О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2009, том 52, №4______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.918

С.А.Исхоков, М.Ш.Ганиев О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 20.01.2009 г.)

Метод исследования разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, основанный на теории вложения весовых пространств дифференцируемых функций, хорошо разработан в работах С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, Л.Д.Кудрявцева,

Н.В.Мирошина, Х.Трибеля и др. (см. [1-5] и имеющуюся там библиографию). Такой метод в случае нелинейных вырождающихся дифференциальных уравнений применен лишь в отдельных работах (см., например, [6-9]).

В данной работе мы изучаем разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

/£= х: х= х1,х2,...,хп = х\хп еД,,*я>0 .

Пусть функция <р г еС" такая, что 0 <(р / <1 для всех /е 1/2; 1 : (р / =0

для всех ¿>1 и (р ^ =1 для всех ^ е 0,Х • Для любых двух вещественных чисел а,Р определим функцию

(Уар^=(р1Га + \-cpt ^, г > 0.

Пусть р е [1, + оо), г - натуральное и а, ¡5 - вещественные числа. Символом ^Р-а /■: К обозначим пространство вещественнозначных функций их х е Н~ ,

имеющих в всевозможные обобщённые производные ик х порядка г с конечной полу-

нормой

к

°а,Р Хп

к

и X

сЬс

ур

а символом УУграр Я* - пространство вещественнозначных функций и х

конечной нормой

Ka.fi К

К

+

аа,р-г хп \и х | ^

Ур

Я

Пространство 1УГ р является банаховым и ранее было изучено в работе [10]. В

частности, из результатов этой работы следует:

Теорема 1. Пусть

-а + —е 1,2,..., г , /? + — і 1,2,..., г .

Р Р

Тогда для любого целого числа т такого, что 0 < т < г, справедливо неравенство

(1)

Г > Ур

£ і х- і и X р (ІХ > <м К

\¥т к

(2)

\/и ес” я; ,

где число М >0 не зависит от и х .

Пусть р> 2 и г - натуральное число. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение

1-і

№

ак х

к

и X

р-2

(к)

их - Р(х) , X Є .

(3)

В случае р = 2 уравнение (3) превращается в линейное уравнение, которое ранее изучалось в работе [10]. Поэтому более интересным является случай р > 2 .

Функция и х называется обобщенным решением уравнения (3), если она удовлетворяет тождеству

ак х

ик х

р-2 _

Т Т(к) к

и х V х

сЬс= < V >.

для всех V х е С" . Здесь и далее < 7% V > обозначает значение функционала Т7 на функцию у(х), если же ^ - обычная функция, то < 7% V > - скалярное произведение функций /'(х) и \’(х) в пространстве Ь2 К'п .

Относительно коэффициентов ак х (|А;| < г) уравнения (3) предполагается, что они являются вещественнозначными функциями и удовлетворяют условиям

\к\=г Р ^ ^ Ы=г Р

С1 °а,Р Х Хп ^ак Х ^2 °а,р хп Хп

<г,хєіС

(4)

где положительные числа ех, с2 не зависят от х.

К

Применение вариационного метода для исследования разрешимости уравнения (3) требует минимизировать функционал

Ей-

4М

ак х

к

и X

<±х.

(5)

С помощью неравенства (2) доказывается, что при выполнении условий (1), (5) функ-

0 о

ционал (6) конечен для всех II х й* , где Ж г р обозначает замыкания мно-

жества С" К~ в метрике пространства Жгр.а р К~ .

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), (5). Тогда для любого заданного функциона-

*

ла I' е К-а/з К существует единственная функция и х еЖр.а ^ К+п такая, что

тГ Фи = Ф и = Е II —<Р,и>,

где т/тит берется по всем и х е!¥ г р .

Рассмотрим следующую обобщенную задачу.

Задача /)п. Для заданного функционала /■' е

Ґ О Шг 7?+

" р\а,р “я

требуется найти обоб-

щенное решение и (х) уравнения (3), принадлежащее пространству Ж г р К* .

Теорема 3. Пусть выполнены условия (1),(5). Тогда для любого заданного функционала

Е^

\

функция и х из теоремы 2 является единственным решением задачи В0

и при этом выполняется оценка

( 0 ^ *

ТГ'Шг Я+ и’ггр-а,р ІА £ Р- жг я+ " Р\а,р “я

V У

где число М > 0 не зависит от функционала Е.

Обозначим через С" множество бесконечно дифференцируемых функций, но-

сители которых ограничены сверху, то есть функции, которые обращаются в нуль при больших значениях хп, а через Жр.а /;у /Г - замыкание множества С" в метрике пространства к .

