Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №2_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517. 918

С.А.Исхоков, М.Ш.Ганиев

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 03.01.2011г.)

Статья посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

Ди+= *= xl,x2,...,xn eR„ : хп> 0 .

Ключевые слова: задача Дирихле - нелинейное дифференциальное уравнение - граничное условие -обобщенное решение - интегральное неравенство.

В работе изучается однозначная разрешимость задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

R'n = X— xl,x2,..., Хп = (х\Хп ) 6 Rn : хп > 0 со степенным вырождением на гиперплоскости хп = 0 и при хп —> оо . Используется метод, основанный на элементах теории пространств дифференцируемых функций многих переменных (теоремы вложения, теоремы о следах и т.д.), и поэтому предварительно вводятся соответствующие функциональные пространства и доказываются вспомогательные интегральные неравенства, которые являются аналогами теорем вложения разных метрик.

Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями ранее изучалась в работах С.А.Исхокова [1, 2] для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений с нестепенным вырождением в произвольной (ограниченной или неограниченной) области n -мерного евклидова пространства . Случай полупространства рассматривался в работе авторов [3]. В отличие от этой работы здесь применяются теоремы вложения разных метрик и рассматриваются неоднородные граничные условия общего вида.

Пусть функция (Tie С" i?j+ такая, что 0 < сг t <1 для всех / 6 1 / 2; 1 и (7 t = 0, когда t > 1, сг t =1 для любого / € 0, 1 / 2 . Для любых двух вещественных чисел Of, Р определим функцию

<ра р t = (7 t Га + 1 - СГ t tp, t> 0 .

Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

Пусть р е 1;со и г - некоторое целое неотрицательное число. Определим следующие весовые классы вещественных функций, заданных в полупространстве К :

Тг 7?+ —

p;a,ß п

и:

щП Й R+

’ р\а,р п

-£i

Ф о X

та,р п

\к\=г і

к

U X

K.a.ß, Rn = u х :

К

pdx < +Go

К

< +00 .

Если D - некоторое весовое пространство функций на R~, то через D обозначим пополнение класса C“ R* в метрике пространства D .

Теорема 1. Пусть выполнены условия — а + — <£ 1,2,..., г ; ß + — <£ 1,2,..., г ,

Р Р

ß — r>y. Пусть также —г + —<а<——, r + — >ß, r-ß + —<s0, ß — r>y,

PPP' P'

7 + 5o<J_, у + 5()ф—где p' = pf p — 1 и s0 - целое число, удовлетворяющее неравенствам Р’’ р’

r + a-\/p<s0 <г + а — — +1.

Р

(1)

Тогда для всех функций и єЬгр.а ß Rn справедливо неравенство

а,у Хп \U Х \ «

х

а,у п

\k\=r і

к

и X

рсЬс.

Доказательство этой теоремы основано на применении результатов работы А.Куфнера, Г.П.Хейнига [4] и П.И.Лизоркина [5].

Следствие 1. В условиях теоремы 1 полунорма в Пр.а ^ К+п эквивалентна на функциях

о

иешгМгя: норме в ж;.аЛг д; .

Теорема 2. Пусть целое число 5 є[1,г-1] и пусть

11 1

а0-а<г-8Л--------, а0 <—,l<p<q0<<x,

% Р %

>Г-5 + —- —, Д,+Г-5- 1<- —.

Чо Р Чо

Тогда для всех функций и є W rp.а ß у R* справедливо неравенство

v

Р

Р

V

0

о

р

м,^?о;йоА

«

Доказательство этой теоремы основано на применении следующих двух лемм, которые в свою очередь доказываются с помощью неравенства Харди.

Лемма 1. Пусть целое число т є [1,г-1] и числа р, д, ¡ит, Я удовлетворяют условиям

^ 111 , ^

Л</лт+т +------,----</лт, 1</7<д<оо.

Ч Р Ч

Тогда для любой функции м> X , определенной в области 01 = х е IV , 0 < хп < 1 и удовлетворяющей условиям

= 0, г-т < \к\ < г -1,

х.=1

справедливо неравенство

\w-L-l О, \\«\Ы,ПрЛ О,

Лемма 2. Пусть целое число т є [1,г-1] и числа р, с/, //;ц, Я удовлетворяют условиям

1 / 11 і1

-----, цт+т-\<—.

Ч Р Ч

Тогда для любой функции V X , определенной при х є Я*\0.у2 и удовлетворяющей условиям

к

V X

Хи=0,5

справедливо неравенство

«

ъГРгЛ к\п1/2

Обозначим через С” Нп множество бесконечно дифференцируемых функций, финитных сверху, то есть обращающихся в нуль при больших значениях хп . Если В - некоторое нормированное пространство на IV, то через В обозначим замыкание множества С“ И'п в метрике пространства В.

Теорема 3. Пусть 1 < р < д0 < оо, и целое число 5 такое, что 1 < 5 < г -1. Пусть выполнены

условия

а0-а<г-$-\------, а0 <—,

і__1 Чо Р 1 1

_1_

Чо

1

Р0=Р~г + я-1—, /Зл—і 1,2,...,г-5 .

