Вывод уравнений для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Неголономные гиперповерхности двойного вращения,

для которых К=0

Пусть для НПДВ ^=0.

Теорема 2.2. Если К1=0, то лишь одна из главных кривизн 1-го рода НПДВ равна нулю.

В самом деле, если бы две главные кривизны 1-го рода обращались в нуль, то в характеристическом уравнении

/ + (к + к1 + кз)/ + +(кк + кк + кк - (Р2)2 - (рз)1) л + |кк2кз - (Р2)2к2 - (Р2)2кз = 0

свободный член и коэффициент при /л обращались бы в нуль, то есть

кккз - (Р2)2к2 - (рз)2кз = 0, кк + к2кз + кзк1 - р)1 - (рз)1 = 0.

Отсюда получаем

(Р2)2(к2)2 + (к2кз)2 + (рз)2(кз)2 = 0,

к ф 0, кз ф 0). ( )

Это равенство не имеет места. Поэтому в случае нулевой полной кривизны 1-го рода только одна из главных кривизн 1-го рода равна нулю. Теорема доказана.

Итак, если К1=0, то для НПДВ выполняется равенство (18).

Уравнения касательных к асимптотическим линиям (17) НПДВ при условии (18) примут вид

Р2х1 + кзх3 = (рзх1 - к2х2), х4 = 0.

Это означает, что конус касательных к асимптотическим [з] распадается на пару плоскостей (действительных в случае или мнимых, если 81§пк2=81§пкз).

Прямая пересечения этих плоскостей всегда будет действительной прямой. Она определяется уравнениями

р2 х1 + к3 х3 = 0, р3 х1 - к2 х2 = 0, х4 = 0. (19)

Асимптотическая линия, касательный вектор а ккз,кзрз, -к2р2)

которой идет в направлении прямой (19), определяется системой

р2а1 + к3т3 = 0, р3а1 -к2а2 = 0, а4 = 0. (10)

Главное направление 1-го рода, соответствующее нулевой главной кривизне 1-го рода, определяется вектором

£ (к2кз: кзрз: -кгр2)

и является касательным к линии кривизны 1-го рода, имеющей уравнения (20).

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.3. Пусть К1=0 и I - линия пересечения плоскостей, на которые распадается конус касательных к асимптотическим линиям НПДВ. Тогда в каждой точке И<е О линия кривизны 1-го рода, соответствующая нулевой главной кривизне 1-го рода, совпадает с той асимптотической линией, которая касается прямой I.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Роговой М.Р. К метрической теории неголономных гиперповерхностей в и-мерном пространстве // Укр. геом. журнал. -1968. - № 5-6. - С. 126-1Э8. 1. Васильева О.В. Поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве // Наука и образование: Матер. VII

Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. -Томск, 200з. - Т. 1. - С. 11-17.

з. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве // Междунар. конф. по математике и механике: Избранные доклады. - Томск, 100з. - С. 60-68.

УДК 519.21

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОМЕНТОВ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛУМАРКОВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

О.Л. Карелова, М.А. Банько

Ставропольский государственный университет E-mail: norra7@yandex.ru

Получено операторное уравнение для плотности распределения решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами, на базе которого выведены зависимости для моментов решений, позволяющие исследовать устойчивость решения рассматриваемой системы.

Исследованию устойчивости решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами посвящено много работ [1-5]. В извест-

ной литературе рассматриваются системы дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят от марковских цепей или марковских не-

прерывных процессов и получены условия устои чивости решении как в терминах моментных ура внениИ, так и в терминах функции Ляпунова.

В предлагаемой работе рассматривается систе ма линейных дифференциальных уравнений ёХ (г)

■ = Л(г ,д(г)) X (г),

(1)

где д(1) - полумарковский конечнозначный процесс, принимающий конечное число состояний 9,...Д в случайные моменты времени /0=0,/1,/2,..., (/0</1</2<...). После попадания в состояние 95 случайный процесс д(1) попадает в следующее состояние в соответствии с матрицей условных вероятностей перехода П и независимо от предыдущего состояния 9к. Описание полумарковских процессов и интервально-непрерывных вероятностей приводится в работах [1, 5].

