CC BY
13
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ, ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 621.317.328
с в бирюков МЕТОДИКА РАСЧЕТА
Омский государственный ПОГРЕШНОСТИ
технический университет
ЭЛЕКТРОИНДУКЦИОННОГО СФЕРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, ВЫЗВАННОЙ ВЛИЯНИЕМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ШТАНГИ
РАССМАТРИВАЕТСЯ МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ ОДНОКООРДИНАТ-НОГО ЭЛЕКТРОИНДУКЦИОННОГО СФЕРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ, ВЫЗВАННАЯ ВЛИЯНИЕМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ШТАНГИ, СЛУЖАЩЕЙ ДЛЯ ВНЕСЕНИЯ ДАТЧИКА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ.
Введение в задачу
В настоящее время для измерения напряженности низкочастотного электрического поля (ЭП) широко используются приборы с электроиндукционными сферическими датчиками с различным числом координат [1-3]. Принцип работы таких датчиков основан на помещении проводящей изолированной сферы в измеряемое ЭП и снятия электрических зарядов с чувствительных электродов, размещенных на соответствующих координатных осях датчика. Для изоляции датчика от земли и проводящих поверхностей датчик закрепляется на диэлектрической штанге цилиндрической формы, с помощью которой он вносится в ЭП. Вследствие того, что штанга выполняется из диэлектрического материала с относительной диэлектрической проницаемостью, большей относительной диэлектрической проницаемости среды, в которую помещают датчик при измерении, то возникает систематическая погрешность измерения напряженности ЭП. Оценку этой погрешности будем проводить на примере однокоординатного электроиндукционного сферического датчика напряженности ЭП, имеющего чувствительные электроды в виде полусфер. Вследствие линейности преобразований, происходящих в электроиндукционных датчиках, полученные результаты можно будет перенести и на датчики с большим числом координат и с другими формами электродов.
При внесении однокоординатного датчика в ЭП на его чувствительных электродах индуцируются электрические заряды д0(1), изменение которых создает электрический ток между полусферами, являющийся выходным сигналом датчика. Значение этого тока определяется выражением [1]
! , СИ
где Е0(1) - напряженность измеряемого ЭП в направлении ориентации датчика; т0 - радиус полусфер датчика; ег - относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей датчик, в частности воздуха, для которого ег =1,0004... 1,0020 в зависимости от его температуры, давления и влажности; е„» 8,84-10-'- Ф/м - электрическая постоянная; ш - угловая частота изменения ЭП.
Выражение (1) справедливо при условии, что диэлектрическая штанга, на которой закреплен датчик, выполнена из материала с относительной диэлектрической проницаемостью е^—1. В действительности же отно-сительная диэлектрическая проницаемость штанги не удовлетворяет этому условию и имеет место условие ег>1.
Измерение напряженности ЭП в таком случае будет выполнено с погрешностью, зависящей от материала диэлектрика, из которого изготовлена штанга. Эта погрешность определится из следующего выражения:
6С = ——— 100%
где 10 - ток датчика в случае, когда материал штанги удовлетворяет условию ег=1; /е - ток датчика, когда материал штанги удовлетворяет условию ег>1 .
Таким образом, определив ток /е , можно рассчитать погрешность датчика, вызванную влиянием диэлектрической штанги. Подобная методика расчета погрешности была предложена в работе [4], однако в ней допущен ряд ошибок, затрудняющих проведение оценки этой погрешности.
1. Методика расчета погрешности
Пусть датчик находится в однородном, изменяющемся по синусоидальному закону ЭП вблизи поверхности земли, а диэлектрическая штанга, поддерживающая датчик, расположена вертикально.
Из выражения (2) следует, что для вычисления погрешности 5е нужно знать значения токов 10 и 1£. Значение тока /0можно вычислить по формуле (1), а значение тока 1С нужно найти.
Для нахождения тока 1е, протекающего в цепи между полусферами датчика, воспользуемся теоремой Гаусса [5], согласно которой можно записать (рис. 1):
111 о с
(3)
где Бп =е,е()Е„ и £л - векторы электрического смещения и нормальной составляющей напряженности электрического поля на поверхности полусферы соответственно; <Н> = Кг$и18-<Ю с1ф - элемент поверхности, выраженный в сферической системе координат; 0 и ср - широтный и долготный углы сферической системы координат соответственно.
Для удобства пользования численными методами вычислений выражение (3) можно представить в виде
1. =®£о£еНЕп:Д5.
(4)
где - элемент поверхности полусферы, Ёп, - вектор нормальной составляющей напряженности ЭП в точке Р; элемента поверхности еп. = ег(, для точек датчика, соприкасающихся со средой с диэлектрической проницаемостью вг! и = ег„ для точек датчика, соприкасающихся со средой с диэлектрической проницаемостью Егг (рис.2).
