Датчик напряженности электрического поля с электродами в форме сферических многоугольников Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

С. В. БИРЮКОВ А. С. ШИЛИКОВ

Омский государственный технический университет

УДК 537.1:621.3.015

ДАТЧИК НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ЭЛЕКТРОДАМИ В ФОРМЕ СФЕРИЧЕСКИХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

ПРЕДСТАВЛЕНЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОИНДУКЦИОННОГО СФЕРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ В ФОРМЕ СФЕРИЧЕСКОГО МНОГОУГОЛЬНИКА В ПОЛЯХ РАЗЛИЧНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ. ИЗМЕНЕНИЕ РАЗМЕРОВ СФЕРИЧЕСКОГО МНОГОУГОЛЬНИКА ПОЗВОЛЯЕТ ПОЛУЧИТЬ ЭЛЕКТРОДЫ В ФОРМЕ СФЕРИЧЕСКОГО ДВУУГОЛЬНИКА, СФЕРИЧЕСКОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА И СФЕРИЧЕСКОГО КВАДРАТА И ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ПОГРЕШНОСТЬ ДАТЧИКА С ТАКИМИ ФОРМАМИ ЭЛЕКТРОДОВ ОТ НЕОДНОРОДНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. В РАБОТЕ ДАН СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДАТЧИКОВ С ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ В ФОРМЕ СФЕРИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ И СФЕРИЧЕСКИХ СЕГМЕНТОВ.

В последнее десятилетие широкое развитие получили одно-, двух-, трех- и многокоординатные электроиндукционные датчики напряженности электрического поля (ЭП). Такие датчики представляют собой проводящее тело, на поверхности которого изолированно от него и друг от друга на соответствующих координатных осях располагаются проводящие чувствительные электроды (ЧЭ). В качестве формы проводящего тела датчика обычно используются такие геометрические фигуры, как цилиндр, параллелепипед, куб и сфера. Однако в силу полной симметрии во всех направлениях и отсутствия острых углов сферическая форма проводящего тела получила более широкое распространение.

Существующие в настоящее время электроиндукционные сферические датчики напряженности ЭП характеризуются многообразием форм ЧЭ, в качестве которых могут выступать сферический сегмент, сферический слой, сферический прямоугольник, сферический квадрат и др. Использование той или иной формы ЧЭ определяется областью применения датчика, требуемым пространственным диапазоном измерения, погрешностью от неоднородности ЭП и чувствительностью датчика. Наиболее детально исследованы датчики напряженности ЭП с ЧЭ в виде сферического сегмента [1] и сферического слоя [2]. Однако в целях совершенствования существующих датчиков с точки зрения улучшения их метрологических характеристик ве-

дутся исследования по выбору других оптимальных форм и размеров ЧЭ датчика.

В данной работе проводятся исследования поведения электроиндукционного сферического датчика напряженности ЭП с электродами в форме сферического многоугольника в полях различной неоднородности. В качестве таких полей, представляющих граничные случаи, выбраны: однородное поле свободного пространства при удаленных источниках и проводящих поверхностей, поля точечного заряда и заряженной плоскости, имитирующее близость источника и проводящих поверхностей соответственно. Делается сравнительный анализ метрологических характеристик датчиков с ЧЭ в форме сферических квадратов и сферических сегментов.

1. Теоретические основы исследования

Исследованию подвергается конструктивная модель датчика представляющая собой проводящую сферу радиуса Я, покрытую тонким слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью б, и толщиной с1=50-И00 мкм, причем с!«Я. Датчик находится в среде с диэлектрической проницаемостью е2. На поверхности сферы изолированно от неё расположены тонкие проводящие сферические оболочки по числу координат датчика, в общем случае, в форме сферического многоугольника, находящиеся попарно на

диаметрально противоположных участках сферы и соответствующих координатных осях, проходящих через центр сферы. Датчик 3 с двумя диаметральными противоположными сферическими многоугольниками 1 и 2, являющимися ЧЭ, представлен на рис. 1. Такие датчики принято называть однокоординатными двойными или дифференциальными. Здесь будут рассматриваться только двойные датчики, поскольку они обладают рядом преимуществ перед одинарными датчиками.

