Решение нелинейных уравнений теплопроводности для слоистых сред с использованием метода эквивалентной линеаризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №11________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517:948.9:669.548.55

Член-корреспондент АН Республики Таджикистана И.Курбонов, О.Х.Хакимова

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Российско-Таджикский (Славянский) университет

В работе, исходя из соображений автомодельности, отыскание решений нелинейных краевых задач для уравнений теплопроводности сведено к решению нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В частных случаях удалось получить точные решения таких задач. При отыскании приближенных аналитических выражений задач, не допускающих точных решений, применяется метод эквивалентной линеаризации, использующий конструкции точного решения линейной задачи. При этом параметры задачи определяются из условия удовлетворения нелинейному дифференциальному уравнению в смысле одного из приближённых методов - метода Бубнова-Галеркина или метода наименьших квадратов. Математическая задача об определении решений уравнений, описывающих динамику различных физических процессов, сводится к отысканию неизвестных функций, в общем случае зависящих от пространственных координат и времени. Такая задача, как правило, очень трудна и для её решения требуется вводить дополнительную схематизацию, связанную с постоянной конкретных физических задач, и вносить допустимые упражнения в их математическую постановку. Одним из таких упражнений является уменьшение числа независимых переменных.

Ключевые слова: слоистые среды - оптимальная линеаризация - интеграл вероятности - условия сопряжения - толщина слоя.

Постановка задачи

Рассмотрим систему, состоящую из трех А, и и С , толщина двух из которых - А и С , намного превышает толщину промежуточного слоя и (см. рис.). Повышение температуры приводит к развитию диффузионных процессов в такой системе, интенсивному размытию концентрационных распределений и исчезновению первоначально чётких границ раздела между слоями.

Так как толщина слоёв А и С (ЯА и 8с ) велика по сравнению с толщиной слоя и (8и ) , то

эти слои можно рассматривать как полубесконечные, а тонкий слой и отождествить с плоскостью их раздела х = 0, с единицы площади, которая в единицу времени выделяет вещество и с интенсивностью (7) . Начиная с момента времени 7 = 0, вещество и дифференцирует в полубесконечные

Адрес для корреспонденции: Курбонов Икром. 734031, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. М.Турсунзода 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: hudson90@mail.ru

слои А (—да < х < 0) и С (0 < х < да) с коэффициентами диффузии Оа (и) и Ос (и) соответственно.

Определение концентрации и (х, 7) в такой системе сводится к нахождению решения квазилинейного уравнения Фика

дг дх

с разрывным коэффициентом диффузии

ди д ( , ч ди^

В(и)— , — да< х < да, г > 0 У}дх

(1)

в (и )=

\Вд (и), —да< х < 0,

\Ос (и), 0 < х <да. Искомое решение должно удовлетворять начальному условию

и(х, 0) = 0, | х | > 0, неоднородным условиям сопряжения на плоскости раздела х = 0

и(+0, 7) = аи(—0, 7), 7 > 0,

(2)

(3)

В (и)§

х=—0

—(и

= 2д (г), г > 0

(4)

х=+0

и условиям регулярности на бесконечности [1]

ди'

ііш и(х, г) = о, ііш І В(и)— = 0, г > 0.

|х| ^да |х| ^да V дх і

Если количество вещества в единице площади слоя и обозначить через 2Q , а закон измене-

Учитывая тот факт, что за любой конечный промежуток времени с единицы площади плоскости раздела выделяется конечное количество вещества, а также требование ^ > 0, получим очевидное неравенство 8 > — 1.

Решение диффузионной задачи с использованием метода эквивалентной линеаризации

В случае 7 = 1/2 (параболический закон изменения интенсивности во времени) поставленная нелинейная начально-краевая задача (1) допускает решение вида

где 7] - переменная Больцмана. После перехода от независимых переменных х и г к новой независимой переменной 7] начально-краевая задача (1)-(5) трансформируется в следующую нелинейную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения на всей оси с неоднородными условиями сопряжения в точке 7 = 0:

ния во времени интенсивности выделения этого вещества считать степенным

трудно определить время гх действия такого источника

(6)

(7)

и(+0, г) = аи(—0),

(8)

Так как время полного диффузионного растворения и при 7 = —1/2 определяется формулой (6)

является ограниченным, то вследствие разрывности правой части неоднородного

Поэтому для значений 7 > ^ следует рассматривать нелинейную начально-краевую задачу:

ди д(^тт,ди Л

---= — О (и )----- , —да< х <да, 7 > ^,

д7 дх ^ д^)

U (x, 0) = U (x/^),

x > 0;

U(+0, t) = aU(—0, t), t < t1,

Da (U )f

—Dc (u )f

x=—0 дx

= 0, t > t1,

x=+0

дU'

lim U (x, t ) = 0, lim Id (U)- = 0, t > t1.

