Проводящая сфера, находящаяся в электрическом поле заряженного проводящего электрода цилиндрической формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Н А У

Й Е

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, И

МЕТРОЛОГИЯ 6

И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 1621.317.328: 681.586 С. В. БИРЮКОВ

Омский государственный технический университет

ПРОВОДЯЩАЯ СФЕРА, НАХОДЯЩАЯСЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОДА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ_

Разработки средств измерения напряженности электрического поля и эталонных измерительных установок для их поверки весьма актуальны, т. к. связаны с обеспечением безопасных условий работы и жизнедеятельности человека. Целью работы является создание малогабаритной эталонной установки по заданию вращающегося электри- о ческого поля, представляющей собой «беличью» клетку, прутья которой являются полезадающими электродами, находящимися под трехфазным напряжением. Задачей данной работы является исследование взаимодействия проводящей сферы в электрическом поле заряженного проводящего электрода цилиндрической формы конечной длины.

Ключевые слова: электрическое поле с круговой (эллиптической) поляризацией, проводящая сфера, датчик напряженности электрического поля, заряженные электроды, источник поля.

Создание приборов для измерения напряжен- рующих электрические поля с эллиптической поля-ности электрических полей трехфазных источников ризацией и заданными метрологическими парамет-[1] с трехкоординатными датчиками сферической рами [2, 3].

формы, выполненными из проводящего материала, Наиболее простой конструкцией такой установки

повлекло за собой разработку новых малогабарит- является система цилиндрических электродов, равно-ных эталонных измерительных установок, генери- мерно расположенных по окружности, радиус кото-

М(х,у,1)

Е, 1 г

1в / 1

1 °

V У^ )л' \ А 1 X 1

— а

УЛ

потенциал исф = -

ч

где е1 — диэлектрическая

4р81Д '

проницаемость среды, окружающей сферу. Полный суммарный заряд сферы не будет равен нулю, поэтому сфера будет являться источником собственного поля.

Положим, что линия находится на расстоянии й от центра сферы и расположена в плоскости г = 0. Отобразим каждый элементарный заряд нити

йч = 1 - й1 в сфере. Потенциал произвольной точки М, находящейся на расстоянии г от центра сферы (рис. 1), равен

им=и+и2+из,

(1)

Рис. 1. Проводящая сфера в электрическом поле заряженного проводящего электрода цилиндрической формы

рой много больше радиуса датчика сферической формы. Таким образом, цилиндрические электроды являются образующими цилиндра, в объёме которого создаётся вращающееся (поляризованное по окружности или эллипсу) электрическое поле. Число таких электродов должно быть четное и кратно трем, по числу фаз напряжений переменного тока, подаваемых на них.

При определении метрологических характеристик сферических проводящих датчиков напряженности электрического поля в таких установках возникает необходимость в определении распределения напряженности электрического поля на проводящей поверхности сферы сначала от одного заряженного цилиндрического электрода, а затем от п таких электродов. Цилиндрические электроды, являющиеся источниками электрического поля, будем рассматривать как проводящую тонкую линию конечной длины.

Поведение проводящей сферы в поле тонкой бесконечной проводящей и заряженной линии рассмотрено в работе [4]. В данной работе для получения более общих результатов производится расчет аналогичной линии, но конечной длины.

Пусть проводящая сфера радиуса Я, имеющая потенциал исф, находится в поле проводящего линейного заряда постоянной плотности 1 длиною 21 (рис. 1). Используя метод изображения в сфере [5], выведем выражение для расчета нормальной составляющей напряженности ЭП на поверхности проводящей сферы.

Согласно этому методу, система зарядов, определяющих поле линейного заряда постоянной плотности 1 и длины 21, будет состоять из линейного заряда постоянной плотности 1 и длины 21, отображения этого заряда в сфере и заряда ч, помещённого в центр сферы (рис. 1).

