CC BY
16
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2013. № 3
УДК 532.543
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРАЙНЕЙ ЛИНИИ ТОКА В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ В ЗАДАЧЕ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА ЗА БЕЗНАПОРНЫМИ ТРУБАМИ
© 2013 г. В.Н. Коханенко, Н.Г. Папченко
Kohanenko Victor Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Donskoy State Agrarian University. Ph. 8 (86352)-3-55-21.
Papchenko Natalia Gennadievna - senior lector, department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Donskoy State Agrarian University. Ph. 8(928) 607-53-70.
Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. 8 (86352)-3-55-21.
Папченко Наталья Геннадиевна - ст. преподаватель, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. 8(928) 607-53-70.
Решение задачи свободного растекания бурного потока необходимо для расчета сооружений, в которых реальные потоки близки к модели двухмерного в плане открытого водного потока. В настоящей работе приводится метод решения задачи в плоскости годографа скорости для свободного растекания потока несжимаемой жидкости из прямоугольной трубы в широкое отводящее русло. Ключевые слова: крайняя линия тока; плоскость годографа скорости; свободное растекание бурного потока.
Solution of the problem offree-spreading turbulent flow is necessary for the calculation of the structures, in which the real flows close to the models of two-dimensional in terms of open water flow. In this work we method of solving the problem in the plane of the hodograph of the speed for the free spreading of the flow of an incompressible fluid of rectangular pipe in a wide отводящее direction.
Keywords: extreme current line; plane hodograph speed; the free spreading of the turbulent flow.
Решение задачи свободного растекания бурного потока необходимо для расчета сооружений, в которых реальные потоки близки к модели двухмерного в плане открытого водного потока. В работе [1] описано решение граничной задачи для течения идеального газа в плоскости годографа скорости, которое является основой для решения этой же задачи в физической плоскости. Аналогично этому в настоящей работе приводится метод решения задачи в плоскости годографа скорости для свободного растекания потока несжимаемой жидкости из прямоугольной трубы в широкое отводящее русло.
Для течения двухмерного в плане водного потока справедлива следующая система уравнений [2]:
Зф _ h0 3т -1 Зу 5т = 2Я0 т(1 -т)2 59 ' Зф 2h0 т Зу З9 = H 1 -т Зт '
(1)
жидкой частицы к оси Ох; т = стного коэффициента X, X =
V2
2gH о
V
V
2
постоянная, H0 = —^ + h0.
0_ 2 g
Граничная задача свободного растекания потока заключается в задании системы уравнений, описывающей течение двухмерного в плане водного потока, а также граничных условий на выходе потока из трубы и на бесконечности. Экспериментальные данные И.А. Ше-ренкова [3] показывают, что поток на выходе из трубы имеет направление стенок трубы, т.е. 0 = 0 при т = т0.
Целью настоящей работы является поиск вида уравнения крайней линии тока непрерывного по параметрам потока в плоскости годографа скорости и дающего результат, адекватный экспериментальным и натурным данным.
Для того чтобы правильно сформулировать граничную задачу, выявим основные свойства потока:
1. Угол 0тах при т = 1 вдоль крайней линии тока описывается в работе [2] из уравнения характеристики в плоскости годографа скорости:
е„
= C + (ч/з-1) -
где ф, у - соответственно потенциальная функция и функция тока; 0 - угол наклона вектора скорости
2
где Cj = arctg
3т° 1 -V3arctg 1 -тп
3тр -1 1 -тп
J_
73
■ квадрат скоро-
скоростной
42ёН~0
коэффициент; g - ускорение свободного падения; У0 - модуль вектора скорости потока на выходе из трубы; ^ - глубина потока на выходе из трубы; Н0 -
2. « 0 » является монотонно возрастающей функцией относительно « т », что видно из уравнения одной из характеристик [4]
0 = л/3аг^ - агйёл/ ^ -1 + С1,
3
где F - число Фруда, F =
2т
1 -т
Для определения линии тока необходимо решить систему (1) или ей эквивалентное следующее уравнение второго порядка в частных производных:
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН.
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2013. № 3
д [ 2т ду
дт 11 -т дт
1 - 3т д 2у 2т(1 -т)2 д92
= 0.