7^да |x|д* у

В линейном случае, когда

Da (U) = Da = const, Dc (U) = Dc = const, решение краевой задачи (8) записывается в виде [2-5]

U (7) = U (—0)

1—Ф

A

, — да < 7 < 0,

U (7) = U (+0)

1—Ф

( \ 7

v 2^fDC у

, 0 < 7 < да,

(lO)

где Ф (x) - интеграл вероятности [2]

Ф

2 x 2 (x) = —= f e~t dt,

а U (+0) и U (+0) определяются из условий сопряжения

U(-0)= ^ , и(+0)= 2с'а4*

aJDC +J Da

aJDC + V Da

(11)

Решение нелинейной краевой задачи (8), следуя методу оптимальной линеаризации [3], будем искать в виде (10) с подлежащими определению постоянными коэффициентами диффузии ОА , ОС

и значениями и (—0), и (+0). Первое условие сопряжения и условия на бесконечности задачи (7),

(8) будут выполняться при любых ОА и ОС , если и (+0) = аи (—0). Вскоре условие сопряжения

преобразуется к виду

Ва (и(—0)) , ч Вс (аи (—0)) . .

П-и (—0) + а-^=\=Ли (—0) = 2д.

^ВС

(12)

Потребуем далее, чтобы дифференциальное уравнение задачи (8) на каждой из полуосей 7< 0, ^ > 0 удовлетворялось приближено в смысле метода Бубнова-Галеркина [4].

в

йи (в)

2 йв

в йи (в) 2 йв

1 — Ф

( \ в

ьЮА

1—Ф

йв = 0,

йв = 0.

(13)

После простых преобразований это дает еще два уравнения для определения постоянных ОА , О^ и и (-°)

где

Ва (и (—0)—ва + ба л , ( вА , и (—0))) = 0, Ос (и(—0)-Бс+ вС/, (вС, и(—0))) = 0,

Л (оА , и (—>)) =-І 1 —^ | Ва (и (—о )(1—Ф (—х)))хе——, ^ I V* вА ^1—да

/2(в?., и(—>)) = ^ 1 —р=- / Вс (аи(—0)(1 — Ф(—х)))х<Т2——

(14)

Итак, постоянные ОА , О^ и и (—0) в приближённом решении (10) нелинейной задачи (8) определяются как решение системы трансцендентных уравнений (12), (14), а постоянные и (+0) = аи (—0). В линейном случае, когда

Ва(и)=ва, вс,вс,

Л (Ва, и(—0)) = Аг (вСс, и(—0)) = 0.

Уравнения (14) превращаются в тождество, и мы приходим к формулам (11), которые удовлетворялись приближенно на каждой из полуосей г/ < 0 и г/ > 0 в смысле равенства нулю интервальной неувязки [5] (нулевого момента)

0

іі 7,°а (»с»«

—да

0

Вс (и И) «

+в (. ио, 2 йв '

в йи (в)

йв = 0.

(15)

В этом случае вместо (14) мы получим выражения для ОА и ОС через и (—0)

ОА = ОА (и(—0)), ОС= ОС (и(—0)). (*6)

Для и (—0) и и (+0) согласно (12), (16) и равенства и (+0) = аи (—0) получаем выражение

(11) с Од = О^, О^ = О^. Подставляя их в (15) и (16), получаем систему двух нелинейных уравнений относительно О и ОС

Ва = Ва

1 — -

V а^1ВС +>/ВА у

ВС = ВС

2дал[ж

1 — -

^\въг +\/вс

V V г V А у

Окончательно приближённое решение нелинейной начально-краевой задачи в случае Ч

и (—0)

1 — Ф

х < 0, 0 < г < г

1^

а

и И)

Ґ л

х

1—Ф 1

ч Ч вс г)

(17)

х > 0, 0 < г < г

1

где и(—0), О^ , О^ - решение системы трансцендентных уравнений (12), (14). При 7 > ^ диффузия вещества и в полубесконечные слои А и С описывается решением начально-краевой задачи (9) с начальным условием при 7 = ^ и определяется по решению (17).

