О плановой задаче растекания бурного потока несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГИДРОТЕХНИЧЕСКИЕ СООРУЖЕНИЯ

УДК 532.543

О ПЛАНОВОЙ ЗАДАЧЕ РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

© 2012 г. В.Н. Коханенко*, М.Ф. Мицик**, О.А. Алейникова*

*Донской государственный аграрный университет *Donskoy State Agrarian University

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты

South-Russian State University of the Economy and Service, Shahty

Предлагается упрощенное описание характеристик в области простых центрированных волн при свободном растекании бурного стационарного двухмерного планового потенциального потока. Предлагается детализировать и развить метод, предложенный И.А. Шеренковым, исходя из уравнений движения потока воды в форме, предложенной Л. Эйлером. Приведено сравнение геометрии расчетных характеристик с результатами И.А. Шеренкова в границах практического применения.

Ключевые слова: метод характеристик; прямоугольная труба; горизонтальное отводящее русло.

We propose a simplified description of the characteristics of simple centered waves free spreading of stormy stationary two-dimensional potential flow in plane. We refined and developed the method proposed by I.A. Sher-enkov, based on the equations of motion of the water flow in the form proposed by l. Euler. It is given compare the geometry of the design characteristics of the I.A. Sherenkov in region ofpractical application.

Keywords: method of characteristics, the rectangular pipe; the horizontal tailrace track.

Метод расчета параметров свободного растекания бурного двухмерного в плане потока с помощью характеристик подробно изложен в работе [1]. Однако, на наш взгляд, его необходимо ещё более детализировать и, пользуясь основной идеей классика гидравлики открытых потоков И.А. Шеренкова, развить его метод.

Исходные уравнения

Задача описания движения двухмерного в плане потока несжимаемой жидкости сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями [2]:

dvr

dx

dv„

dy

dv„

+vy -y=— -sfx ;

dh dx

dh

v —— + v —— = — g—— — gf '

x y ^ <5 ~ оУу

dx dy dy

dh , dvx dh ,dvyn v„— + h—- + v„ — + h—- = 0,

(1)

dx

dx

dy dy

При допущении потенциального в среднем течения двухмерного в плане бурного потока

dv dvy

x _ y = 0

dy dx

(2)

система (1) имеет интеграл, именуемый интегралом Бернулли, характеризующий условие постоянства удельной энергии в плоскости ОХУ течения потока:

V2

H = h +--= const,

2 g

где V2 = v^ + vy.

В этом случае исходная система уравнений при условиях fx = f = 0 и (2) сводится к одному дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа, уравнению Монжу - Ампера [1]

(

v2 ^ 1 —^ gh

d2Ф vxvy d2ф -2— 2---г

dx2 gh dxdy

(

v2 ^ 1 — vL

gh

d 2ф dy2

= 0

где ух , уу - проекции вектора скорости V = ^х + jvy

на оси декартовой прямоугольной системы координат ОХУ; h - местная глубина потока; g - ускорение

силы тяжести; fx, fy - слагаемые, учитывающие

силы трения и уклон дна.

Система (1) есть квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных. Она замкнута относительно функций

^ = ^ (х;у); ^ = ^ (х;У); h = h (х;У)•

относительно потенциала скорости ф , определяемого

условиями: vx =

dф

vy =

dф

дх ду

Уравнения его характеристик в физической области течения потока будут иметь вид [2, 3]

dy dx

v v +

x y —

jgh (v 2 — gh ) v2 — gh

или — = tg (6 + а), при этом верхний знак относится ёх

к характеристикам первого семейства, а нижний - к характеристикам второго семейства. Через 6 обозначен угол между вектором скорости и осью ОХ, а через а - угол между характеристиками и вектором скоро-

1 V2

сти: а = агсзт^=; F = —, где F - число Фруда. ^ gh

Уравнения характеристик в плоскости годографа скорости имеют вид:

vvy + c\V2 -c2

dVx + xy 2 2-dvy = 0,

v2 -c2

(3)

где с = - волновая скорость, они интегрируются в виде [2, 3]

(

е = +

Vlarctg J--arc tgVF-1

Л

+ C,

или в виде [4]

е = +1 V3arctg^g|-a | + Cj.

