CC BY
21
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2
УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2017-2-12-14
К КОНТАКТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ЦИЛИНДРА*
© 2017 г. Н.Б. Золотов1, Е.Д. Пожарская1, Д.А. Пожарский1
1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия,
TO CONTACT PROBLEMS FOR A CYLINDER
N.B. Zolotov1, E.D. Pozharskaya1, D.A. Pozharskii1
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Золотов Никита Борисович - студент, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, е-mail: zolotov.nikita.borisovich@gmail.com
Пожарская Елизавета Дмитриевна - студент, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, е-mail: pozharskaya. elizaveta@rambler. т
Пожарский Дмитрий Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, е-mail: pozharda@rambler.ru
Nikita B. Zolotov - Student, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: zolotov.nikita.borisovich@gmail.com
Elizaveta D. Pozharskaya - Student, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: pozharskaya. elizaveta@rambler. ru
Dmitry A. Pozharskii - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Applied Mathematics, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: pozharda@rambler.ru
В условиях осевой симметрии изучена контактная задача линейной теории упругости о действии жесткого кольцевого бандажа конечной длины на бесконечный полый круговой цилиндр. Интегральное уравнение этой задачи получено при помощи преобразования Фурье. Для символа ядра интегрального уравнения контактной задачи предложена новая аппроксимация, которая эффективна при любой толщине стенок полого цилиндра. На основе этой аппроксимации получено сингулярное асимптотическое решение, а также сделаны расчеты контактного давления и его интегральной характеристики для цилиндров с тонкими стенками. Важно, что параметры аппроксимации находились при помощи численного метода Монте-Карло. Данный метод особо эффективен при большом числе неизвестных параметров, возникающих именно для тонкостенных цилиндров. Ранее для аналогичных задач использовалась аппроксимация суммой двух разных функций, что приводило лишь к приближенному решению функционального уравнения, которое возникает в методе Винера - Хопфа. Более простая аппроксимация ранее применялась для сплошного цилиндра. Также изучался случай конечного полого цилиндра при скользящей заделке его торцов. Найденное решение может быть применено для анализа прочности трубопроводов при укреплении их бандажами.
Ключевые слова: контактная задача, упругий полый цилиндр.
The axially symmetric contact problem of the linear elasticity theory is investigated on the interaction between a rigid annular sleeve offinite length and an infinite hollow circular cylinder. The integral equation of the problem is derived by using a Fourier transformation. A new approximation for the kernel symbol of the integral equation of the problem is suggested to be effective for any cylinder wall thickness. On the basis of this approximation a singular asymptotic solution is constructed, the contact pressure and its integral characteristic are calculated for thin-walled cylinders. It is important that the parameters of the approximation are calculated with the help of the numerical Monte Carlo method. This method is especially fruitful for a big number of unknown parameters arising for thin-walled cylinders. Earlier for similar problems an approximation in the form of a sum of two different functions has been used giving only an approximate solution of the functional equation in the Wiener - Hopf method. A more simple approximation was used for a solid cylinder. The case of a finite hollow cylinder with end-walls subject to sliding support has been previously considered. The solution constructed can be useful for strength analysis of pipelines in contact with sleeves.
Keywords: contact problem, elastic hollow cylinder.
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-00331).
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
Исследована осесимметричная контактная задача теории упругости о взаимодействии жесткого кольцевого бандажа конечной длины с бесконечным полым круговым цилиндром. Предложена новая аппроксимация символа ядра интегрального уравнения (ИУ) этой задачи, эффективная при любой толщине стенок цилиндра. На основе этой аппроксимации получено сингулярное асимптотическое решение, сделаны расчеты интегральной характеристики контактного давления для тонкостенных цилиндров. Ранее для аналогичных задач использовалась аппроксимация суммой двух функций, приводящая лишь к приближенному решению функционального уравнения, возникающего в методе Винера - Хопфа [1]. Более простая аппроксимация применялась для сплошного цилиндра [2]. Изучался случай конечного полого цилиндра [3].
В цилиндрических координатах г, z рассмотрим полый упругий цилиндр (р1 < г < р, < да} с модулем сдвига О и коэффициентом Пуассона V. На цилиндр с натягом 8 надет жесткий кольцевой бандаж шириной 2а; остальная часть его поверхности свободна от напряжений. При помощи преобразования Фурье сведем задачу к ИУ относительно контактного давления стг(р,г) = -д(г) (|^| < а), которое после введения безразмерных обозначений
х = —, u = ps, a
X = P,
ф( х) =
q( z)
f = i,
a
0 =
G
1 -v
k = Pi
P
запишем в виде
[^ № = тт/ (| X |< 1),
X
(1)
® L (u)
K(t) = i L(u)cosutdu, L(u) =-—-.
0 2(1 — v)L2 (u)
L (u) = (Q — ®i)2 — 4f — 2f2 — 2f3, L2 (u) = —(Qi — Ш1)2 + 4fi(1 — ©A) + + 2f2(i — Q2) + 2f3(i — ш2) — 4f2 + 4f2fs, u2 9
fi =-[k2(®0Q0 +®iQi) — (©Q +1)],
4(i — v)
2
f2 =
u
4(1 — v)
2
[k 2(®2 — ©2)—(©2 — i)],
f3 =-r^ [k 2(Qo — Q2)—(Q2 —1)],
4(1 — v)
ш = -
I
ш =-
Q = K0
K
(1
Kn
'1
Q1 =KL
4 K1 K1
In = I„ (u), Kn = Kn (u),
Iп = 1п (ки), Кп = Кп (ки), п = 0, 1.
Здесь 1„(и), К„(и) - модифицированные функции Бесселя. В пределе при £^0 ИУ (1) совпадает с известным ИУ для сплошного цилиндра [1-3]. Параметры £ и X характеризуют соответственно толщину стенок цилиндра и относительную ширину бандажа.
Функция-символ Ь(и) характеризуется следующим асимптотическим поведением в нуле и бесконечности:
Ь(и) = А + о(1) (и ^+0),
1 к 2 А = —^ +-к-(2)
2(1 + V) (1 ^2)(1 - к2)
1 Б
Ь(и) = - + —+ о(и ) (и Б = 1 - 2v.
и и
При достаточно малых X для решения ИУ (1) применим сингулярный асимптотический метод [2]. Для факторизации функции Ь(и) аппроксимируем ее на действительной оси с учетом свойств (2) выражением (ОщаО„ при шфп)
л/и
L (u) = ■
х exp
lu 2 + B 2
u 2 + C2
D
4:
u 2 + E2
M (u2 + 4°G2)
m = 1 (u 2 + G22)
B
Ciexp IE A
D
2M
= A, E > 1.
