Вывод упрощенного уравнения крайней линии тока в задаче свободного растекания бурного планового потока Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.543

ВЫВОД УПРОЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КРАЙНЕЙ ЛИНИИ ТОКА В ЗАДАЧЕ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПЛАНОВОГО ПОТОКА

© 2014 г. В.Н. Коханенко, Н.Г. Папченко, М.А. Лемешко

Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. (86352)-3-55-21.

Папченко Наталья Геннадиевна - ст. преподаватель, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный универ-

Kohanenko Victor Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Don State Agrarian University. Ph. (86352)-3-55-21.

Papchenko Natalia Gennadievna - senior lector, department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Don State Agrarian University.

Лемешко Михаил Александрович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет.

Lemeshko Mikhail Aleksandrovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Don State Agrarian University.

Знание уравнения крайней линии тока крайне важно для выполнения крепления отводящего русла. Для этого авторы в настоящей работе использовали метод ввода промежуточной плоскости годографа скорости, который позволил решить задачу аналитически и пользоваться результатами в окрестности выхода потока из трубы вплоть до расширения потока в = 7. То есть идея С.А. Чаплыгина была применена к течению двухмерного планового потенциального в среднем бурного потока без учета сил сопротивления потоку, которые были оценены, и их влияние необходимо учитывать ниже вниз по течению потока.

Ключевые слова: крайняя линия тока; бурный плановый поток; свободное растекание; плоскость годографа скорости.

Knowledge of the equation of extreme line current is extremely important for the execution offixing of the river bed. To do this, the authors in this paper used a method of entering a plane hodograph speed, which allowed to solve the problem analytically and to use the results in the neighborhood of the output stream from a pipe up to enhance the flow of в = 7. That is the idea S.A. Chaplygina was applied to the stream of a two-dimensional planned potential in average turbulent flow of excluding the forces of the resistance to the flow, which have been evaluated and their impact should be considered a lower down the stream.

Keywords: extreme current line; the planned flow; free; the spreading of the hodograph plane speed.

Уравнение крайней линии тока в задаче свободного растекания бурного планового потока было получено авторами [1] как обработкой экспериментальных данных, так и аналитически [2, 3]. Была попытка определить крайнюю линию тока и численными методами [4]. Однако универсальности этой линии и особенно адекватности в окрестности выхода потока из прямоугольной трубы не было достаточно для надежного ее использования проектировщиками водопропускных сооружений. Максимальная адекватность модели необходима именно в окрестности выхода потока из трубы. Авторами в [5] доказано, что на выходе потока из трубы поток с определенной степенью достоверности можно считать потенциальным в среднем [1]. Это позволило авторам на выходе потока в широкое гладкое горизонтальное отводящее русло в качестве модели потока выбрать модель двухмерного в плане потенциального в среднем, что подтверждается экспериментальными данными и гораздо повышенной адекватностью

модели крайней линии тока по сравнению с известными ранее результатами [6, 7].

Авторы в настоящей работе использовали метод ввода промежуточной плоскости годографа скорости [5], который позволил решить задачу аналитически и пользоваться результатами в окрестности выхода потока из трубы вплоть до расширения потока в = 7. То есть идея С.А. Чаплыгина была применена к течению двухмерного планового потенциального в среднем бурного потока без учета сил сопротивления потоку, которые были оценены, и их влияние необходимо учитывать несколько ниже вниз по течению потока [1]. Знание уравнения крайней линии тока позволяет также определить линии схода косых гидравлических прыжков при ударе крайней струи потока о боковую стенку русла.

По аналогии с методом С.А. Чаплыгина была выведена следующая система уравнений в частных производных относительно функции тока и потенциальной функции в виде:

Зф h0 3т -1 Зу зГ =~1И~о т(1 -т)2 56 ' Зф _ 2h0 т Зу 30 = H0 1 -т Зт '

(1)

где ф, ^ - соответственно потенциальная функция и функция тока; 9 - угол наклона вектора скорости

жидкой частицы к оси Ох; т =

V2

стного коэффициента X, X =

2gH о V

квадрат скоро-

скоростной

1/2

ф = -

h0 A cos 6 H0 т1/2(1 -т).

(2)

V)b

sin 8

.1/2

= sin 0„

cos 8

(2)

т1/2(1 -т) тА2(1 -тA )'

d (х + iy) = 1 e10 í dф + i-° dу |.

(3)

коэффициент; g - ускорение свободного падения; h0 - глубина потока на выходе из трубы; H0 - по-

V2

стоянная, H0 = —— + h0.

