Вывод уравнения векторного оптимального управления в задаче нелинейной оптимизации тепловых процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №7_

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 517.97

А.Керимбеков, Э.Сейдакмат кызы

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Кыргызско-Российский Славянский университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 24.04.2015 г.)

В статье исследованы вопросы однозначной разрешимости краевой задачи теплового процесса, описываемого вольтеррово интегро-дифференциальным уравнением в случае, когда управляющие параметры нелинейно входят как в уравнение, так и в граничное условие. Установлено, что векторное оптимальное управление находится как решение системы нелинейных интегральных уравнений и удовлетворяет дополнительным условиям в виде дифференциальных неравенств.

Ключевые слова: краевая задача - слабо обобщённое решение - функционал - принцип максимума.

1. Краевая задача управляемого процесса. Рассмотрим управляемый тепловой процесс v(t,x), (t,x)eQ = {0 <x < 1, 0 < t <T|, описываемый краевой задачей [1,2]

t

vt = VxX + X\k(t, r) v (r,x)dr + g(t,x) f [t, 3 (t)], (t,x) e Q, (1)

0

а на границе области Q удовлетворяет начальному условию

v(0,x) = ^(x), 0 < x < 1, (2)

и граничным условиям

v (t,0) = 0, Vx (t,1) + av(t,1)= p[t,u(t)], 0 < t < T, (3)

где K (t, r) - известная ограниченная функция, то есть

K = sup Ik (t,r)|,

(t ,r)eD

g(t,x)e H(Q), x)e H(0,1) - заданные функции; f [t,3(t)]e H(0,T) , p[t,u(t)]e H(0,T) - функции внешних источников, нелинейно зависящие от функции управления 3(t)e H (0, T) и u (t)e H (0, T) и по функциональным переменным 3(t), u (t) удовлетворяют условию

f [t, 3( t)] ф [t, u (t)] _ _

3 J] * 0, p [: W] * 0, Vt e[0, T]; (4)

S3 Su

Адрес для корреспонденции: Сейдакмат кызы Эркеаим. 720000, Кыргызская Республика, г.Бишкек, ул. Киевская, 44, Кыргызско-Российский Славянский университет. E-mail: [email protected]

X - параметр, постоянная а > 0 , Т - фиксированный момент времени; Н(У) - гильбертово пространство функций, определённых на множестве У .

Слабо обобщённым решением краевой задачи (1) - (3) называется функция у(',х) е Н(^), которая удовлетворяет интегральному тождеству [3]

к 1

и 0

\(уф)2 дх = л (ф + фх*)у(',х) + 1 х|К(',г)у(г,х)дг + g(',х)/[',£(')] х)

дхд' +

'2.

{[р [ ', и С'Л)-у( (Фх(',1) + аф(',1)) + у(',0) Фх( ',0) ]

'1

при любых ' и '2 (0 < ^ < ' < '2 < Т) и для любой функции ф(', х) е С12(@) , а начальному и граничным условиям в слабом смысле, то есть

1 i нш | у(0, х )ф (х) дх = | х )ф0 (х ) дх,

о

I I

Иш | (у (',1) + а у (',1)) ф (') Ж = | р [', и (')] ф (') Л,

х^-1-0

0

для любых функций ф (х) е Н(0,1) и ф (') е Н (0, Т), где Си(0) - пространство функций, имеющих производную первого порядка по переменной ' и второго порядка по переменной х . Это решение ищем в виде

ад

у(х ) = 2у» (') ^ (х) ,

П=1

где

1

уп (') =< у(', х) (х) >= |у (', х) (х) дх

0

- коэффициенты Фурье, а (х) определяется как решение краевой задачи [4]

х) + А^ (х) = 0, ¿'(0) = 0, г'(1) + аг (1) = 0.

Собственные значения X находятся как решения трансцендентного уравнения XtgX = а и удовлетворяют условиям

А <А,+1, Уп = 1,2,3,..., ПшАп и (п- \)п<Ап <-(2и-1),

а соответствующие собственные функции краевой задачи имеют вид

0

2 (Л; + а;)

(х)^л;+Д2соЛ, п=,

и образует полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве Н (0,1) .