Суммарная система зарядов — заданной линии и отраженной в сфере кривой — даст на шаре потенциал, равный нулю, а заряд ч создаст на сфере

где и1 — потенциал отображения линейного заряда, и2 — потенциал линейного заряда, из — потенциал заряда ч.

Найдём выражения для и1, и2, из. Согласно [4], отображая нить в сфере, получим дугу окружности

я2 ф

радиуса —, проходящую через центр сферы с углом

раствора относительно центра шара, равным

2агсд^—^ . Действительно, отображая точку А

в окружности, находящейся в плоскости z = 0 (рис. 1), получим точку А' такую, что:

ОА

ОА ~ й

Радиус-вектор любой отображённой точки С' равен:

Я2 СОВ у й '

(2)

а это есть уравнение окружности диаметра —,

й

проходящей через начало координат.

Элементарный физический заряд, расположенный на элементе й1 между углами у и у+йу, равен [5]:

йч = —10— йу СОВ у

(3)

Соответствующий ему отображённый заряд равен

, , Я сов у ,

ац =--- ац

й

(4)

С учетом формулы (3) выражение для отображенного заряда (4) можно записать как

йч' =--йу

сов у

(5)

Найдём потенциал в точке М, обусловленный заряженной дугой окружности с переменной плотностью 1'. Он будет равен:

и,

1 гйд'

г

Г

3 г' '

(6)

где расстояние г' от точки М до отображенной точки С' можно определить по теореме косинусов [6]:

Г = л]р2 + г12 - 2р - г1 - сов(0 - у).

Подставляя в это уравнение выражение (2) получим:

2 Я4 2 Я2 р + о^сов у- 2р"й со:3 у- сов(0-у). (7)

2

Я

г

78

eT(ß,a,c) a=0 -5

а II > о Л fl= R/d п=Ш

71 D n=0 с (i л_ Ег[в,е,с)

a=0 Л ■ £ 3

um ПН. 1

ar С 05

a=0 /

в

15

30

45

60

75

SO 105 lji) 135 150 1«

ISO

Рис. 2. Графики зависимости нормальной составляющей напряженности ЭП на поверхности изолированного шара в поле заряженного проводящего электрода цилиндрической формы для различных значений а при постоянном значении параметра с=1

С учетом уравнений (5) — (7) выражение для нахождения потенциала, создаваемого отображенными зарядами в точке М, примет вид:

тт

и, =--X

4я8,

dy

. (8)

-"Цdd] cosyjp2 + — cos2 У - 2pd cosy - cos(e - y)

Аналогично найдётся вторая составляющая потенциала в точке М — потенциал Т/2, обусловленный линейным зарядом постоянной плотности т:

U 2 = ТЧ ^ '

r

(9)

где [6]:

r = vp2 + r22 - 2р - r2- cos(e - у) ; d

r2 = -■

cos У

С учетом этих выражений получим:

r = ,Р +"

d2

cos y

2p

d

cos y

s(e-y).

(10)

С использованием уравнений (3), (9), (10) получим выражение для нахождения потенциала, создаваемого линейным зарядом в точке пространства М:

тЛ

и 2 =-X

4я8,

Интегралы в выражениях (8) и (11) аналитически не вычисляются, но при использовании математических программ (в данном случае использовался MATHCAD 13) их можно просчитать численно.

Для проверки полученных выражений найдём суммарный потенциал на сфере. Для этого подставим в выражения (8) и (11) р = R и посчитаем U' = U1 + U2 при значении угла 0 от 0 до 360°, предварительно задавшись значениями d, l, t, e1.

В ходе расчётов получено, что суммарный потенциал сферы от линейного заряда и его отображения в сфере равен нулю. Следовательно, выражения (8) и (11) найдены правильно.