(4)

(5)

Уравнения характеристик (4), (5) можно переписать для первого семейства так: 6 + f (а) = 2£, или

6 + f (F) = 2£; а для второго семейства в виде: 6-f (а) = -2^ , или 6-f ^) = -2^,

где

f (а) = V3arctg-ga - а;

tga

А

F -1

V3

-2 л,

или через число Фруда F

е = +

V3arctg.

F -1 . 1

3 VF J [-2^.

(6)

(

е = +

Vlarctg

3т-1 . 1 -т

—-т + arcsrnj-

3(1 -т) \ 2т

Л

+{+25

квадрат скоро-

■3 Т7 2т F V2 Здесь F =-; т =-; т =-

1 -т F + 2 2 gH 0 стного коэффициента; Н0 - постоянная в интеграле

Бернулли, определяемая по параметрам невозмущенного потока на выходе из прямоугольной трубы:

V),

Схема течения потока на его выходе из трубы, в области простых центрированных волн и в зоне их пересечения

Схему свободного растекания бурного открытого потока воды при внезапном расширении русла предложил И.А. Шеренков [1]. На выходе из прямоугольной трубы (рис. 1) поток начинает расширяться. Из точек А и В, в окрестности которых начинается расширение потока, проводятся крайние характеристики, соответственно £ 0 и ^ 0. Затем проводятся следующие две характеристики £ и ^ и т. д. В результате плоскость ОХY будет покрыта сеткой характеристик, определяющих поле скоростей и глубин потока в области его растекания.

Решение исходных уравнений бурного потенциального потока при его свободном растекании в широкое плоское отводящее русло за прямоугольной безнапорной трубой в области простой центрированной волны

Для характеристики £ 0 известно, что она выходит из точки А (0;Ь/2) с угловым коэффициентом

k = tg (е - а), следовательно,

= b 2 + tg (е-а) x

io'

(7)

f (F) = ТЗаг^у —--.

И.А. Шеренков привёл решение уравнения (3) в форме

6 = т О3ат^ + аЫ+2£

Через £ и ^ обозначены постоянные интегрирования, неизменные вдоль соответствующих характеристик. Они определяют сетку характеристик [2, 3] и служат в качестве аргументов в криволинейной системе координат £, ^ .

В работе [4] В.Н. Коханенко приводит уравнения характеристик в виде

где х£ ,у£ - текущие координаты характеристики.

Так как эта характеристика пересекается с линией тока с параметрами 6 = 0, F = F0, то эти параметры удовлетворяют уравнению (6), отсюда

0 = - + агат (1/^)) + 2£о. (8)

Из (8) определяется постоянная

£0 = 1 (^аг^Т^^ув + агат (1/^)),

и уравнение характеристики в плоскости годографа скорости будет иметь вид:

6 = -(73аг^ (F -1)/3 + arcsin (1/4Ё)) + 2£ 0.

Так как часть характеристики АС есть отрезок прямой, то на ней параметры потока

6 = 0, F = F0, угол а0 = arcsin(1Д/^).

Следовательно, уравнение (7) имеет вид:

У£0 = Ь12 - tgа 0х£0. Далее индекс 0 будем для удобства опускать.

Крайняя линия тока

Рис. 1. Схема основных участков растекания бурного потока (I, II, III, IV). Область свободного растекания бурного открытого потока состоит из: I - начального невозмущенного потока; областей II простых центрированных волн £, и п; области III взаимодействия 2, и ^ волн; областей IV - водоворотных зон

Определим координаты точки С пересечения характеристики 50 с осью ОХ. В точке С yC = 0, тогда

xc = b/ (2tga о ). (9)

Обозначим расстояние АС через l^ и определим его по формуле расстояния между двумя точками [5]:

l 50 ^ V(xA^xc)i+cyA^yc)i=

= ^ b2/ ( 4tg2ao ) + b 2 /4 = b/ ( 2sin ao ). (10)

Таким образом определяется область невозмущенного потока ОАС и параметры потока внутри области (^р)

V), h0, 0 = 0, F = V2/(gh0) = F0.

Уравнение произвольной характеристики 5 = const до точки пересечения с характеристикой q 0

имеет в физической плоскости вид

y = b/2 + tg (0-a) x.