Коэффициенты Фурье при каждом фиксированном п = 1,2,3,... определяются как решение линейного интегрального уравнения

I

(г) = Л{ К; (г,5)уп (5)С5 + Ъп (г)

г

Кп (X, 5) = } К (г, 5) dт,

5

Ъп (X) = е-лЛг¥п +1 (г-г) ^п (г) / [г,3(г)] + ^ (1) р [г, и (г)]) dг

0

и находятся по формуле [5]

г

уп (г) = Л | Яп (г, 5, Л) Ъп (5) d5 + Ъ (г), (5)

где

ад

Яп (г, 5, Л) = (г, 5), п = 1,2,3,.,

I=1

- резольвента ядра Ки (г> 5) = Ки1 (г> 5) , а повторные ядра КиI (г, 5) определяются по формуле [5]

г

К++!(г,5) = | Кп(г,К,(ъ,5)Г = 1,2,3,.,

5

при каждом фиксированном п = 1,2,3,____

Резольвента Я (г, 5, Л), как сумма абсолютно сходящегося ряда, является непрерывной функцией.

2. Постановки задачи оптимизации и уравнение оптимального управления. Рассмотрим задачу оптимизации, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал

1 т

3[5(г),и(г)] = |[у(т,х)-£(х)];сЫ + р\(&2(г) + и2(г))^, р>0, (6)

о о

где £ (х) е Н (0,1) - заданная функция, на множестве решений краевой задачи (1)-(3), то есть нужно найти такие управления 3° (г) е Н (0, Т) и и0 (г) е Н (0, Т), которые вместе с соответствующим им

0

0

решением у0 (', х) краевой задачи (1)-(3) доставляют наименьшее возможное значение функционалу (6). При этом (') и и0 (') называется оптимальными управлениями, а у0 (', х) - оптимальным процессом.

Поскольку в силу условия (4) каждое векторное управление (3° ('), и0 (')) единственным образом определяет управляемый процесс у(', х), то управлениям 3(^ ) + Д3(^) и и (' ) + Ди (') соответствует решение краевой задачи (1)-(3) вида у(',х) +Ду(',х), где Ду(',х) - приращение, соответствующее приращениям Д3(') и Ди ('). Согласно методике вывода принципа максимума [4], приращение функционала (6) можно представить в виде

Д/[3, и] = / [3 + Д3, и + Ди] - / [3, и] =

Т 1

= ДП [', у (', х), с (', х) ,3 ('), и (')] л +1Д у2 (Т, х)Жх,

0 0

где

ДП[',у(',х ) ,с(', х ) ,3('), и (')] = = П[',у(', х ), с (', х ) ,3(') +Д3('), и (') +Ди (')]-П[',у(', х ) ,с(', х ) ,3('), и (')],

П[',у(',х ) ,с(', х ) ,3('), и (' )] =

1

= I g (', х )с (', х) дх/ [', 3 (')] + с (', 1) р [', и (')] - рЗ (32 (') + и2 (')),

0

функция с (', х) определяется как решение сопряженной краевой задачи

Т

с + с+х| К (т,' )с(т, х) дт = 0, 0 < х < 1, 0 <' < Т,

с(Т,х) + 2[у(Т,х)-£(х)] = 0, 0 < х < 1, с(',0) = 0, сх (',1) + ас (',1) = 0, 0 <' < Т, (7)

и имеет вид

ад ( Т \

с(',х) = -2]Г[ А|^^ (*,',А)[уп (Т)-£]еАТ-^ + [уп (Т)-£]е"*^ к (х) , (8)

п=2 V ' у

где уп (Т) определяется по формуле

V

(Т) = л] Яп (т, 5, Л) Ъп (5)С5 + Ъп (т).

(9)

Согласно принципу максимума, для систем с распределенными параметрами [1], условия оптимальности векторного управления определяются соотношениями

;рз( г) 3 [ г,3(г )] = ] g (г, х )^(г, х) Сх;

0

;ри (г) р-1 [г, и (г)] = ®(г,1),

(10)

Пзз[-,3(г), и (г )]< 0.