Потенциал, создаваемый зарядом q в точке М, равен

U

Uсф Р ф Р

(12)

Используя выражения (8), (11) и (12) можно найти потенциал любой точки М пространства по формуле:

arctg

Г 1 ö f

и

4 m.

i

arctg

( \ 1

2 R4 2

cos y. p + cos y

\ d2

- 2 p-cos y - cos \e - y /

d

>(e - У)

dy

-arctg{d] cos2 y lp2 +—d— 2p—d— cos(e - y) 1 0 cos y cosy

(11)

2 I 2 d

cos y lp +-

cos y

- 2p-

d

cos y

s(e-y)

dy+U Сф— .(13) p

arctg — l d

X

d

t

м

d

>

+

2

arctgld

d

X

+

79

Рис. 3. Графики зависимости нормальной составляющей напряженности ЭП на поверхности изолированного шара в поле заряженного проводящего электрода цилиндрической формы для различных значений а при постоянном значении параметра с = 5

Таким образом, зная потенциал им произвольной точки пространства, окружающего сферу, можно найти распределение нормальной составляющей напряженности ЭП на поверхности проводящей сферы. Для этого продифференцируем выражение (13) по р и подставим р=Я:

Ег =

r Эр p=r '

(14)

Продифференцировав (13) по р и введя обозна-

R

l

чения а = — , с = —, получим нормальную составляй й

ющую напряженности ЭП на поверхности проводящей сферы в поле линейного заряда конечной длины:

4pe1R

arctg (с)

X I

-arctg (с)

1 - a2 cos2 y

_cos y(l + a2 cos2 y - 2a cos y • cos(0 - y))2 _

+U*

R '

dy +

(15)

Построим графические зависимости распределений напряженности ЭП на поверхности проводящей сферы. Для этого введем следующие нормировки [7]:

Er

E „

U „.

U

сф

U

(16)

Известно [7], что Е,

0 2p8id Vl + c2

(17)

Для нахождения потенциала ио необходимо подставить в выражение (11) р = 0 и 0 = 0. В результате получим:

U0

arctg I d 0 ,

t л dy

4pe1 К l ч cos y

(18)

Тогда с учетом нормировок (16) и выражений (17),

(18):

er (0, a, c) =

2ac

arctg(c)

J

-arctg(c)

1 - a2 cos2 y

_cosy • (1 + a2 cos2 y- 2acosy •

■ ®

U „,

o<0-y))2

СОВ у

dy

(19)

где Е0 — напряженность ЭП линейного заряда конечной длины в точке, совпадающей с центром сферы; ио — потенциал точки исходного ЭП, совпадающей с центром сферы.

Анализ выражения (19) при а®0 показывает, что относительная нормальная составляющая напряженности ЭП на проводящей сфере ег (0, а, с) ®, ® 3сos0 , т.е. распределение напряженности на поверхности сферы при удалении ее от проводящей линии приближается к аналогичному распределению в однородном поле [8, 5].

Полученное выражение (19) будет являться сменным ядром подынтегральной функции при определении средней напряженности ЭП на чувствительных элементах датчика.

Результаты расчетов ег(0,а,с) представлены на рис. 2, 3 в виде семейств графиков распределения нормальной составляющей напряженности ЭП по поверхности изолированной (и =1) сферы в зави-

t

c

t

E =

X

2

>

e

симости от широтного угла 0 для различных значений параметров а и с. Параметр а — относительное расстояние от центра сферы до заряженной линии, а=Я/й. Чем меньше а, тем дальше сфера расположена от линии. Чем меньше параметр с=1/й, тем короче заряженная линия по отношению к расстоянию до сферы. Для сравнения на этих же графиках представлена зависимость еД0) для случая однородного ЭП.

Из рис. 2, 3 видно, что наибольшее возрастание напряженности ЭП наблюдается вблизи полюса шара, ближайшего к проводящей линии, и чем дальше сфера удалена от линии (чем меньше а=Я/ё), тем меньше это возрастание. Кроме этого, необходимо принять во внимание отношение с=1/й. Чем больше с, тем ближе к нулю напряженность электрического поля на экваторе сферы. Эти обстоятельства необходимо учитывать при анализе взаимодействия трех-координатного сферического датчика напряженности с электрическим полем цилиндрического электрода эталонной измерительной установки.

