Получение необходимых и достаточных условий L2-устойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, зная плотности распределения решений системы (1), можно найти числовые характеристики решений и исследовать их поведение в среднем или среднеквадратичном.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Пусть: а) коэффициенты системы линейных стохастических дифференциальных уравнений (1) зависят от полумарковского ко-нечнозначного случайного процесса <;У); б) между двумя последовательными скачками случайного процесса д(0 при ^ < t < /,+1, = в^ система уравнений (1) совпадает с системой (2); в) решения системы уравнений (1) имеют скачки вида (3), происходящие одновременно со скачками процесса д(0. Тогда частные плотностиX) (к = 1, ..., п) случайного процесса (Х(0, дф) определяются уравнением

Г(1 X) = X),

где оператор Ь(() удовлетворяет операторному уравнению (7).

Литература

1. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. М., 1996.

Институт информационных технологий и систем управления (г. Москва);

Ставропольский институт управления 15 марта 2005 г.

УДК 519.21

ПОЛУЧЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ^-УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛУМАРКОВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© 2005 г. О.Л. Карелова, М.А. Банько

The stability on Lyapunov is not applied to research of behavior of random process, the L2-stability consisting in convergence of an improper integral from the second initial moment therefore is used. Necessary and sufficient conditions of a L2-stability of solutions of a system of the linear differential equations with semimarkov factors are obtained.

Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений

dXt) = A(t,g(t)) X (t), (1)

dt

где g(t) - полумарковский конечнозначный процесс, принимающий конечное число состояний в1, ..., вп. Предполагаем, что g(t) определяется интенсивностями перехода из состояния вк в 0s qsk(t) (s, к = 1, ..., п) [1]

ЧМ} = Пк/к(0 (Л к = 1, ..., п), (2)

где п5к - одношаговые условные вероятности перехода из одного состояния в другое п5к = Р= ) = вк} (к, s = 1, ..., п), которые являются элементами матрицы условных вероятностей перехода тг II ||п

П = 1Ы1 к=1-

ад

При этом выполняются условия чк(/) > 0 (/ > 0), | (/= п5к (5, к =

0

= 1, ..., п).

Пусть д(/) имеет скачки в моменты времени /0, /ь /2... /0 = 0 < ^ < < (2 <...). Если - 0) = вк и + 0) = в!Я то при ■ < ( < ^ система уравнений (1) принимает вид

^ = А С - )х«. (3)

м

Будем также предполагать, что в момент ^ скачка процесса д(/) решение системы уравнений (1) имеет скачок, определяемый векторным уравнением

ХЦ + 0) = СкХЦ - 0), Ск Ф 0 (5, к = 1, п). (4)

Определение. Нулевое решение системы линейных дифференциальных уравнений (1) называется Ь2-устойчивым, если для любого случайного решения Х(() системы (1) с ограниченным начальным значением (||Х(0)||2) сходится несобственный интеграл [1]

I = ?(||Х «||2к (5)

0

Очевидно, что нулевое решение системы (1) ¿2-устойчиво в том и

ад

только том случае, когда сходится матричный интеграл Б = |

0

Чтобы найти условия ^-устойчивости, приведем некоторые вспомогательные результаты.

Лемма 1. Для матриц вторых частных моментов Бк (/) = | ХХ* /к (/, Х) dX

Ет

(к = 1, ..., п) выполнены неравенства Бк(() > 0 (к = 1, ..., п).

Доказательство. Поскольку /¡¡(¿, Х) > 0 (к = 1, ..., п), то при произвольном векторе У имеем неравенства

У*Бк (Г)У = | (У*Х)(Х*У)/к (Г,Х)dX = | |х*У|2 /к (Г, X)dX >0.

Ет Ет

Лемма доказана.

Лемма 2. Для системы интегральных уравнений для матриц частных моментов второго порядка [1]

вк (о=щ (оык а)вк (0)ы* (о+щ а - т)мк а - тщк ты*« -т,

0

щ «) = Я Чь «)СкЫ (/)Б, (0)ы* (/)С* + (6)

¿=1

+/ Я Чь(' - т)СьЫ6,(I - т)Щ (т)ы*(/ - т)0 (к = 1,..п)

0 ,=1

выполнены неравенства Щк(Г) > 0 (к = 1, ..., п).

