалом, будет состоять из трех линейных зарядов: заданного линейного заряда т, отображенных в цилиндре линейного заряда — т и линейного заряда т, помещенного вдоль оси симметрии цилиндра. Линейный заряд т, расположенный вдоль оси цилиндра, обеспечивает его нулевой заряд. Для равномерно заряженной уединённой нити, в частности, справедливы соотношения [6]

Рис. 1. Проводящий цилиндр в иоле равномерно заряженной прямолинейной нити

Рис. 2. Произвольная точка М электрического иоля в системе «равномерно заряженная прямолинейная нить и роводящий цилиндр круглого сечения»

С учётом выражения (1) и подстановки выражений (2) для поыенциала точки A ыоверхыости проводящего цилиндра получим

Фа ё

2и8„

- ln Ы 0

„ 0 и и2

0 - 2 — cos а н--г-

- J R2

1 - 2 — cos ас н—-

ё const.

(4)

т 1 1

-ln — ,

Кже„

E- =

т 1

(1) Выполёение условия постоянство потенциала

возможно, если ыринять соотношение [7]

где r — расстоянФё до т очки наблюдения.

При использовании цилиндрической системы координат расстояние между длумд тояклми про -странства можно радсчитакл

<- = 002-d

То гда пот енциал поверхности ци линдро будет

(5)

а = V<4r^T"a:j"4lC<niKcc)sa, b = V d'2 + 02 — 2d'0 cosa,

(2)

где Я — радиус тичиндра; d — расстолние мляоду заряженной нитью и осью цилиндра; а — угол по -лярной состемы координат.

Если точка наблюдения А принадлежит цилин-дричечкой еоперхности (см. рис. 1), то потпнциал поверхности проводящьго йилиндра должен быть посточней и определптися из вы ражения

Фл =

1

2иеп

1 1

е ln —н (—е) • ln — у b

- е ln

= const.

(3)

Фа ё

2и8п

-шЫ

1 о о

1 - 2 —cos a ■ Н

d2

- o0 02

1 - 2 — cosa н—-d d2

h-0- ln1 ■ (X

2и8п

Из выражения (6) следит, что потенциал цшшн-дра не зав=c—it ос =г—ов—ё kocoAHHadbi + и в силу этого является постоянным и равным потенциалу т очки простр анста а до - го сведения. Принятая система трех пинеНных нарядо® na3dC2—вет счивать, дто в общем случае полный сумнарный аннейный заряд цилиндра будет равен нулю. Поэтому прово-дчщие ци1н— ндо произвоасного еонеециово не будет ялляться источн—ком co6ат+енного пол2 )Нc

0

Ф

r

2 ж g„ r

х

d

d

1

Потенциал и напряженность произвольной точки пространства М вне цилиндра оеределятся выражениями (см. рис 2)

Фм =

2л8„

1 o-2 - dd'ocosa -кС

- R-d -ddocosa + d=

1 -d- dcc-cosa - d'7

477d

Ем = =аФм = d ю

(7)

- - dd-cosa -2 d

.ряФ! + ^^a+p + i+eBl (-)

3- - Sea 3z

x^l -

-( d - d')[-(d + d') - (-d + dd')cosa] 1-d - dd'-cosa + a) ) • (-d - dd-c o sa - d2)

.(9)

Подставив в вы-9жени+ (Э) - = R и 9' = Rd9d после RiRed6aaRORaHHÍi голубим

Er = ER (R,a)d-

x 1

dd7tS(C( R d

1 - d —cosa + — d ai

(10)

Прив=дем вы]аже(аие (1 С) к BHRy. Тогд1

(1 - ()

1

E= = E7 (R, a) =--

a

1 -

(1 - d1

cos a + a

(11)

lim E (p, a) = lim —

a —»0 a—0 a

= lim —

a— 0 a

1 -

(1-a")

(l - 2a c

2 )J

E„ =

(1 - 2a c

1 2a(a - 2c<—s a)

: lim — "---'—

■ (l - 2a c

2(a - 2со:за) = lim 7—1-- = -2E„cosa.

a — 0 (1 - 2 a c

(12)

индуцированного электрического заряда на боковой поверхн ост и цилиндра [9]:

а н ся(а) н ееоЕя (В, а) н

= -ssn - •

1 - ■

(- - «2)

(l - 2a cos a + a ss0 (2 • cos a - a)

OJ

1 - 2a • cos a + a

En.

(13)

Рид-а;ф,на= -омо-heata нcпpяжMан=xeа мэмек-ро-стат—меск-го поля и-геет в+д:

— -^-(-^и-Ф+Зи--Х-ф(-

-- d78d-

Таким образом, при внесении незаряженного проводящего цилинрра в лллртрачелкое птле равномерно заряженнорр пртмолинейной нити, пнрал-лельной оси цилиндра на его блкорой ловерхности образовалась поверхностная плотноорщ индуциро-в энного заряда о(а Щ

Поверхностная плотность индуцированного заряда неравсомерно распределёнз по поверхности проводащело лилиндрт. Степонт лтмотенной не-равномеррости можно оценить по графику рис. 3, на котором по одной оси онложенв1 веничины от-ношен^:а локальной поверхностной плотности индуцированного электрноеского заряда к мнкси-мальной поверхностной плттносоо зартда а(а)/а(0) в зависимости от полярного угрз о при различных значениях параметра а / р, аара кгеризующего степень неоднородности поля.

