Аппроксимация крайней линии тока в задаче свободного растекания бурного потока за водопропускной трубой Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ

УДК 532.543

АППРОКСИМАЦИЯ КРАЙНЕЙ ЛИНИИ ТОКА В ЗАДАЧЕ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА ЗА ВОДОПРОПУСКНОЙ ТРУБОЙ

© 2010 г. Е.В. Дуванская *, В.Н. Коханенко**, М. Ф. Мицик*

*Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты

**Донской государственный аграрный университет

*South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty

**Donskoy State Agrarian University

Предлагается упрощённое описание крайней линии тока при свободном растекании бурного стационарного двухмерного планового потока. В отличие от предыдущего решения, новая линия тока удовлетворяет условиям неразрывности параметров течения при выходе потока из прямоугольной трубы в отводящее русло. Показана адекватность нового решения предыдущему и эксперименту в границах практического применения.

Ключевые слова: крайняя линия тока; прямоугольная труба; горизонтальное отводящее русло.

In this work the simplified description of an extreme current line is offered at free spreading of a rough stationary two-dimensional planned flow. In difference from the previous decision, the new current line satisfies to conditions of indissolubility of a current parameters at an exit of a flow from a rectangular tube in escape. Truth of the new solution previous and to experiment in boundary ofpractical application is shown.

Keywords: extreme current line; rectangular tube; horizontal escape.

В работах [1, 2] была поставлена и решена задача определения параметров потока за водопропускной трубой прямоугольного поперечного сечения. Графическое изображение крайней линии тока, являющейся границей растекания потока, представлено на рис. 1.

В работе [1] уравнение крайней линии тока было получено в параметрической форме:

Ahn

lnт* (1 -t). :(1 -T) x(1 -t* )

1 + Tf

2sm2 6max (TK _T)

(1_T* ) (1_T* )(1_T)

(1)

= b + Ahosrn 9max

2 h 0'^22н

cos 8

cos 8K

t1/2

(1 -T) T*2 (1 -T* )

^ - глубина потока на выходе из трубы; Ь - ширина трубы; 6- угол между вектором скорости и осью симметрии потока ОХ; 6тах - угол между вектором скорости и осью симметрии потока ОХ на бесконечности; тк, 6К - значения параметров потока т, 6 в точке «К»;

где х, у - координаты крайней линии тока;

V 2

т =--скоростной коэффициент, изменяющийся

0

в пределах 1 <т0 <тк < т < 1; V- модуль вектора

скорости жидкой частицы; g - ускорение силы тяжести; Н0 - полный напор потока; V, - модуль скорости потока на его выходе их трубы в отводящее русло;

A =-

Vob

2sin 9m

Крайняя линия тока y = f (x)

Начальная эквипотенциаль

Рис. 1. План растекания потока

x =

х

Однако полученное решение для крайней линии тока в целом не лишено недостатков. В точке «К» имеет место разрыв по параметрам потока, а именно:

- на выходе потока из трубы угол 0 = 0, а в точке «К» согласно теории в [2] 0 ф 0;

- переменная « т » на выходе потока из трубы на оси плана течения равна т0, а в точке «К» переменная

1

« т » равна 1 > тк > т0 > —.

Несмотря на то что, как показывают эксперименты по исследованию свободного растекания потока [1], линия тока (1) в окрестности выхода потока из

трубы в отводящее русло до расширения р = — = 7

Ь

имеет хорошую адекватность по геометрическим параметрам, систему уравнений (1) можно заменить с помощью аналитических исследований кривой у = f (х), такой, что

уХ = Л' = ° у (0)=2; пРи х = 0 и

Ух ^

при X ^ да.

(2)

y ^ /у+tg2en

(3)

Покажем сначала, что кривая (3) удовлетворяет условиям (2). Для этого непосредственной проверкой

убеждаемся, что у (0) = Ь.

Найдем производную функции (3)

Ух =

tg2en

(4)

+tg2en

Нетрудно видеть, что при x = 0,

Ух' ^ tge„

при X ^ с

Проведем оценку рассогласования между кривыми (1) и (3). Покажем сначала, что кривую (1) можно представить в параметрической форме как зависимость только от переменной « т » и параметров т0, Ь . Подставим в (1) выражения для , известные [3] в задаче свободного растекания потока:

к = Н0 (1 -Т0); Vo .

Подставим выражения для А,К0,^, в (1). Система (1) после упрощения приводится к виду

Кривая (2) не имеет разрыва по параметрам потока, кроме того, она будет представлена в более простом виде, чем кривая (1), что удобно при решении прикладных задач.

Решение в виде (2) при условии, что крайняя линия тока была бы достаточно близка к кривой (1), соответственно адекватной границе натурного сво-боднорастекающегося потока, исключило бы указанные выше недостатки. Поиску зависимости (2) и посвящена эта работа.