(3)
Для нахождения параметров аппроксимации (3) использовался метод Монте-Карло, слабо зависящий от значения М. При росте М наблюдается увеличение точности аппроксимации. При возрастании к построение аппроксимации (3) усложняется (например, при £=0,1 для достижения погрешности 9 = 1 % достаточно взять лишь М=1).
В таблице при v=0,3, £=1,1, М=4 даны значения параметров аппроксимации (3) и ее относительная погрешность 9 для тонкостенного цилиндра (к > 0,9). Значения Б и С находятся соответственно по последним равенствам (2) и (3).
I
I
о
о
1
z
0
a
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2
Параметры аппроксимации и характеристика / The parameters of approximation and characterization
k B Ac G1 g2 G3 G4 0, % P/f
0,90 1,536 2,873 7,414 7,151 6,625 7,150 7,0 1,60
0,91 1,550 2,951 6,957 6,964 7,915 7,819 7,0 1,42
0,92 1,633 3,048 8,739 8,036 7,578 7,249 6,5 1,25
0,93 1,746 3,163 8,622 7,998 8,489 8,785 6,0 1,09
0,94 1,906 3,271 9,257 9,713 8,371 9,626 6,0 0,925
0,95 2,016 3,542 12,736 8,335 10,572 9,682 6,0 0,764
0,96 2,209 3,709 14,537 11,753 9,997 9,897 5,5 0,605
0,97 2,566 3,910 11,866 11,432 15,655 14,825 6,0 0,450
0,98 2,580 4,480 8,899 18,720 19,862 20,001 8,5 0,296
0,99 4,003 5,564 15,701 16,339 35,844 41,186 11,0 0,144
В результате главный член асимптотического решения ИУ (1) при малых X можно построить в форме
ф(х) = f
Л
Л
ш| | + ш[1—x I- A 1
Л
(|x|< 1),
®(s) =
W (s) +1 (s)
4A
D
(4)
I(s) =--J W(s - t)K0 (Ex)dx ,
n 0
W (s) =
eXP( -Bs) +C erf(VBs) + §7^(4 Gm, s),
4ns 4B
m=1
R( F, s) = -4== exp( - Fs)erf(y/(B-F )s) +
4b—f
+
C
c erf(V&),
4B
M
Tm =П (Gn-AoGm )
n=1
,, , M
AoM+1Gm П (G„-Gm )
n=1,n£m
-1
Ds 2
J (s) =--J Z (s - x)Ko (Ex)dT, л = -
n o Л
(5)
C
Z (s) =C
s--+ — I erf(4~Bs) + J — exp( - Bs)
2BC) \nB
M
+ ETmß(AoGm, s) ,
m=1
C
Q(F •s) =C
s —— + — - — | efjßs) 2B C F 1
+
+ .— exp( - Bs) nB
Здесь егТ(х) - интеграл вероятностей; ^(0 - модифицированная функция Бесселя. На основании формул (4) для интегральной характеристики решения получим выражение
Р 1 1 2 л
-=-1 Ф(=-= [г(л)+з(л)] - л,
11 -1 л/А А
В последней колонке таблицы даны значения характеристики (5) при А=0,25. Как показывает численный анализ, при Ж погрешность формул (4), (5) менее (7+6) %. Для сплошного цилиндра (k=0) в окрестности значения Х=2 наблюдалось сближение сингулярного и регулярного асимптотических решений [2]. При возрастании k (утончении стенок цилиндра) контактное давление снижается. Развитая методика позволяет получить явное решение контактной задачи практически для любых значений k. Отметим, что при k>0,98 полый цилиндр можно считать цилиндрической оболочкой.
Литература
1. Развитие теории контактных задач в СССР / под ред. Л.А. Галина. М. : Наука, 1976. 493 с.
2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Об одном асимптотическом методе в контактных задачах // Прикладная математика и механика. 1999. Т. 63, вып. 2. С. 295-302.
3. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М. : Физматлит, 2004. 301 с.
References
1. Razvitie teorii kontaktnykh zadach v SSSR [The development of the theory of contact problems in the USSR]. Ed. L.A. Galin. Moscow, Nauka, 1976, 493 p.
2. Aleksandrov V.M., Pozharskii D.A. Ob odnom asimptoticheskom metode v kontaktnykh zadachakh [On an asymptotic method in contact problems]. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1999, vol. 63, No. 2, pp. 295-302.
3. Aleksandrov V.M., Chebakov M.I. Analiticheskie metody v kontaktnykh zadachakh teorii uprugosti [Analytical methods in contact problems of the theory of elasticity]. Moscow, Fizmatlit, 2004, 301 p.
+
Поступила в редакцию /Received_3 февраля 2017 г. /February 3, 2017
УДК 539 DOI 10.23683/0321-3005-2017-2-15-25
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ ПОТОКА ЗА БЕЗНАПОРНЫМИ ВОДОПРОПУСКНЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ
© 2017 г. В.Н. Коханенко1, А.И. Кондратенко2, М.Ю. Косиченко1, В.И. Лидневский1, Д.Б. Келехсаев1
1 Южно-Российский государственный политехнический университет
(НПИ) им. М.И. Платова, Новочеркасск, Россия, 2Российский государственный аграрный университет - Московская сельскохозяйственная академия им. К.А. Тимирязева, Москва, Россия
THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF FREE SPREADING OF THE WATER STREAM BEHIND THE OPEN WATER PIPE
V.N. Kokhanenko1, A.I. Kondratenko2, M.Yu. Kosichenko1, V.I. Lidnevsky1, D.B. Kelekhsayev1
1Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia, 2Russian State Agrarian University - Moscow Timiryazev Agricultural Academy, Moscow, Russia
Коханенко Виктор Николаевич - доктор технических наук, профессор, кафедра общеинженерных дисциплин, ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская обл., 346428, Россия, е-mail: super-viktorkrutoi2013@yandex. ru
Кондратенко Анатолий Иванович - кандидат технических наук, профессор, кафедра инженерных конструкций, Российский государственный аграрный университет - Московская сельскохозяйственная академия им. К.А. Тимирязева, ул. Тимирязевская, 49, г. Москва, 127550, Россия, e-mail: ai_kondratenko@mail. ru
Косиченко Михаил Юрьевич - кандидат технических наук, доцент, кафедра прикладной математики, ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская обл., 346428, Россия
Лидневский Валерий Иванович - старший преподаватель, кафедра общеинженерных дисциплин, ЮжноРоссийский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская обл., 346428, Россия, е-mail: 69077@mail.ru
Келехсаев Дмитрий Борисович - аспирант, кафедра общеинженерных дисциплин, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, ул. Просвещения, 132, г. Новочеркасск, Ростовская обл., 346428, Россия
Viktor N. Kokhanenko - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Common Engineering Disciplines, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Prosvesheniya St., 132, Novocherkassk, Rostov Region, 346428, Russia, e-mail: super-viktorkrutoi2013@yandex.ru
Anatoly I. Kondratenko - Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Engineering Designs, Russian State Agrarian University - Moscow Timiryazev Agricultural Academy, Timiryazevskaya St., 49, Moscow, 127550, Russia, e-mail: ai_kondratenko@mail.ru
Michail Yu. Kosichenko - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Prosvesheniya St., 132, Novocherkassk, Rostov Region, 346428, Russia
Valery I. Lidnevsky - Senior Lecturer, Department of Common Engineering Disciplines, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Prosvesheniya St., 132, Novocherkassk, Rostov Region, 346428, Russia, e-mail: 69077@mail.ru
Dmitry B. Kelekhsayev - Postgraduate, Department of Common Engineering Disciplines, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Prosvesheniya St., 132, Novocherkassk, Rostov Region, 346428, Russia
Выведены уравнения движения двухмерного в плане бурного водного потока в плоскости годографа скорости. Полученная система уравнений в частных производных является линейной в отличие от системы уравнений в физической плоскости течения потока. Приведен метод поиска аналитических решений полученной системы уравнений, заключающийся в разделении переменных в системе, ряде замен, приводящих уравнения к табличным (справочным). В итоге решение системы уравнений сведено к решению гипергеометрического уравнения. При различных условиях разделения переменных получены аналитические группы решений, позволяющие ставить и решать аналитически различные граничные задачи по течению двухмерных в плане потенциальных водных потоков.
