Необходимые и достаточные условия L2-устойчивости решения линейного дифференциального уравнения с полумарковскими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

19. Paras A.T. Abelian groups as Noetherian modules over their endo- 21. Крылов П.А., Подберезина Е.И. Группа Hom(4,B) как артинов morphismrings//Contem. Math. - 1994. -V. 171. - №9. - P. 325—332. ДВ)-модуль // Абелевы группы и модули. - Томск: Изд-во

20. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. - М.: Мир, 1977. Том. УН-та> 1996. - Вып. 13-14 - С. 170-184. - Т. 1. - 688 с.

УДК 519.21

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ L2-УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОЛУМАРКОВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

М.А. Банько

Ставропольский институт управления E-mail: [email protected]

Получены необходимые и достаточные условия L2 -устойчивости решения линейного дифференциального уравнения с коэффициентом, зависящим от полумарковского процесса, принимающего два состояния с заданными интенсивностями перехода из состояния в состояние.

Одним из методов исследования устойчивости в среднем, среднеквадратичном, а также ¿2-устойчи-вости вероятностных моделей является метод мо-ментных уравнений [1, 2]. При этом исследование устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы детерминированных уравнений для моментов первого и второго порядка.

В работе [1] введено понятие ¿2-устойчивости решения системы линейных дифференциальных уравнений со случайными параметрами.

Нулевое решение системы линейных дифференциальных уравнений Ж (г)

dt

■ = A(g(t)) X (t),(t > 0),

(1)

называется ¿¡-устойчивым, если для любого случайного решения Х(/) системы (1) с ограниченным начальным значением (||Д0)||2) сходится несобственный интеграл

I =

X (t )||2 )dt.

Для дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами ¿2-устойчивость не равносильна устойчивости по Ляпунову.

В работе [2] получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка систем линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса. Также показано, что устойчивость решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений для начальных моментов первого порядка является необходимым и достаточным условием устойчивости в среднем системы линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами (1). Устойчивость системы уравнений для начальных моментов второго порядка являются необходимым и достаточным условием устойчи-

вости в среднеквадратичном данной системы со случайными коэффициентами (1).

В работе [3] с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка получены необходимые и достаточные условия ¿2-устойчиво-сти решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами, сформулированные в виде теоремы.

Теорема. Пусть для системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса, (1) со скачком решений выполнены условия [2, теорема 1].

Для того, чтобы нулевое решение системы было ¿¡-устойчивым, необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

1. Система уравнений

п ■»

Вк = А (0)+XI Чь (ОС, N (03 к (ГС л

*=1 0

(к = 1,..., п). (2)

при любых Д(0)>0 (к=1,...,и) имела положительное решение Вк>0 (к=1,...,и).

2. Система уравнений (2) при Д(0)=Е (к=1,...,и) имела положительное решение Вк>0 (к=1,...,и).

3. Сходился метод последовательных приближений

п »

ВТ1 = А (0) + £/ дь (оад (Г)В^ ')N (ОСЖ

í=1 0

В((0) = 0 (к = 1,..., п; ] = 0,1,2,...).

4. Оператор X имел спектральный радиус меньше единицы.

Кроме того, для ¿¡-устойчивости решений системы достаточно, чтобы выполнялись неравенства

п »

вк -Цчьюад(0£Х(оС^>0 (к=1,...,п)

0

при некоторых матрицах Вк>0 (к=1,...,и).

Естественные науки

Используем полученные в работах [2, 3] результаты для исследования Ь2-устойчивости частного случая системы линейных дифференциальных уравнений (1) с полумарковскими коэффициентами.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение сХ(')

С'

- = а(д('))х('), А(вк) = ак (к = 1,2). (3)

где д(/) - полумарковский процесс, принимающий два состояния

N = в"1', Ы2 = еа2'. (4)

Процесс д(/) определяется интенсивностями перехода (,,к=1,2) из состояния вк в состояние в, (3), где - одношаговые условные вероятности переходов из одного состояния в другое

пА = рщ +1) = в, \gitj) =вк} (5, к = 1,2),

которые являются элементами матрицы условных вероятностей переходов

тг II IIй

п = рД ,к=1-

Пусть интенсивности перехода, определяющие полумарковский процесс д(1) из (3), заданы соотношениями

?12 = ?21 =

2Т-\Г - '), ' е [0, Т],

(5)

В = 0(0) + ЬВ,

где обозначено

В =

" В" " А(0)" " Ь„ Ь12 • . !лп

В2 , О (0) = 02(0) , Ь = Ь21 Ь22 .. Ь2 п

_ Вп _ _ 0 (0) _ _ Ьп1 Ьп 2

Для линейного дифференциального уравнения (3) с полумарковским коэффициентом, принимающим два состояния, определяемые соотношениями (4), система (2) принимает вид

2

Ъ = Д(0) + с2 XI Чи №, (')ВХ(')Ж,

5 = 1 0

Ъ2 = Д(0) + с2 XIЧ2 5 (' N (' )ВХ (' )С'.

5=1 0

Будем рассматривать промежуток времени ¡е [0,7], тогда

[0, ' > Т,

Ч„ = Ч22 = 0-

Найдем необходимые и достаточные условия Ь2-устойчивости решения линейного дифференциального уравнения (3) с коэффициентом, зависящим от полумарковского процесса д(7).