£(/) = Е^тсМ
(?Мд+Мш+1 X- X— i4N.il—к
Чмлн р2Мд+2Иш ^^ х— х-х—
X-1 —X »
С^д+Мш С?Ид+2Мш
х-XX-
х-х-
X-
х-
* ■ -X
-X
-X
-х
-X
ч * -X
«г
-X .
-Xх -X —X -X
¡=1Чд+1
¡=]^д+Мш
Рис. 1
• - контурные точки; х- дискретные кольцевые заряды
Рис. 2
Из выражения (4) видно, что для нахождения значения тока •/ нужно знать распределение ЭП на поверхности датчика, зависящего от материала, из которого изготовлена диэлектрическая штанга. Для нахождения этого распределения воспользуемся методом зеркального отображения зарядов [6].
В связи с тем, что датчик находится в однородном ЭП, распределение поверхностного заряда в датчике и штанге, представляющей собой диэлектрический цилиндр, будет зависеть от г и г (рис.2).
Проводящая поверхность датчика представляет собой проводник с заданным потенциалом, суммарный заряд которого равен нулю. Диэлектрическая штанга, поддерживающая датчик, является диэлектриком с неизвестным потенциалом.
Поверхностные заряды на датчике заменим дискретными кольцевыми зарядами <3- с постоянной плотностью и будем считать, что сами кольца не имеют толщины. В качестве контурных точек, для которых должны выполняться краевые условия, возьмем точки Р., лежащие на окружностях.
На рис. 2 приняты следующие обозначения:
N - число контурных точек на поверхности датчика;
д
N - число контурных точек на цилиндрической поверхности диэлектрической штанги;
N - число контурных точек на поверхности датчика, граничащих со средой с диэлектрической проницаемостью ег1 (воздух);
N -Ы -число контурных точек на поверхности датчика, граничащих со средой с диэлектрической проницаемостью ег2 (диэлектрическая штанга);
Р. - коэффициент, учитывающий влияние заряда С?, на где потенциал в контурной точке Р.;
^ - коэффициенты, учитывающие влияние заряда (}. на составляющие Ег, Ег и нормальную составляющую вектора напряженности ЭП в контурной точке Р.; и^ - потенциал в точке поля Р| при отсутствии датчика; и - потенциал проводящей поверхности датчика при и помещении его в ЭП.
Для контурных точек Р. должны выполняться следующие условия:
1) потенциал контурных точек на поверхности датчика, граничащих со средами, обладающими диэлектрическими проницаемостями ег/ и гг2, должен быть равен
+ + = и ¡ = 1-И,; (5)
j=N„ + !
ZQjP^ ¡ = (Ne+l)...N,. (6)
jal j = N„+Ne + l
2) нормальная составляющая напряженности ЭП внутри датчика должна равняться нулю, т.е.
N„»N. 2N.+2N.
Z Qjf"S+ lQif^=o i = l...N,. (7)
j»N„»l j»N,,»2N. + l
3) потенциал контурных точек Р. на цилиндрической поверхности диэлектрической штанги со стороны среды с диэлеюрической проницаемостью гг2 должен быть равен потенциалу со стороны среды с диэлектрической проницаемостью е , т.е. должно выполняться следующее равенство для точек : i = (Nf) + 1)...(N,, + N„)
N. N„ + N„ N„ N„*2N_
j-l i-N.tl j-l j=Nn + NB + l
из которого получаем уравнение
lQipg" lQjPS = 0-
j-N,«l ¡-N„t-N.«l
(8)
4) нормальные составляющие вектора напряженности ЭП в каждой контурной точке на поверхности диэлектрической штанги удовлетворяют соотношению
N.tN.
Е, = 2Ж j-l N.+N.
Е, = ZQjf,j
j-i
i = 1...N
N„ N.+2N.
j-l j=N,+N.+l N, Nj+2N.
E ZQ/Hi
l-I P«,»N.*I
i = (Ne + l)...N,
Точность вычислений распределения напряженности ЭП на поверхности датчика определяется принятым числом дискретных зарядов С?.. и, следовательно, числом контурных точек Р..
1.1. Вычисление коэффициентов уравнений
Для нахождения коэффициентов Рвычисляется потенциал и напряженность ЭП в произвольной точке вблизи заряда С^..
В силу воздействия земли и симметрии потенциал в точке Р. зависит только от координат гиги определяется выражением (рис. 3)
4яе 2яг,
(12)
где г - радиус дискретного кольцевого заряда. Принимая во внимание, что
di = di' = r¡dtp Rf=(zi-zj)1 + a Rj^z.+z^ + a ,2 _ „2 _ „2 . „2
a¡ =a¡ = r- +t¡ - 2r¡rj cos(l80" - <p) = (r¡ + r3y - sin можно преобразовать выражение (12) к виду
:_2<Р
N, N„+N„
ZQjfn¡j+ ZQjf"ü
А Ед
I-'_j"N.+l _ _ o
N„ N.,t2N. e
ZQifn¡i+ ZQjf»i " '
j-l pN.«N.tl
из которого получаем следующее уравнение
N N,»2N. N„+N.