Корректно поставлена и решена граничная задача по растеканию потенциального водного потока в широко отводящее русло за безнапорной водопропускной трубой прямоугольного сечения. Решение может использоваться для определения параметров потока в окрестности выхода потока из трубы в широкое гладкое русло, так как при этом силы сопротивления потоку со стороны дна русла малы (они увеличиваются далее вниз по течению потока с уменьшением глубины) и ими можно пренебречь. Задача решается сначала в плоскости годографа скорости. Далее интегрированием связей перехода в физическую плоскость определяются параметры потока в физической области течения потока.
Полученные в работе аналитические формулы позволяют определить весь спектр параметров потока, при этом сходимость между модельными и натурными или экспериментальными параметрами значительно превышает сходимость параметров по ранее известным методам.
Ключевые слова: водный поток, бурный поток, потенциальный поток, двухмерный в плане водный поток, годограф скорости, плоскость годографа скорости, система дифференциальных уравнений в частных производных, линейная система уравнений, метод разделения переменных, гипергеометрическое дифференциальное уравнение, граничная задача.
The equations of the movement of a rough water stream, two-dimensional in plan, in the plane of hodograf speed are recieved. This system of the equations of the movement of a stream is linear system of the equations in private derivatives unlike system of the equations in the physical plane of a current of a stream. The method of search of analytical decisions of system of the equations in the speed hodografplane, which consists in division of variables in system and in search of a number of the replacements, leading the received equations to tabular (reference) is given in article. As a result, the decision of system of the equations is consolidated to the solution of the hypergeometric equation. Under various conditions of division of variables the analytical groups of decisions, allowing to put and solve analytically various boundary problems of a current ofpotential water streams, two-dimensional in plan, were received.
The boundary task of spreading of a potential water stream to widely taking away course behind a free-flow water throughput pipe of rectangular section is correctly set and solved in this work. The decision can be used for determination of parameters of a stream in the vicinity of an exit of a stream from a pipe to the wide smooth course as thus forces of resistance to a stream from a bottom of the course are small (they increase further downstream a stream with reduction of depth) and they can be neglected. The problem is solved at first in the plane of a hodograf speed and further stream parameters in physical area of a current of a stream are defined by integration of communications of transition to the physical plane.
The analytical formulas received in work allow to determine all range ofparameters of a stream, thus convergence between model and natural or experimental parameters considerably exceeds convergence of parameters on earlier known methods.
Keywords: water stream, rough stream, potential stream, water stream two-dimensional in the plan, hodograf of speed, the plane of hodograf speed, system of the differential equations in private derivatives, linear system of the equations, a method of division of variables, the hypergeometrical differential equation, a boundary task.
Введение
Цель работы - получение уравнений движения потока, допускающих аналитические решения в наиболее удобном виде, и решение граничной задачи свободного растекания потока с использованием плоскости годографа скорости.
Решение этой задачи является актуальным вследствие необходимости повышения адекватности параметров модельного и реального потоков, удобства пользования аналитическими формулами для различных параметров потока.
От качества модельных параметров потока зависит надёжность крепления водопропускных сооружений в окрестности выхода потока из безнапорного отверстия. Установка различных гасителей кинетической энергии потока также зависит от точечных и интегральных параметров свободно растекающегося потока.
Достижение цели в работе осуществляется решением задач, важных как в теоретическом плане,
так и в практическом аспекте, потому что в первом приближении на выходе потока из трубы в широкое гладкое отводящее русло силами сопротивления потоку можно пренебречь и считать его потенциальным [1].
Уравнения движения потенциального двухмерного в плане бурного водного потока
В работе [1] приведены уравнения движения двухмерного потока
X - 1 dp - Tx dux
р dx x dt
<Y - 1 dp duy
р dy y dt
Z - 1 dp - Tz duz
р dz z dt
где их, иу, иг - проекции вектора скорости жидкой частицы потока на оси декартовой системы коор-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
динат Ох, Оу, О.; р - плотность потока; Тх, Ту, Тг -компоненты сил сопротивления потоку, отнесённых к единице массы жидкости; X, У, X - компоненты объёмных сил.
Эти уравнения получены из уравнений Л. Эйлера [2], учитывающих силы сопротивления.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости двухмерных в плане открытых потоков имеет вид [1] 8 /, ч 8
-(hur) + — (hu., )= 0, 8хУ rJ 8yy y' '
(2)
-
- Tx = ur
p 8r
1 8p rr
----Ty = u.
P 8У
1 8p 8uz
- g---— - Tz = ur—-
(J ä Z Г
p 8z 8r
8ur 8ur —- + uy—- + u, 8x y
8u. _y
8x
8y 8u
+u
y
8u-8z 8u
+ uz 8y
8uy
uy—- -
y 8y
y .
8z
(3)
8uz 8z
8p 8
=-pg,
(4)
выражения
8p
8
= 7-
(zo + h) и 8p = 7-8{zo + h) .
8
8x 8x 8y 8y
Тогда систему динамических уравнений движения двухмерного потока при z0 = const, Tx = Ty = 0 можно записать в виде
8u
8u„
8h
8x 8u
-+ме=- g 8x:
y
8x
+ u,
8y
8uy
8y
= - g
8h 8y
(5)
Присоединяя к системе (5) уравнение неразрывности (2), получим для случая плоского горизонтального дна русла без учёта сил сопротивления потоку замкнутую относительно функций их=их(х,у), иу=иу(ху), к=к(ху) существенно нелинейную систему уравнений в частных производных:
где к - местная глубина потока.