(a) _ (1 - a) • (cos a - a)

a(0)

1 - 2a cos a + a

(14)

где Е0 е ЬСтв(рй — напряжённость исходного ЭП, создаваемая равномерно заряженной прямолинейной нити с поверхностной плотностью заряда т в точке с координатами р = 0, а = 0, г = 0 в отсутствии проводящего цилиндра; а = R/d — относительное расстояние от центра цилиндра до источника ЭП (характеризует степень неоднородности поля).

Проанализируем выражение (11). Для этого найдем его предел при т ^ 0:

Легко видеть, что с щвнличением расстояния между осью проводящего цилиндра и нитью (параметр а уменьшается), распределение поверхностной плотности звряда становится близко к распределению в одноррдном поле.

Согласно выражению (8), произвольная точка пространства имеет еще и угловую составляющую напряжённости электрического поля:

Из выражения (12) в ждн о, что при предельном переходе выражение (11( огтамится к выражению, соотве-струтощем° распределению нермальной составляющей напряженности на поверхности изолированного цилннлр а.нзходащейсяв однородном поле [14].

Зная радиальную напряженность (11) несложно получить распределение поверхностной плотности

Рис. 3. Графики зависимости величины отношения локальной к максимальной

поверхностной плотности индуцированного электрического заряда в зависимости от полярного угла а при различных значениях параметра а = R/d, характеризующего степень неоднородности поля

1

Eo =

a

a

)

j

1 - 2acosa + a -1 + a

a— 0

„ 1 дф х • sin а

E =---=--х

а р да 2яе„d

0

22 R „р р2

—- 2 —cos а + —

-1

-2 — cos а + р

,2 ^

-1

. (15)

Как известно [10], угловая составляющая напряжённости электрического поля на поверхности проводящего цилиндра обращается в нуль. Поэтому для подтверждения правильности нахождения поверхностной плотности заряда на боковой поверхности цилиндра (13) нужно убедиться, что Еа на поверхности проводящего цилиндра равно нулю. Это условие легко проверить при подстановке в выражение (15) р = Я.

Таким образом, доказана правильность полученных результатов.

Заключение. Полученные выражения (10), (11) для нормальной составляющей напряженности электрического поля на боковой поверхности проводящего цилиндра, находящегося в поле прямолинейной и равномерно заряженной нити, позволили получить выражение (13) для поверхностной плотности заряда на проводящем цилиндре и представить топологию неоднородности распределения поля вокруг проводящего цилиндра (рис. 3). В таком виде выражение (13) получено впервые. Выражение (13) позволит рассчитывать электрические заряды, индуцированные на поверхностях чувствительных электродов цилиндрических датчиков и пропорциональные напряженности электрического поля.

Библиографический список

1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. В 2 т. М.-Л.: Энергия, 1967. Т. 2. 408 с.

2. Бирюков С. В. Расчет электрического поля на поверхности электроиндукционного сферического датчика напряженности, находящегося вблизи проводящей плоскости. Омск: Изд-во ОмПИ, 1984. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 13.09.84, № 6225-84.

3. Бирюков С. В. Теория и практика построения электроиндукционных датчиков потенциала и напряженности электрического поля // Омский научный вестник. 2000. № 11. С. 89-93.

4. Бирюков С. В. Расчет электрического поля на поверхности электроиндукционного сферического датчика напряженности, находящегося в поле сферического конденсатора // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. 2003. № 4. С. 22-25.

5. Миролюбов Н. Н., Костенко М. В., Левинштейн М. Л. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963. 415 с.

6. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электромагнитное поле. 7-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1978. 273 с.

7. Шимони К. Теоретическая электротехника: пер. с нем. / под ред. К. М. Поливанова. М.: Мир. 1964. 773 с.

8. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. В3 т. Т. 3. Теорияэлектромагнитного поля. М.: Энергия, 1975. 207 с.

9. Справочник по физике: формулы, таблицы, схемы / Под ред. Х. Штёкера; пер. с нем. Т. Н. Зазаевой под ред. К. В. Смирнова. М.: Техносфера, 2009. 1262 с. ISBN 978-594836-205-2.

10. Тамм И. Е. Основы теории электричества. 9-е изд. М.: Наука, 1976. 616 с.

БИРЮКОВ Сергей Владимирович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Физика» Омского государственного технического университета (ОмГТУ); профессор кафедры «Физика» Сибирского государственного автомобильно-дорожного университета. БРНЧ-код: 9384-0078 АиШогГО (РИНЦ): 189467

КОЛМОГОРОВ Аркадий Сергеевич, ведущий инженер ООО «Автоматика-сервис», г. Омск. КОЛМОГОРОВА Светлана Сергеевна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления», старший преподаватель кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики» ОмГТУ.

БРНЧ-код: 4216-9920

ЛиШогГО (РИНЦ): 916641

Адрес для переписки: [email protected]

Для цитирования

Бирюков С. В., Колмогоров А. С., Колмогорова С. С. Взаимодействие проводящей поверхности цилиндрического датчика с электрическим полем равномерно заряженной прямолинейной нити, параллельной оси цилиндра // Омский научный вестник. 2018. № 3 (159). С. 18-21. БОН 10.25206/1813-82252018-159-18-21.

Статья поступила в редакцию 25.02.2018 г. © С. В. Бирюков, А. С. Колмогоров, С. С. Колмогорова

1

х

d

d

d

R

d

Р

Q