Каждому ненулевому элементу матрицы условных вероятностей перехода

т-г II II"

П = 1М1 ,к=1

ставится в соответствие случайная величина Тк - время пребывания в состоянии вк до перехода в состояние 9. При этом заданы функции распределения

Рл(г) = Р{ТЛ <О, (к,^ = п).

Величина Тк может быть распределена непрерывно или дискретно. Полагаем, что случайная величина Тк неотрицательна и непрерывно распределена с плотностью распределения

/ л (*) =

СР А (г)

(к = I,..., п).

СХк (Г) Ж

= Лк (Г)Хк (г), (к = I,..., п; г > 0). (3)

Для вывода общих формул предполагаем, что для систем (3) известны фундаментальные матрицы решений N(1), определяющие решение систем (3)

Хк(г) = ык(г)Хк(0), ык(0) = е, (к = 1,...,п).

Если д(/-0)=9к и д(г+0)=0„ то при ¡!«+1 система ур. (1) принимает вид

С^ = л. « - Х«у

т

Будем также предполагать, что в момент ^ скачка процесса д(1) решение системы уравнений (1) имеет скачок, определяемый векторным уравнением Х(г] + 0) = С кХ(г] - 0), Ск Ф 0, (., к = 1,..., п). (5)

Пусть случайный процесс Х(1),д(1) имеет плотность распределения

/ (г, Х ,д) = £ /к (г, Х )8(д-вк ),

к =1

где 5(д) - дельта-функция Дирака.

Выведем систему уравнений для частных плотностей ¡к(1,Х), (к=1,...,") решения системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами (1). Используем вектор частных плотностей вероятностей

" Ш Х у

^ (г, Х) = '

/ (г, Х)

Полагаем также, что полумарковский случайный процесс д(1) определяется интенсивностями перехода из состояния 9к в состояние 9 [1,5]

дл(г) = пл/л(г), (.,к = 1,...,п). (2)

При этом выполняются условия

да

д л (г) > 0,(г > 0), | дл (0Ж = Пк,(., к = 1,..., п).

0

Пусть д(1) имеет скачки в моменты времени

и,<2,..., (?0=0<1<2<...).

Система ур. (1) распадается на " систем дифференциальных уравнений, соответствующих различным реализациям случайного процесса д(1)

и рассмотрим последовательность векторов Д/,Х (/'=0,1,2,...), где / - моменты скачков полумарковского процесса д(1). В моменты скачков / (/'=0,1,2,...) вся предыстория случайного процесса Х(1),д(1) "забывается", т.е. не влияет на поведение решений системы (1) при О/. Поэтому существует стохастический оператор Д^е^^ такой, что

^ (tj + г) = Щ ^ (^),(j = 0X2,...; г > 0). (6)

Поскольку все моменты скачков / (/=0,1,2,...) равновероятны, то для простоты изложения, в качестве начального момента времени возьмем 10=0.

Система уравнений (6) принимает вид

^(г) = ь (г^ (0), (г > 0) (7)

или в скалярной форме

/ (г, Х) = £ ь. (г) / (0, Х),

=1

ь. (г) е Б+ь ,(к = 1,..., п;г > 0).

Пусть случайный процесс д(1) при 10=0 попадает в состояние 9к. При этом выполнены следующие условия

/(0,Х) = 0(1 Ф к), ¡к (0, Х) > 0, | ¡к (0, Х)сХ = 1.

е

^т

С вероятностью щ() процесс д(1) остается в состоянии 9к в течение времени 1>0 и с вероятностями д8к(т)йт в течение временного промежутка [т,т+йт] переходит в состояние 9Х (5=1,...,"). Кроме этого в момент скачка происходит скачок фазового вектора Х(т + 0) = С .кХ(т-0), (. = 1,..., п).

