Моделирование параметров бурного потока при обтекании выпуклого угла Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 24-29

УДК 532.543

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ БУРНОГО ПОТОКА ПРИ ОБТЕКАНИИ ВЫПУКЛОГО УГЛА

В. Н. Коханенко, В. Г. Фетисов, М. Ф. Мицик

В статье приведен метод расчета параметров двухмерного бурного планового потока, возникающего при обтекании выпуклого тупого угла. Основными допущениями являются условия равномерного течения потока в верхнем и нижним бьефах.

Ключевые слова: бурный равномерный поток, простая центрированная волна, метод характеристик, число Фруда.

Настоящая работа является продолжением исследования решения плановых задач гидравлики по определению основных параметров двухмерных бурных потоков. В отличие от физической плоскости течения, в которой базовая система уравнений движения существенно нелинейная и для которой в настоящее время аналитические решения плановых задач не известны, в плоскости годографа скорости получена линейная система уравнений, на основе которой строится широкий класс решений двухмерных плановых задач.

Задача обтекания бурным равномерным потоком выпуклого тупого угла рассматривалась в [1] непосредственно в физической плоскости течения потока. Двухмерная плановая задача об обтекании выпуклого угла решалась в [1] аналитически в предположении, что после обтекания потоком тупого угла вдоль границы течения поток также является равномерным.

Для развития метода расчета параметров бурного потока с применением плоскости годографа скорости в работе [2] этим методом была решена задача о радиальном растекании бурного потока с последующим переходом в физическую плоскость. Также была предложена методика решения ряда задач по плановому растеканию бурных потоков и была обоснована правомерность использования плоскости годографа скорости.

Целью настоящей работы также является применение плоскости годографа скорости для определения параметров бурного потока при обтекании выпуклого угла и сопоставление полученных результатов расчета с результатами в [1].

Пусть бурный равномерный поток движется вдоль прямой стенки В А в точке А граница плана течения терпит излом, в этой точке стенка развернута на угол — £о (рис. 1). Пусть поток, огибая угловую точку А, движется вдоль стенки АО, которая также является прямой.

© 2014 Коханенко В. Н., Фетисов В. Г., Мицик М. Ф.

Г

В

Ш

м/ ж . /

* Произвольная характеристика

Ж

первого семеиствав

Рис. 1. Образование простой центрированной волны в окрестности выпуклого угла.

Считаем достоверным условием, что стенка АС является линией тока и поток вдоль стенки АС является равномерным.

Как покачано в [1], границей между равномерным и неравномерным потоком всегда служит прямолинейная характеристика, тогда к области равномерного течения, которой в плоскости годографа соответствует одна точка, примыкает простая волна, т. е. простые волны служат переходной формой от равномерного потока к неравномерному. Таким образом, два равномерных потока разделены простой волной. Определим границы этих потоков. Обозначим числа Фруда для каждого из равномерных потоков / и II соответственно и пусть при этом > Согласно [1], границами этих потоков являются прямые АМ и АЖ, которые являются характеристиками первого семейства с соответствующими волновыми углами (рис. 1):

1 1

«1 = агсвш —«2 = агсвш — (1)

V у

Вдоль характеристики второго семейства, пересекающей характеристики, выходящие А

е — | \Z3arctg/V + агсвш —| = — 2т/, (2)

или в виде, предложенном в [3]

е - _ ^ + агсат I = ~211 (3)

где г = -Щ2, т = квадрат скоростного коэффициента потока; £ угол, опреде-

ляющий направление вектора скоростей частиц потока; Н — постоянная, определяемая

V2

из формулы Бернулли // \ = + /11 по параметрам У\, ¡1\ для потока I; г/ постоянная величина вдоль характеристики.

Так как в потоке I выполняется £ = 0 ^ = то

Поскольку угол е в задаче обтекания выпуклого угла изменяется от нуля до е = —е0, т. е. всегда отрицателен, то уравнение (2) с учетом (4) примет вид:

где е* = |е|.

Максимальный угол поворота при безотрывном обтекании стенки с изломом при заданной кинетичности F\ первого потока определяется из условия F2 = го, h2 =0,

2 \ ь V 3 y/F[/

Предельный угол поворота бурного потока достигается в (9), если положить поток I критическим, т. е. Fi = 1. В таком случае

£тах= (л/3 - l) ^ « 1,15rad « 65,88°. (7)

Эти расчеты согласуются с результатами в [1].

Из (5) также следует, что для безотрывного обтекания потоком выпуклого тупого угла должно выполняться условие:

ео = f (F2) - f (Fi), (8)

где f(F) = л/3 arctg \J+ arcsin

Зная, что в центрированной волне параметры потока связаны условием (2) с использованием (4), можно задавать F G [Fi; F2], определяя соответствующий угол е вдоль характеристики первого семейства, т. е. на произвольной прямой AM * (рис. 1).

Угол 9 для характеристики первого семейства, отсчитываемый от оси OY (рис. 1) определяется по формуле

п

в = --а + £*. (9)

Определив 9 и F, можно определить и параметры потока вдоль прямой 9 = const:

h = Н\{1 —т), V = т1/2лДдЩ, (10)

где hi, Vi — глубина и скорость равномерного потока I.