Рис. 1

При внесении датчика в измеряемое ЭП так, что вектор напряженности направлен вдоль координатной оси г, на каждом его ЧЭ индуцируются электрические заряды, соответственно равные (1]

е, =£1-S-Ecpl

Q2=e2S-E,

ц>2

(1) (2)

где е2-диэлектрическая проницаемость среды, окружающей датчик; Б - площадь ЧЭ; Е и Еср2-средние значения напряженности на поверхности ЧЭ 1 и 2 соответственно. Среднее значение напряженности, в отличие от заряда О, нормировано по отношению к радиусу проводящей сферы Я, параметру среды б2, в которой она находится и площади ЧЭ£

Среднее значение напряженности на поверхности ЧЭ определяется выражением [1 ]:

Еср

(3)

где £.- нормальная составляющая напряженности ЭП на поверхности сферы; dS = R2Sin в-de-dtp - элемент поверхности S; G и ф соответственно широтный и долготный углы сферической системы координат.

Нормальная составляющая напряженности ЭП на проводящей сфере зависит от многих факторов, но в первую очередь оно зависит от типа источника поля и степени его неоднородности.

К различным типам источников поля можно отнести; однородное ЭП свободного пространства; неоднородное ЭП точечного источника и однородное ЭП заряженной проводящей плоскости. Поле свободного пространства можно рассматривать как базовое, эталонное поле. Поля точечного и плоского источника можно рассматривать как граничные, наихудшие, сточки зрения погрешности, случаи для работы датчика.

Нормальные составляющие напряженности ЭП на проводящей изолированной сфере соответственно равны:

- для однородного поля [2]

Er = -3£0 cos в ; (4)

- для поля точечного источника [1 ]

а

- 2а cos в + а2)

Т-1

(5)

где Е0- напряженность исходного ЭП до внесения в него датчика;«! =Я/0 - величина обратная относительному рас-

стоянию от центра датчика до источника поля и характеризующая степень неоднородности поля или пространственный диапазон измерения (чем меньше а, тем больше неоднородность поля; при а-юо поле стремится к однородному); Я - радиус сферического корпуса датчика; О - расстояние от центра датчика до источника поля.

- для поля плоского источника [3] - из-за громоздкости выражения здесь не приводится.

При измерении дифференциальным датчиком с него снимается разность зарядов, индуцированных на диаметрально противоположных ЧЭ

Нетрудно показать, что в однородном ЭП

Е , = -Е , = Е

ср I ср! ср. одн. ■

(7)

Подставив (7) в выражение (6) получим выражение дифференциального заряда для датчика, находящегося в однородном поле:

Д&Л, =2

* ср.одн.'

(8)

В неоднородном поле Еср1 * Еср1, поэтому для такого

поля дифференциальный заряд датчика определится следующим образом

А&

(9)

где Е^ и Еи2н - средние напряженности на поверхности

~ср2н

ЧЭ 1 и 2 для датчика, находящегося в неоднородном поле.

Примем дифференциальный заряд (8) датчика, находящегося в однородном поле, как эталонный. Тогда погрешность датчика, находящегося в неоднородном поле, можно рассчитать как

_ Ag-i - Ag0 ДО

" ОДН.

Е - F

ср I н ср 2 н

2Ё \ ср одн

•100% =

100%

(10)

Выражение (10) для погрешности датчика от неоднородности поля позволяет проводить исследования по поведению электроиндукционных сферических датчиков в электрических полях различной неоднородности и оптимизировать геометрические размеры как датчика, так и его чувствительных электродов с точки зрения уменьшения погрешности от неоднородности ЭП.

2. Нахождение средних напряженностей

Для нахождения средней напряженности на поверхности ЧЭ рассмотрим датчик с одним ЧЭ в форме сферического прямоугольника ограниченного продольным углом раствора 2а0 и поперечным углом раствора 2ро находящийся в ЭП с напряженностью Е0 (рис.2). На рис.2а, б, в показан датчик в трех проекциях со сферическим прямоугольником, а на рис.2г пояснения к выводу границ интегрирования.

На рис.2 приняты следующие обозначения: а0 и ро - размеры сферического прямоугольника (при а0=Р0- сферический квадрат);

0 - текущая сферическая координата (широтный угол сферической системы координат);

аир- соответствующие ей углы, изменяющиеся вдоль осей декартовой системы координат от 0° (центра сферического прямоугольника) до а0 и Р0 соответственно;

ф0 - угловой параметр, устанавливающий границы изменения сферической координаты ф (долготный угол сферической системы координат) при текущем значении широтного угла 9 и определяемый размерами сферического прямоугольника.

f

AC AD AB AC AB

= OA ■ tg a ;

= OA ■ tg 6 -

= OA tg /3 ;

-AD -sin cp

= AD ■ Cos ю

(11)

ftga = tg6 ■ sin cp \tgP = tg в-cos <p Из выражений (12) имеем: tga

,8<p=w<

tg2e = tg2oc + tg2p .