Для частных плотностей получим выражение /к (г, Х) =уш (г) /к (0, м--1(г)Х)дег М-\г) +

дл (т) ь. (г-т) к

0 ! = 1

х(0, М--1 (г )С- Х) леи М-1(т) 1ае1 С-} I Ст,

/С,X) = }£дл(т)Ьь(г-т)/(0,М-\Г}СЛ1Х) х (8)

0

х аег Ы;1(т) |аег С-11 ¿т, (I Ф к, I = 1,..., п).

Упростим запись системы ур. (8) с помощью введения специальных обозначений.

Введем в рассмотрение стохастические операторы (к=1,...,п), ^,к=1,...,п), определяемые формулами

(X) - /(М-1(Г)X)<1е1 Х;'(4 (к =1,..., п), (X) - /(С;1Х)|1е1 С^кк1!, (к = 1,..., п).

Операторы ЯккЕ$+ц (к=1,...,п) определяют изменение плотности распределения случайной векторной величины Х(0 при линейном преобразовании X (г) = Ык (г) X (0), (к = 1,..., п).

Стохастические операторы Я^еЗ^, (я,к=1,...,п) определяют изменение плотности распределения при линейном преобразовании

7 = С^, (5, к = 1,..., п).

Систему уравнений (8) можно переписать в виде Ь/(0,X) =уш (г)^ (г)/к (0,X) +

+ÍÉ4*(z)L,(t-TSRk (z)i (0,X)dz,

0 s=l

L/(0,X) = \^А (z)L (t-z)(z)/ (0,X)dz,

0 s=1

(/ * k; к, l = 1,..., и) или в операторной форме

¿/к/к (0, X) = д/к^кк^кк (t) /к (0, X) +

}£q кTL(t-T)S ЛКШ (т)/к (0,X)dt,

0

(9)

ся операторы

L(t) =

Lii(t) L12(t) L21(t) L22 (t)

Lin(t) L2 „ (t)

L„i(t) Ln2(t) ... L„„ (t)

R(t) =

Rii(t) 0

0

0 R22(t) ... 0

S (t) =

0 0 ... Rnn (t) _ qii(t )Sii qi2(t )Si2 ... qin(t )Si„

q2i(t)S2i q22(t)S22 ... 42 n (t)S2n

qni(t )Sni q„ 2(t )Sn

qnn (t)Snn

Система ур. (9) выполняется, если выполняются операторные уравнения

Ьл(О = <5ЛК» (/) + ^ (т)Ь (/-т)^ (т)^т, 0 5=1 (I, к = 1,..., п),

которые можно записать в матричной форме

г

щ) = )К(г) +1 Ь(г -т)Б (т)К(т)ёт, (10)

0

где обозначено

Y(t) =

^ii(t) 0 ... 0 0 ^22(t) ... 0

0

0 ... Ynn (t)

(l, к = 1,..., и). Введем матрицы, элементами которых являют-

Используя равенство (7), можно записать систему уравнений для вектора частных плотностей F(t,X)

F (t, X) = Y(t) R(t )F (0, X) +

t

+J L(t-t)S (т) R(t)F (0, X )dT.

0

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (1) зависят от полумарковского конечнозначного случайного процесса g(t), который определен заданными интенсивностя-ми qsk(t), (s,k=1,...,n). Пусть между двумя последовательными скачками случайного процесса g(t) при t<t<tj+1 при g(t)=9s система уравнений (1) совпадает с системой (4). Пусть решения системы уравнений (1) имеют скачки вида (5), происходящие одновременно со скачками процесса g(t). Тогда частные плотности fk(t,X), (k=1,...,n) случайного процесса (X(t),g(t)) определяются уравнением F (t, X) = L(t) F (0, X),

где оператор L(t) удовлетворяет операторному уравнению (10).

Операторное уравнение (10) можно решать методом последовательных приближений, который лишь в исключительных случаях может дать решение в замкнутой форме. Преобразуем ур. (10) к более удобному для вывода моментных уравнений виду.