Таким образом, параметры потока в центрированной волне полностью определены. Для построения линий тока в центрированной волне выявим основные свойства потока в этой области течения. Поскольку два равномерных потока соединены простой центрированной волной, то в данной волне характеристики первого семейства — прямые, они проходят через начало координат и имеют уравнения 9 = const, при этом вдоль прямолинейной характеристики параметры потока постоянны, следовательно, в каждой точке характеристики выполняется

= ^ = 0, ^=0. (11) от от от

Согласно [1] система уравнений движения планового потока в полярных координатах совместно с уравнением неразрывности имеет вид:

+ ~ # = -двшцсовв-дсовцЩ^ - Тг-У'Г^ + ^ + ^ = -98Ш»8Ш6 - - Т0; (12)

<Т— "Г -I — — — У отгони/ — у КЛ^^дЩ-

-§p(rurh) + -§g(ueh) =0,

где r, 0 — полярные радиус и угол жидкой частицы потока; ur, ug — радиальная и трансверсальная проекции вектора скорости; zo — отметка дна русла; у — продольный уклон русла; g — ускорение силы тяжести. В рассматриваемой задаче имеем

Tr = Te = 0, zo = const, у = 0. (13)

В силу условий (11) и (13) система (12) упрощается:

rlf =

Mlw + ur) = -9m, (14)

urh + ue^ + h^ = 0.

Третье уравнение системы (14) выражает в полярных координатах условие неразрывности движения потока П = 0, при этом справедлив интеграл Бернулли

Hi = 4pl + h_ (15)

2g

Из второго и третьего уравнений системы (14), как показано в [1], следует:

щ = л/gh. (16)

Уравнение линии тока в полярных координатах имеет вид [4]:

dr rdO ur щ

Радиальную и трансверсальную координаты вектора скорости выразим через т:

h = Н\ (1 т), щ = VgHi(l-T),

иг = л/ дН\ (Зг — 1), V = (18)

Перепишем уравнение (17) в виде

dr urde /Зг-1^ (19)

r ug V 1 — т Из уравнения (3) выразим ^31r_Jr1 ■ Для этого (3) перепишем в виде:

/ Зт — 1

е* — a = л/3 arctg л / —-- - 2rj, (20)

3(1 — т)

где е* = |е|, или

Из (21) следует

Из равенства (9) найдем dO: Обозначим выражение

Тогда из (22) и (23) следует

е* - a + 2п

V3

arctg

/ Зт - 1

3(1=7) ■

tg

е* - a + 2п 3т - 1

л/3 V 1-Г

dO = de* - da.

е* - a + 2n 7 =-777-■

(21)

(22)

(23)

(24)

dY =

de* - da

dO

или

dO = y/3dj.

Учитывая формулы (22), (24) и (25), уравнение (19) представим в форме

dr

— = 3 tg 7 dj. r

Интегрируя уравнение (26), получим:

1п — = 1п

го

3

cos3 y0

cos3 y

(25)

(26)

(27)

При этом, если начальную точку траектории выбрать на луче АМ, то 7о = а если — на луче АМ, то 70 = .

Потенцирование (27) приводит к уравнению

Г = Г О'

3

cos3 y0 cos3 7 '

(28)

Из (28) следует, что линии тока в простой центрированной волне являются подобными кривыми, расстояния между которыми при > > 1 увеличиваются вниз по течению потока.

Таким образом, поставленная в работе задача по определению параметров потока при обтекании выпуклого тупого угла решена методом использования плоскости годографа скорости. При этом результаты, полученные в работе, совпадают с результатами в [1], где был предложен аналитический метод расчета параметров потока непосредственно в физической плоскости — в плане течения потока.

Литература

1. Емцев В. Т. Двухмерные бурные потоки.—М.: Энергия, 1967.—212 с.

2. Коханенко В. Н. Двухмерные в плане бурные стационарные потоки за водопропускными сооружениями в условиях свободного растекания: Дис. ... докт. техн. наук.—М., 1997.—238 с.

3. Коханенко В. Н., Волосухин Я. В., Ширяев В. В., Коханенко Н. В. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков.—Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007.—168 с.

4. Вухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки.—М.: Наука, 1965.—468 с.

Статья поступила 31 мая 2013 г.

Коханенко Виктор Николаевич Донской государственный аграрный университет, профессор кафедры механики и оборудования процессов пищевых производств

РОССИЯ, 346493, Ростовская обл., Октябрьский район, нос. Персиановский; E-mail: m_mits@mail.ru Фетисов Валерий Георгиевич

Институт сферы обслуживания и предпринимательства, филиал Донского государственного технического университета профессор кафедры математики

РОССИЯ, 346500, Ростовская обл., Шахты, ул. Шевченко, 147; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, Заведующий лабораторией прикладного нелинейного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: fetisov_vg@sssu.ru

Мицик Михаил Федорович

Институт сферы обслуживания и предпринимательства, филиал Донского государственного технического университета доцент кафедры математики

РОССИЯ, 346500, Ростовская обл., г. Шахты, ул. Шевченко, 147; E-mail: m_mits@mail.ru

SIMULATION THE PARAMETERS OF TURBULENT FLOW WHEN DIFFRACTION OF A BLUNT ANGLE

Kochanenko V. N., Fetisov V. G., Mitsik M. F.

This article provides a method of calculation of parameters of a two-dimensional turbulent flow when occurs diffraction of the blunt angle. The main assumptions are conditions of uniform flow in the upper and lower canal ponds.

Key words: turbulent even flow, simple centered wave, method of characteristics, the Froude number.