(at-i)ZQiM»c ZQA- = °
j-l
j=N„ + N„+l j«=N„*l
(9)
5) поскольку U неизвестно, то дополнительным условием является
ZQ, = o .
(10)
Таким образом, получается система уравнений (5), (6), (7), (8), (9), (10) с неизвестными и и, причем число уравнений составляет п=2Ыд+2Мш+1. Решая эту систему уравнений, получают искомые дискретные заряды ()..
Нормальную составляющую напряженности ЭП на поверхности датчика вычисляют с помощью принципа суперпозиции,
(11)
Рис. 3
U„; =
4яе л
i"
dq>
,^(zi-zj)1+(ri+rJ),-4rirjïin,| j dtp ° +zj)J + (ri + rj)2 -4rirjsin2 ~
Вводя обозначения
(г(-2))2 + (г1+г,)2=а? (2i+2j),+(ii+rj),=aî . ' 2,/ÍT
k,=
подставляя — = d<p = 2d& и изменяя пределы интегрирования, получаем
Q 2
Um = U(r¡ ■ z¡ ) = -j-^- • — 4пе rt
где m = ] f
o vi-к sin S
АГ(к.) ОД
(13)
, 2
Обозначив р.) = z---
4its п
ЦК) К(кг) а, а,
(14)
можно записать выражение (13) в упрощенном виде
им = и(гиО = <}Д. (15)
Составляющие напряжённости ЭП в точке вычисляются с использованием соотношений
Е = ЭЦ(г„г,), Е _ аи^.г,) 5г; дг,
С их помощью получаются следующие выражения для составляющих напряженности ЭП в точке Р.:
где
1 1
47tE 7tr¡ a,P,2
(г/ -f¡ +(z, + z|)2)£'(k2)-ßffi(k2)
2,j л
4яе л где
(Z,-Zj)£(k,) | (2,+2))£(кг)
a,PÍ
(16)
(17)
Pi = +rj)2 + (z¡ _zj)2' Р: = )/(г.-гР2 + ^+2Р2>
E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода [7,8].
Формулы (14), (16) и (17) определяют искомые коэффициенты Р^/^/^. Коэффициент/^ определяется в зависимости от формы поверхности, на которой лежат точки Р..
Для точек Р., лежащих на цилиндрической поверхности диэлектрической штанги, т.е. точек ¡=(N^+1).. .(N+1^):
для точек Рг лежащих на сферической поверхности датчика, т.е. точек ¡=1.. .14 :
представляет собой полный эллиптический интеграл первого рода [7,8].
Таким образом, пользуясь выражениями (1), (2), (4) и (11), можно вычислить систематическую погрешность 5Еоднокоординатного электроиндукционного сферического датчика напряженности, расположенного вблизи поверхности земли в однородном ЭП.
Предложенная методика расчета погрешности ÔE позволяет разработать программы численных расчетов, позволяющие осуществлять такой выбор размеров и материала диэлектрической штанги, поддерживающей датчик, при которых погрешность датчика, вызванная влиянием этой штанги, была минимальной.
Литература
1. Дез Ж., Пиррот П. Расчет и измерение напряженности электрического поля вблизи устройств высокого напряжения// Влияние электроустановок высокого напряжения на окружающую среду: Переводы докладов международной конференции по большим электрическим системам (СИГРЭ-76)/Подред. Ю.П.Шкарина. -М.: Энергия. -1979. -С.10-19.
2. Bocker H., Wilhelmy L. Messung der elektrischen Feldstarke bei hohen transienten und periodisch zeitabhängigen Spannungen//Elektrotechniche Zeitschrift. -1970. -A91. -№8. -S.427-430.
3. Бирюков C.B., Ложников В.Я. Цифровой измеритель напряженности электрического поля промышленной частоты // Приборы и техника эксперимента. -1981. -№1. -
С.275.
4. HandzlikS. Bladsystematyczny kierunkowego czujnika gradientu potencjalu wynikajacy ze sposobu podtrzymania czujnika //Zeszyty naukowe politechniki slaskiej. -1982. seria: Elektryka, z. 79. Nr kol. 713. - S.G3-73.
5. Поливанов K.M. Теоретические основы электротехники. В 3-х томах. - M.: Энергия, 1975, т. 3. - 270 е., ил.
6. Методы расчета электростатических полей / H.H. Миролюбов, М. В. Костенко, М.Л. Левинштейн и др. - М.: Высшая школа, 1963. -415с., ил.
7. Градштейн И С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М. : Наука, 1971 .-1100 с.
8. Справочник по специальным функциям сформулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. -М.: Наука, 1979.-832 е., ил.
БИРЮКОВ Сергей Владимирович - канд. технич. наук, доцент кафедры информационно-измерительной техники Омского государственного технического университета.
