CC BY
16
УДК 532.543
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ БУРНОГО ВОДНОГО ПОТОКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ВЫПУКЛОГО УГЛА МЕТОДОМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ
© 2013 г. В.Н. Коханенко, Н.Г. Папченко
Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. (86352)-3-55-21.
Папченко Наталья Геннадиевна - ст. преподаватель, кафедры «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет.
Kohanenko Victor Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Don State Agrarian University. Ph. (86352)-3-55-21.
Papchenko Natalia Gennadievna - senior lector, department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Don State Agrarian University.
Для развития метода расчета параметров бурного потока с использованием плоскости годографа скорости ранее была решена задача о радиальном растекании бурного потока, результаты решения были сравнены с результатами аналитических методов с использованием уравнений движения потока в физической плоскости течения, и была предложена технология решения ряда задач по плановому растеканию потока. В настоящей работе решается задача обтекания потоком выпуклого угла.
Ключевые слова: бурный поток; параметры потока; плоскость годографа скорости; обтекание выпуклого угла.
For the development of the method of calculation of parameters of a turbulent flow of using the hodograph plane speed in the work [1] was marked solved by the method of the task of radial растекании turbulent flow, results were compared with the results of analytical methods for the use of the equations of motion of a stream in the physical plane, currents and was offered the technology of the decision of tasks scheduled flow out of the flow. In the present work the problem of a flow around a flow of the convex corner.
Keywords: turbulent flow; flow parameters; hodograph plane speed; flow around a convex angle.
Целью настоящей работы является изложение и пропаганда метода расчета параметров бурного потока с использованием плоскости годографа скорости и сравнение полученных результатов с результатами аналитического метода интегрирования уравнений движения потока непосредственно в физической плоскости течения потока в задаче обтекания бурным потоком выпуклого угла. Для развития метода расчета параметров бурного потока с использованием плоскости годографа скорости нами в работе [1] была решена отмеченным методом задача о радиальном растекании бурного потока, результаты решения были сравнены с результатами аналитических методов с использованием уравнений движения потока в физической плоскости течения, и была предложена технология решения ряда задач по плановому растеканию потока. Также была доказана правомерность использования предлагаемого метода.
В настоящей работе решается следующая задача обтекания потоком выпуклого угла [2] (рисунок).
Пусть бурный равномерный поток движется вдоль прямой стенки ВА, которая в точке А терпит излом и поворачивается на конечный угол £0 . Поток, огибая угловую точку А, далее движется вдоль стенки АС, которую также возьмем прямой. Достоверным условием для потока за угловой точкой А считаем, что стенка АС должна быть линией тока, и поток вдоль АС
также является равномерным. Следовательно, согласно информации в работе [2], два равномерных потока разделены простой волной. Кинетичность потоков I и II обозначим посредством F1, F2. Ограничимся случаем F2 > F1, т. е. кинетичность потока увеличивается вниз по течению потока. Границами потоков будут прямые АМ и АЫ, которые являются характеристиками первого семейства с волновыми углами:
1 1
а, = arcsm —=; а 2 = агат —=.
^ 2 4Ё2
Схема растекания потока: М* - произвольная характеристика первого семейства в центрированной волне
Два равномерных потока I, II соединены центрированной волной, в которой все характеристики, вы-
ходящие из точки А, прямые линии, вдоль которых параметры потока постоянны. Вдоль характеристики второго семейства, пересекающей характеристики, выходящие из точки А, будет выполнено условие [2]:
е-
V3arctg.
F -1 . 1
--+ arcsin—=
з VF
л
= -2Л
(1)
Эти выводы согласуются с результатами, изложенными в работе [2]. Из (4) также следует, что для безотрывного обтекания потоком плоской стенки с изломом (выпуклого угла) должно выполняться условие
£0 = / ()" / (Е ),
или в виде, предложенном В.Н. Коханенко [1]:
е-
V3arctg
F
3т-1 . 1 -х
—-- + arcsin.-
3(1 -т) V 2т
V 2
Л
= -2л , (2)
где т =-; т =--квадрат скоростного коэф-
Е + 2 2gH1
фициента потока; £ - угол, характеризующий направление вектора скорости частицы потока.
Постоянная Н1 определяется по параметрам I потока:
V = V1, h = h1, е1 = 0.
где f (F ) = V3arctg.
Е -1 . 1
--+ агсБш—;=.
з 4Е
Зная, что в центрированной волне параметры потока связаны условием (1) с использованием (3), можно при заданном Е е[Е^ Е2 ] определить соответствующий угол £ вдоль характеристики первого семейства, т.е. на произвольной прямой АМ*. Угол же 6, если отсчитывать, как показано на рисунке для характеристики первого семейства, определяется по формуле:
6 = — а + е . 2
(6)
Если в потоке I е = 0, F = Fl, то
V3arctg.