Теорема 2. Решение ур. (10) можно представить в виде

t

L(t) = Т (t) R(t) + Jt (t)R(t)U (t-T)dT, (11)

0

где оператор U(t) удовлетворяет интегральному операторному уравнению

t

U (t) = S (t) R(t) + J S (t-T)R(t — t)U (t)dt. (12)

0

Доказательство. Подставим выражение (11) в ур. (10). Ур. (10) будет выполнено, если будет справедливо равенство

Jt (т) R(t)U (t-z)dz =

0

t

= Jt 01 -т) R(t -t)S (t) R (T)dT +

0

t ( t^ Л

+JI Jt(s)R(s)U(t-t-s)ds S(r)R(r)dr. (13)

0 V 0 У

Изменим порядок интегрирования в двойном интеграле и получим равенства

S (r)R(r)dr =

\

Jl J^ ( s) R( s)U (t -т- s)ds

о V о

t I1 -s

J^(s)R(s)dsl J U(t-t-s)S(T)R(T)dT

о V о

= J^ (t - t) R(t - T)dT I J U (t - s)S (s)R(s )ds

\

с помощью которых ур. (13) можно записать следующим образом

t

Jt (t-T)R(t-t)U (r)dr =

0

t

= Jt (t -T)R(t-t)S (z)R(z)dz +

0

t ( t Л

+Jt {t -t) R(t -z)dz\ J U {t - s)S (s)R(s )ds .

0 V 0 У

Очевидно, что это уравнение справедливо, если

t

U (t) = S (t ) R (t) + JU (,t-t)S (t)R (t)dr. (14)

0

Будем искать решение операторного уравнения (14) в виде

t

U (t) = S (t)R(t) + J S (t -T)R(t -t)V (T)dr. (15)

0

Подставляя (15) в ур. (14), получим уравнение

t

J S (t -T)R(t -t)V (T)dT =

0

t

= J S (t - T)R(t - t)S (T)R(T)dr +

0

t ( t -T Л

+JI J S(s)R(s)V(t-T-s)ds S(t)R(r)dr. (16)

0 V 0 У

Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, получим равенства

S (t)R (r)dr =

\

Jl J S (s)R(s)V (t -t- s)ds

о V о

t 11 -s

= J S (s) R(s)ds l J V (t -t- s)S (t) R(r)dr

о V о

t It -s

= J S (t -T)R(t -r)dr l J V (t - s)S (s)R(s )ds

Используя эти равенства в ур. (16), приходим к операторному уравнению для оператора У({)

г

V (г) = б (г )Я(г) + (г-т)Б (т)К(т^т. (17)

0

Сопоставляя ур. (14) и (17), видим, что можно положить Щ)=У({). При этом замену (15) можно рассматривать как операторное уравнение (11)

г

и (г) = б (г )щ) + | £ (г-г)Щ-т)и (т^т,

что и доказывает справедливость теоремы.

Замечание. Операторное уравнение (14) можно записать в виде

t

U (t) = S (t )R (t) + ^U (t)S (t-T)R(t-T)dT.

0

Сравнивая это уравнение с ур. (12), видим, что в ур. (12) можно переставить операторы U(t) и S(t-T)R(t-T) в подынтегральном выражении.

Для вывода моментных уравнений умножим операторные уравнение (11) и (12) справа на вектор F(0,X) и получим систему уравнений F (t, X) = *¥(t) R(t) F (0, X) +

t

+Jt (t-т) R(t-т) H (т, X )dT,

0

H (t, X) = S (t) R(t) F (0, X) +

t

+ [ S (t-t) R(t-t) H (t, X )dT, 0 (18)

где F(t,X) = L(t)F(0,X), H(t,X) = U(t)F(0,X). Используя обозначения

F (t, X ) =

fl(t, X )

Lit, X )

H( t, X) =

hl(t, X )

h (t, X )

можно записать систему ур. (18) в скалярной форме

fk (t, X) =¥а (t)Rkk (t) f (о, X) +

t

+jv„k(t-T)Rkk (t-T)hk (t,X)dz,

о

hk (t,X) = Xqs (t)SbRJ, (t) fs (о,X) +

JÊqs(t-T)S,sRss (t-T)h (t,X)dz,

(20)

о s=1

(к =п).