Чо Р Р

Тогда для всех функций справедливо неравенство

и^Чо-ао,0о Кп

«

«■,к,аЛг К

Доказательство основано на применении следующей леммы

Лемма 3. Пусть 1 < р < q < со, целое число т є [1, г —1] и вещественное число X такое, что

1

Хл— £ 1,2,..., т . Тогда для любой функции V х є П л К+ \ □1,2 , удовлетворяющей условиям

р р’ "

к

V X

= V X

справедливо неравенство

где /лт= 1 - /и - 1/д +1/р .

Далее рассмотрим однозначную разрешимость вариационной задачи Дирихле в Л* с неоднородными граничными условиями. Сначала рассмотрим вариационную задачу с неоднородным граничным условием общего вида.

Задача Х>. Для заданного функционала /' е 1УГ р у К* и заданной функций ¥ х е IV гр.а р требуется найти обобщенное решение I] 4(^уравнения

ак х

к

и X

А-2 * (к)

и х = хєТГ

(2)

принадлежащее пространству 1¥ гр а р у IV и удовлетворяющее условию

и х -ч> х є/г:_; и; .

(3)

Замечание 2. Условие (3) означает, что функция и X имеет одни и те же следы, что и

функция I на гиперплоскости хп = 0 и при хп —» оо .

Напомним, что функция и X называется обобщенным решением уравнения (2), если она удовлетворяет тождеству

ак х

и* х

Рк~2и(к) х ук х

сіх = < >.

для всех ухе С” Е* .

о

К

Далее для удобства записи для заданной функции 'Р х е УУ '1У1/ , Ип символом \¥,у

обозначим множество всех функций и^гр.ару Я„+ , удовлетворяющих условию (3).

Разрешимость задачи В изучается при следующих ограничениях на коэффициенты ак X уравнения (2):

I) Рк = Р ^ 2 ПРИ Н = °> Н — Г и существуют положительные числа сх, с2 такие, что

<\<Ра,г Хп ^ак Х <С2<Р«,у *п При |Л:| = 0,

с1<Ра,рхп ^ак х ^Сг<РРа,рХп хеК+п при |А:| = Г;

II) 2 < р < рк < оо при 1 < |Аг| < г — 1 и существуют положительные числа с3, с4 такие, что

с?Ф р* „ х < а, х < слр р* д х

3 / сс^, /?£ п к 4 / 6)^^, [З-^ п

х є ІС

где

і,і 1 1 Л Л і,і 1 1

ак<г + а-\к\ +---------, рк<р-г + \к\-------+ —

Рк Р Рк Р

Теорема 4. Пусть выполнены условия I), II) и пусть

а,

<—, Рк<- — -г + \к\ + \

Р,

Рк

для всех мультииндексов к, удовлетворяющих условию 1 <А: < г — 1. Тогда для любого заданного функционала Р е УУ ’\.а » у и любой заданной функции *-Р х е ’' в существует

р\а,р,у п

единственная функция V X из класса И'п такая, что

шГФ и =Ф и =Е и -<^,£/>.

(4)

где инфимум берется по всем и е Кп .

Теорема 5. В условиях теоремы 4 решение и X вариационной задачи (4) будет единственным решением задачи В и удовлетворяет следующую оценку

ЦШГ /Г

и Р\а,р,у Ли

« £ \и,К.лг к

Рк-1

Ч/1¥г Н+

1 р-,а,р,у “я

рг- жг К+

1 ’ гу р-а,р, у ■'Ъг

'Р- Жг К+

1 Р\а,р,у А\і

Более того, если рк< р + \ при 1<|А;|<Г —1, то решение II X задачи И удовлетворяет

оценку

«

V- IV

1 ■> УУ р\а,р,у

+

где У0 =шах р,р/(р + 1-рк) , если

Ч/ Шг 7?+

т 5 уу р\а,Р,у “я

>1,

У О =Р

(6)

если

VI/. Шг Р+

ууР\а,р,у

<1.

Далее рассмотрим случай задачи О , когда решение дифференциального уравнения (2) удовлетворяет неоднородным граничным условиям на гиперплоскости хп = 0 и однородным условиям

при хп ->• . Решение в этом случае ищется в пространстве й

о+

р\а,(5,у п

Задача . Для заданного функционала /' е IV гра р у Я*

и заданной функции

¥ х й„+ требуется найти обобщенное решение II X уравнения (2), принадлежащее

классу ТУр.а р IV и удовлетворяющее условию (3).

Замечание 3. Условие (3) в этом случае означает, что функция и X имеет одни и те же следы на гиперплоскости хп = 0, что и функция 4^ х .