Для установившегося потока при вертикальном направлении оси О. и действии в жидкости единственной объёмной силы - силы тяжести - система (1) примет вид
8а,
8а,
u-^- + uy—- + g— = 0; y 8y
8x 8u
8h 8x
y
8u
+ u,
y
8h n + g— = 0;
(6)
8х у 8у " 8у
8х 8у
Для потенциального потока из условия отсутствия вихря
8и 8uy
__y_ _ Q
8y 8x получим систему
'8{hux) , 8(huy)
8y
(7)
В силу предпосылки о малости вертикальных составляющих скоростей и ускорений, все инерционные члены, содержащие и. и её производные, могут быть отброшены. Может быть исключена из рассмотрения и вертикальная составляющая Т., зависящая от величины и.. В таком случае третье уравнение системы (3) примет вид
8x
■ + -
= 0;
8ф
ux = ;
8r
uy =
8p
8y '
(8)
— + h = H Q, 2g
где ф= ф(ху) - потенциальная функция.
Система (8) - существенно нелинейная система уравнений математической физики [3] относительно функций к=к(ху) и ф= ф(ху), которая сводится к одному уравнению относительно функции ф= ф(ху)
[1]. Вводя обозначение с = , после преобразований получим уравнение для потенциальной функции в виде [1]
где g - ускорение силы тяжести.
Интегрируя (4) и учитывая, что на свободной поверхности потока z = zn и p = pn = const, приходим к гидростатическому закону распределения давлений p — pn = y(zn — z), где у - удельный вес жидкости.
Обозначая через z0 координату дна водотока, для составляющих градиента давления получаем
8 V
8x2
с 2 -
8ф
8x
(9)
8ф 8ф 8V 8V — 2-•-•--+
8x 8y 8x8y 8y
с2 -
f я „Л
8ф
8y
= 0.
Это известное уравнение приведено в [1]. Оно не отличается по внешнему виду от аналогичного уравнения для потенциала скорости плоского безвихревого потока газа. Данное уравнение приводят многие исследователи по гидравлике плановых потоков [4-9].
Для функции тока аналогично выводится уравнение
8 V
8x
1 -
1
2, 2 с h
С 8ул 8y
+
8 V
8y2
1-
1
22 с h
8v
8x
2
+
+
2 8v 8V 8 v
8x 8y 8x8y
2, 2 с h
= 0.
(10)
2
z
2
2
2
u
u
x
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
Уравнения (9), (10) для бурных потоков относятся к гиперболическому типу, и их аналитические решения до настоящего времени не найдены, так как они являются существенно нелинейными. При решении практических граничных задач по течению бурных потоков используются связи между характеристиками в физической плоскости течения потока и в плоскости годографа скорости, а также интеграл Бернулли.
Перейдём от системы уравнений движения двухмерного потенциального потока в физической области течения потока
дф
ux =- ;
дх
uy =
дф
ду '
h дш
—ux =—;
ho дУ — + h = H,
h_ h
uy =
дш
дх
(11)
2 Я
где существование функции тока у следует из условия (2), к уравнениям в плоскости годографа скорости [10-12]. Получим систему уравнений математической физики в плоскости годографа скорости:
2ho
H
дф дв дф
~д-т 2 H,
h
1 — т 3т —1
дш
0 т
(1 — т)2
дш ~дв :
(12)
д [ 2т дш
+ ■
1 — 3т
д 2ш
дт [1 — т дт J 2т(1 — т)2 дв2
= 0.
(13)
скорости в виде обобщённой связи между сопряжённой скоростью и производной от комплексного потенциала по координате [10, 11]:
dz = ^+ Д dуj1 е1в , (14)
где z = х + 1у; 1 = л/-Г.
Следовательно, решив граничную задачу в плоскости годографа скорости, можно, пользуясь связью (14), решить её и в физической плоскости течения водного потока.
Заметим также, что уравнение (13) и система (12) по внешнему виду совпадают с соответствующим уравнением и системой уравнений С.А. Чаплыгина для течения совершенного газа [10, 11, 14]: дф 2т ду
1ю~~ "
(1 — т), дт ' дф_ 1 — (2ß + 1)т дш.
~дт~~
(15)
_д_ дт
2т(1 — тУ+1 дв' 2т дш] , 1 — (2ß + 1)т д2ш_
+
(1 — т),ß дт J 2т(1 — т)ß+1 дв2
= 0. (16)
; в - угол наклона вектора скорости
где т = —
2 ЯЯ0
жидкой частицы к продольной оси Ох.
Для бурных потоков т е ^ 1; 1
Система (12) совместно с интегралом Бернулли к = Но (1 — т) позволяет ставить и решать граничные задачи по течению потенциальных, бурных, двухмерных в плане открытых стационарных водных потоков. Это уже система квазилинейных уравнений в частных производных, которая позволяет получить группы частных аналитических решений и пользоваться ими при решении граничных задач [13].
Дифференцируя первое уравнение системы (12) по переменной т, второе - по переменной в и приравнивая частные производные, получим следующее уравнение математической физики относительно функции у = у(т, в):
Сравнивая уравнения (13) и (16), видим, что их внешний вид совпадает при / = 1, а системы (12) и (15) совпадают при / = 1 с точностью до постоянного множителя.
Заметим также, что метод поиска групп аналитических решений для (12) и (13) можно заимствовать из теории С.А. Чаплыгина [14].
Это метод разделения переменных и сведения решения уравнения в частных производных (13) рядом замен к решению известного в математической литературе [3] гипергеометрического уравнения.
Приведём уравнение (16) к виду, более удобному для его классификации
тд2у+.ду=о. (17)
дт2 1 — т дт 4т(1 — т) дв
2
Это - линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка [3] вида:
д2ф д2ф д2ф . а,,—^ + 2а,9-— + а^—V + В = 0, (18)
11 дт2
12 дт дв 22 дв2
где аи, а12, а22 и В - функции от т, в, ф, , дф.