F -1 • 1
—5--ь arcsin
3
(3)
Определив F, 9, можно вычислить и параметры потока вдоль прямой 6 = const:
F
т = -
F+2
h = #!(1 -т),
Так как угол е в задаче изменяется от нуля до е = -е0, т. е. остается отрицательным везде, тогда уравнение (1) с учетом (3) перепишем в виде:
е * -
V3arctg.
F -1 . 1
--ь arcsin—=
з VF
V3arctg.
F -1
+ arcsin
VF".
е* =
V3arctg.
F -1 1
--ь arcsin—=
3 VF
VJarctg
F -1
3
+ arcsin
4K.
(4)
Максимальный угол поворота стенки при безотрывном обтекании стенки с изломом при заданной кинетичности Е1 первого потока определится из усло-
вия F2 = да, h2 = 0
= V3
2
V3arctg
F -1
3
+ arcsin
л/FT
(5)
V = а = arcsin-^,
л/Е
К2
где Н1 = —^ + h1; h1, У1 - параметры первого равно-2 g
мерного потока.
Итак, параметры потока в центрированной волне полностью определены. Для построения линии тока в центрированной волне выявим вначале основные свойства потока в этой области его течения.
Согласно [2], система уравнений движения планового потока совместно с уравнением неразрывности имеет вид:
2
dur u6 dur
Uy I
dr r 96 r
= - g sin ц cos 6-g cos Ц
du6 u6 du6 uru6 ur^L + ^L-JL + - r 6
d( ^q + h )
dr
- T •
dr r 96 r
= - g sin ц sin 6 - g cos ц
d( ^q + h )
(7)
96
-T
d
d
dr(rurh) + ^(ueh ) = 0
d6
Предельный угол поворота бурного потока можно определить из (5), если положить поток I критическим, т. е. Е1=1. В таком случае
еmax =(V3 - 1)f ~ 65,
где иг, и6 - радиальная и трансверсальная проекции вектора скорости; г, 6 - полярные координаты положения жидкой частицы потока; z0 - отметка дна русла; ц - продольный уклон русла; g - ускорение силы тяжести.
1
2
1
3
где е* = е :
1
1
е
о
Полагаем в задаче: Tr = Te = 0; z0 = const; ц = 0 и
dur n due
условия: —- = 0; —- = 0; — = 0 - следующие из dr dr dr
свойств простых центрированных волн [2]. В этом
случае система (7) упрощается к виду:
dur ~d6~
due
"да"
dh
+ ur I = -g —;
r 1 se
, dh , due urh + ue — + h= 0.
se se
(8)
Hl =-
2 2 u + uö
2g
+ h.
dr _ rd e ur ue
Переходя к параметру т, получим формулы: h = H (1 -т); ue=JH (1 -т);
(9)
ur =JgHi (3т-1); V = т112 . Перепишем уравнение (9) в виде
dr u„d e /3т — 1
1 — т
-d e.
(10)
Из уравнения (2) определим выражение Для этого уравнение (2) перепишем в виде
3т — 1 1 — т
е — а + 2г| | 3т — 1
= arctg
V3
3(1 — т)'
(11)
Из (11) следует:
V3tg
е* — а + 2|
V3
3т — 1 1 — т .
Определим дифференциал угла 9 из (6): d e = d e* - d a.
Тогда уравнение линии тока (10) преобразуется к
Третье уравнение системы (8) выражает в полярных координатах условие безвихревого движения потока О = 0, при этом справедлив интеграл Бернул-ли в виде
виду
или в виде
dr /г. е — а + 2|
d e
dr „
— = 3tgyd у, r
е *—а + 2| , d е — d а где у =-р-, dу = -
(12)
S
Интегрируя уравнение (12), найдем:
Со второго и третьего уравнений системы (8), как отмечено в [2],
«е =4ёЬ.
Уравнение линии тока в полярных координатах имеет вид [1]:
ln— = ln
cos Уо
—3
cos у
Преобразовав уравнение (13), получим:
r cos Уо
r0 3 •
cos у
(13)
(14)
При этом, если начальную точку траектории выбираем на луче АМ, то у0 = -а1 + 2|, на луче АЫ -
у = бо-а 2 + 2Г|.
Из уравнения (14) следует, что линии тока в центрированной волне являются подобными кривыми, расстояния между которыми при F2 > F1 > 1 увеличиваются вниз по течению потока. Таким образом, задача, поставленная в работе, решена методом с использованием плоскости годографа скорости. Однако полученные в работе результаты полностью совпадают с результатами решения этой же задачи в работе [2] чисто аналитическими методами в физической плоскости течения потока.
Литература
1. Коханенко В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография. Ростов н/Д., 2007. 168 с.
2. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 212 с.
Поступила в редакцию
11 февраля 2013 г.
= ue;
u
e
r
r
о
r
u
e