До точки С характеристика q 0 является отрезком

прямой, далее она будет криволинейной, пусть она проходит через точки C, M1, M 2,... .

Необходимо определить координаты точек C,M1,M2,... и параметры потока вдоль характеристики q 0. Определим параметры потока в точке M1. Они удовлетворяют системе уравнений:

q 0 = const; | = const.

Характеристике q 0 удовлетворяет точка С с параметрами 0 = 0, F = F0, отсюда q 0 = f (F0 )/2, где

f (F0 )^V3arct^(F0 - i)/3 - arct^VF0r1.

Следовательно, уравнение характеристики q 0 в плоскости годографа скорости имеет вид

л о =1 [ f ( f )-е].

2

Уравнение характеристики 5 = const в плоскости годографа скорости, соответственно, имеет вид

5 = 2 [ f (F ) + 0] = const.

Определим постоянную 5 . Крайней характеристике удовлетворяют параметры

e = emax; F = »; £тах =[f («) + етах ]/2, где угол emax определяется в [2, 5]:

emax = (Vs-i)f + arctj-! _Т

3хо -1

-V3arctg ' 3Т° 1

% г = (%max Ч ° )í/N + % °.

[Л 0 =[ f (F )-ej ]/2; ^ 1 =[ f (F ) + е! ]/2.

Из системы (11) следует уравнение:

л о +£ i = f (F).

(11)

(12)

У = ц(Х) :

(13)

= Axtga ° + O

(Ax )2

где O

Тогда угол между прямой CM1 и осью ОХ равен

(3 (1 -Т0 )"

Определим значения £ ^ для характеристики, проходящей через точку М^,/ = 0,1,2,...,N ,

Следовательно, значение £ 1 соответствует точке M1, тогда

^ СМ х, ОХ аrctg (ущ/ Д х ) =

= атС^|(дxtgа0 + О (Дх)2 )^Дх| = = аг^ {tgaо + О (Дх)} = arctg (tgао) + +arctg'(tgа0 )Дх + О (Дх)2 =а0 + О (Дх). (14)

Таким образом, угол ^СМ1,ОХ^ отличается от

угла между характеристикой ^ 0 и осью ОХ в точке С на величину О (Дх).

Тогда угол Z АСМ1 = л - 2а0 + О (Дх). Рассуждая аналогично (14), можно показать, что угол Z АМХС = 2а1 + О (Д х).

Из теоремы синусов с точностью до бесконечно sin2а1 sin2а0

-1 --отсюда согласно (10)

малых следует

% 0

l

%1

k 1 =

I%° sin2a° ь sin2a° b cosa°

sin2a1 2sin a °sin2a1 sin2a1

. (15)

Угол Z CAM1 с точностью до бесконечно малых

равен

Из уравнения (12) определяем значение F1, а затем находим параметры ^,^1,61, угол а1 равен

а1 = arcsin ).

Определим теперь координаты точки М^ Для

этого рассмотрим детально элемент из схемы рис. 2, относящийся к простым центрированным волнам £ 0

и £2, проходящим через точки С и М1 (рис. 3).

Соединим точки С и М1 прямой (рис. 3).

Пусть уравнение характеристики ^ 0 имеет вид

Z CAM1 = л - (л - 2а0 ) - 2а1 = 2а0 - 2а1. По теореме косинусов найдем длину отрезка

причем кривая (13) является гладкой.

Так как значение N достаточно большое, то характеристика £ 1 повернута относительно £ 0 на малый угол, соответственно, хМ = хС +Д х, где

Дх = CD - малая величина. Учитывая, что уС = 0, получим

Ущ = ц(хС + Дх) = Дхц' (хС ) + О (Дх)2

CM1 :

CM1 = + l2 - 2l£ 01£1 cos2 (ао -а1) .

Отрезок CM1 = Ax/sinа0 , т.е. имеет порядок малости A x . По теореме синусов

sin2(а0 -а1) _ sin2а0

CM1 = i£i ,

. ч Axsin2а1 отсюда sin2(a0-а1 )=-1, следовательно, угол

sin а01£ 0

Z CAM1 = 2а0 - 2а1 имеет порядок малости Ax .