В качестве крайней линии тока, удовлетворяющей вышеуказанным условиям, предлагается следующая зависимость:

х =

^ (1 -Xo)

4sin em

in Xk (1 -x).

:(1 -x) x(1 -тк )

1 + TK .+ 2Sin2 emax (XK -X)

(1-tK ) (1-tK )(1-t)

(5)

y = b + ^ (1 -Xo ) 2 2

cos 8

cos 8f

rV2

(1 -T) XK2 (1 -XK)

Из [4] известно, что максимальный угол растекания потока 0тах выражается через т0 по формуле

e_ -1)f+arctj^

-\/3arctg ' 3Xo 1

3 (1 -Xo )'

В работе [1] получена система двух уравнений для определения параметров « тк » и « 0к »

sineK = xK sinem

cos 8K

1

ск ■

(6)

(1-Xк ) X02 (1 -To )

Найдем решение системы (6) в явном виде. Из второго уравнения системы выразим cos 8 K

cos eк = -K^

(1 -X к )

(7)

Xo2 (1 -Xo )

X

2

X

1

X

X

2

b

2

X

4

yx'= tg 8( 0) = 0. Из (4) также следует, что

Возведем в квадрат обе части первого уравнения системы (6) и уравнения (7), воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получим уравнение относительно одной неизвестной « тк »

(! )

2 + хК Sin 0max = 1.

(8)

(9)

Т0 (1 "т0 )

Приведем уравнение (8) к виду

ТK (1 "ТK )2 + М\Т K "М2 = 0, ГДе M1 = т0 (1"т0 )2sin2 0max; M2 = Т0 (1 " Т0 f.

Уравнение (9) решается согласно известной теории в [5]. Можно показать, что значением корня тK, являющимся решением уравнения (9) и удовлетворяющим задаче свободного растекания бурного потока, является

2 2 I-

т k =---v1 " 3M1 х

3 3

(

х cos

л 1 2

— л— arccos 33

27M2 ^

2 -1 - 9Mj

V(1 - 3Mi )3

0K = arcsin

хK sin0max

и также зависит лишь от т0.

Функция cos 8 определяется по известной из [1] зависимости

cos 0 = ^ 1 -х sin2 0П

(1 -хо )

4sin 0„

1 +xt

ln хK (1 -х) , ;(1 -х) х(1 -хk )

2sin2 0max (хK -х)

(1 -Хк ) (1 -Хк )(1 -х)

(10)

в выражение функции (3). Следовательно, функция (3) также зависит лишь от т, т0 и Ь, причем по «Ь » является линейной.

Как известно [6], для сооружений дорожного водоотвода расчет параметров потока в нижнем бьефе проводится для предельного расширения

Р = - = 5 7, Ь

где В - ширина нижнего бьефа. В связи с этим относительная погрешность рассогласования кривых (1) и (3) будет определяться по формуле

Д =

2 ( У\ - У 2 )

7b

здесь

У =- + 1 2

b , bVX0 (1 -Хо )

2

i

1 -х sin2 0„

х12

cos вц

(1 -х)

х12

(1 -х к )

где коэффициенты М1, М 2 определяются по формуле (9) и зависят только от т0.

Угол 6К определяется из первого уравнения системы (6)

( 1 А

а функция у2 определяется по формулам (3), (10).

Нетрудно видеть, что оценка рассогласования Д зависит только от т и т0. Таким образом, речь идет о нахождении максимума функции двух переменных.

Как отмечено в [6], при проектировании сооруже-

V 2

ний дорожного водоотвода число Фруда Fr0 = —

gh 0

для открытых потоков изменяется в пределах от 1,5 до 5, что соответствует изменению параметра т0 в пре-

3 5 делах от — до —. 77

Сравнение кривых (1) нас интересует в пределах нижнего бьефа, откуда границы ординат модельных кривых удовлетворяют условиям

7b

^М У2\< у.

(11)

Таким образом, координаты « х, у » крайней линии тока (5), (соответственно (1)) зависят только от переменной « т » и параметров т0 и Ь, при этом зависимость от параметра Ь является линейной для обеих координат.

Для сравнения кривых (1) и (3) подставим

Легко показать, что функции y1, y2 являются возрастающими по переменной т при каждом фиксированном значении параметра т0. Используя пакет прикладных математических программ Maple 9.5, моде-

3 5

лированием по т0 в пределах от — до — определяем,

79

что условия (11) выполняются при тK < т < — .

80

Затем с помощью пакета Maple 9.5 был построен трехмерный график рассогласования Д(т; т0) (рис. 2), где

3

5

1

79

-<х0 <- ; -<х< — .