Пусть число а удовлетворяет условию

п

О

0

*

1 1

-г л— < а < —

(6)

и целое число 50 такое, что

1

1

г + а------<5„ <г + а +1---------

Тогда из результатов работы [11] следует равенство

шг К+ =

" р,а,Р п

и х : и^ж;.арл Гп ,

д°и X

дх

= 0, 5 = 0, 1, 5П -1

х„=0

Следовательно, в этом случае задачу Д можно сформулировать в следующем виде

Задача О'0. Для заданного функционала /■' <

Ґ 0 Жг

73 +

р\а,р п

V У

требуется найти обобщен-

ное решение и х уравнения (3), принадлежащее классу Жр.а р и удовлетворяющее

граничным условиям

д*и х

дх'

= 0, 5 = 0, 1,..., 50-1.

(7)

Далее мы рассмотрим разрешимость вариационной задачи с неоднородными граничными условиями вида (7).

Задача Б. Для заданного функционала /■' < ных функций

( 0 Л

жг я+

" Р\а,р ^п

V У

и заданного набора гранич-

(Р]еВг;а-^ Яп_х , 7 = 0, 1,..., 50-1, где Вур Мп , означает классы Бесова функций, определенных на Ип_], требуется найти обобщенное решение и х е Жр.а р Я* нелинейного уравнения (3), удовлетворяющее граничным условиям

д]и х

дх:

= <Рі х’ , j = 0, 1,..., ¿о“1-

Для изучения разрешимости неоднородной задачи Д на рост коэффициентов ак х вблизи гиперплоскости хп - 0 налагается более сильное ограничение, чем в условии (5). А именно, предполагается выполнение следующего условия

0

х.. =0

п

х„=0

с, а „ х„ <а, х <с, о „ м х„

3 а,р-г+\к\ п к 4 а,/3-г+\к\ п

Щ<г,хе% (8)

Теорема 4. Пусть р > 2 и выполнены условия (1), (6), (8). Тогда для любого заданного

функционала F<

А о

" р\а,Р Ли

и любого заданного набора граничных функций (9) сущест-

вует единственное решение и х задачи Б и выполняется следующая оценка

U'Wr R+

^р.а.Р Jvn

<м

F:

( о

Wr R+

VV р;а,р JVn

Y ч ( So“1

+ I ■пг+a-j <Р,,ВГ

) II О

где q = pt р-1 и число М > О не зависит от F и (р

3 >■=! '

Я.

Институт математики АН Республики Таджикистан, Поступило 20.01.2009 г.

Н«

Курган-Тюбинский государственный университет им. Н.Хусрава

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. - Известия вузов. Математика, 1988, №8, с.4-30.

2. Кудрявцев Л.Д. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 1959, т. 55, с. 1-182.

3. Мирошин Н.В. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 1992, т. 194, с. 179-195.

4. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.: Мир 1980, 511 с.

5. Салманов Ю.Д. - Математические заметки, 1998, т. 63, № 6, с.882-890.

6. Салманов Ю.Д. - Дифференциальные уравнения,1998, т. 35, № 12, с. 1677-1683.

7. Исхоков С.А. - Доклады РАН, 2005, т.405, №1, с.22-25.

8. Бойматов, К.Х. Исхоков С.А. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 1997, т 214, с.107-134.

9. Benci.V. Fortunate Д. - Ann. Mt. pure et appl, 1979, № 121, с.319-336.

10. Исхоков С.А. - Дифференциальное уравнения., 1995, т. 31, с.641-653.

11. Лизоркин П.И. - ДАН СССР, 1978, т. 239, №4, с. 789-792.

р

5л-1

О

С.А.Исхоков, М.Ш.Ганиев ОИДИ ХДЛШАВАНДАГИИ МАСЪАЛАИ ВАРИАСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ЯК СИНФИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНЦИАЛИИ ГАЙРИХАТТЙ ДАР НИМФАЗО

Дар мак;ола хдлшавандагии масъалаи вариационии Дирихле барои як синфи муодилах,ои дифференсиалии гайрихаттй дар нимфазои

K= X= Vl ,-,*n ^Rn,Xn>°

OMÿxTa mygaaer. Кoэ$$цнeнтx,oн MyogH^aH g,H$$epeHCHa.raH OMÿxTamyga x,aHroMH 3c„->0ëïB-> +oo 6o Tap3H gapanarn TaHa33yn MeëôaHg.

S.A.Iskhokov, M.Sh.Ganiev ON SOLVABILITY OF THE DIRICHLET VARIATIONAL PROBLEM FOR A CLASS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN A HALF-SPACE

The article is devoted to the solvability of the Dirichlet variational problem for a class of nonlinear differential equation in a half-space

R+n= x= eRn, xn>0

Coefficients of the considered differential equations degenerate as a power functional when xn -> 0 or Xn +CO .