Таким образом, cos2 (а0 -а1 ) = 1 + O (Ax)2 и с точностью до порядка (A x)2

CM1 = Iß +1% - 21% 1% =

1 V % ° % 1 % ° % 1

% _° )2

-'11%1 _ 1%°) = 1% 1 _ 1%°.

(16)

(Ax) - величина порядка малости (Ax) . виду

Учитывая (1°) и (15), формулу (16) преобразуем к

b(sin2a° - sin2a1)

CM =Л-°--

2sin a° sin2a1

(17)

°

^ + d \

Рис. 2. Схема к определению параметров потока на характеристике ^ 0

Из (17) находим CD и DM1:

Ь (sin2a0 - sin2a1)

Проводя рассуждения, аналогичные вышеописанным, из (18) получим

CD =CM1 cos a0 = -

2tga0 sin2aj

CMJ =

b (sin2a0 - sin2aj 1 ^

DMJ = b(sin2a0 -sin2aj )/(2sin2aj).

2sin2aj

1

V tga0 J

;1

Следовательно, вектор CMi равен

b (sin2a0 - sin2a1)

CM1 =

2sin2a1

;1

V tga0 J

Используя для треугольника AM1M2 рассуждения, подобные проведенным для ACAMi, получим (18) формулу, аналогичную (15) (рис. 2):

l51 sin2a1 b cos a 0 sin2a1 b cos a 0

Учитывая координаты точки С, находим координаты точки М1 (рис. 3):

Ь Ь(sin2a0 -sin2a1)

хм1 = хс +CD = 1 _

4 =-

i 2

sin2a 2 sin2a1 sin2a 2 sin2a 2

2tga0 2tga0sin2a1 b sin 2a 0

Длина вектора M1M2 будет равна b (sin2a1 - sin 2a2 )

2tga0 sin2a1

M1M 2 = -

(19)

2sin a1 sin2a2

b (sin2a0 - sin2a1)

yMl = yc + DM j = 0 + ^-0-У--

2sin2a1

b(sin2a0 - sin2a1)

а вектор M1M2 соответственно

b (sin2a1 - sin2a2 )

M1M2 =

2sin2a 2

-; 1

2sin2a1

V tga1 J

(20)

Используя формулы (19) и (20), находим координаты точки М 2 (рис. 2):

XM 2 = XM1 +

b (sin2a1 - sin2a2 ) 2tga1 sin 2a 2

b ' sin2a0 + sin2a1 -sin2a 2 V tga0 sin2a1 tga1 sin 2a2

b (sin2a1 - sin2a2 )

yM 2 = yM1 +"

2sin2a2

Рис. 3. К определению координат точек на характеристике q 0

2

_b | sin2a0 - sin2a1 sin2a1 - sin2a2

sin 2a,

sin2a2

1

1

Аналогичным образом производится расчет координат всех точек на характеристике л 0.

В работе И.А. Шеренкова [1] получено приближенное решение для координат характеристики л 0 в

виде

хш = JF0®(F )T(F)1/4cos (е-а) b/2;

Уш =

1 + -sJf)®(F)Y(F)1/4sin(е-а) b/2

где Ф(F) = (F + 2)/(Fо + 2);Т (F) = (Fо - 1)/(F -1).

Сравним результаты расчета координат характеристики по формуле (22) с расчетами по формулам (9), (19), (21). Для этого составим таблицу. Расчеты проводились по следующей схеме.

1. Определяем значение числа Фруда на выходе

потока из трубы F0 = V2/(gh 0) > 1.

2. Находим значения

Л о = £о = 2 >/Заис^/(Щ - IV3 + агсзш (Уи/^)].

3. Определяем значение

3Т) -1

етах =(V3 - l)f + arctgj^-1 -^arctg

3хо-1

I3 (1 )

где То = Fо/ (Що + 2).

4. Находим

£тах =(бтах +^7^/2^2.

5. Определяем текущее значение

£ =£ 0 +(£тах -£о ) ^ , I = 1,2,..., N.

6. Определяем текущий угол вi = £ - л 0.

7. Находим значение Fi из уравнения

^/3arct^Л/{FГ-TV3 + arcsin(^Щ) = 2£г - 9г.

8. Вычисляем х{, у1 по формулам (9), (19), (21), (22).

9. Определяем относительную погрешность по

(22) формулам:

5 x = -

- x.