Пусть процесс д(/) имеет скачки в моменты времени ¡0,/1,/2,...,(/0=0</1</2<...). Предполагаем, что в момент ^ скачка процесса д(0 (д(?у—0)=вк, д(1+0)=в) решение системы уравнений (3) имеет скачок, определяемый уравнением х('. + 0) = сх('] - 0).

Для определения условий Ь2-устойчивости решения уравнения (3) рассмотрим введенные в [3] монотонные линейные операторы Ьь, определяемые формулами

Ьк£, = Iяь (')Скл (')В К('К С' (к,5 = 1,...,п).

0

Система уравнений (3), полученная в работе [3], в операторной форме имеет вид

Ъ = А(0)+С2 XI чи Ш, (')ВХ(')с1' =0,(0) +

5 = 1 0

+с21 (дп(')М1(')Ъ1М;(') + Ч12(')М2(' Ъ N *(' ))С' =

0

Т

= Д(0) + с21 ч12 (')N22 (')Ъ2 С' =

0

Т

= 01(0)+с212Т ~2 (т -' )в2"2'ъ2а = 0

Т

= 01(0) + 2Т~2с2Ъ2 I (Те2"2' - 'в2"2' )С' =

= А(0) +

2с2Ъ, Г

Т2

Тв2

ТТ

2а2

-I 'в2"2'С'

= 0(0)+:

2с\ Те1 аг' Т 'е2а 2'

Т2 2 а 2 0 2а2

00 Т

^ I е2"2'С'

= 01(0)+^

Тв2

2а2

2а2 -

0 2 0

'в2аг' в23 2 '

2а2 4а22

= 01(0) +-

2с2ъ2 | тв2а2' 'в2аг' в2аг'

Т2 ( 2а2 2а2 4а22

= 01(0) + -

2с Ъ2 ( 2а2 (Т - ')е ^ + в

Т2

2а,' . „2а,'

4а22

в2а2Т _ 1 _ 2а Т

Ъ = А(0)+с2 в . 1 а2Т Ъ„

2а22Т2

Аналогично получим

-1 - 2аТ

Ъ2 = 02(0) + с2

^ Ъ1.

(6)

(7)

2"2Г 2

Используя пункт 4 теоремы, доказанной в работе [3], найдем условия ^-устойчивости решения линейного дифференциального уравнения (3) с коэффициентом, зависящим от полумарковского процесса.

Оператор Ь имеет вид

где, учитывая соотношения (6) и (7),

L = с2

-1 - 2a2T

„2 a1 T

2a22T2

L2 = с2

-1 - 2a, T

(8)

2а2Т2

Таким образом, используя соотношения (8) и условия теоремы, получим неравенство

аТ -1 - 2аТ

с

2a2T2

e2a2T -1 _ 2a2T , -— < 1,

2a22T2

определяющее необходимые и достаточные условия Х2-устойчивости решения линейного дифференциального уравнения (3) с коэффициентом, зависящим от полумарковского процесса д(1), который принимает два состояния, определяемые соотношением (4), и с заданными интенсивностями перехода из состояния в состояние (5).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. - М.: Изд-во РУДН, 1996. - 256 с.

2. Карелова О.Л., Банько МА. Вывод уравнений для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами // Известия Томского политехнического университета. - 2005. - Т. 308. - № 4. - С. 14-19.

3. Карелова О.Л., Банько М.А. Получение необходимых и достаточных условий ^-устойчивости решения системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2005. - Прилож. № 4. - С. 7-12.

УДК 519.886

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА И КОРРЕЛЯЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК С ТРЕНДАМИ

В.П. Григорьев, А.В. Козловских, Д.А. Марьясов

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Проведено качественное исследование математической модели динамики фьючерсных рынков. Показана возможность прогнозирования моментов смены тренда на основе корреляции траектории особых точек и трендов. Предлагается новая схема адаптации модели с раздельным прогнозированием трендовой и хаотической составляющих.

Введение

Проблема прогнозирования динамики рыночных характеристик исследуется уже достаточно долго. Существуют фундаментальные теории прогнозирования экономических последовательностей, однако они имеют свои ограничения [1]. В настоящее время приоритет принадлежит математическим методам детерминированного хаоса при моделировании экономических процессов [2]. Одним из наиболее перспективных направлений применения этих методов является исследования в области прогнозирования динамики рыночных характеристик.

Авторами была предложена модель динамики фьючерсных рынков [2], одним из достоинств которой является получение прогностических реализаций экономических характеристик с учетом их взаимного влияния.

Для развития этой модели и раскрытия ее потенциальных возможностей и преимуществ в описании и прогнозировании рыночных характеристик необходимо провести математические исследования основной системы нелинейных дифференциальных уравнений модели, определить ее особенности и выявить их связь с закономерностя-

ми рассматриваемых характеристик. Это позволит определить структуру ошибки прогноза, а также провести исследование в направлении поиска наиболее эффективных схем адаптации модели.

В данной работе на основе анализа решений системы дифференциальных уравнений модели и выделении трендовой и хаотической составляющих предлагается методика определения моментов смены направления тренда, улучшающая эффективность прогноза, а также новая схема адаптации модели.

Качественное исследование системы дифференциальных уравнений модели

В модели [2] входная информация рассматривается в виде детерминированного хаоса, т.е. хаотическое изменение параметров является нерегулярным (хаотическим), порождаемым нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию на выбранном временном интервале Д/ (Д//Т<<1, Д/ - соответствующая торговая сессия, Т - длина исследуемого временного ряда) при известной предыстории [3]. При этом основные уравнения модели, представленные в матричной форме, имеют вид [1]: