CC BY
26
Описание потенциальной функции для уточненного уравнения линий тока В.Н. Коханенко, М.Ф. Мицик, О.А. Алейникова
Определение параметров свободного растекания потока за водопропускными отверстиями в широкое отводящее русло имеет важное прикладное значение для проектирования сооружений дорожного водоотвода. При этом полагают дно отводящего русла горизонтальным, а поток двухмерным в плане.
В работах [1, 2, 3] показано, что силами сопротивления потоку в области крепления отводящего русла можно пренебречь. Поэтому дополнительно полагаем поток потенциальным и стационарным. Выводы применимости полученного результата сделаем по степени адекватности модели и реального потока по его параметрам.
Рассмотрим схему течения потока в плане.
Крайняя линия тока
Рисунок 1 - План растекания потока в терминах линия тока, эквипотенциаль
Для формулировки задачи в физической плоскости течения сформулируем свойства бурного потока. Известны параметры h0, V0, b на
выходе потока из прямоугольного безнапорного отверстия в широкое отводящее русло:
h 0 - глубина потока;
V0 - модуль вектора скорости; b - ширина, выходного отверстия.
Перейдем от физической плоскости течения потока [4, 5] к использованию уравнений движения потока в плоскости годографа скорости. Система уравнений движения потока в плоскости годографа скорости представлена в форме [6]:
Зф _ 2h0 т Зу _
so и0 i -т Зт;
Зф _ h0 3т-1 Зу (1)
з7_ 2И~0 т(1 -т)2 50 ,
где: ф - потенциальная функция;
у - функция тока;
0 - угол между вектором скорости жидкой частицы потока и осью ОХ;
V2
т _ 2и нормированный модуль вектора скорости.
В работе [7] получено уравнение крайней линии тока в виде
у A Sin 0 С Sin(0-0max X1 -т)2 V0Ь v
у_ A1 ~ I _ _^, (2)
т2 т2
A V0b C V0b т02
где: A _—-^—; C~
0та/ 2(1 -То )2§1П 0тах
Найдем уравнение для произвольной эквипотенциали. Воспользуемся сначала первым уравнением из (1). Для этого найдем из (2)
Зу _ А бш0 + 2Сбш(Є-ЄтахXі-і) + Свїп(Є-Єтах)(і-х)2
Зт 2
3_
2т2
(3)
- А БІЛ0 + С БШ (Є-Є тах )(і -т)(3т + і)
2
Подставим выражение (3) в первое уравнение системы (1), получим уравнение
Зф 2К о т
30 Нп 1 -т
- А + С 8Ш(0-0тах Xі -т)3т + 1)
з_
2т2
или
К
Зф
30 Н0
А БІП 0 С БІП(0-0тах )3т +1)
(і-т)
Интегрирование уравнения (4) по переменной 0 приводит к
зависимости
ф_
АКо СОБ 0 СКоСО8(0-0тах )(3т + і)
+ Сі (т)
т2 (і -т)
Н о т2
(4)
(5)
где С1 (т)- неизвестная функция по переменной т .
Для нахождения С1 (т) воспользуемся вторым уравнением системы (1). Вычисляем производную по т от потенциальной функции ф в форме (5)
Зф _ 3 Зт Зт
АКо ООБ 0 СКоС^0-0тах )3т + і)
Н 0 і
о т 2
Сі (т)
т2 (і -т)
Нот2
АКо (3т- і)сО8 0 - СКо СО§(0 - 0тах )т- і) ЗСі (т)
2 Н
о т2 (і-т)2
2 Н о т2
Зт
Найдем производную
Зу
30
2
т
т
3
2
т
X
т
і
3
3
Зу _ A cos 0 C cos(0 - 0max )(l - t)
30
Подставим выражения (6) и (7) во второе уравнение системы (1), получим Ah 0 (3t- l)cOS 0 Ch Ocos(0-0max X3t- l) 3C1 (t)_
2Ho t f
t 2 (l -t)2
2 H 0 t 2
3t
ho 3t- 1
2Ho t(1 -t)2
A cOS 0 C cOS(0-0max № -t)2
(8)
V х2 т
Нетрудно видеть, что после упрощений уравнение (8) преобразуется к виду
дСх (х)
дт
_ 0,
или C1 _ const. (9)
Таким образом, искомое выражение для потенциальной функции имеет вид
Ф
Ah0 cos 0 Ch0 cos(0 - 0max X3t + 1)
+ C1.