. -100 %; 5у = Уш УгАвт1100%.

хг'Авт уг'Авт

Выводы по работе:

1. В работе [1] изложен материал большого объема, который приведен без детального вывода и, на наш взгляд, есть необходимость детализировать этот материал, так, некоторые формулы в работе можно упростить, а сам метод можно развить, основываясь на идеях И.А. Шеренкова.

2. В настоящей работе точно определяются координаты точки пересечения характеристики £ 0 ,

исходящей из верхней крайней точки трубы (точки А), и характеристики л 0, исходящей из нижней

крайней точки трубы (точки В ).

3. В работе предложен обоснованный приближенный метод определения геометрии начальной характеристики л 0.

4. Приведено сравнение результатов расчетов координат характеристики л 0 по методу И.А. Шерен-

кова с расчетами авторов и сделан вывод о необходимости дальнейшего изучения участков растекания потока, т.е. участка III - области пересечения простых волн.

5. Развитие метода И.А. Шеренкова в работе заключается в том, что на участке II течения потока в зоне простых волн можно точно определить параметры в любой точке пересечения характеристик 1-го и 2-го семейств, взамен приближенного метода.

Результаты расчетов геометрии характеристики л с

Задаются величины Ь = 16см, V0 = 147,7 см/с, к 0 = 9,27 см. Вычисляем Щ0 = Ро2/ (gh 0 ) = 2,397; а0 = 0,632

Величина Номер опыта

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

% i 0,87 0,968 1,066 1,164 1,262 1,360 1,458 1,557 1,655 1,753

2,397 3,405 4,787 6,787 9,857 14,94 24,29 44,49 102,2 413,7

е, 0 0,098 0,196 0,294 0,392 0,491 0,589 0,687 0,785 0,883

ХШ ' см 9,457 10,94 13,03 15,92 20,05 26,25 36,42 55,44 100,3 277,9

У,ш , см 0 0,451 0,78 1,120 1,586 2,364 3,854 7,155 16,33 58,86

х,Ат , СМ 9,457 10,24 11,73 14,02 17,37 22,32 30,02 43,16 69,85 150,7

^iABX , СМ 0 0,661 1,624 2,799 4,191 5,856 7,919 10,64 14,69 22,73

5 xt,% 0 6,86 11,10 13,62 15,44 17,60 21,29 28,43 43,54 84,38

5 yt, % 0 31,84 51,99 60,0 62,15 59,63 51,34 32,76 11,17 159,0

6. В работе предложена формула определения максимально угла 6тах растекания крайней линии тока из условия, что на бесконечности при F ^ да угол а = штат ) ^ 0 , соответственно угол

6-а^6тзх. Таким образом, на бесконечности угол наклона линии тока будет совпадать с углом 6 вдоль эквипотенциали, выходящей из точки В водопропускной трубы.

7. Погрешности замены точного решения [1] приближенным методом могут достигать 60 % и более, что ставит под сомнение адекватность полученных результатов решений и эксперимента [4].

Поступила в редакцию

Литература

1. Шеренков И.А. О плановой задаче растекания струи бурного потока несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 1. С. 72 - 78.

2. Емцев Б.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 212 с.

3. Коханенко В.Н., Волосухин Я.В., Ширяев В.В., Коханен-ко Н.В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков / под общей ред. В.Н. Коханенко. Ростов н/Д., 2007. 168 с.

4. Коханенко В.Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки за водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания : дис. ... д-ра техн. наук. М., 1997. 238 с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1970. 720 с.

24 сентября 2012 г.

Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. (8951)490-70-09. E-mail: krutoi_ded08@rambler.ru

Мицик Михаил Федорович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Математика», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. E-mail: m_mits@mail.ru

Алейникова Ольга Алексеевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Математика», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. E-mail: olein_o@sssu.ru

Kohanenko Victor Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Mechanics and Equipment Processes of Food Production». Donskoy State Agrarian University. Ph. (8951)490-70-09. E-mail: krutoi_ded08@rambler.ru

Mitsik Mikhail Fedorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Mathematics», South-Russian State University of the Economy and Service. E-mail: m_mits@mail.ru

Aleinikova Olga Alekseevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Mathematics», South-Russian State University of the Economy and Service. E-mail: olein_o@sssu.ru