Таким образом, если в выражении (15) положить р = ро, при изменении широтного угла в пределах 0 < ср й <р0, то текущий угол а будет изменяться в пределах 0 5 а < а0. Тогда подставив в выражение (14) выражение (15) с учетом равенства р = ро, получим

¡8Ра

- (16)

tg0 =

cos <р

Далее из выражения (13) находим:

tgP = tga ■ ctg(p . (17)

Если теперь в выражение (17) положить а = а0 при

it

изменении широтного угла в пределах (р0 < <р < , то текущий угол р будет изменяться в пределах 0< р < ро. Тогда подставив в выражение (14) выражение (17) с учетом равенства а = а0, получим

Рис. 2

Предположим, что расстояние с1 между электродом и сферой значительно меньше радиуса И сферы. Тогда можно считать, что электрод имеет потенциал сферы, а поверхность электрода является частью её поверхности.

Рассчитаем величину средней напряженности на ЧЭ в форме сферического прямоугольника от составляющей внешнего поля, нормальной к его поверхности Э согласно выражению (3). Для нахождения средней напряженности необходимо взять двойной интеграл от нормальной составляющей напряженности ЭП по широтному 0 и долготному углам ф.

Однако углы 9 и <р зависят от углов а0 и ро, ограничивающих сферический прямоугольник. Найдем эти зависимости.

Сферический прямоугольник (см. рис.26) вследствие его симметрии можно представить в виде четырех одинаковых частей. Следовательно, интегрирование можно вести по одной из этих частей, а результат интегрирования умножить на четыре.

Из рис.26,г можно составить следующую систему уравнений:

tg в =

tg а0

(18)

Sin (р

Таким образом, исходя из выражений (16) и (18), для участка кривой пт пределы интегрирования по долготному углу ф будут от 0 до ф0, а по широтному углу 0 - от 0 до

arc'g (• Для участка кривой mk пределы интегриро-

вания по долготному углу ф будут от ф0 до у , а по широт. Значение угла ф0 можно

выразить через размеры сферического прямоугольника а0 и ра, согласно выражению (13), следующим образом:

, ('8 а ={1Гр

(19)

После исключения из системы уравнений (11) неизвестных получим:

(12)

(13)

(14)

Из выражения (13) находим:

tga = tgp ■ tg<p . (15)

Поскольку граница интегрирования по четверти сферического прямоугольника является ломаной линией, состоящей из двух участков пт и тк, то верхняя граница интегрирования по широтному углу 9 будет различна для этих участков, и зависеть от диапазона изменения долготного углаф.

1 Зная пределы интегрирования для сферического прямоугольника можно производить расчеты:

- однокоординатных датчиков с электродами в форме сферического двуугольника (а0=90°, а 0 < Р0 < 90° ро или О < а0 < 90°, а Р0=9О°); в форме сферического прямоугольника (0 < а0 < 90° и 0 < р0 < 90°); в форме сферического квадрата (а0 = Р0 и 0 < а0 < 90°). Когда а0 = 90° и ро = 90° все эти формы электродов принимают форму полусферы;

- двухкоординатных датчиков с электродами в форме сферического двуугольника (а0=90°, а 0 < ро ^ 45° или 0 < а0 < 45°, а Р0=90°); в форме сферического прямоугольника (0 < а0<90°и0<ро <45°или0<а0£45°и0<Р0 <90°);вформе сферического квадрата (а0 = Р0 и 0 < а0 ^ 45°).

- трехкоординатных датчиков с электродами в форме сферического квадрата (а„ = Р0 и 0 < а0 2 45°).

Проведем проверку достоверности полученных пределов интегрирования на примерах расчета площади ЧЭ, выполненных в форме сферического двуугольника (четверть сферы а0=9О°, р0=45°), сферического квадрата (одна шестая сферы а0=Р0=45° и полусферы а0=Р0=9О°).