дт дв
Для уравнения (18) ф = у{т,в);
а11 = т;
a12 = 0 ; a22 =
1 — 3т 1 дш
4т(1 — т) ' = 1 — тдт
При этом установлена комплексная связь между планом течения потока и плоскостью годографа
Уравнение (17) является линейным гиперболи-2 3т — 1
ческим при аца22 — а^ =---ч< 0, т.е. при
4(1 — т)
т
2
V
1 <т < 1 для бурных потоков, причём справедлива — j т •dv | - (2к -1)2 —^ 3т^2 v = 0. (24) 2т
3
dr U-r dr J v" 4r(1-r)2
формула Рг ; ¥г е (1; , где ¥г - критерий Совершим замену щк = zk = тк 2 • Ук. В резуль-
Фруда [1 2] тате приходим к уравнению
Для уравнения (18) характеристики имеют вид , ч ¿12Ъ г / \ т dYl
[10, 11]: Ч1 -—У —^Т + У2к ~(2к -1)7 ]• ~ +
в = ± (19)
+
- arctgjr-7 + ^агс1ё7з]гТ
dr2 dr
+ £ (2k -1)7k = 0. (25)
+ с Решением (25) является гипергеометрический ряд
1,2 7(1) = F(a,Ъ,c,r) = 1 + ^r +1. a(a + l)b(b+1)r2 + ...
"" c(c -' 1
или в + / (т) = С1 - для первого семейства; с 2! с(с +1)
0- /(т) = С2 - для второго семейства, где Yk(1) = Р(ак, Ък ,2к,—) - первое решение уравнения
,/ ч ¡3т -1 /- 1 |3т -1 (25), причём
/(т) = . Ск = 2к; - ак • Ък = к(2к -1);
2к -1 = ak + Ък +1.
(26)
Метод разделения переменных Из системы (26) определяются коэффициенты
для решения уравнения (13) / , ,, 7
ак, Ьк, ск: ак = к -1 + >/ 3к - 3к +1;
Для решения уравнения (13) будем искать функ- ъ = к -1 -д/зк2 - 3к +1 • с = 2к
цию в виде произведения двух функций [10, 11, 13]:
/ \ / \ / \ Второе линеино независимое решение уравне-
щ\г ■• ) = Щ1\Г) ( ). ( ) ния (25) определяется выражением
А. ¿уЩ dЩ(в) Yk(2) =т1-2^Р(ак +1 - 2к, Ък +1 - 2к, 2 - 2к, т).
¿т|1-т ¿т | ,.32 ~
Получим_-_— =__—_. Определим аналитические решения уравнения
—1-3т щ (т) Щ2 (в) (25), в которых гипергеометрический ряд обрыва-
4т(1 -т) ется (к = 1; а1 = 1; Ъ1 =-1; с = 2).
Так как левая часть уравнения - функция аргу- т м г~ ( т \
мента т, а правая - в, то обе части уравнения можно Тогда Yl( ' = 1--, а щ() = V т • I 1 - —■ I.
2 \ 2
положить постоянными, равными ю, следователь- v у
но, получим два обыкновенных дифференциальных Вторсю линейн° независимое решение уравне-уравнения: ния (25) определяется выражением
— • dvMX = * 1 - 3т. V(т); ^ = т"1 • F(0, - 2, 0, т) = 1, а v(2) = ^.
dr [1 -r dr J 4r(1 -r)
\2
(21) Возвращаясь к решению уравнения (13), полу-
¿-Щр + сщ2(в) = чим щ(1) = А1 • Гт • (1 - т^ 8т(в + Л) , 2
При с = п > ° второе уравнение (21) перепи- (2)-Л 1 т(в + Л)
сывается в виде Щ 2 ^ ).
d Щ2 (в) 2 п Читателям показан пример разделения перемен-
+п щ ()=. () ных при п = 1. Этими решениями будем пользо-
Его ешение (в) — А$т(пв + А) г е А Я - ваться в решении задачи свободного растекания
го решение щ2( ) ( ), где , потенциального бурного потока. Случай разделе-
пРоизвольные постоянные. ния переменн^1х при п = 2к, к = 0,1,2... подробно Первое уравнение (21) преобразуется к виду
. ( ч , „ описан в работах [10, 11]. Заметим, что Л можно
d I т ¿щ I 2 1 - 3т л
—}---1- п2--Щ= °. (23) положить равным нулю, а можно определять реше-
¿т У1 -т ¿т — 4т(1 - т) ние уравнения (22) в виде щ2 (в) = зт(Л-в), где
Применительно к уравнению (23) полагаем Л- произвольная постоянная. п = 2к -1, к = 1,2, 3. В этом случае уравнение Заметим, что при п=1 уравнение (24) принимает
(23) перепишется в виде вид
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
d 2ш1
dr2
+
dwi 3т— 1 ^ — + —^-s ш1 = 0. (27)
т(1 — т) dr 4т2 (1 — т)'
Для бурного потока при — <т < 1 коэффициен-
ты a (т) = —т——ч; a т(1 — т)
; a2 (т)=—3r-—: будут неот-
4т2 (1 — т)
рицательными.
Авторами статьи найдено решение уравнения (27) в виде
ш = С-
г1/2
-sin'
(втах — в).
(28)
Оно позволит далее корректно поставить граничную задачу свободно растекающегося потока в плоскости годографа скорости.
Граничные задачи свободного растекания потенциального бурного потока за безнапорной трубой прямоугольного сечения
Основные свойства потока. Схема растекания потока приведена на рис. 1.
Поток, вытекая из прямоугольной трубы, при заданных значениях Н0, Ь, и0 в безнапорном режиме имеет практически равномерную эпюру распределения скоростей на вертикали на выходе из трубы, а потом растекается до бесконечности в широкое гладкое горизонтальное русло. При этом крайние линии тока отделяют поток от сухого русла. Поток симметричен относительно оси Ох.
Задача заключается в том, чтобы определить параметры потока в области О и форму (уравнения) крайних линий тока. К параметрам потока в области О относятся k = к(х, у) - местная глубина потока; и = и(х, у) - модуль вектора скорости; в = в(х, у) - угол между направлением вектора скорости и осью Ох симметрии потока; Ь - ширина трубы; Н00 - глубина потока на его выходе из трубы, причём к < кTр (режим безнапорный); и0 - величина скорости на выходе потока из трубы; в = 0 -угол направления вектора скорости на его выходе
из трубы. Поток бурный: Fо =-> 1.
яко
Полагаем поток потенциальным, бурным, следовательно, не учитываются как силы внутреннего, так и внешнего сопротивления потоку. Выявим основные свойства бурного потока при его свободном растекании. Для выявления этого полагаем его одномерным.
—о
>
: = psX
----j
а /а
У = f (x)
крайние линии тока
б / b b
в / c
Рис. 1. Схема растекания потока: а - вертикальный разрез
по оси симметрии потока; б - план растекания потока; в - поперечное сечение потока и трубы / Fig. 1. The scheme
of spreading of the flow: a - vertical section on the axis of symmetry of the flow, b - plan of the spreading of the stream; с - cross-section of flow and pipe
Основное свойство потока при входе в расширение: кинетичность потока увеличивается. При этом справедливы следующие уравнения:
V2 V2
--+ h = —^ + h = H0 - уравнение Бернулли, (29)
Q = vhb' = v^h^b - уравнение неразрывности. (30)
Здесь b' - ширина живого сечения потока; и - средняя скорость в живом сечении потока; h - средняя глубина потока в живом сечении.