В представленной работе рассматривается только лишь взаимодействие проводящей сферы с электрическим полем одного заряженного цилиндрического электрода эталонной измерительной установки. В последующих исследованиях необходимо будет рассмотреть аналогичное взаимодействие сферы с тремя л-парами цилиндрических электродов, несущих электрические заряды или потенциалы, задаваемые трехфазным источником напряжения.

Библиографический список

1. Deno, D. W. Transmissien Line Fields / D. W. Deno // IEEE Transactions Pas, 1976. - V. 95, № 5. Р. 1600-1611.

2. Ермоленко, А. В. Установка для поверки измерителей напряженности электрического поля с эллиптической поляриза-

цией / А. В. Ермоленко, С. В. Бирюков // Актуальные проблемы современной науки : материалы III Регион. молодеж. науч.-практ. конф. с междунар. участием. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2014. - С. 112-114.

3. Ермоленко, А. В. Устройство для поверки датчиков напряженности электрического поля / А. В. Ермоленко, А. Г. Ададу-рова, С. В. Бирюков, В. А. Лютаревич // Актуальные проблемы современной науки : материалы IV Регион. молодеж. науч.-практ. конф. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2015. — С. 76-79.

4. Бирюков, С. В. Расчет электрического поля на поверхности сферического датчика напряженности, находящегося в поле проводящей линии / С. В. Бирюков, Е. В. Тимонина // Динамика систем, механизмов и машин : материалы VI Междунар. науч.-техн. конф. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2007. — Кн. 1. — С. 258 — 262.

5. Методы расчёта электростатических полей / Н. Н. Миро-любов [и др.]. — М. : Высшая школа, 1963. — 415 с.

6. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М. : Наука, 1972. — 874с.

7. Бирюков, С. В. Расчет электрического поля на поверхности электроиндукционного сферического датчика напряженности, находящегося вблизи проводящей плоскости / С. В. Бирюков. — Омск : Изд-во ОмПИ, 1984. — 22 с. — Деп. в ВИНИТИ 13.09.84, № 6225-84.

8. Нейман, Л. Р. Теоретические основы электротехники. В 2 т. Т. 2 / Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. — Л. : Энергоатом-издат, 1981. — 415 с.

БИРЮКОВ Сергей Владимирович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры физики.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11, кафедра физики.

Статья поступила в редакцию 18.03.2016 г. © С. В. Бирюков

Книжная полка

Титов, Д. А. Основы оптимизации в радиотехнических системах : практикум / Д. А. Титов, И. В. Юн-кин, Н. В. Рубан. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2016. - 117 с.

Представлены практические работы, демонстрирующие использование различных методов оптимизации в программном обеспечении радиотехнических устройств и систем. Разработка программного обеспечения практических работ производится в программной среде МаНаЪ. Практикум предназначен для студентов электро- и радиотехнических специальностей очной и заочной форм обучения.

Игнатов, А. Н. Микросхемотехника и наноэлектроника : учеб. пособие для вузов / А. Н. Игнатов. - СПб. : Лань, 2016. - 527 с.

Изложены физические основы полупроводниковых электронных приборов. Рассмотрены основные типы радиокомпонентов, элементы и узлы аналоговых и цифровых микроэлектронных устройств и систем, интегральные схемы высоких степеней интеграции. Показана целесообразность и возможности перехода от классической электроники к наноэлектронике. Проанализированы физические и технологические основы наноэлектроники, особенности наноэлектронных транзисторов, фотоприемников и лазеров, приборов на основе углеродных нанотрубок. Издание предназначено для бакалавров по направлениям подготовки «Электроника и наноэлектроника» и «Радиотехника». Также может быть полезно инженерно-техническим работникам, занимающимся проектированием и эксплуатацией электронной аппаратуры с использованием микроэлектронной и наноэлектронной элементных баз.