CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №7_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.918
И.А.Якушев
О ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА НЕОГРАНИЧЕННОМ
МНОГООБРАЗИИ
Политехнический институт (филиал) Северо-Восточного федерального университета им. М.К.Аммосова в г.Мирном, Россия, Республика Саха (Якутия)
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 05.07.2012 г.)
В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородным граничным условием для эллиптических операторов высокого порядка, вырождающихся на неограниченном многообразии, удовлетворяющем условию конуса. Исследование основано на применении аналога неравенства Гординга для эллиптических операторов с вырождением.
Ключевые слова: вариационная задача Дирихле - эллиптический оператор - степенное вырождение - неограниченное многообразие.
1. Разрешимость вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов более подробно исследована в случае, когда оператор задан в ограниченной области О п -мерного евклидова пространства Дп с (п — 1)-мерной границей дС1 и имеет степенное вырождение на всей границе дП (см., например, [1-3] и имеющуюся там библиографию). В отличие от этого существуют лишь отдельные работы (см., например, [4-6]), посвященные случаю эллиптических операторов, вырождающихся на многообразиях размерности меньше п-1.
Настоящая работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для эллиптических операторов, заданных в дополнение неограниченного многообразия размерности те [1, п — 1] и имеющие степенное вырождение на этом многообразии. Исследование основано на аналоге неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических операторов высокого порядка.
2. Пусть а,]г — конечные положительные числа и т— натуральное число меньше п. Определим следующие множества в п-мерном евклидовом пространстве Ип:
с (pi) _
— о»*.....
■ i=m+1
п-1
Kh = х:х = (х1,х2, —,хп) е Rn; 0 < Xyi ^ п., ) Х^ ^ О. ХЦ
i=1
Адрес для корреспонденции: Якушев Илья Анатольевич. 678170, Россия, Республика Саха (Якутия), г. Мирный, ул. Тихонова, 5/1, Политехнический институт (ф.) СВФУ. E-mail: [email protected]
Символом где £ ё йп и = К, обозначим конус, который получается путём поворота
конуса Кь вокруг начала координат так, что при этом точка (0,0, ...,0,К) Е Ип переходит в точку Объединение всех конусов когда £ пробегает дБ^, обозначим через
Определение 1. Неограниченное С0-многообразие ЗЛ с Дп размерности т называется многообразием, удовлетворяющим условию конуса, если существует линейное преобразование Л: йп Ип, осуществляющее поворот вокруг начала координат, такое, что
х + Ау£т) с ,V/г > 0,Ух е ЯК.
Далее в этой статье предполагается, что ЯК - неограниченное С0-многообразие размерности те [1, п — 1], удовлетворяющее условию конуса, ^ = ЯтДЗК и р(рс) = сНдЬ {х, ЗЛ} для всех х е П.
Пусть функция ц/{£) е С°°(0,+оо) такая, что 0 < ц/(£) < 1 для всех [1/2,1]; у(£) = 0 при С > 1 и у/(€) = 1 для всех 1е(0,1/2]. Для двух вещественных чисел а,/3определим функцию
Р«/*) = У^р(х))р~а(х) + (1 - ц^р(х)))рР{х),х е а
Пусть р Е (1, +оо) и пусть г - целое неотрицательное число. Символом ¿р.ад(0) обозначим класс функций определённых в О, удовлетворяющих условию
1 /Р
V, || = I (<ра/х)\иЮ(х)\)Р ах
< +00,
а символом Жр.^дДО) обозначим пространство функций и(х), определённых в О, с конечной нормой
|| и; И^,Д/(0)|| = {|| и; + || и; ^¿О)^.
Если ст(х) - положительная функция, заданная в области П, то символом ¿р(П; о) обозначим весовое лебегово пространство с нормой
г ^
||и; Ьр(С1-, с)|| = J (а(х)|и(х)|)Рйх
-п -
0
Замыкание множества Со°(Д) в пространстве И^^д^О) обозначим через Ж гр.а р ДП) и
0
пространство всех антилинейных непрерывных функционалов, определенных в Жгр.а ^ Д^) , обозна-
г
чим через (^р.^ДО)) .
0
Свойства пространств ИЖ гр.а р ДП) ранее изучались в работах [6,7].
Теорема 1. Пусть вещественные числа а, Д /удовлетворяют условиям
-а + ^Й {1,2.....+ € {1,2.....г1Р~г>у. (1)
Тогда для всех мультииндексов к, I таких, что <г,|£| <г, |/с| + Ц| <2г — 1, и всех функ-
0
ций и £ И^^дДО), V 6 Жгг.ар Д^) справедливо неравенство
"■kl
«
Va,
i<PY^aWWmWv«>W\) kldx
4î
« Il и; W^(Q)|| II v; W^(Q)||,
где запись A-^Çu, v) « A2(u, v) означает неравенство А^и, v) < M А2(и, v~) с положительной постоянной M, Àfri - любое число больше единицы, и числа yki, 5ki определяются следующими соотношениями:
1) если \k\<r — 1 и |2| < г, то
ук1<а + г- 1*1 - - j-j im - ri) + min j-£, a + r -\к\-^(т- ri) j,
8kl < ß - 2r + |Z| + \k\ + 1 + (rn -ri) +
+ min j-£, ß - 1 + - (m - n)| ;
2) если \k\=r и |Z| < r — 1, то
Yki = 2a + r - \l| - (l - (m - ri),
8kl = 2ß -r + \l\ + (l -^(m-ri).
Здесь £ - достаточно малое положительное число.
Доказательство основано на интегральных неравенствах, полученных в работе [7], и проводится техникой, использованной в работе [8] при доказательстве леммы 2.3.
3. Пусть г - натуральное и a,ß,y - вещественные числа. Рассмотрим полуторалинейную
форму
ВМ= ^ (2)
|fe|,|i|srn
где Pfc(x) = <Pa,ß(.x)p~r+^kKx). Предположим, что (х £ii; |fc|,|Z|<r) - компекснозначные
функции, удовлетворяющие следующим условиям:
I) при |/с| = |2| = г коэффициенты akiix) ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности
Re £ akl(x)etl>c КГ
|fc|=|i|=r
для всех xEQ,ÇERn (с - положительное число, не зависящее от х, £) и для любого достаточно малого V > 0 существует число £ > 0 такое, что
I%W - akl(Ç)| < v для любого ^бйи любого X Е £ Rn: | Xi — < pif), ï = l,nj;
II) при |Z|<r и + \l\<2r — 1 коэффициенты akiix) принадлежат пространству
hJfr Р~П/Рк11 где
fa/d при |/с| <r-l,|Z| <г, Pkl {qlknpn\k\=r,\l\<r-l,
а числа q^ определяются соотношениями:
п п
2r-\k\ - |/| < 4kl ~ гЧЛ '6СЛИ n>2(j,~ > 2(r ~
п 1 -гтт—- < qki,0< El < еслиn > 2(r - |fc|),7i< 2(г - |/|);
Г — |гС| Н" £^71 Z
71 1
,0 < е2 < -,еслип < 2(г- |/с|),71 > 2(r - |Z|),
Rki = \ r-\l\+e2n 2
любое конечное число > 1,еслип < 2(г - |/c|),n < 2(r — |Z|).
Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями, связанная с полутора-
линейной формой (2), состоит в следующем:
г
Задача Dд. Для заданного функционала F £ ^W r2.а^ДО)) требуется найти решение U(x) уравнения
B[U,v]+Jif <p2aß{x)p-2r{x)lJ{x) v(xjdx = (F, v)(Vve С0°°(П)), n
0
принадлежащее пространству W r2.a ß Д^) .
Непосредственное применение теоремы 2 работы [9] к рассматриваемому случаю приводит к следующему результату:
Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), I), II). Тогда существует число Я0 > 0 такое, что
г
при Я > Я0 для любого заданного функционала F G ^W р.а ß Д^)) существует единственное решение U(х) задачи Dд, и при этом выполняется оценка
\W> Ща,Дут\\ < М
t
где число М > 0 не зависит от F.
Справедлива также следующая теорема
Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и пусть также существует такая положительная постоянная С0, что
Со f (<Pa,ß(x)p-r(x)\v(x)\)2dx < Re В [v, v] (3)
n
для всех v e C^°(Q).
Тогда справедливо утверждение теоремы 2 при Я0 = 0. 4. Рассмотрим полуторалинейную форму
E[u,v]= Yj f <Pa,ßMaklCx)u(k\x)lÄÖ(x)dx (4)
|fc|,|I|srn
и связанную с ней вариационную задачу Дирихле с неоднородным граничным условием:
г
Задача D. Для заданного функционала F е (w a ß Д^)) и заданной функции Ч^х) е
W2;a,ß,yrQ. требуется найти решение Ux уравнения
B[U,v] = <F,v)(VveC0oo(n)),
принадлежащее пространству и удовлетворяющее условию
0
ВД-ВДе W 2a, ß, r(ß).
Далее вводим следующее обозначение
г \ _ №>если ju > о
W+ - [о, если /л < 0.
Теорема 4. Пусть числа а,ß, у удовлетворяют условию (1). Пусть коэффициенты aki(x) по-
луторалинейной формы (4) при = |i| = г удовлетворяют условию I), а при |/с|, |/| < г и |fc| +
\l\ <2r — \ принадлежат пространству Lpkl(p.; <PakbßkJ, где
п /1 т\
=--2r + \к\ + \1\ + £ + [a + r- \к\ --(n-m)--,
Vki \ 2 рк1/+
akl
ры = 2г-\к\-\1\+е- — (г1-т) + (р-1 + \(п- т)) .
Рк1 V 2 / +
Здесь £ - достаточно малое положительное число и числа рк1 такие же, как в условии II).
Пусть также выполняется условие (3). Тогда для любого заданного функционала 6
{УУ 2 а р Д^)) и любой заданной функции Ч^ж) 6 существует единственное решение
и(х) задачи й и при этом выполняется оценка
; У
||U; Ш£аЛг(П)\\<М-
+ lh Щаф,уЩ\
(5)
где число М > 0 не зависит от Р и V.
Доказательство. Пусть ^(ж) - заданная функция из И^^дДП) и пусть С - функционал, определённый равенством
(в, V) = -И [Ч^у].
С помощью теоремы 1 доказывается, что функционал С принадлежит
справедливо неравенство
г
пространству (W 2a,ß,r(Q)) и
* (W 2a.ß.r(fi))
где число М0 >0 не зависит от ЧЛ
< М0 ЦЧ1; Ш£аЛг(П)\\,
Пусть F - заданный функционал из (W
t
(W w.г(П)) .
Рассмотрим следующую вспомогатель-
ную задачу: найти решение уравнения
Ш [£/.,17] = (Р + С, и) (V V Е С5°(П)),
о
принадлежащее пространству Жг2.а рДП) .
В силу теоремы 3 существует единственное решение вспомогательной задачи, и оно
удовлетворяет оценку
\\u.; wl:aAr(a)\\ < м1
F + G;
( 0
(6)
где Mi - положительная постоянная.
Далее нетрудно проверить, что функция í/(x) = í/*(x) + 4х (х) будет искомым решением задачи D. Из единственности í/„(x) следует единственность í/(x). Неравенство (5) следует из (6).
Поступило 05.07.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М, Лирозкин П.И, Мирошин Н.В. - Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 4-30.
2. Байдельдинов Б.Л. - Труды. Мат.института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1984, т.170, с. 3-11.
3. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Ё. - ДАН России, 2005, т.403, №2, с.165-168.
4. Салманов Ю.Д. - ДАН СССР, 1988, т.301, №1, с.38-41.
5. Исхоков С.А., Сивцева Г.И. - Математические заметки ЯГУ, 1999, т.6, №2, с.28-41.
6. Исхоков С.А., Тарасова Г.И. - Вестник Новосибирского госуниверситета. Серия: Математика, механика, информатика, 2006, т.6, №4, с.43-49.
7. Ганиев М.Г. - ДАН РТ, 20011, т.54, №5, с.353-358.
8. Исхоков С.А. - Математические заметки, 2010, т.87, №2, с.201-216.
9. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. - ДАН России, 2012, т.443, №3, с.286-289.
И.А.Якушев
ОИДИ МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОРНОЙ ЭЛЛИПТИКИИ ДАР БИСЁРШАКЛАИ НОМАВДУД ТАНАЗЗУЛЁБАНДА
Институти политехникии (филиали) Донишго^и федералии Шимолу-Шарции ба номи М.К.Аммосов дар ш.Мирный, Россия, Цумхурии Саха (Якутия)
Дар макола халшавандагии яккимматаи масъалаи вариатсионии Дирихле бо шарти гайриякчинсаи сархадй барои операторхои эллиптикии дарачаи олй, ки дар бисёршаклаи номахдуди шарти конусро каноаткунанда таназзул меёбанд, тадкик карда шудааст. Тадкикот дар асоси нобаробарии Гординг барои операторхои эллиптикии таназзулёбанда гузаронида шудааст.
Калима^ои калиди: масъалаи вариатсионии Дирихле - оператори эллиптики - таназзулёбии дарацагй - бисёршаклаи номаудуд.
I.A.Yakushev
ABOUT VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR ELLIPTIC OPERATORS DEGENERATING ON UNBOUNDED MANIFOLD
Polytechnic Institute (branch) of M.K.Ammosov North-Eastern Federal University in Mirny,
Russia, Republic of Sakha (Yakutiya) Unique solvability of the variational Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary condition for elliptic operators degenerating on unbounded manifold is investigated in the article. The investigation is based on Garding's inequality for degenerate elliptic operators.
Key words: variational Dirichlet problem - elliptic operator - power degeneracy - unbounded manifold.