Теорема 6. Пусть выполнены все условия теоремы 5, кроме условия (> < 1/р'. Пусть также

и любой заданной функции Т х е IV гр.а р существует единственная функция V X из класса IV ,

которая является решением вариационной задачи (4) и задачи О1 и для нее справедливы неравенства

(5) и (6), в которых норма

Р +1/р 1,2,..., г . Тогда для любого заданного функционала I' е IV гр.а р у

р- Ш г Я+

1 ’ уу р-,а,р,у “и

заменена нормой

р- Ш г К+

1 ’ уу р,а,р,у “и

Далее рассмотрим более конкретный случай задачи О1, когда граничные условия на гиперплоскости хп — 0 вписываются в явном виде. Справедлива следующая лемма

Лемма 4. Пусть 1 < р < оо, — г + —< а <—. Тогда для любого набора функций

Р Р

-гъГ + ОС-—- І Т-Х . ^ Л Л

V, єВР ' Кп_г ,7=0, 1,..., 50-1,

(7)

^ в; ^ - классы Бесова функций, определенных на Кп_г, 50 - целое число удовлетворяющее

неравенствам (1), существует функция 'Р е Ер._а IV такая, что:

'Р х = 0 на \ 0,у 2;

д]х¥ х

д х:

= ¥, х' ,7 = °, 1,-, ¿о -1;

ч^-« К Д,_,

(8)

Доказательство следует из результатов параграфа 2.9.2 монографии Х.Трибеля [6].

Задача /)2. Для заданного функционала Р е Ж гр.а р у Я* и заданного набора граничных

функций (7) требуется найти обобщенное решение и X уравнения (2), принадлежащее пространству Жр.а р у Я+п и удовлетворяющее граничнъш условиям

д]и х ,

= ц/1 X , 7 = 0, 1,..., э0-1.

д х:

Теорема 7. Пусть выполнены все условия теоремы б и пусть числа ос,Р,у удовлетворяют условиям

-г + —<а<——, г + — >/3, г -/3+ \/р’<я0,

Р Р Р'

у + *0<\/р', у + 80Ф-\/р, /3+— £ 1,2,...,г .

р

Тогда для любого заданного функционала Р е IV гр.а р Я„ и любого заданного набора граничных функций (7) существует единственное решение и X задачи и для него имеют места оценки (5)

и (6), в которых норма

р- IV г Я+

1 ’ ’’ р\а,р,у “и

заменена нормой

р- ш г Я+

1 ’ ’’ р-,а,р,у “и

, и

¥ х

функция из леммы 4, которая определяется граничными функциями (7).

Далее заметим, что применение неравенства (8) позволяет улучшить оценки (5) и (6) для решения и X задачи £)2. Например, если рк < р +1 при 1 < Щ < г -1 и

■5(1-1

ИЬ.-вГ""'"1"’ Д-.

то решение и X задачи удовлетворяет оценку

<1,

тт-шг Я+

^ ’уг Р\а,р,у “я

«

р- шг я+

■> Р\а,р,у я

Р' Г"»“1 и

+ Е Л„-,

Ь=0

Поступило 03.01.2011 г.

х„=0

х„=0

ЛИТЕРАТУРА

1. Исхоков С.А. - Доклады РАН, 2005, т. 405, № 1, с. 22-25.

2. Исхоков С.А. - Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № 2, с. 232-245.

3. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. - ДАН РТ, 2009, т. 52, № 4, с. 255-260.

4. Куфнер А., Хейниг Г.П. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР,

1990, т. 192, с. 105 -113.

5. Лизоркин П.И. - ДАН СССР, 1978, т.239, № 4, с. 789-792.

6. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980-664 с.

С.А.Исх,оков, М.Ш.Раниев МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БО ШАРТХОИ САРХАДИИ ГАЙРИЯКЦИНСА БАРОИ МУОДИЛАХОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ГАЙРИХАТТЙ ДАР НИМФАЗО

Институти математекаи Академия илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Макола ба тадкик намудани хдлшавандагии яккдмматаи масъалаи вариатсионии Дирихле бо шартхои гайрияк^инсаи сархадй барои муодилахои дифференсиалии гайрихаттй дар

нимфазои = х= xl,x2,...,xn е Rn : хп > 0 бахшида шудааст. Дар кисми аввали м а кол а

фазохои функсионалии мувофик бо вазнхои дарачагй муайян карда шуда, нобаробарихои инте-гралии ёрирасон исбот карда шудаанд. Масъалаи Дирихле бо шартхои сархадии умумии гайриякчинса ва масъалаи Дирихле бо шартхои iайриякчииса дар гиперхдмвории хп = 0 дида баромада шудаанд.

Калима^ои калиди: масъалаи Дирихле - муодилаи дифференсиалии гайрихаттй - шарти саруадй -уалли умумикардашуда - нобаробарии интегралй.

S.A.Iskhokov, M.Sh.Ganiev VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM WITH NONHOMOGENEOUS BOUNDARY CONDITIONS FOR NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN A HALF-SPACE

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

The article is devoted to investigation of unique solvability of variational Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions for nonlinear differential equations in a half-space

R* — x — x1,x2,..., xn e Rn : xn > 0 . Associated functional spaces with power wights are defined in the first part of the article and auxiliary integral inequalities are proved. Dirichlet problem with common boundary conditions and Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions on hyperplane xn = 0 are considered.

Key words: Dirichlet problem - nonlinear differential equation - boundary condition - generalized solution - integral inequality.