Описание потенциальной функции для уточненного уравнения линий тока Текст научной статьи по специальности «Математика»

Описание потенциальной функции для уточненного уравнения линий тока В.Н. Коханенко, М.Ф. Мицик, О.А. Алейникова

Определение параметров свободного растекания потока за водопропускными отверстиями в широкое отводящее русло имеет важное прикладное значение для проектирования сооружений дорожного водоотвода. При этом полагают дно отводящего русла горизонтальным, а поток двухмерным в плане.

В работах [1, 2, 3] показано, что силами сопротивления потоку в области крепления отводящего русла можно пренебречь. Поэтому дополнительно полагаем поток потенциальным и стационарным. Выводы применимости полученного результата сделаем по степени адекватности модели и реального потока по его параметрам.

Рассмотрим схему течения потока в плане.

Крайняя линия тока

Рисунок 1 - План растекания потока в терминах линия тока, эквипотенциаль

Для формулировки задачи в физической плоскости течения сформулируем свойства бурного потока. Известны параметры h0, V0, b на

выходе потока из прямоугольного безнапорного отверстия в широкое отводящее русло:

h 0 - глубина потока;

V0 - модуль вектора скорости; b - ширина, выходного отверстия.

Перейдем от физической плоскости течения потока [4, 5] к использованию уравнений движения потока в плоскости годографа скорости. Система уравнений движения потока в плоскости годографа скорости представлена в форме [6]:

Зф _ 2h0 т Зу _

so и0 i -т Зт;

Зф _ h0 3т-1 Зу (1)

з7_ 2И~0 т(1 -т)2 50 ,

где: ф - потенциальная функция;

у - функция тока;

0 - угол между вектором скорости жидкой частицы потока и осью ОХ;

V2

т _ 2и нормированный модуль вектора скорости.

В работе [7] получено уравнение крайней линии тока в виде

у A Sin 0 С Sin(0-0max X1 -т)2 V0Ь v

у_ A1 ~ I _ _^, (2)

т2 т2

A V0b C V0b т02

где: A _—-^—; C~

0та/ 2(1 -То )2§1П 0тах

Найдем уравнение для произвольной эквипотенциали. Воспользуемся сначала первым уравнением из (1). Для этого найдем из (2)

Зу _ А бш0 + 2Сбш(Є-ЄтахXі-і) + Свїп(Є-Єтах)(і-х)2

Зт 2

3_

2т2

(3)

- А БІЛ0 + С БШ (Є-Є тах )(і -т)(3т + і)

2

Подставим выражение (3) в первое уравнение системы (1), получим уравнение

Зф 2К о т

30 Нп 1 -т

- А + С 8Ш(0-0тах Xі -т)3т + 1)

з_

2т2

или

К

Зф

30 Н0

А БІП 0 С БІП(0-0тах )3т +1)

(і-т)

Интегрирование уравнения (4) по переменной 0 приводит к

зависимости

ф_

АКо СОБ 0 СКоСО8(0-0тах )(3т + і)

+ Сі (т)

т2 (і -т)

Н о т2

(4)

(5)

где С1 (т)- неизвестная функция по переменной т .

Для нахождения С1 (т) воспользуемся вторым уравнением системы (1). Вычисляем производную по т от потенциальной функции ф в форме (5)

Зф _ 3 Зт Зт

АКо ООБ 0 СКоС^0-0тах )3т + і)

Н 0 і

о т 2

Сі (т)

т2 (і -т)

Нот2

АКо (3т- і)сО8 0 - СКо СО§(0 - 0тах )т- і) ЗСі (т)

2 Н

о т2 (і-т)2

2 Н о т2

Зт

Найдем производную

Зу

30

2

т

т

3

2

т

X

т

і

3

3

Зу _ A cos 0 C cos(0 - 0max )(l - t)

30

Подставим выражения (6) и (7) во второе уравнение системы (1), получим Ah 0 (3t- l)cOS 0 Ch Ocos(0-0max X3t- l) 3C1 (t)_

2Ho t f

t 2 (l -t)2

2 H 0 t 2

3t

ho 3t- 1

2Ho t(1 -t)2

A cOS 0 C cOS(0-0max № -t)2

(8)

V х2 т

Нетрудно видеть, что после упрощений уравнение (8) преобразуется к виду

дСх (х)

дт

_ 0,

или C1 _ const. (9)

Таким образом, искомое выражение для потенциальной функции имеет вид

Ф

Ah0 cos 0 Ch0 cos(0 - 0max X3t + 1)

+ C1.