Для нахождения площади прямоугольника необходимо провести интегрирование по каждой из частей четверти сферического прямоугольника, ограниченных ломаными линиями пт и тк, сложить полученные выражения и полученную сумму умножить на четыре.

Таким образом, с учетом вышесказанного и найденных пределов интегрирования (16), (18) и (19) площадь сферического прямоугольника определится выражением

5 = 4 л

l'Sií

Р ^Мшв-de-d^

J

я (tga« 1 Ч\

Д jP'UncJsinfl -J0-

После проведения интегрирования (20) и некоторых математических преобразований площадь сферического прямоугольника будет определяться:

5=4

Л/1 + /£2а0+'£2Л>

(21)

Расчет площади по выражениям (20) и (21) с помощью универсальной системы математических расчетов МаИ1сас)-2001 для указанных выше сферических многоугольников показывает правильность найденных пределов интегрирования.

Воспользовавшись теперь уравнением (3) и подставив в него найденные пределы интегрирования (16), (18) и (19), найдем среднюю напряженность на поверхности сферического прямоугольника 1:

£.„ = 4/?; —

( 1б8»1

(22)

Если учесть, что датчик должен быть дифференциальным, что предполагает наличие второго, идентичного по размерам и расположению, но диаметрально противоположного прямоугольника, находящегося на одной координатной оси с первым, то необходимо представить выражение для средней напряженности на поверхности сферического прямоугольника 2:

£„., = 4Л-

.Г.ал

\[Ег]-зт в-ав-(1<р

(23)

Из выражений (22) и (23) видно, что ядрами подынтегральных функций является нормальная составляющая напряженности £. на проводящей сфере, которая определяется выражениями (4), (5) и выражением, приведенным в(3].

3. Расчет погрешности датчика от неоднородности поля

Расчета погрешности, вызванной неоднородностью поля, производится по выражению (10). В качестве базового, эталонного поля в этом выражении выбрано однородное ЭП. Среднюю напряженность на сферических прямоугольниках 1 и 2 в однородном поле найдем соответственно из выражений (22) и (23), ядром которых будет служить выражение (4). После проведения интегрирования и математических преобразований получим:

(зт Д) ■ агс!§ соэ Д) + + (бш а0)• агаг^Д,соьа0)

агсГ£ -

(24)

Составив систему, состоящую из уравнений (10), (22)-(24)

Л

р - р

2Е.„

■ 100%

£„, = 4Я!

I

' Л (

<

УлйОрг]'8"1 0чМ-<1Ч> +

да

| |дд0

\ 5|ГЦ0

,[£,.]-5Ш в (1в <1<р

р

с/)|.2одн. ~ 2

(вт ра) игс!§(1ёаасоир0) + + (бш аа) ■ агс^ (/^Д соз а0)

агс^

а)

5

из

б)

О 0.2 0.4 0.6

6=30°-- 9=45°

9 9 =60" =90°

1 ! г

1

1 I >

0.2 0.2 0,4 0.5 0.6 0.6

а)

ю

о

X

ч о о. о

X

ч о

о

X

а

ё-

о

с

(О

о с.

б)

р-

о

Рис. 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.0

о а 0.6

Рис. 4

и подставляя в нее выражения для Ег ЭП различной неоднородности, получим математическую модель погрешности датчика от неоднородности поля. Полученная математическая модель погрешности учитывает конструктивные размеры как датчика, так и его чувствительных электродов, а также пространственный диапазон измерения, характеризуемый параметром а.

По составленной математической модели с помощью универсальной системы математических расчетов МаШсас1-2СЮ1 проведено математическое моделирование погрешности датчика от неоднородности ЭП в зависимости от конструктивных размеров сферических прямоугольников а0 и ро, исполняющих роль ЧЭ, и пространственного диапазона измерения а, характеризующего степень неоднородности поля.

Результаты математического моделирования представлены в виде семейств графических зависимостей: на рис.3 приведены графики погрешности датчика от неоднородности ЭП с ЧЭ в форме сферического квадрата (а0=р0) для различных значений а0и полей точечного (рис.За) и плоского (рис.Зб) источников; на рис.4 для сравнения приведены графики погрешности датчика от неоднородности ЭП с ЧЭ в форме сферического сегмента для различных значений его углового размера 60=а0 (сферический сегмент вписан в сферический квадрат) и полей точечного (рис.4а) и плоского (рис.4б) источников [3].