1
x
b
x
h
тр
h
о
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
Введём
2
параметр кинетичности потока dy
—
т = -
2 gH0
Угол втах = С1 +У3 — 1)- , где
ется из уравнения эпициклоиды первого семейства (19), проходящей через точку в = 0 , т = то и точку в = втах, т = 1. При этом угол вдоль крайней линии тока совпадает с углом вдоль характеристики первого семейства при т = 1, так как волновой угол (угол между характеристикой и линией тока)
п
определя-
а = ak sin
1 — т 2т
^ 0 при т ^ 1.
= tgd будет также функцией монотонно воз-
и преобразуем уравнения (29), (30) к
виду к = Н(1 — т), Ь' = —---- .
т1/2,/^ • Н 0 (1 — т)
Функция f (т) = , -- монотонно возрастать2 (1 — т)
ет при увеличении т от т0 до 1. Следовательно, Ь монотонно увеличивается, глубина потока к = Н0 (1 — т) монотонно убывает от к0 до 0, скорость потока о = т12 • 42%Н{) монотонно возрастает от ио до Отах =
Докажем, что угол в монотонно увеличивается от нуля до втах вдоль крайней верхней линии тока У = f (х).
dx
растающей.
Граничная задача в физической плоскости течения потока. Поток в области О (рис. 1) удовлетворяет следующей системе уравнений:
Н0 =--+ к = — + к0 — уравнение Бернулли;
2Я 2я
d(hux) | d(huy)
dx dy
неразрывности потока; (31)
= 0 — уравнение
duy du
—y---x = Q = 0 - условие
dx dy
потенциальности движения потока.
Постоянная Н0 зависит от параметров потока на выходе из трубы [10], т.е. от величин и0, к0 - скорости и глубины потока на выходе из трубы. Граничные условия: - на выходе потока из трубы:
b b
х = 0,--<у<-
2 2
h = h0 , — = —0 , в = 0 ;
Введём в рассмотрение радиус живого сечения потока Я (рис. 2).
- вдоль оси симметрии потока: в= 0 ;
- на бесконечности:
х , к ^ 0 , V > °тах =4 2ёН0 ;
- вдоль крайней верхней линии тока: у = f (х), УХ = Х%0 ;
- на бесконечности вдоль крайней линии тока:
в ^ втах , к ^ 0 , 0 ^ 0тах .
Верхняя крайняя линия тока отсекает от оси Ох 50 % расхода Q или удельного расхода — = О0Ь .
h
2
Рис. 2. К течению одномерного потока b' = 2R9 / Fig. 2. To flow one-dimensional flow b' = 2R6
Так как функция b' - монотонно возрастающая вниз по течению потока, то монотонно возрастающей будет и функция y = Rsin# , а следовательно,
В области течения потока О необходимо определить следующие параметры: проекции вектора скорости их = их (х, у), иу = иу (х, у), местную глубину потока к = к(х, у), а также неизвестную границу области растекания потока у = f (х), учитывая, что поток имеет ось симметрии Ох.
При известных и х , и у модуль скорости опре-
деляется по
u„
формуле
2 2 — = Л|мг + uv ; угол
в = arctg -
u
x
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
Для решения поставленной задачи приведённых граничных условий недостаточно. Заранее неизвестны крайняя линия тока и условия изменения параметров и, к вдоль неё. Известно лишь, что область потока является сплошной и крайняя линия тока отделяет его от сухого русла. Следовательно, в поставленной задаче имеется одна степень свободы.
Решить задачу аналитически непосредственно в физической плоскости течения потока не представляется возможным, так как система уравнений (31) является существенно нелинейной системой уравнений математической физики (присутствуют сла-
8
гаемые типа —(Иих) и т.д.). Её аналитические ре-
8х
шения до настоящего времени не найдены. Поэтому можно поставить эту же задачу в плоскости годографа скорости, как это сделал С.А. Чаплыгин для идеального газа [14], а затем, используя формулу связи (14), перейти в физическую плоскость течения потока и интегрированием получить параметры потока непосредственно в физической плоскости течения жидкости.
Заметим, что естественное условие И = 0 вдоль крайней линии тока приводит к грубому искажению адекватности модельного и реального потоков, так как из уравнения Бернулли следует, что
V ^ цтах = и крайняя линия тока представ-
ляет прямую линию. Это противоречит практике наблюдений за бурными потоками. И.А. Шерен-ков в своей работе [15] предлагает рассматривать глубину вдоль крайних линий тока монотонно убывающей от к0 до нуля, а сами значения глубины определять в результате решения граничной задачи.
Граничная задача растекания потока в плоскости годографа скорости. Решить задачу в плоскости годографа скорости - это значит определить функцию у = щ(т, в), удовлетворяющую уравнению в частных производных (13), граничным и дополнительным условиям, вытекающим из свойств свободно растекающегося потенциального бурного потока. Решение уравнения (13) будем определять в виде
(32)
-(1 "Т2,
N
- на выходе потока из трубы точка т = т0, в = 0 должна принадлежать линии тока, т.е.
(33)
- на бесконечности точка т = 1, в = втах также должна принадлежать крайней линии тока, т.е.
Щ(1,втах) = Ц°Ъ . (34)
Угол
в = / *(т) (35)
должен быть монотонно возрастающей функцией при возрастании т от т0 до 1. При этом в должно возрастать от 0 до втах.
Условиям (33)-(35) удовлетворяют только решения уравнений (21), (22) при п = 1, что было доказано компьютерным путём.
Следовательно, функцию у = щ(т, в) и уравнение крайней линии тока можно представить в виде
щ(т,в) = С^т(втах -в) + + ^^Т + А2т1/21 1 --\ Бтв ,
(36)
щ(т,в) = С^-т^т(втах-в)+ ТУк(т)зткв .
т к=1
Дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных (14) имеет спектр аналитических решений, из которого необходимо выбрать решения, удовлетворяющие следующим условиям:
- вдоль крайней верхней линии тока в плоскости годографа скорости
где C, A\, A2 - постоянные, определяемые в результате решения граничной задачи.
Первое слагаемое в (36) должно присутствовать для сопряжения потока в трубе и на его выходе из трубы, т.е. удовлетворять условию (33).
Второе слагаемое может иметь место, так как f (д) = sin0 - неотрицательная монотонно возрастающая функция при увеличении в от нуля до втах; f —)=т12 - положительная монотонно возрастающая функция при возрастании т от т0 до 1. Их отношение может быть постоянным в некотором интервале изменения угла в и параметра кинетич-ности т.