т2 (1 - t)
(10)
H 0 т2
Функция (10) является решением уравнения (1) при любом значении постоянной С1, в частности, при С1 = 0. Значение константы С1 может быть определено в конкретной двухмерной плановой задаче.
Изучим поведение каждого из слагаемых, входящих в выражение для потенциальной функции. Пусть С1 = 0. Представим потенциальную функцию в форме
Ф_Ф1 -Ф
2
(11)
где: ф1
Ah 0 cos 0
Ф 2 _
Ch 0cos(0-0 max )(3t + 1)
т 2 (1 -t)
H 0 т2
Рассмотрим отношение
1
Ф2 _ H0T 2 (1 - t) Ch0cos(0-0max )(3t + 1)
Ф1
Ah0 cos 0
H 0 т2
x
X
3
1
(l - т)с cos(e - emax )(3T + l) (l2)
A cos e
с
Найдем значение величины a
С 2sln emax V0b T0 T0
A V0b 2(1 -T0 )2sin 0max (1 -T0)
Упростим правую часть равенства (12)
Ф2 _ (1 -T)cos(0-0max )(3T + 1) T0/2
1/2 T1/2
(13)
(14)
Ф1 cos 0 (1 -T0 )2
Как известно из [1], вниз по течению потока т ^ 1, соответственно в
Ф 2 ..... выражении , что нетрудно видеть из (14), числитель стремится к нулю, а
Ф1
знаменатель всегда отличен от нуля. Таким образом, Ф * 0 при т ^ 1, то
Ф1
есть вниз по течению потока в формуле (11) влияние первого слагаемого становится преобладающим.
Плановые задачи гидравлики решаются также и численными методами [8, 9, 10], однако аналитические методы решения двухмерных плановых задач позволяют более глубоко и всесторонне изучить свойства двухмерных бурных потоков.
Выводы по работе.
1. Выражение для потенциальной функции в виде (11) соответствует качественно и количественно экспериментальным данным (неразрывности по параметрам потока, адекватности модели).
Ch0 (3T + 1)cos (0 0 max )
2. Роль слагаемого Ф2 1 в выражении (11)
H 0 т 2
асимптотически уменьшается с ростом т вниз по течению потока.
Литература:
1. Коханенко, В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В.Н. Коханенко, Я.В. Волосухин, В.В. Ширяев, Н.В. Коханенко; под общей ред. В.Н. Коханенко. -Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. - 168 с.
2. Ширяев, В.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В.В. Ширяев, М.Ф. Мицик, Е.В. Дуванская: под общей ред. В.В. Ширяева. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. - 133 с.
3. Takeda, R. Theoretical research an propeller type current meters [Текст] / R. Takeda // Trans. ASME. - 1975, A. 97, № 4. - Р. 599-602.
4. Мицик, М.Ф. Моделирование потенциальной функции двухмерного планового потока в параметрической форме [Текст] // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. VI межд. науч. конф. / Под общей ред. В.С. Балакирева. - РТАСМ ГОУ, Ростов н/Д, 2003. - Т. 7, секция 7. - С. 103-104.
5. Мицик, М.Ф. Растекание двухмерного планового потока в нижнем бьефе водопропускных сооружений [Текст]: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. - Новочеркасск, 2006. - 238 с.
6. Косиченко, Н.В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями [Текст] / Н.В. Косиченко // Вестник СГАУ. - Саратов, 2011, № 9. - С. 27-33.
7. Коханенко В.Н., Мицик М.Ф., Косиченко Н.В. Уточненное уравнении крайней линии тока в плоскости годографа скорости в задаче свободного растекания бурного потока за безнапорными водопропускными трубами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. №1. С. 33-35.
8. Takeda, R. The influence of turbulence on the characteristic of the propeller current meters [Текст] / R. Takeda, M. Kawanami // Trans. Soc. Mtch. Eng.- 1978, № 383. - V. 44. - P. 2389- 2394.
9. Онишкова А.М. Численное решение задачи для плоской области со свободной границей. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p1y2012/1205 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
10. Хекмат К. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/583 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