(2)
Уравнение (2) имеет аналитический спектр решений, определяемый различными методами. Один из методов - метод разделения переменных [2]. Таким решением является уравнение вида
У = Ак V k ke, (3)
где k = 1, 2,3,...
Найдено также решение уравнения (2) в виде [5]
у = C sin(6max -9)
(1 -т)2
__1 /2
(4)
(1 -т)2
у = Csin(9max -9)^/- + Z Akуk sink9,
k=1
где Ak и C - неизвестные коэффициенты, определяемые из решения граничной задачи.
Таким образом, уравнение для крайней линии тока в плоскости годографа скорости имеет вид:
V0b (1 -т)2
у = = csin(9max -9)- + Z Akуk sink9 ,
2 т k=1
где Ь - ширина водопропускной трубы.
Для того чтобы выполнялось условие монотонности угла е от т , выявлено, что удовлетворяют только слагаемые в ряду при k = 1. Поэтому
у = C sin(9max -9
,(1-т)2
.1/2
+ A^j^sin 9 + A2у2sin 9 , (5)
у(то,0) = V2b ^"T72Sin0 + CSin9max 1/2
2 то то
Следовательно,
M = C sin 9 2
(1-то )2
max 1/2 тп
C = V0b
1/2
2 sin 9max (1-т0 )
2
б) на бесконечности
Vob
A
у = у(1, 9max ) = = 1^sin9max +
(1 -1)2
+C sin(9max -9max)^^ = A sin 9„
,1/2
Следовательно,
A=
Vob
Учитывая оба решения, т.е. (3) и (4), автор предлагает следующее общее решение для функции у :
2^П етах
Анализируя уравнение крайней линии тока (6), можно убедиться, что с увеличением т от т0 до тк и угла е от 0 до ek, где тк , ек - параметры потока
после его деформации, роль второго слагаемого уменьшается в сотни раз по сравнению с первым слагаемым, и оно практически совпадает с уравнением A ■ 0 Vob
Выводы по работе:
1. Выражение для линии тока в виде (6) соответствует качественно и количественно экспериментальным данным (неразрывности по параметрам потока, адекватности модели).
2. Роль слагаемого C sin(9max -9)
(1 -т)2
1/2
в выра-
т.е. у = у(С, A1, A2,т,е).
Далее используем принцип оптимальности для процессов, имеющих дополнительную степень свободы. Угол е, определяемый как неявная функция из уравнения (5), должен быть максимальным при любом те[т0,1]. Таким образом, задача определения коэффициентов C, A1, A2 сводится к задаче динамического
программирования. Эта задача была решена автором и выявлено, что оптимальным будет решение вида:
е+c sin(e тах -е) (1-2)- = , (6)
Т Т 2
где А и С - неизвестные коэффициенты.
Постоянные А и С определяются из граничных условий:
а) на выходе потока из трубы
(1 -То )2
жении (6) асимптотически уменьшается с ростом т , е и фактически стремится к нулю уже на расстояниях х/Ь < 0,1 вниз по течению потока от выходной кромки водопропускной трубы.
3. В практических расчетах параметров потока можно в полной мере пользоваться как выражением
^ = е =, так и (6). Рассогласование по
т 2
параметрам потока и его геометрии несущественно для практических расчетов крепления отводящего русла потоков, рассматриваемых в работе, по сравнению с погрешностью метода выбора потенциального течения потока в целом.
Литература
1. Чаплыгин С.А. Избранные труды. Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика. М., 1976. 496 с.
2. Коханенко В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография. Ростов н/Д., 2007. 168 с.
3. Шеренков И.А. Гидравлические расчеты нижнего бьефа малых искусственных сооружений при растекании бурного потока в отводящем русле 77 Тр. объединенного семинара по гидротехническому строительству. Харьков, 1961. Вып. 3.
4. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 212 с.
5. Папченко Н.Г. Поиск решений краевой задачи свободного растекания бурного потока за водопропускными трубами в плоскости годографа скорости для линии тока 77 Вестн. развития науки и образования. 2009. № 6.
Поступила в редакцию
11 февраля 2013 г.
т
о