Систему ур. (20) для частных плотностей распределения /ДХ), (к=1,...,и) можно непосредственно использовать для вывода моментных уравнений при условии, что (к=1,...,и), &к=1,...,н).

Вектор моментов первого порядка

м {г) = {х (г)) = | X/ {г, X ^X

s=1

можно выразить через частные моменты Mk(t), (к=1,...,п) первого порядка

М(г) = XМк(г),Мк(г) = | Х/к(г,X)йХ, (к = 1,...,п)

так как

f (t, X ) = £ fk (t, X ).

k=1

Аналогично матрицу моментов второго порядка D(t) = {X(t)X"(t)) = J XXf (t,X)dX

Em

можно выразить через матрицы частных моментов второго порядка

D(t) = £Dk (t), Dk (t) = J XX*fk (t,X)dX.

k=\ e

Введем вспомогательные векторы

Vk(t) =J Xhk (t,X)dX, (k = 1,...,n)

Em

и вспомогательные матрицы

Wk (t) =J XX'hk (t,X)dX, (k = 1,..., n).

E

m

Умножим систему уравнений (20) на вектор X и проинтегрируем полученные равенства по всему пространству Em. Используем следующие равенства

J Xfk (t,X)dX = Mk (t), (k = 1,..., n),

E

m

J XRkk (t) fk {0, X)dX =

E

m

= J Xfk(0,Nk\t)X)detN-l(t)dX =

E

m

= J Nk(t)Yfk(0,Y)dY = Nk(t)Mk(0), (k = 1,...,n).

Em

При выводе использовалась замена Y=Nk(t)X. Аналогично можно получить равенства

J XRkk (t -T)hk (t,X)dX =

Em

= J Xhk (t, N- 1(t - t) X ) det N- 1(t -t) dX =

E

m

= J Nk (t - T)Yhk (tt, Y)dY = Nk(t - t)V- (t),

E

m

(k = 1,..., n),

J XSRf (0, X)dX =

Em

= J Xfs(0,N-l(t)C-X)detNS\t)|detC-\dX =

Em

= J CbNs (t)Yfs (0, Y)dY = ChNs (t)MS (0),

Em

(k, s = 1,..., n),

J XSR (t -T)hs (t,X)dX =

E

m

J Xhs(t,N~\t-t)C-1X)detN-1(t-T)|detC-1\dX =

E

m

= J CksNs(t-T)Yhs(t,Y)dY = CbN,(t-t)Vs(t),

E

m

(k, s = 1,..., n).

Окончательно приходим к системе интегральных уравнений

Mk (t) =w- (t)Nk (t)Mk (0) +

t

+J^k(t-t)n- (t-t)V- (T)dT

0

Vk (t) = t qks (t)CksNs (t)Ms (0) +

s=1

J t qks (t-T)ChNs (t -t)V (T)dT,

(21)

0

(k = 1,..., n),

которые определяют частные моменты первого порядка Мк(0, (к=1,...,п).

Аналогично находим систему матричных интегральных уравнений для матриц частных моментов второго порядка Б(), (к=1,...,п)

О(г) =Укк(г)Nк(г)Ок (0)N'(г) +

г

(г-т) Мк (г-г)Жк (т) ы*к(г-т)йт,

0

К (г) = X яь (г )СЬМ, (г) ц (0) м;(г)С* +

¡=1

+} X Чь (г -т)Сьи, (г -т)Щ (т)м/(г -т)С* йт, (22)

0 ¡=1

(к = 1,..., п).

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда математическое ожидание

м(г) = (X(г)) = ХМк (г)

к =1

случайного решения системы (1) определяется системой интегральных уравнений (21), а матрица вторых начальных моментов

ц (г) = ( X (г) X '(г)) = Х ок (г)

к=1

определяется системой интегральных уравнений (22).

Замечание. Если в системе ур. (1) отсутствуют скачки решений (5), то в формулах (21) и (22) следует положить СЬ=Е, (к,з=1,...,и), где Е - единичная матрица.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Валеев К.Г, Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. - М.: Изд-во РУДН, 1996.

2. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. - Киев: Наукова думка, 1968.

3. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. - Екатеринбург, 1998.