Третье слагаемое может иметь место на некотором интервале изменения параметров в и т, так как функция f (д) = sin0 - монотонно возрастающая
функция; f (г) = г121 1 — — 1 - монотонно убываю-
щая функция в интервале т е
2,1
3
Очевидно, что функция вида /(в)= 8т2в не будет монотонной при увеличении в от 0 до втах; втах, согласно [1, 4], может достигать предельного значения 67°.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
Определение коэффициентов в уравнении крайней линии тока. Определим коэффициенты в уравнении крайней линии тока:
оЬ = С -Тт^втах — в) +
+ A
sine т 1
+ A т1/2 Ii -Т- I sine .
2
Из условия(33)следует
V0J 2
(37)
■(1 -о
Ъи = с у- -J sine
—1/2 то
C = ■
ОоЬ-ОО2
2(1 -т0)2sinemax '
т.е. коэффициент C определяется однозначно. Из условия(34) щЬ 2
(38)
= A sin 0mav + A sin e
2
или
A + A = ■
vob
2 2sine
(39)
Из условия (39) A2 = —
Vn b
sine
- - 2 A-. Перепишем
уравнение (37)
= Cfc-^sinemax -0) +
(40)
AsinO
+ —77т—+
f
т-2
Vob
\
V sin0max
■- 2 A
г 1/2
i — I sine
или
= C-^sinOmax -0) +
+ AsinO
- 2-/2 fi--т-2 I1 2
+
(41)
+ -
Vob
sin O
—2
1 — I sine . 2,
Анализируя уравнение крайней линии тока (41), можно убедиться, что с увеличением т от т0 до тк и в от нуля до вк (где тк, вк - параметры потока в точке К при С = 0) [10, 11], роль первого слагаемого в правой части (41) уменьшается в разы по сравнению со вторым и третьим слагаемыми, и это уравнение практически будет совпадать с уравнением
*t = AsinO
1 ~ 1/2 N т
.1/2
- 2т1
1 -~2
+
+
ип b
sin O
т1/2 ■[ 1 --|sine (рис. 3).
1 - крайняя верхняя линия тока y = f (x) 2 - произвольная эквипотенциаль
Рис. 3. План течения потока при C = 0, 6k ф 0 / Fig. 3. The plan of flow at C = 0, 6k ф 0
Так как A +—2 =
Vob
2 2sine
A > 0, A2 > 0 и
0 < A <■
Vob
согласно (39), то
(42)
2 ЭШ втах
Так как С определяется однозначно из (38), то из уравнения (40) при С = 0 определим угол в:
sine = ■
Vob
2 At"12
+
Vob - 2A It-2 (2 -t)
sine
(43)
В уравнение (43) входит постоянная А, изменяющаяся в пределах (42) и определяющая свойства 8тв и в = f (А,т,т0). Для её определения используем принцип оптимальности в природе [16], который сформулируем применительно к граничной задаче.
Если процесс растекания бурного потока имеет одну степень свободы (неизвестна одна постоянная -А), то процесс будет протекать так, что целевая функция в = f (А, т, т) будет принимать максимальное возможное значение при любых т0 и т.
Задача определения постоянной А - это задача динамического программирования.
Определим частную производную
8f (A--o).
dA
Vob ■
f
8A 2 A t~-2 +
2т--2 - 2t-2 (2 -t)
Vob sin».
-2A I--2 ■ (2-t)
. (44)
Так как числитель в (44) не зависит от A, то максимум sin#, а следовательно, и в может дости-
Vob
гаться только при А = 0 либо А =
2 ЭШ втах
Уравнение крайней линии тока при этом с учётом ограничений на монотонность угла в будет следующим:
2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
W(r,ro,e) =
A* sine C (1 -r)2
rV2
rV2
■sin(emaX -e)=!f,
при
3
<r0 <
3
A*=-
U Ъ
2sine
= A;
^(r,r„,e)=a* sine-r1211 -rJ +
(45)
C(1 -r)2 .
U Ъ
(emax -в) = -°-
при
2
- < r0 < 1, 3 0
A*=-
и0Ъ
2sine
A = 0.
В работе [11] отмечено, что угол в, определённый из уравнений (45), будет также монотонно возрастающей функцией от т. Зная вид крайней линии тока, из системы (13) можно определить потенциальную функцию и вид эквипотенциалей.
Решив задачу свободного растекания бурного потенциального потока в плоскости годографа скорости, можно определить параметры потока т, в в любой точке области течения потока (рис. 4). Верхняя часть области течения потока О в плоскости т, в ограничена крайней линией тока АВ, отрезком АС линии тока с нулевым расходом и дугой окружности ВС при т = 1. Для этого необходимо решить систему Уу(т,в) = С1;
Щ(т,в) = С 2, (46)
где С1 определяется долей расхода, отсекаемого данной линией тока и осью симметрии Ох (Отх); С2 определяется фиксацией конкретной эквипотен-циали.
Рис. 4. К пояснению области течения потока в плоскости (т, в) / Fig. 4. The explanation of the flow stream in the plane (т, в)
Из системы (46) определяются параметры потока в точке пересечения произвольной фиксированной линии тока с произвольной эквипотенциалью. Переход в физическую плоскость осуществляется использованием связи (14), из которой интегрированием определяются координаты x, y, соответст-
вующие параметрам т, в, полученным из системы (46). Подробный алгоритм решения задачи можно посмотреть в литературе [10, 11]. Там же доказывается, что сходимость по различным параметрам потока между моделью и реальным потоком в окрестности выхода потока из трубы до расширения потока ¡3 = 7 превышает сходимость по ранее известным методам.
Выводы
1. Метод Кирхгофа - Чаплыгина применим к потенциальным плавным течениям водных потоков. Он позволяет получить аналитические зависимости для определения глубин, скоростей в любой точке потока, а также для определения формы линий тока и эквипотенциалей (вообще для определения любых точечных или интегральных характеристик потока).
2. Доказано, что замыкание граничной задачи свободного растекания потенциального бурного потока в предположении оптимальности угла растекания потока вдоль крайних линий тока даёт высокую адекватность модели реальному потоку в окрестности выхода потока из трубы.
3. Модель потенциального двухмерного в плане водного потока имеет не только теоретический, но и практический интерес.
Литература
1. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М. : Энергия, 1967. 212 с.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. : Дрофа, 2003. 840 с.
3. Справочник по математике для научных работников и инженеров / под общ. ред. Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1970. 720 с.
4. Высоцкий Л.И. Совершенствование методов гидравлических расчётов водопропускных и очистных сооружений : межвуз. науч. сб. / редкол. Л.И. Высоцкий и др.; Саратов. гос. техн. ун-т. Саратов, 1994. 94 с.
5. Сухомел Г.И. Вопросы гидравлики открытых русел и сооружений. Киев : Изд-во АН УССР, 1949. 314 с.
