CC BY
15
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №1-2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
С.А.Исхоков
О ФРЕДГОЛЬМОВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 16.11.2015 г.)
В работе исследована фредгольмовая разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка, заданного во внешности ограниченной области О с К1. Коэффициенты исследуемого оператора степенным образом вырождаются как на границе дО области О, так и в бесконечности. Младшие коэффициенты оператора принадлежат некоторым Ьр-пространствам со степенным весом.
Ключевые слова: внешняя задача Дирихле, эллиптический оператор, степенное вырождение, фредгольмовая разрешимость.
1. Работа посвящена исследованию фредгольмовой разрешимости внешней вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка со степенным вырождением на границе и на бесконечности. Исследуемый оператор задаётся во внешности некоторой ограниченной области с замкнутой (п — 1) -мерной границей. Подобные исследования, ранее, в основном, проводились для эллиптических операторов в ограниченной области (см. [1-4] и имеющуюся в них библиографию). Случай эллиптических операторов во внешности ограниченной области рассматривался в работах [5-7].
2. Пусть О - ограниченная область в п-мерном евклидовом пространстве Яп с (п — 1) -мерной гладкой границей О, и пусть О = Я" \ О . Символом Кк обозначим открытый шар достаточно большого радиуса Я > 0 с центром в начале координат такой, что О с Кк . Пусть р (X) -регуляризованное расстояние от X еО* до СО, СС,Р - вещественные числа. Символом &ар( X)
обозначим бесконечно дифференцируемую положительную в О* функцию, которая ведет себя как ра (х) вблизи дП и как рр (х) в Я" \ Кк .
Пусть г - натуральное число, 1 < р < и р (X) - непрерывная в О* положительная функция. Введём весовое пространство ~№гр.а р ^(О*) всех измеримых в О* комплекснозначных функций и (X ) с конечной нормой
Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru
)|| =
Х ) Uk ) ( x) dx x ) |и( x)| P dxï ,
\k\=p n *
где и( ) ( x ) - обобщённая по С.Л.Соболеву производная функции и ( x ) мультииндекса к = (k!, k2,..., kn ), \k\ = ki + k2 + ... + kn - длина мультииндекса k . Обозначим через пополнение класса C°(Q ), а через (w rp.ap ДО*)) - пространство антилинейных непрерывных
функционалов, определенных на W rp.a ^ Д^*), наделенное нормой сопряженного пространства. Для p G [1, +œ) и вещественного 3 введём весовое пространство L (р3' Q*) с нормой
|и;Lp (р3;Q*)|| = j jppS (x)|и(x)\p dx| .
Пространства W^a ^ Д^*) и W rp.ap Д^*) ранее были введены Н.В.Мирошиным в работе
[5]. Частные случаи этих пространств ранее изучались в работе [6]. Со свойствами этих пространств также можно ознакомиться в работе [7].
3. Рассмотрим полуторалинейную форму
B[и,v]= £ (x)p|k|+|1|—2p (x)(.x)u(k)(x)v( 1 )(x) dx
(1)
k, |1|—p Q*
с комплекснозначными коэффициентами аи (x), первоначально определённую на всех
и, v g C° ( Q* ) .
Каждой паре мультииндексов k, 1 таких, что |k|, |l| — p , |k| + |l| — 2p — 1, сопоставим в соот-
ветствие число:
pa(x)=
n
— k
+ £, 1 = p, n > 2 (p — |k|),
n
- И
+ £, kl = p, n > 2 (p —
если
\k\ < p — 1, И| — p — 1, то
<
Ры =
п
2г — Щ —1/| п
г —1/| + е' п
г — \к\ + е'
+ е, п > 2 (г — |к|), п > 2 (г — -, п < 2 (г — \к\), п > 2 (г — п > 2 (г — \к\), п < 2 (г —
рк1 - любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях. Здесь е - достаточно малое положительное число.
Теорема 1. Пусть коэффициенты аы (X) при | к|= |/| = г ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности
Яе ^ аи (X)?? > Со (X е О*, 5 е Я")
(2)
к = / =г
и для любого достаточно малого числа V > 0 существует число е > 0 такое, что
\аы (У)— аы (г)\ <V
для любого у е О* и любого 2 е^ е Яп : \т. — у| < е / р(у)|.
Пусть также коэффициенты аы (X) при | к|+|/| < 2г — 1 принадлежат пространству
^ (рп / Рк/;О*).
Тогда найдутся такие числа С > 0 и С2 > 0 , что
ЯеВ [и, и]>
: С1Е |<р (x)и(к) (x) - С2 (x) р~2г (x) |и (x)|2
X
1к1=г п *
(3)
для всех и е С° (О*).
Неравенство (3) является аналогом неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических операторов во внешности ограниченной области. Весовой аналог неравенства Гординга для других классов вырождающихся эллиптических операторов ранее был установлен в работах [8, 9]. 4. Рассмотрим вариационную задачу Дирихле, связанную с формой (1).
Задача . Для заданного функционала ¥ е (ж г2-а р Р(О*)) требуется найти решение и(X)
уравнения
В [и, V] + Лfр2 (X)и(X) г(X) сЫ = ((^ е С° (О*)),
О
принадлежащее пространству Ж г2.а р Д^*) •
Наряду с задачей Ол рассматриваются отвечающие ей однородную и формально сопряженные задачи:
Задача Ох • Требуется найти решение и(х) уравнения
В [и, V] +1 ¡р2 (х)и(х) г(х) сХ = 0 (Уг е С0°° (П*)),
п*
принадлежащее пространству Ж г2.а р Д^*) •
Задача О* . Для заданного функционала О е (ж г2-а р Д^*)) требуется найти решение V(х) уравнения
В+ [V, V] +1 ¡р2 (хУ (х)^ Сх = (О, V) (Уv е С0°° (П*)),
принадлежащее пространству Ж гг а ^Д^*) •
Задача О*.х . Требуется найти решение V(х) уравнения
В+ [V, V] +1 ]У (хУ (х)^сСх = 0 (Vv е С° (П*)),
принадлежащее пространству W r2-a р Д^*) •
Здесь B+[V, v] = B[v,V ].
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Пусть также 0 < а < r и
x ) (1 + ln d (x))T lim sup———--= 0,
|x| >£ d ß-r (x)
/ 2 \ 1/2
где d(x) = l1 + x ) и t = 1, если ß + n/2 совпадает с одним из чисел 1,2,...,r, и т = 0 в противном случае.
Тогда задача DÄ фредгольмова, то есть:
а) задача DÄ разрешима для тех и только тех функционалов F е |w r2-a р д^*)) , для которых t^F, V^ = 0 на всех V(x), являющихся решениями задачи D0.A;
б) размерности пространств решений задач DfyA и D0.A конечны и равны;
в) задача О0.л имеет отличные от нуля решения только для счётного числа значений параметра Я., 7 = 1,2,..., причем Я. при ] ;
г) сопряженная однородная задача О0.л разрешима для тех и только тех значений Я, что и
задача О0.л.
Фредгольмовая разрешимость задачи Ол ранее изучалась в работах Н.В.Мирошина [6, 7] в предположении, что все коэффициенты аы (X), |к|, |/| < г, ограничены и такие, что
Яе ^ак1 (х)СС <с0£|Скг (4)
^Ск12
|к|,|/|<г \к\
для всех х е О и любого набора комплексных чисел С = {£к . Условие эллиптичности (2) в теореме 2 слабее условия (4). Вместо набора комплексных чисел С = {Са}|<г в (2) используется набор вещественных чисел {^к} , ¿¡=(£1 ,£2,...,£и)е Яп . Более того, в отличие от (4), в условии (2)
младшие коэффициенты (X), |к| + |/| < 2г — 1 не участвуют.
Поступило 20.11.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирошин Н. В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора. - Дифференциальные уравнения, 1988, т. 24, № 3. с. 455-464.
2. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений. -Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 4, с. 641-653.
3. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Я. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов. - Доклады Академии наук России, 2005, т. 403, №2. с. 165-168.
4. Никольский С.М, Лирозкин П.И, Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. -Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 4-30.
5. Мирошин Н.В. Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора. -Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 47-55.
6. Мирошин Н.В. Внешняя задача Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора. - Труды Математического института АН СССР, 1979, т. 150, с. 198-211.
7. Мирошин Н.В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением. - Труды Математического института РАН, 1992, т. 194, с. 179-195.
8. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением. -Математические заметки, 2010, т. 87, №2, с. 201-216.
9. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением. - Доклады Академии наук России, 2012, т. 443, №3, c. 286-289.
С.А.Исхо^ов
ОИДИ БА МАЪНОИ ФРЕДГОЛМ ^АЛШАВАНДАГИИ МАСЪАЛАИ БЕРУНАИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОРИ ЭЛЛИПТИКИИ ТАНАЗЗУЛЁБАНДА БО КОЭФФИТСИЕНТХОИ СУММИРОНИДАШАВАНДА
Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон
Дар макола ба маънои Фредголм халшавандагии масъалаи вариатсионии Дирихле ба-рои оператори эллиптикии дарачаи олй, ки дар беруни сохаи махдуди Q с Rn додашудааст, тадкик карда мешавад. Коэффитсиентхои оператори тадкикшаванда дар сархади 5Q сохаи Q ва дар беохирй ба таври дарачагй таназзул меёбанд. Коэффитсиентхои хурди оператор ба баъзе L^-фазохои вазни дарачагй дошта тааллук доранд.
Калима^ои калиди: масъалаи берунаи Дирихле, оператори эллиптикй, таназзулёбии дарацагй, уалшавандагй ба маънои Фредголм.
S.A.Iskhokov
ABOUT FREDHOLM SOLVABILITY OF EXTERIOR DIRICHLET PROBLEM FOR A DEGENERATE ELLIPTIC OPERATOR WITH SUMMABLE
COEFFICIENTS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Fredholm solvability is investigated for higher-order elliptic operator given in exterior of a bounded domain Q с Rn. Coefficients of the operator under consideration have power degeneration on the boundary dQ of the domain Q and at infinity. Lower coefficients of the operator belong to some Zp-spaces with power weights.
Key words: exterior Dirichletproblem, elliptic operator, power degeneration, Fredholm solvability.