Сравнительный анализ погрешностей от неоднородности ЭП по рис.3 и 4 дает основания сделать следующие выводы:

1) датчики с ЧЭ в форме сферического квадрата с предельными размерами а0, равными предельным размерам сферического сегмента 90 имеют меньшую погрешность при одном и том же пространственном диапазоне измерения а\

В. А. НИКОНЕНКО Ю. О. МАЛЫШЕВ Ю. В. ШЕВЕЛЕВ

ФГУП Омский опытный завод «Эталон»

УДК 691.317.39(91)

На современном уровне развития промышленности контроль температуры составляет значительную часть относительно других параметров контроля технологических процессов. Вследствие этого выпускается широкая номенклатура средств измерения температуры, большую часть которой составляют термоэлектрические преобразователи (термопары) хромель-алюмель, хромель-копель и термометры сопротивления ТСМ, ТСП.

Очевидно, что датчики в процессе эксплуатации нуждаются в периодической поверке. Согласно ГОСТ 8.338-78 термопары поверяются в рсновном в горизонтальных

2) погрешность датчика в поле плоского источника слабо зависит как от формы, так и от размеров ЧЭ датчика;

3) для датчиков с ЧЭ в форме сферического квадрата и сферического сегмента, имеющими одинаковую площадь, графики погрешности полностью совпадают. Равенство площадей сферических квадратов и сегментов наблюдается при выполнении условия 90=а0+3°.

4) оптимальные сточки зрения минимума погрешности и максимума пространственного диапазона измерения размеры ЧЭ датчика как в форме сферического квадрата, так и в форме сферического сегмента лежат в диапазоне 45о<ао=0о<9О°.

Литература

1. Бирюков C.B. Анализ работы электроиндукционных сферических датчиков напряженности электрического поля в полях различной неоднородности //"Магнитные и электрические измерения" : Межвуз. сб. тр. - Омск, 1983. - С. 3-5.

2. Бирюков C.B. Теория и практика построения электроиндукционных датчиков потенциала и напряженности электрического поля // Омский научный вестник. - 2000. -вып. 11.-С. 89-93.

3. Теоретические основы электротехники:Учебник для вузов в 3-х т. / Под. общ. ред. K.M. Поливанова. - Т.З. -М.: Энергия,1975. -208 с.

БИРЮКОВ Сергей Владимирович-кандидат технических наук, доцент кафедры информационно-измерительной техники.

ШИЛИКОВ Андрей Сергеевич - студент 4-го курса специальности «Информационно-измерительная техника и технологии»

трубчатых печах. Однако эти печи имеют существенные недостатки, такие как: *

- большой перепад температур в рабочей зоне (0,8°С/см),

- значительная абсолютная погрешность,

- большое расстояние от торца печи до изотермической зоны, что не позволяет проводить поверку датчиков малой длины,

- значительное влияние конвективного теплообмена качество поверки,

- большие времена выхода печей на температурный режим (для печи МТП-2М оно составляет 90 мин.).

СУХОБЛОЧНЫЙ ТЕРМОСТАТ ТС 600-1 ДЛЯ ПОВЕРКИ КОНТАКТНЫХ ДАТЧИКОВ ТЕМПЕРАТУРЫ В ДИАПАЗОНЕ ТЕМПЕРАТУР +50 +600 °С

В СТАТЬЕ ЗАТРОНУТЫ НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ПОВЕРКЕ КОНТАКТНЫХ ДАТЧИКОВ ТЕМПЕРАТУРЫ В ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПЕЧАХ И ЖИДКОСТНЫХ ТЕРМОСТАТАХ. ОПИСАНА КОНСТРУКЦИЯ СУХОБЛОЧНОГО ТЕРМОСТАТА ТС 600-1 ПРИВЕДЕНЫ МЕТОДИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЭТОГО ТЕРМОСТАТА, ПРИЕМЛЕМЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ТЕРМОСТАТОВ, СХОЖИХ ПО КОНСТРУКЦИИ С ТЕРМОСТАТОМ ТС 600-1. ОБОЗНАЧЕНА ПЕРСПЕКТИВА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СУХОБЛОЧНЫХ ТЕРМОСТАТОВ В КАЧЕСТВЕ СРЕДСТВ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ РЕПЕРНЫХ ТОЧЕК ТЕМПЕРАТУРНОЙ ШКАЛЫ МТШ-90.