CC BY
12
МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.21
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПОЛУМАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
© 2005 г О.Л. Карелова, М.А. Банько
The operational equation for a density function of solutions of a system of the linear stochastic differential equations with semimarkov factors is obtained.
Application of the equation allows to find numerical performances of solutions. The behavior of numerical performances is described by the equations for the moments of solutions of the first, the second and the higher orders. With the help of these equations the behavior of solutions on the average or root-mean-square is investigated, there are averaged values of solutions, and also are defined necessary and sufficient conditions of a L2-stability of solutions.
Рассматривается система линейных стохастических дифференциальных уравнений
dX(t) = A(t, ç(t))X(t)dt + B(t, ç(t))X(t)dw1(t) + C(t, ç(t))dw2(t), (1) где wr(t), r = (1, 2) - независимые винеровские процессы; (w^t)) = t; ç(t) -полумарковский процесс, имеющий скачки в моменты времени t0, tb t2, ... (to = 0 < t1 < t2 < ...) и принимающий конечное число состояний в\, ..., в„. Процесс ç(t) определяется интенсивностями перехода из состояния 0k в 0s qsk(t) = K,fsk(t) (s, k = 1, ..., n), где nsk- одношаговые условные вероятности
перехода из одного состояния в другое nsk _ P[ç(tJ+1) _QS \ç{t] ) _вк } (k, s = 1, ..., n), которые являются элементами матрицы условных вероятностей перехода П = ||nsk |Щ _ .
При этом выполняются условия
qsk(t) > 0 (t > 0), J qsk(t)dt _ nsk (s,k _ 1,...,n).
0
Если ç(tj - 0) = 6k и ç(tj + 0) = 6S, то при tj < t < j-i система уравнений (1) принимает вид
dXs(t) = As(t - tj)Xs(t)dt + B(t - tj)Xs(t)dw1 (t - tj) + B(t - tj)dw2(t - tj),
(s = 1, ..., n). (2)
Предположим, что в момент tj скачка процесса ç(t) решение системы уравнений (1) имеет скачок, определяемый уравнением [1]
X(tj + 0) = CskX(tj - 0), det Csk Ф 0, (s, k = 1, n). (3)
Система уравнений (1) при различных реализациях случайного процесса с,(р) распадается на п различных систем стохастических дифференциальных уравнений
dXk(t) = Ak(f)Xk(t)dt + Bk(f)Xk(t)dWl(f) + Ск(^2(() (к = 1, ..., п; t> 0), где А,(.) = A(t, в,), В,(.) = В(., в,), С,(.) = С(., в,); элементы матриц А,(.), Вк(() и векторов Ск(() - непрерывные и ограниченные при t > 0 функции.
Введем стохастические операторы ) (к = 1, ..., п), отображаю-
щие плотность распределения /к(0, X) случайной величины Х,(0) в плотность распределенияX) случайной величиныХ(), т.е.X) = ^) х
X/,(0,X) (к = 1, ..., п).
Пусть случайный процесс дф) имеет плотность распределения
п
/X) = 2 /к X)8(д-вк), где д(д) - дельта-функция Дирака. Выведем
k=1
систему уравнений для частных плотностей/ку, X) (к = 1, ..., п). Используем вектор частных плотностей вероятностей
" т X)
Р (и X) = '
/к (^ X)
и рассмотрим последовательность векторов Г(— X) ( = 0, 1, 2, ...), где - -моменты скачков полумарковского процесса <;((). В моменты скачков ^ ( = 0, 1, 2, ...) вся предыстория случайного процесса Щ^, «забывается», т.е. не влияет на поведение решений системы (1) при t > ^. Поэтому существует стохастический оператор Щ) е Б^П ь такой, что
+ () = Щ)Щ) (- = 0, 1, 2, ...; t> 0). (4)
Поскольку все моменты скачков - ( = 0, 1, 2, ...) равновероятны, то в качестве начального момента времени возьмем ?0 = 0. Система уравнений (4) принимает вид
Г(.) = Ь(Ш0) ^ > 0). (5)
Пусть случайный процесс <;(() при ?0 = 0 попадает в состояние вк. При этом выполнены следующие условия /¡(0, X) = 0 (I Ф к), /к(0, X) > 0, | /к (0, X^ = 1.