6. Гарзанов А.В. Применение метода Кирхгофа -Чаплыгина к расчёту сжатия открытых потоков // Сб. тр. каф. гидравлики Саратов. политехн. ун-та. Саратов, 1963. Вып. 19. С. 96-115.
7. Гиргидов А.Д. Механика жидкости и газа (гидравлика) : учеб. пособие. 2-е изд. СПб. : Изд-во СПбГТУ, 2003. 545 с.
8. Takeda R., Kawanawi M. The influence of turbulence on the characteristic of the propeller current meters // Trans. Soc. Mtch. Eng. 1978. № 383, vol. 44. P. 2389-2394.
2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 2
9. Ippen A.T. Mechanics of Supercritical Flow // Proceedings American Society of Civill Engineers. 1949. № 9, vol. 75. 178 p.
10. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В., Ширяев В.В., Коханенко Н.В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков / под общ. ред. В.Н. Коханенко. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2007. 168 с.
11. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В., Лемешко МА., Папченко Н.Г. Моделирование бурных двухмерных в плане водных потоков / под общ. ред. В.Н. Коханенко. Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2013. 179 с.
12. Коханенко В.Н., Келехсаев Д.Б. Решение граничных задач по течению двухмерных в плане стационарных открытых потенциальных водных потоков // Сб. ст. по материалам III Междунар. конф. преподавателей, молодых учёных, аспирантов и студентов вузов. 26 апреля 2016 года. Новочеркасск : ЮРГПУ (НПИ), 2016. С. 69-72.
13. Коханенко В.Н., Косиченко Ю.М., Дуванская Е.В., Калмыков Б.Ю. Методы решения гидравлических задач по течению плановых стационарных потоков воды / под общ. ред. В.Н. Коханенко; Южн.-Рос. гос. ун-т экономики и сервиса. Шахты : Изд-во ЮРГУЭС, 2003. 68 с.
14. Чаплыгин С.А. Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика: Избранные труды. М. : Наука, 1976. 496 с.
15. Шеренков И.А. О плановой задаче растекания струи бурного потока несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 1. С. 72-78.
16. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике : в 2 кн. / пер. с англ. В.Я. Алтае-ва, В .И. Моторина. М. : Мир, 1986. 347 с.
References
1. Emtsev B.T. Dvukhmernye burnye potoki [Two-dimensional turbulent flows]. Moscow, Energiya, 1967, 212 p.
2. Loitsyanskii L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluid and gas]. Moscow, Drofa, 2003, 840 p.
3. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabot-nikov i inzhenerov [Handbook on mathematics for scientists and engineers]. Eds. G. Korn, T. Korn. Moscow, Nauka, 1970, 720 p.
4. Vysotskii L.I. Sovershenstvovanie metodov gid-ravlicheskikh raschetov vodopropusknykh i ochistnykh sooruzhenii [Perfection of methods of hydraulic calculations of culverts and treatment facilities]. Interuniver. Sci. Sci. Col. L.I. Vysotskii et al.; Saratov State Tech. Un-t. Saratov, 1994, 94 p.
5. Sukhomel G.I. Voprosy gidravliki otkrytykh rusel i sooruzhenii [Hydraulics of open channels and structures]. Kiev, Izd-vo AN USSR, 1949, 314 p.
6. Garzanov A.V. [Application of the Kirchhoff-
Chaplygin method to the calculation of the compression of open flows]. Sb. tr. kaf. gidravliki Saratov. politekhn. un-ta [Collected works of the Department of Hydraulics of the Saratov Polytechnic University]. Saratov, 1963, issue 19, pp. 96-115.
7. Girgidov A.D. Mekhanika zhidkosti i gaza (gid-ravlika) [Mechanics of fluid and gas (hydraulics)]. Textbook. Saint Petersburg, Izd-vo SPbGTU, 2003, 545 p.
8. Takeda R., Kawanawi M. The influence of turbulence on the characteristic of the propeller current meters. Trans. Soc. Mtch. Eng. 1978, No. 383, vol. 44, pp. 2389-2394.
9. Ippen A.T. Mechanics of Supercritical Flow. Proceedings American Society of Civill Engineers. 1949, No. 9, vol. 75, 178 p.
10. Kokhanenko V.N., Volosukhin Ya.V., Shiryaev V.V., Kokhanenko N.V. Modelirovanie odnomernykh i dvukhmernykh otkrytykh vodnykh potokov [Simulation of one-dimensional and two-dimensional open water streams]. Ed. V.N. Kokhanenko. Rostov-on-Don, Izd-vo YuFU, 2007, 168 p.
11. Kokhanenko V.N., Volosukhin Ya.V., Lemeshko M.A., Papchenko N.G. Modelirovanie burnykh dvukhmernykh v plane vodnykh potokov [Simulation of rough two-dimensional in terms of water flows]. Ed. V.N. Kokhanenko. Rostov-on-Don, Izd-vo YuFU, 2013, 179 p.
12. Kokhanenko V.N., Kelekhsaev D.B. [Solution of boundary value problems in the course of two-dimensional stationary open potential water flows]. Sb. st. po materialam III Mezhdunar. konf. prepodavatelei, molodykh uchenykh, aspirantov i studentov vuzov [Collected papers on the materials of the III International Conference of Teachers, Young Scientists, Post-Graduate Students and University Students]. April 26, 2016. Novocherkassk, YuRGPU (NPI), 2016, pp. 69-72.
13. Kokhanenko V.N., Kosichenko Yu.M., Duvanskaya E.V., Kalmykov B.Yu. Metody resheniya gidravlicheskikh zadach po techeniyu planovykh statsionarnykh potokov vody [Methods for solving hydraulic tasks along the flow of planned stationary water flows]. Ed. V.N. Kokhanenko; South-Russian State University of Economics and Service. Shakhty, Izd-vo YuRGUES, 2003, 68 p.
14. Chaplygin S.A. Mekhanika zhidkosti i gaza. Matematika. Obshchaya mekhanika: Izbrannye trudy [Mechanics of fluid and gas. Mathematics. General Mechanics: Selected Works]. Moscow, Nauka, 1976, 496 p.
15. Sherenkov I.A. O planovoi zadache rastekaniya strui burnogo potoka neszhimaemoi zhidkosti [On the planned problem of the flow of a jet of a turbulent flow of an incompressible fluid]. Izv. AN SSSR. OTN. 1958, No. 1, pp. 72-78.
16. Rekleitis G., Reivindran A., Regsdel K. Optimiza-tsiya v tekhnike [Optimization in technology]. Trans. V.Ya. Altaev, V.I. Motorin. Moscow, Mir, 1986, 347 p.
Поступила в редакцию /Received
8 февраля 2017 г. /February 8, 2017
