Уточненное уравнение крайней линии тока в плоскости годографа скорости в задаче свободного растекания бурного потока за безнапорными водопропускными трубами Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.543

УТОЧНЕННОЕ УРАВНЕНИЕ КРАЙНЕЙ ЛИНИИ ТОКА В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ В ЗАДАЧЕ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА ЗА БЕЗНАПОРНЫМИ ВОДОПРОПУСКНЫМИ ТРУБАМИ

© 2013 г. В.Н. Коханенко *, М. Ф. Мицик * *, Н.В. Косиченко *

*Донской государственный аграрный университет

** Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты

*Donskoy State Agrarian University

** South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty

Предлагается упрощенное описание крайней линии тока при свободном растекании бурного стационарного двухмерного планового потенциального потока. В данном подходе новая линия тока удовлетворяет условиям неразрывности параметров течения при выходе потока из прямоугольной трубы в отводящее русло. Проведено сравнение нового решения с предыдущим на модельном примере.

Ключевые слова: крайняя линия тока; прямоугольная труба; горизонтальное отводящее русло.

In the present work proposes a simplified description of the extreme line current, when free spreading of stormy stationary two-dimensional potential flow in plane. Unlike the previous decision, the extreme line current satisfies the continuity of current settings on exit flow from a rectangular pipe. Compare the new solution with the previous model's example.

Keywords: extreme line current; the rectangular pipe; the horizontal tailrace track.

Решение задачи свободного растекания бурного потока необходимо для расчета малых искусственных сооружений: скоростей и глубин потока в переходном участке за водопропускными трубами и в отводящем русле, назначении типа и размеров крепления рисбермы, расчета глубины местного размыва неукрепленного русла за рисбермой.

В работе [1] предложено решение граничной задачи свободного растекания бурного водного потока за безнапорной трубой прямоугольного сечения при его истечении в широкое гладкое горизонтальное русло с использованием плоскости годографа скорости. Заметим, что решение задачи в плоскости годографа скорости является основой расчета параметров потока в плоскости его течения.

Согласно содержанию работ [1 - 3], в плоскости годографа скорости уравнение крайней линии тока имеет вид

, sin 8

V0b

У = ^ = ^

2

(1)

при этом решение у = A sin б/т12 удовлетворяет базовой системе уравнений:

Зф 3z '

3z -1 Зу

'0 z

(1 -z)2

Зф _ 2h0 z Зу 38 = H 1 -z 3z

где ф, у - соответственно потенциальная функция и функция тока; 6 - угол наклона вектора скорости

жидкой частицы к оси OX ; z =

V2

2 gH о

ростного коэффициента X , X = -

V

квадрат ско-

g - ускоре-

\J2gH0

ние свободного падения; У0 - модуль вектора скорости потока на его выходе из трубы; h 0 - глубина потока на его выходе из трубы; И0 - постоянная, По = ) + h 0 ; Ь - ширина водопропускной

трубы.

Из уравнения (1) следует, что параметры потока 6 = 0 ; z = z0 не могут удовлетворять крайней линии

тока и, следовательно, на ней параметры потока терпят разрыв на выходе потока из трубы.

Экспериментальные данные И.А. Шеренкова [4], напротив, показывают, что поток на его выходе из трубы имеет направление стенок трубы т.е. 6 = 0 , хотя этот участок потока весьма мал по течению потока и угол искривления линии тока на этом участке стремится к конечному отличному от нуля значению, определенному в работах [1 - 3].

Целью настоящей работы является поиск вида уравнения крайней линии тока, непрерывного по параметрам потока в плоскости годографа скорости и дающего результат, адекватный экспериментальным и натурным данным.

z

Авторы работы, исходя из решения в виде (1), предлагают следующее выражение для крайней линии тока в плоскости годографа скорости:

A - а Л1 "Т)2 • /

у = —п;г Sin Ö + С-—Sin (

X

1/2

X

12

>-е„

) = Vb ' 2 •

(2)

A .

х

уравнения для линии тока

31 2х Зш | 1 - 3х З ш

+-;т—тг = О,

Зх 11 -х Зх J 2х(1 -х)2 Зе2

как показано в работе [1]. Покажем, что функция

^ 2 = с -Ы- ап (е-етах)

X '

является решением уравнения для линии тока (3). 3| 2х 3у] 1 - 3х 3 2у о

(3)

Зх[1 -х Зх J 2х(1 -х)2 Зе2

Так как

З 2ш 2 =-с ^^sin (е-е тах);

Зе2

х1/2

Зш 2 = С sin (е е )(1 -х)(3х +1)

— = С sin (е - етах )--,

(4)

(5)

то уравнение (3) переходит в тождество при подстановке в него правых частей равенств (4), (5):

С Sin (е-етах )

(1 -х)(3х +1)

2х

32

1 -3х -ci^sin(е-етах) =

2х(1 -х)

2

х12

- С Sin (е-етах

1 - 3х

- С -^sin (е-е тах ) = О.