Ет
С вероятностью у/кк() процесс д(() остается в состоянии вk в течение времени t > 0, с вероятностями дхк(т^т в течение времени [т, т + dт\ переходит в состояние ( = 1, ..., п). В момент скачка т происходит скачок фазового вектора (3) при - = т.
Введем стохастические операторы Б, определяемые формулами
Б,/(X) = /(С- X)\det С-\(*■, к = 1,..., п). Для частных плотностей/,(., X) получим уравнения
fk (t, X ) = ¥kk (t) RW (t) fk (0, X ) + j£ qsk (T) Lks (t - t) SskR{W (t) fk (0, X )
( W
0 s=1
f (t, X) _ JZ qsk (t) Ц, (t-T)SskRkW}(j) fk (0, X)dr (/ * k; k, / _ 1,..., n)
0 s_1
или в операторной форме
Lkfk (0, X ) _ ôlk^kk (t)RkW)(t) fk (0, X ) +
+J Z qsk (T)Lis (t - TSskR'W (T)fk (0, X)dT, (l, k _ 1,..., n).
0 s_1
Введем матрицы, элементами которых являются операторы
(6)
L(t ) =
Lii(t) Li2 (t) ... Lin (t) L2i(t) L22 (t ) ... L2„ (t)
Lni(t) L„2(t) ... Lm(t)
,Ä(w)(t ) =
Riiw)(t ) 0 0 R2W(t)
s (t) =
qii(t )Sii qi2(t )Si2 q2i(t )S2i q22(t) S22
0 0
qin (t)Sin 42n (t)S2n
RnW)(t )
?ni(t)Sni ?n2(t)Sn2 ... 4nn (t)Snn
L(t) = ||L„|[.=i, Rw)(,) = ||R«|[=i, 5 = |^ Система уравнений (6) выполняется, если выполняются операторные
уравнения
L,k (t) = ^kkRkW(t) + | S qsk (T) Lks (t-T) SskRkW)(T)dT (l, k = i,..., n)
■( w)t
0 s=i
которые можно записать в матричной форме
L(t ) = Y(t) R( w)(t ) + J L(t -t) S (t) R( W)(T)dT
>( w)i
(7)
где обозначено
¥(t ) =
^ii(t) 0 ... 0 0 ^22 (t) ... 0
_0 0 ... Ч,т (/)_ Используя равенство (5), запишем систему уравнений для вектора частных плотностей ¥($, X)
í
^ (/, X) = ¥(0 Я( (?) ^ (0, X) + | Щ - т) S (т) Я(к) (г)F (0, X )йГ
о
Таким образом, зная плотности распределения решений системы (1), можно найти числовые характеристики решений и исследовать их поведение в среднем или среднеквадратичном.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Пусть: а) коэффициенты системы линейных стохастических дифференциальных уравнений (1) зависят от полумарковского ко-нечнозначного случайного процесса <;((); б) между двумя последовательными скачками случайного процесса д(() при ^ < t < —ь д^) = в^ система уравнений (1) совпадает с системой (2); в) решения системы уравнений (1) имеют скачки вида (3), происходящие одновременно со скачками процесса д((). Тогда частные плотностиX) (к = 1, ..., п) случайного процесса (X(t), дф) определяются уравнением
Га X) = Щ)Е(0, X), где оператор Ь(() удовлетворяет операторному уравнению (7).
Литература
1. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. М., 1996.
Институт информационных технологий и систем управления (г. Москва);
Ставропольский институт управления 15 марта 2005 г.
УДК 519.21
ПОЛУЧЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ^-УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛУМАРКОВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2005 г. О.Л. Карелова, М.А. Банько
The stability on Lyapunov is not applied to research of behavior of random process, the L2-stability consisting in convergence of an improper integral from the second initial moment therefore is used. Necessary and sufficient conditions of a L2-stability of solutions of a system of the linear differential equations with semimarkov factors are obtained.
Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений
dXt) = A(t,g(t)) X (t), (1)
dt
где g(t) - полумарковский конечнозначный процесс, принимающий конечное число состояний в1, ..., вп. Предполагаем, что g(t) определяется интенсивностями перехода из состояния вк в 0s qsk(t) (s, к = 1, ..., п) [1]