т2 (1 - t)

(10)

H 0 т2

Функция (10) является решением уравнения (1) при любом значении постоянной С1, в частности, при С1 = 0. Значение константы С1 может быть определено в конкретной двухмерной плановой задаче.

Изучим поведение каждого из слагаемых, входящих в выражение для потенциальной функции. Пусть С1 = 0. Представим потенциальную функцию в форме

Ф_Ф1 -Ф

2

(11)

где: ф1

Ah 0 cos 0

Ф 2 _

Ch 0cos(0-0 max )(3t + 1)

т 2 (1 -t)

H 0 т2

Рассмотрим отношение

1

Ф2 _ H0T 2 (1 - t) Ch0cos(0-0max )(3t + 1)

Ф1

Ah0 cos 0

H 0 т2

x

X

3

1

(l - т)с cos(e - emax )(3T + l) (l2)

A cos e

с

Найдем значение величины a

С 2sln emax V0b T0 T0

A V0b 2(1 -T0 )2sin 0max (1 -T0)

Упростим правую часть равенства (12)

Ф2 _ (1 -T)cos(0-0max )(3T + 1) T0/2

1/2 T1/2

(13)

(14)

Ф1 cos 0 (1 -T0 )2

Как известно из [1], вниз по течению потока т ^ 1, соответственно в

Ф 2 ..... выражении , что нетрудно видеть из (14), числитель стремится к нулю, а

Ф1

знаменатель всегда отличен от нуля. Таким образом, Ф * 0 при т ^ 1, то

Ф1

есть вниз по течению потока в формуле (11) влияние первого слагаемого становится преобладающим.

Плановые задачи гидравлики решаются также и численными методами [8, 9, 10], однако аналитические методы решения двухмерных плановых задач позволяют более глубоко и всесторонне изучить свойства двухмерных бурных потоков.

Выводы по работе.

1. Выражение для потенциальной функции в виде (11) соответствует качественно и количественно экспериментальным данным (неразрывности по параметрам потока, адекватности модели).

Ch0 (3T + 1)cos (0 0 max )

2. Роль слагаемого Ф2 1 в выражении (11)

H 0 т 2

асимптотически уменьшается с ростом т вниз по течению потока.

Литература:

1. Коханенко, В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В.Н. Коханенко, Я.В. Волосухин, В.В. Ширяев, Н.В. Коханенко; под общей ред. В.Н. Коханенко. -Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. - 168 с.

2. Ширяев, В.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В.В. Ширяев, М.Ф. Мицик, Е.В. Дуванская: под общей ред. В.В. Ширяева. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. - 133 с.

3. Takeda, R. Theoretical research an propeller type current meters [Текст] / R. Takeda // Trans. ASME. - 1975, A. 97, № 4. - Р. 599-602.

4. Мицик, М.Ф. Моделирование потенциальной функции двухмерного планового потока в параметрической форме [Текст] // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. VI межд. науч. конф. / Под общей ред. В.С. Балакирева. - РТАСМ ГОУ, Ростов н/Д, 2003. - Т. 7, секция 7. - С. 103-104.

5. Мицик, М.Ф. Растекание двухмерного планового потока в нижнем бьефе водопропускных сооружений [Текст]: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. - Новочеркасск, 2006. - 238 с.

6. Косиченко, Н.В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями [Текст] / Н.В. Косиченко // Вестник СГАУ. - Саратов, 2011, № 9. - С. 27-33.

7. Коханенко В.Н., Мицик М.Ф., Косиченко Н.В. Уточненное уравнении крайней линии тока в плоскости годографа скорости в задаче свободного растекания бурного потока за безнапорными водопропускными трубами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. №1. С. 33-35.

8. Takeda, R. The influence of turbulence on the characteristic of the propeller current meters [Текст] / R. Takeda, M. Kawanami // Trans. Soc. Mtch. Eng.- 1978, № 383. - V. 44. - P. 2389- 2394.

9. Онишкова А.М. Численное решение задачи для плоской области со свободной границей. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p1y2012/1205 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Хекмат К. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/583 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.