Выражение у2 ^п е является решением

2х3-

Постоянные А и С определяются из граничных условий:

- на бесконечности

у = -Ь = у(х, е) = у(1, етах ) =

А (1 -1)% ч

= 1V—Sin етах + С (етах - етах А sin етах;

отсюда

A =-

Vob

2sin е„

где етах определяется по формулам в работах [1 - 3]. - на выходе потока из трубы

Vob A

ш(хо,0 ) = -^ = "wsin0 + С

1/2

О

.(1

х12

(-етах ) •

Следовательно,

2

Vob = С(1 -хо) е

° 12 тах

2

С = --

ТА

Vob хо

12

2 (! -х0 ) етах

Анализируя уравнение крайней линии тока в виде (2), можно убедиться, что с увеличением х от х0 до хк и е от нуля до ек (где хк, ек - параметры потока после его деформации) роль второго слагаемого уменьшается во много раз по сравнению с первым слагаемым, и оно практически совпадает с уравнением (1). Это показывают результаты счета в таблице.

Исходные данные У0 = 147,65 см/с; Ь = 16 см; h0 = 9,27 см

и

1 х0 = 0,5451 х к = 0,7191 х 1 = 0,7753 х2 = 0,8314 х3 = 0,8876

е ео = о ек = 0,6653 е1 = 0,7662 е2 = 0,8382 е3 = 0,8933

е е0 = 0,6608 е к = 0,7822 е 1 = 0,8211 е 2 = 0,86013 е 3 = 0,8997

Величина 1-го слагаемого у 0 1034,56 1119,12 1158,70 1175,25

Величина 2-го слагаемого 1181,23 146,67 62,10 22,53 5,97

Здесь тг =тк +(1 -тк) ¡/5, г = 1,2,3; 8- угол, определяемый на крайней линии тока в форме (2); 8 - угол, определяемый на крайней линии тока, описывающей движение водного потока по ранее полученной формуле [1] с разрывом по параметрам на выходе из трубы:

Vi =

A ■ о Vb

— sin 9 = -^.

x1/2 2

Aho

2H oV2gH

1+X

J1 - sin2 9max (J2 + J3 ))

M

(6)

ным данным (неразрывности по параметрам потока, адекватности модели).

2. Роль слагаемого у2 = C

(1 -X)2

X1/2

Sin (9-9max )

Покажем, что величина второго слагаемого оказывается уже мала при х/Ь > 0,1. В рассмотренном

примере при хм/Ь = 0,1 получим хм = 1,6 см. Найдем значение параметра т, соответствующее значению хм на крайней линии тока по формуле из работы [4]:

^ . . х 2 1-х х

где J1 =—-- + ln-; J2 =--+ ln-; J3 = ln-.

х(1 -xj 1 -х 1-х х 1-х

Из уравнения (6) находим с помощью математического пакета прикладных программ Maple 9.5 значение хм = 0,7893. Вычисляем величину отношения второго слагаемого к первому

^2 .jjM 100% = 4,34%, № )ы

т. е. уже на относительном расстоянии xM /b = 0,1 от выхода из трубы влияние второго слагаемого мало.

Выводы

1. Выражение для линии тока в виде (2) соответствует качественно и количественно эксперименталь-

выражении (2) асимптотически уменьшается с ростом т и 8 и фактически мало уже на расстояниях

х/Ь > 0,1 вниз по течению потока от выходной кромки водопропускной трубы.

3. В практических расчетах параметров потока можно в полной мере пользоваться выражениями как (1), так и (2). Рассогласование по параметрам потока и его геометрии несущественно для практических расчетов крепления отводящего русла для потоков, рассматриваемых в работе, по сравнению с погрешностью метода выбора потенциального течения потока в целом.

Литература

1. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В., Ширяев В.В., Коханен-ко Н.В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков / под общей ред. В.Н. Коханенко. Ростов н/Д, 2007. 168 с.

2. Ширяев В.В., Мицик М.Ф., Дуванская Е.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков / под общей ред. В.В. Ширяева. Шахты, 2007. 133 с.

3. Косиченко Н.В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями / Вестн. СГАУ. Саратов, 2011, № 9. С. 27 - 33.

4. Мицик М.Ф., Косиченко Н.В., Лемешко М.А. Метод с использованием годографа скорости применительно к расчету параметров бурного двухмерного потока // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сб. ст. IV Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза, 2010. С. 130 - 141.

Поступила в редакцию

24 сентября 2012 г.

Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. E-mail: [email protected]

Мицик Михаил Федорович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Математика», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. E-mail: [email protected]

Косиченко Наталья Викторовна - канд. техн. наук, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. E-mail: [email protected]

Kohanenko Victor Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Mechanics and Equipment Processes of Food Production». Donskoy State Agrarian University. E-mail: [email protected]

Mitsik Mikhail Fedorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Mathematics», South-Russian State University of the Economy and Service. E-mail: [email protected]

Kosichenko Natalia Viktorovna - Candidate of Technical Sciences, department «Mechanics and Equipment Processes of Food Production». Donskoy State Agrarian University. E-mail: [email protected]

в

Ii, =

X

к