Пзз[-,3(г),и(г)] Пзи[-,3(г),и(г)]

ПИз[-,3(г), и (/)] ПИИ [•,$(г), и (/)]

> 0.

(11)

то есть векторное оптимальное управление |30 (г), и0 (г)| находим согласно условиям оптимальности (10) и (11). Решение сопряженной краевой задачи (7), определяемое равенствами (8) и (9), подставим в (10). Сначала вычислим интеграл

1 1 ад ад ад

|g(г,х)ю(г,х)Сх = gn (г)гп (х)£ак (г)(х)Лх gn (г(г)

О п=!

и равенство (10) перепишем в виде

ад / т

Р3(г)3[г,3(г)] = -£gn(г)[уя(т)-£,]| л]Ьп(5,г,Л)(т+ е

Л (т-г)

Ри(г)р-1 [г,и(г)] = -£Zn (1)[^, (т)-£,]| Л]4 (5,г,Л)(т+ е

-лЛ (т-г)

и учитывая (5), приводим их к виду

Р

Оп (г, Л) ] ^ (г,Л)( gn (г), гп (1))

^п (г Г

'/ [г,3(г)1 р [ги (г)]

Лг =

п=1

= Е ^ (г, Л)К,

V гп «,

(12)

где

Кп =£п -¥„ е~Л +Л\Яп (т, 5, Л) е-ЛС5 - ] Бя (г, Л) ^ (г) Сг;

0

<

п=1

ад

п=1

0

ад

sn (t*) =

( T \

,-* (T-t

*Rn (T, s*) е*(s-t)ds

Gn (t*) = е-**(T-t) + * Jn (s, t*) e(T-s)ds

\

Таким образом, оптимальное управление определяется как решение системы нелинейных интегральных уравнений (12) и при этом должно выполняться условие (11).

Поступило 24.04.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Владимиров В.С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. - Тр. МИАН, 1961, т.61, с.3-158.

2. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1982, 304 с.

3. Плотников В.И. Энергетическое неравенство и свойство переопределенности системы собственных функции. - Изв. АН СССР, сер.мат., 1968, т.32, №4, с.743-755.

4. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. - М.: Наука, 1978, 500 с.

5. Краснов М.В. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1975, 303 с.

А.Керимбеков, Э.Сейдакмат кизи

ИСБОТИИ МУОДИЛАИ ИДОРАКУНИИ ОПТИМАЛИИ ВЕКТОРЙ ДАР МАСЪАЛАИ ОПТИМИЗАТСИЯИ ГАЙРИХАТИИ ПРОЦЕСС^ОИ

ГАРМИГУЗАРОНЙ

Донишго^и Киргизистону Русия (Славянии)

Дар макола масъалах,ои хдлшавандагии яккиматаи масъалаи канории гармигузаронй омухта шудаанд, ки тавассути муодилаи интегродифференсиалии Вольтера дар х,олатх,ои гайрихатти шомил будани параметра ба муодила ва шарти канорй тасвир карда мешаванд. Исбот карда шудааст, ки идоракунии оптималии векторй хдмчун х,алли системаи муодилах,ои интегралии гайрихаттй ёфта мешавад ва он шартх,ои иловагиро дар намуди нобаробарих,ои дифференсиалй каноат мекунад.

Калима^ои калиди: масъалаи канорй - уалли умумикардашудаи суст - функсионал - принсипи максимум.

A.Kerimbekov, E.Seidakmat kizi DERIVATION OF EQUATIONS OF VECTOR OF THE OPTIMAL-CONTROL IN THE PROBLEM OF NONLINEAR OPTIMIZATION OF THERMAL PROCESSES

Russian-Kyrgyz (Slavonic) University In the paper, we investigated the questions of unique solvability of the boundary value problem of the thermal processes described by Volterra integro-differential equations when the control parameters are nonlinearly included into the equation as well as into the boundary condition. It is established that vector optimal control is defined as the solution of the system of nonlinear integral equations and satisfy the additional condition in the form of the system of inequalities.

Key words: boundary problem - weak generalize solution - functional - the maximum principle.