0 2 g 0

В работах [8, 9] доказано, что в качестве линии тока и эквипотенциали можно выбрать решение системы (1) в виде:

. sin 8

Ф = A-

Рис. 1. План течения бурного потока

Идя вдоль линии тока от точки К к точке М с учетом d ф = 0, из (3) интегрированием получим [5]:

Ah

0

2^2gH

1 + т

1 + т , т K (1 - т)

LK

+

- ln-

т(1 -т) т(1 -т к ) 2sin2 0ш(тк -т)

тк (1-т) (1 -тк )(1 -т)

K

b + Ah0 sin 0

2 figHÖ

(4)

cos 8

cos 8K

т1/2(1 -т) тК2(1 -тк)_

При этом для крайней линии тока ф = , V0 -

модуль вектора скорости потока на выходе из трубы. Эквипотенциаль определим параметром тл на оси симметрии потока. В таком случае получим систему для определения координат в точке пересечения экви-потенциали с линией тока:

Систему (4) получаем в параметрическом виде. Задачей настоящей работы является ее аппроксимация в явном виде. Второе уравнение системы (4) можно переписать в виде

cos8 cos8K

= b + Ah0sin 0a

2 V^gH3

тA2(1 -тA ) т0/2(1 -V

Обработкой статистической информации по координатам крайней линии тока, с учетом некоторых аналитических положений, авторы получили следующее уравнение крайней линии тока в явном виде, использование которого гораздо удобнее, чем в параметрической форме (4):

b

y = \/-Т + ЬЩ0к + х 2tg20n

4

(5)

где 9тах - угол максимального отклонения крайней верхней линии тока от оси потока [5]. Вдоль линии тока выполняется первое уравнение системы (2). Решение системы (2) сводится к решению уравнения третьей степени относительно т [10]. Тогда соответствующий угол определим соотношением:

9 = arcsm(т1/2sm 9тах).

Для определенности считаем, что 9, т - параметры в точке М крайней линии тока (рис. 1): 9 =9М,

т = тм.

Далее, используя дифференциальную связь между плоскостью годографа скорости и физической плоскостью течения потока, имеем:

Проверим, что на выходе потока из трубы у'х = tg9г. Для этого возьмем производную у по х. Получим:

Ух =-

1

btg0к + 2xtg20n

(6)

+ bхtg0к + х 2tg20n

При условии x ^ 0 получим:

УХ = tg8^ .

(7)

Следовательно, условие на выходе крайней линии тока из трубы выполняется. Далее разделим числитель и знаменатель в выражении (6) на х и получим:

Ух =-

b 2 - tg0к + 2tg20max

х

b2 b

—т + -1 4х2 х

+ tg26m

1

2

2

1

2

hO = s.39 (см) b = 16 (см)

Q = 1.8 X IG4 [ ^

I см |1

Vg = 134.088 -

Fr = 2.184

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Рис. 2. Сравнение крайних линий тока

При условии x ^да получим:

y'x = tg0 max •

Условия (7) и (8) необходимы для решения поставленной задачи. Заметим, что функция y = y(x) (5)

монотонно возрастающая при 1 < т0 < 1. Далее компьютерным путем сравним экспериментальные крайние линии тока с полученными авторами приближенным методом крайней линии, полученной параметрически. Было приведено сравнение результатов с другими авторами (рис. 2).

Дополнительно к решению уравнения (5) необходимо знать угол 0 K наклона крайней линии тока к оси Ох в точке К на выходе из трубы, получаемый из решения системы:

sin 0 K . _

= Sin 0max :

TK

cos 0

(9)

^K2(l-Tk ) ^(1 -To)'

Сравнение результатов исследований в настоящей работе позволяет сделать вывод о возможности пользования уравнения (5) совместно с системой (9). Адекватность полученных сравнений позволяет рекомендовать результаты настоящей работы при разработке водопропускных сооружений в безнапорном режиме и правильно назначать размеры крепления сооружения [5, 11], что повышает надежность сооружения в целом.

Результаты работы были апробированы и получены акты внедрения в производство Министерством водного хозяйства Ростовской области.

Литература

(8) 1. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 212 с.

2. Шеренков И.А. Гидравлические расчеты нижнего бьефа малых искусственных сооружений при растекании бурного потока в отводящем русле // Труды объединенного семинара по гидротехническому строительству. Харьков, 1961. Вып. Ш.

3. Высоцкий Л.И. Управление бурными потоками на водосбросах. М., 1977. 280 с.

4. Милитеев А.Н., Тогунова Н.П. Метод расчета сопряжения бьефов в пространственных условиях // Гидравлика сооружений оросительных систем: Труды НИМИ; вып. 5. Новочеркасск, 1976, T.XVIII. С. 180 - 194.

5. Коханенко В.Н. Волосухин Я.В., Ширяев В.В., Коханенко Н.В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография. Ростов н/Д., 2007. 168 с.

6. Справочник по гидравлике / под ред. В.А.Большакова: 2-е изд., перераб. и доп. Киев, 1984. 343 с.

7. Лилицкий Г.А. Сечение полного растекания бурного потока при внезапном расширении русла // Гидравлика и гидротехника. Киев, 1966. Вып. 3. С. 93 - 97.

8. Косиченко Н.В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями // Вестн. Саратовского госаг-роуниверситета им. Н.И. Вавилова. 2011. № 9. С. 27.

9. Косиченко Н.В. О лепестке свободного растекания бурного потока в широкое укрепленное русло // Природоуст-ройство. 2011. № 3. С. 58.

10. Мицик М.Ф., Косиченко Н.В., Лемешко М.А. Метод с использованием годографа скорости применительно к расчету параметров бурного двухмерного потока // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сб. ст. IV Между-нар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза, 2010. С. 130.

11. Шеренков И.А. О плановой задаче растекания струи бурного потока несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 1.

Поступила в редакцию

26 декабря 2013 г.

1