Вместо уравнений Бубнова-Галеркина (13), (14) можно воспользоваться уравнениями метода наименьших квадратов [6], требуя, чтобы среднеквадратичное значение результата подстановки в дифференциальное уравнение задачи (8) было минимальным, то есть

д 0 I й_ дОА —И

ОА (и (М)

йи (м)

йц

2 йц

д

да1 й \ Ос (и (,)) йЦйМ

дОъс 0 [ йМ

+ М = 0.

2 йц I

После простых вычислений вместо (14) получаем систему двух нелинейных уравнений

*2

(ОА ) + / (и Ю) ОА — /2 (и (—0)) = °,

( О^) + ^( аи (—0)) Оэс—ф2( аи (—0)) = 0,

где

я /? 0

/ (и(—0)) = —^ ] (ОАи(—0)(1 — Ф(—х)))<

й

( 0 2 ^ —2 х

хе

—2 х

V

)

йх

6л/2

й

/2 (ии°А (и(—0))

йи

бУ2

/ ОА(иНН1 — Ф(—х)))е

ОА (иНХ1 — Ф(—х)))е"х'

—2х2 й2

йх

8>/2

(аи (—0))- —= | ос (аи (—0)(1 — ф (—х))) е V 7?

—2 х2 й_ йх

—2 х

2

х

х

Р2 (aU(—0)) = 6jlaU(—0)-^[ DC (U(—0))

^/2

л/ж

J DC (au(—0)(1 — Ф(—x)))

2 d2 —x d

)e —— х

DC (aU(—0K1 — Ф(—x)))<

dx

2

чаем

В линейном случае, когда D^ (U) = D^ = const, D^ (U) = = const, согласно (18) полу-

f(U(-o)) = 2D’, f2(U(-o)) = 3(D’)2,

p, (all (-0)) = D, 9l (aU (-0)) = 2 (DJ )2 .

Уравнения при этом обращаются в тождества, и мы приходим к формулам U (—0) и и(+°).

Поступило 10.09.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Березовский А.А., Бодарчук В.Т. Автомодельные решения задач интенсивной диффузии в плоской среде. - Киев, 1978, 44 с. (Препринт / АН УССР; 87:17)

2. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1964, 228 с.

3. Курбонов И. - Тезисы докл. Всесоюзной конф. по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики, Тернополь, 12-15 сент. 1989, ч.1, с. 229-230.

4. Марчук Г.М., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. - М.: Наука, 1981, 416 с.

5. Березовский А.А., Бондарчук В.Т. Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. - Киев; Ин-т математики АН УССР, 1977, с. 17-20.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. т.2. - М.: Физматгиз, 1959, 620 с.

О

х

ИДурбонов, О.ХДакимова ХДЛЛИ МУОДИЛАИ ГАЙРИХАТТЙ ГАРМИГУЗАРОНИ БАРОИ МУ^ИТ^ОИ БИСЁР РАБАТА БО ИСТИФОДАБАРИИ МЕТОДИ ЭКВИВАЛЕНТКУНИИ ХАТТЙ

Донишго^и (Славянии) Россияю Тоцикистон

Дар макола, хднгоми кофтуков кардани хдлли масъалах,ои гайрихатти канори аз х,алх,ои автомодели истифода бурда барои муодилаи гармгузарони хдлли масъалаи канори бе масъалаи канории гайрихатти муодилаи дифференсиалии одди оварда шудааст. Дар долати хусуси х,алли аники масъала ёфта шудааст. Барои кофтуков кардани х,алли такрибии масъала, ки хдлли аник

надорад методи эквиваленткунии хаттй ба маьнои методи Бубнов-Галеркин истифода бурда мешавад.

Калима^ои калиди: мууитуои цаботй - хаттикунонии оптималй - интеграли э%тимолят -шартуои уамроушавй - гафсии цабат.

I.Kurbonov, O.Kh.Khakimova SOLUTION OF NONLINEAR THERMAL CONDUCTIVITY EQUATIONS FOR STRATIFIED MEDIUMS USING THE METHOD OF EQUIVALENT LINEARIZATION

Russian-Tajik (Slavonic) University In the present work, proceeding from reasons of self-similarity, search of solutions of nonlinear boundary value problems for thermal conductivity equations it is shown to a solution of nonlinear boundary value problems for the ordinary differential equations. In special cases it was possible to receive the exact solutions of such problems. At search of the approximate analytical expressions of the problems which are not supposing exact solutions, the method of an equivalent linearization using the construction of an exact solution of a linear problem is applied. Thus problem parameters are defined from a sufficing condition for nonlinear differential equations - in the case of the approached methods - a method of Bubnov-Galerkin or a method of least squares.

Key words: layered medium - optimal linearization - integral of probability - conditions of conjugating -thickness of the layer.