7

7

3

80

(12)

Рис. 2. Графическое изображение рассогласования кривых (1) и (3) по переменным г и х0

2

х

х

Нетрудно видеть, что рассогласование моделей (1) и (3) при условиях (12) не превосходит 3 %.

На рис. 3 для наглядности приведены графики кривых (1), (3) в сравнении их с экспериментом при различных условиях выхода потока из трубы, т.е. различных значениях Ьу0, К0.

Опыт № 1

Ь = 16см; ¥0 = 148—; К0 = 9,27см; Fr0 = 2,397.

yi 100

/ ..........*

IM J Л ::U r-j '>;) x1

Опыт № 2

, см

b = 8см; V0 = 151—; h0 = 8,71см; Fr0 = 2,658.

В результате сравнения этих кривых для теоретических моделей (1) и (3) с данными эксперимента был получен следующий вывод:

К 0

- при значениях Fr0 от 1,4 до 5,7 и — в пре-

Ь

делах [0,2; 2] (т.е. в тех диапазонах значений, которые используются при проектировании дорожных водопропускных сооружений) при одинаковых значениях «х» относительное рассогласование

2 (У1 - У 2 ),

д =

7b

-100%

не превосходит 3 %

Этот вывод и результаты сравнения экспериментальных (2) и модельных (1) крайних линий тока позволяют рекомендовать уравнение (3) в качестве основного и упрощенного для расчета границ области растекания потока. Таким образом, для модели (3) границы плана течения бурного свободнорастекающе-гося потока лишены недостатков модели (1) и удовлетворяют условиям неразрывности его геометрических параметров на выходе из трубы прямоугольного сечения в нижний бьеф.

График плана течения двухмерного бурного потока из опыта 1, ограниченного крайними линиями тока в форме (3), представлен на рис. 4.

x1

Рис. 3. Сопоставление модельных кривых крайней линии тока (1) и (3) при различных условиях выхода потока из трубы: О—О-—О— - кривая в параметрической форме (1);

................... - экспериментальные данные (2);--кривая

в явном виде (3)

Экспериментальные исследования проводились на основе полнофакторного планирования, при этом применялась модель Бокса - Уилсона [7]. В качестве входных параметров модели были рассмотрены:

- ширина трубы на выходе в нижний бьеф;

- расход потока на выходе из трубы;

- глубина потока на выходе из трубы.

Значения входных параметров варьировались с

постоянным шагом от наименьшего до наибольшего из возможных значений параметров Q, К0 и Ь. Согласно плану эксперимента было проведено 89 опытов.

Рис. 4. План растекания потока, ограниченного крайними линиями тока в форме (3)

Уравнение крайней линии тока (3) может представлять интерес для исследователей в области плановых бурных потоков и для проектировщиков ГТС, рассчитывающих параметры свободного растекания водного потока за водопропускными трубами в безнапорном режиме.

Литература

1. Мицик М.Ф., Косиченко Н.В., Лемешко М.А. Метод с использованием годографа скорости применительно к расчету параметров бурного двухмерного потока // Мат.

и компьют. моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. статей IV Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза, 2010. С. 130 - 141.

2. Коханенко В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография / В.Н. Коханенко [и др.]; под общей ред. В.Н. Коханенко. Ростов н/Д., 2007. 168 с.

3. Коханенко В.Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки за водопропускными сооружениями в усло-

Поступила в редакцию

виях свободного растекания: дис. ... д-ра техн. наук. М., 1997. 238 с.

4. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 212 с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1970. 720 с.

6. Справочник по гидравлике / под ред. В.А. Большакова. -2-е изд., перераб. и доп. Киев, 1984. 343 с.

7. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий: монография. М., 1976. 139 с.

9 сентября 2010 г.

Дуванская Елена Викторовна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Сервис», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, факультет сервиса. Тел. 8-903-43-177-26. E-mail: delvik2004@list.ru

Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Техническая механика и гидравлика», Донской государственный аграрный университет. Тел. (863 52) 5-55-21. E-mail: kosmi74-@yandex.ru

Мицик Михаил Федорович - канд. техн. наук, доцент, кафедра математики, Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. 8-906-42-42-716. E-mail: m_mits@mail.ru

Duvanskaya Elena Victorovna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Service», South-Russia State University of Economics and Service. Ph. (8636) 22-77-56. E-mail: delvik2004@list.ru

Kochanenko Viktor Nikolaevich - Doctor of Technical Scince,professor, head of departament «Mechanic and Hydraulic», Donskoy State Agrarian University. Ph. (863 52) 5-55-21. E-mail: kosmi74@yandex.ru

Micik Michail Fedorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Mathematics», South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty. Ph. 8-903-43-177-26. E-mail: m_mits@mail.ru