4. Мильштейн Г.Н., Репин Ю.М. О воздействии марковского процесса на систему дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1969. - Т. 5. - № 8. - С. 1371-1384.

5. Тихонов В.И. Миронов В.А. Марковские процессы. - М.: Советское радио, 1977.

УДК 536.46

ТЕОРИЯ СПОНТАННОЙ ДЕТОНАЦИИ В ГАЗАХ. Ч. 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ

К.О. Сабденов

Томский политехнический университет E-mail: sabdenov@k21.phtd.tpu.ru

Рассматривается система уравнений газовой динамики горения на основе исходных понятий «нормальная скорость» и «поверхность горения». Турбулентное пламя опиывается одним нелинейны/м параболическим уравнением. Проведеныi расчеты взрывных процессов в трубах для ряда горючих смесей. Сравнение теоретических данных по длине и времени перехода медленного горения в детонацию с экспериментальны/ми результатами показы/вает их удовлетворительное согласие.

Изложенные в [1] рассуждения привели к представлению о турбулентном пламени в трубе радиуса а как о хаотически блуждающей поверхности с фрактальной размерностью (, где ее элементарный участок движется относительно газа с нормальной скоростью ып ламинарного пламени. Поверхность горения топологически может быть и многосвязной. Весь газ состоит из двух компонент - свежей смеси с массовой долей С (концентрацией) и продукта горения. Как и С, все термодинамические и гидродинамические параметры потока газа по отношению к гидродинамическому хаосу имеют такой же смысл средних величин, который они имеют в не турбулентных средах по отношению к хаосу молекулярному. Т.е. остающиеся макроскопическими временные и пространственные масштабы турбулентности много меньше аналогичных масштабов рассматриваемых ниже процессов. Для пламени в таком макроскопическом описании можно ввести коэффициент диффузии Б [2]:

D = 2aun (1 + B—)4 un

s = df - 2,

(1)

содержащей турбулентную пульсацию ы' скорости потока газа. Превращение исходной свежей смеси в продукт горения описывается выражением для скорости химической реакций Ф

ф(С) = (i + в iL-)s C(1 - C)2 a Un

(2)

приходящим на смену закону Аррениуса. Свободный параметр В зависит от свойств газовой смеси.

Система уравнений газовой динамики горения

Пусть р, р, Т и ы - средние по сечению трубы давление, плотность, температура и скорость газа. В общих случаях без ограничений на скорость дви-

жения турбулентного пламени, газодинамические параметры и концентрация свежей смеси С, могут быть найдены решением уравнений [2]

^ + и^ = 1^1 Т Гдр + и+ ЯФ(С),

дt дх у р \ о1 дх) ср

рдС + ри = 4- ЪрЩ--рФ(С), н д^ н дх дх н дх н у ь

f PU +1 (PU2

p) = -—pu \u\,

-dp- + p = 0, p = pRgT, D = 2una ■ K(u', Un),

Ф(С) = —к(u', un) ■ C(1 - C)2, K(u' , un) = (1 + B u.)s,

a un

(3)

где 0 - тепловой эффект горения горючей газовой смеси с теплоемкостью ср при постоянном давлении и газовой постоянной Д,; у - показатель адиабаты; ?, х - время и координата вдоль оси трубы.

Уравнения (3) не замкнуты: не хватает связи между пульсацией скорости и скоростью ы потока газа. Также система (3) должна быть дополнена связью фрактальной размерности с параметром, характеризующим турбулентное пламя. Таких параметров здесь две: число Рейнольдса Re и отношение ы/ып. В дальнейшем мы будем пользоваться простейшей формулой замыкания [3] ы=^Я|ы|. Что касается фрактальной размерности поверхности горения, то функциональную зависимость (==((Ке,ы /ып) пока не удается установить.

На ряде примеров покажем непротиворечивость ур. (3) ранее установленным теоретическим и экспериментальным фактам. Известно [4], что с точностью до ошибок эксперимента концентрационные и тепловые пределы ламинарного горения и детонации или совпадают, или мало различаются. В качестве примера в табл. 1 приведены экс-