Доказательство. Решение системы уравнений для (к = 1, ..., п) можно найти методом последовательных приближений при t > 0, полагая

Щ^(О = Я Чк, (0С*,Ы, (0)ы>)с; +

,=1

+1Я Чк, С - Т)Ск,Ы,« - т)Щп (т)ы* (/ - г)с;^г, (7)

0 ,=1

) = 0 (к = 1,...,п;] = 0,1,2,...). Из системы (7) следует, что при Щ^О > 0 (к = 1, ..., п) выполнены неравенства Щ'+1)(^ > 0, так как дк() > 0 (к, , = 1, ..., п). Из системы (6) следует выполнение неравенства Щ^) > 0 (к = 1, ..., п) и что (к = 1, ..., п) -симметрические матрицы. Обозначим

ад ад

Бк = | Бк№, Щк = | Щк № (к = 1,...,п).

0 0

Теорема 1. Пусть: а) коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (1) зависят от полумарковского конечнозначного случайного процесса ф), который определен заданными интенсивностями Ч.*(0 (,, к = 1, ..., п) (2); б) между двумя последовательными скачками случайного процесса д(/), ^ < t < при <;(() = в, (1) совпадает с (3); в) решения системы уравнений (1) имеют скачки вида (4), происходящие одновременно со скачками процесса <;((). Для того чтобы нулевое решение системы (1) было Ь2-устойчиво, необходимо, чтобы сходились несобственные интегралы

ад

1к = ¡щ(ОЫк(0Бк(0)М^Л <ад (к = 1,...,п). (8)

0

Доказательство. Из системы уравнений (6) следует, что выполнены неравенства Бк(0 > щк(0 Ык(^ Бк(0) Ык(^ (к = 1, ..., п; t > 0), интегрируя

ад

которые получаем Бк > ¡щк(t)Ык(t)Бк(0)Ы^Л (к = 1, ..., п), что и до-

0

казывает справедливость теоремы.

Замечание. Условия (8) можно заменить условиями сходимости матричных несобственных интегралов

ад

¡к 0 = $Щ С) Мк (Г) К(Г ^ < ад. (9)

0

Действительно, для любой симметрической матрицы Бк(0) > 0 (к = 1, ..., п) существует рк > 0 такое, что ркЕ > Бк(0). При этом выполнены нера-

ад ад

венства ¡к = (Г)Ык (Г)Бк (0)М* (Г)dt < $ щ (Г)Ык (ГрЕМ* (^ < рк!к0

0 0

(к = 1, ..., п).

Проинтегрировав систему уравнений (6) на интервале [0, да), получим систему линейных алгебраических уравнений для матриц Бк, Щк (к = 1, ..., п)

ад ад

Бк = $щ ^) Мк (0 Бк (0) М* ^ )dt + $ щ ^) Мк ^ ЩМ ^ )dt, (10)

0 0

п ад

Щ = X $ Чь ^)Сьм(t) (((0)+щ )м^)Сьл. (11)

5=1 0

Лемма 3. Если выполнены неравенства ¡к0 > 0 (к = 1, ..., п) (9), то из ограниченности матриц Бк следует ограниченность матриц Щк (к = 1, ..., п). Доказательство. Из условий Бк(0) > 0 (к = 1, ..., п) и (10) следуют не-

ад

равенства Бк >$щк(0Мк(0Щ(0)Мк(t)dt (к = 1,...,п).

0

Выберем скалярный множитель рк такой, чтобы выполнялись неравенства рк¡к0 > Бк (к = 1, ..., п).

ад

Отсюда следует справедливость матричных неравенств $щк(^Мк^)х

0

х(ркЕ - Щк )Мk(t)dt > 0 (к = 1,..., п), которые и доказывают справедливость леммы.

Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. Пусть несобственные матричные интегралы

ад

¡к0 = $Щк^)Мк(0М*^^ (к = 1,...,п)

0

сходятся и являются положительно определенными симметрическими матрицами, т.е. ¡к0 > 0 (к = 1, ..., п). Тогда для Ь2-устойчивости решений системы уравнений (1) необходима и достаточна ограниченность симметрических матриц Щк (к = 1, ..., п), т.е. выполнение неравенств вида 0 < ЩРкЕ (рк > 0; к = 1, ..., п). Преобразуем систему матричных уравнений (11). Если ввести обозначения Вк = Бк(0) + Щк (к = 1, ..., п), то систему (11) можно записать в виде

Бк = Ок(0) + 2 | ^«ад(/)Б,Ы* Ц)СЬЛ (к = 1,...,п). (12)

я=1 о

Введем монотонные линейные операторы Ьь, определяемые формула-

ад

ми 4А = |Чь(г)Ск,Ы,(Г)вХ(/)0 (к, s = 1, ..., п).

При этом систему уравнений (12) можно записать в операторной фор-

ме

где

B = D(0) + LB,

(13)

' Б " " А(0)" ' L11 А2 . . An

B = 42 , D(0) = А(0) , L = L21 L22 .. L2n

_ Bn . _ Dn (0). _ Ln1 Ln 2 .. Lnn

Введем упорядоченность для матриц В, полагая В(1) > В', если В^' >

> Нк(2) (к = 1, ..., п), где

о(2)

,(1) ■

Б(1) =

' B(1)" ' 4(2)"

4» 4 = b22)

_ _ _ бП2) _

При этом оператор Ь будет монотонным, так как из неравенства В(1) > > В(2) следует ЬВ1 > ЬВ(2).

Система уравнений (11) имеет решение > 0 (к = 1, ..., п) в том и только в том случае, когда сходится метод последовательных приближений

n w

4J+1) = Dk (0) qks (t )CksNs (t )B j) N*(t)C*ksdt,

s=1 0

(14)

Bk(0) = 0 (k = 1,...,n; j = 0,1,2,...).

Поскольку существование ограниченных матриц > 0 (к = 1, ..., п), удовлетворяющих (11), равносильно, в силу теоремы 2, ¿^-устойчивости решений, приходим к следующему результату.

Теорема 3. Пусть для системы (1) линейных дифференциальных уравнений с коффициентами, зависящими от полумарковского процесса, со скачком решений выполнены условия теорем 1 и 2.

Для того чтобы нулевое решение системы (1) было Ь2-устойчивым, необходимо и достаточно выполнения одного из равносильных условий:

1. Система уравнений (13) при любых Бк(0) > 0 (к = 1, ..., п) должна иметь положительное решение Бк > 0 (к = 1, ..., п).

X

2. Система уравнений (12) при Dk(0) = E (k = 1, ..., n) должна иметь положительное решение Bk > 0 (k = 1, ..., n).

3. Должен сходиться метод последовательных приближений (14).

4. Оператор L должен иметь спектральный радиус меньше единицы.

5. Для L2-устойчивости решений системы (1) достаточно, чтобы выполнялись неравенства

n ш

Bk - Z J4kS(t)CksNs(t)bn*(t)Cksdt>о (k = 1, ..., n)

s=1 0

при некоторых матрицах Bk > 0 (k = 1, ., n).

Литература

1. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. М., 1996.

Институт информационных технологий и систем управления (г. Москва);

Ставропольский институт управления 15 марта 2005 г.

УДК 517.54

О ЗВЕЗДООБРАЗНОСТИ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

© 2005 г. Т.П. Сижук

It is considered a question about starlikeness of a certain integral operator, which depends on several parameters on classes of regular functions.

Пусть R - класс функций fz) = z + a2z2 + ..., регулярных в круге E, S*(fi), 0 < в < 1 - класс звездообразных порядка в функций из R, т.е. функций fz) е R таких, что Re{z/(z)/fz)} > в, z е E. Имеем: S*(fi) с S*(0) = S* -класс звездообразных функций из R, т.е. функций w = fz) е R, отображающих однолистно круг E на область, звездообразную относительно точки w = 0.

В [1] доказано, что интегральный оператор Mf) = F(z), где

- z -|1/(a+Y)

F (z) = tV+7-lf a№

_ z 0 _

при a > 0, у > 0 и v + у > 0 отображает S* в S*, а в [2] в частном случае при

a = v = 1 и у = 0 получен точный результат - найден порядок звездообраз-

ности оператора Mf) в классе S*, который определяется как наибольшее

число в такое, что M(S*) с S*(e). Следующая теорема показывает, что в

[1] требование звездообразности f(z) можно ослабить, причем при ком-

= ^ + ..., (1)