Решение плановых задач с использованием плоскости годографа скорости на примере задачи радиального растекания бурного потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.543

РЕШЕНИЕ ПЛАНОВЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ РАДИАЛЬНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА

© 2013 г. В.Н. Коханенко, Н.Г. Папченко

Kohanenko Victor Nikolaevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Donskoy State Agrarian University. Ph. 8 (86352)-3-55-21.

Papchenko Natalia Gennadievna - senior lector, department «Mechanics and the Equipment of Processes of Food Manufactures», Donskoy State Agrarian University. Ph. 8(928) 607-53-70.

Коханенко Виктор Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. 8 (86352)-3-55-21.

Папченко Наталья Геннадиевна - ст. преподаватель, кафедра «Механика и оборудование процессов пищевых производств», Донской государственный аграрный университет. Тел. 8(928) 607-53-70.

Сравниваются результаты решения задачи радиального растекания бурного потока двумя методами (в физической плоскости и плоскости годографа скорости) и формулируется общая технология решения плановых задач с использованием плоскости годографа скорости, которые не решаются аналитически непосредственно в физической плоскости.

Ключевые слова: плановая задача; плоскость годографа скорости; радиальное растекание; бурный поток.

The work compares the results of the task radial spreading turbulent flow of the two methods (in the physical plane and the plane of the hodograph speed) and formulates a General technology solutions scheduled tasks using the hodograph plane speed, which cannot be solved analytically directly on the physical plane.

Keywords: scheduled task; hodograph plane speed; radial spreading; rapid flow.

Задача о радиальном растекании планового потока ввиду упрощений решается аналитически непосредственно в физической плоскости течения потока [1]. Однако более сложные задачи по плановому растеканию потоков невозможно решить аналитическими методами на базе уравнений движения в плане течения потока. Поэтому в работе [2] предлагается метод решения плановых задач с использованием промежуточной плоскости годографа скорости с последующим переходом в физическую плоскость течения потока. Целью настоящей работы является сравнение результатов решения задачи радиального растекания бурного потока двумя методами (в физической плоскости и плоскости годографа скорости) и формулировка общей технологии решения плановых задач с использованием плоскости годографа скорости, которые не решаются аналитически непосредственно в физической плоскости.

Задача о радиальном растекании планового потока имеет широкое практическое применение в гидравлике открытых потоков [1]. Приведем вначале решение данной задачи в физической плоскости течения потока. Пусть двухмерный открытый поток движется так, что его линиями тока являются прямые лучи, выходящие из начала координат [1] (рисунок).

При этом на радиусе г0 заданы параметры потока h = ^, V = V), где h - местная глубина потока; V -модуль скорости. Для бурных потоков дополнительно выполняется условие

Fo =

YL

gho

Вид радиального растекания бурного потока в плане

Необходимо определить параметры потока на произвольном радиусе г > г0, т.е.

h = ^г), V = V (г).

Для решения задачи воспользуемся уравнениями движения потока в полярной системе координат и уравнением неразрывности:

V, f- + - £ .- g f (,0 + h)-Т,;

or r o6 r or

r Or r 56 r

oo -(rVrh) + — V6 h) = 0.

or o6

o

= - g — ( *o + h )-T6;

o6

> 1.

Пренебрегая силами трения и учитывая, что Ув = 0 , преобразуем систему к виду

V dV = -g f(-o + h);

Or Or

O

Оё(* + h> = 0;

О

— (rVrh) = 0.

Or

(1)

V 2

h л--= H0 = const;

2g

rVh = — = const, 2л

(2)

где Н0 определяется по параметрам h0, V0 из первого уравнения системы

V

2

0_ 2 g

ho + = H o;

roVooho = Q. 2л

(2)'

А из второго уравнения системы (2)' можно определить расход Q по параметрам г0, У0, Введя ско-

ростной коэффициент X =

получим согласно [1]

V

V2gH0

из системы (2)

х(1-X2)

(1 -X0) """ r" х0/2 (1 -xo)'

или — =

(1 -x)

r Xo (1 -X

(3)

где т - квадрат скоростного коэффициента,

X 2

x = X , x = -

V2

, xn = -

2 gHo 2gH o (3) относительно т и получим:

í f

. Далее решим уравнение

X(r) = -^cos V3

л 1

---arccos

3 3

(1 -X2 )X oro^Vs

2r

//

f

x(r) = -;= cos V3

л 1

---arccos

33

(1 -xo KWb

(4)

2r

Определив т(г), определяем и параметры ^г),

V(r):

h(r) = Ho [1 -x(r)]; V(r) =x1/2(r)j2gH~o.

(5)

Анализируя систему (4), (5), можно сделать вывод, что с увеличением т увеличивается и г(т), а ^т) уменьшается до нуля при т =1, V(т) возрастает до

Vmax = , ¿Х< 1.

Решим поставленную задачу с использованием плоскости годографа скорости. Для этого воспользу-

емся дифференциальным уравнением второго порядка относительно функции тока в плоскости годографа скорости [2]:

О J 2x Oy

Ox 11 -x Ox

1 - 3x

О 2y

2x(1 -x)

x)2 oe2

= o.

(6)

Опуская в дальнейших преобразованиях индекс г и рассматривая случай плоского горизонтального дна z0 = 0, из (1) получаем:

Это дифференциальное уравнение в частных производных (6) имеет целый спектр решений [2]. Учитывая физику растекания потока, для решения задачи в работе воспользуемся следующим решением для линии тока:

С^ [lnx-x] + Сд 2hn L J 1

(7)

а выражение для потенциальной функции определим из базовой системы уравнений для плановых потоков в плоскости годографа скорости [2]:

Зф 2Н0 х Зу 39 " Н0 1 -х Зх '

дф ho 3x-1 Oy St = ~2H¡ x(1 -x)2 ,

и выражение для потенциальной функции будет иметь вид:

ф =

C1ho

2H o

2 , x

--+ ln-

1 -x 1 -x

+c2e, (7)'

где Сь С2 - константы.

Так как при радиальном растекании линии тока прямые лучи С2 = 0, то из уравнений (7), (7)' следует:

у = С9;

(8)

ф =

C1ho

2Hn

2 , x

--+ ln-

1-x 1 -x

Для перехода в физическую плоскость растекания потока воспользуемся формулой связи физической плоскости и плоскости годографа скорости [2]

d(x + iy) = -1eieí dф + ih° dy |.

(9)

Вдоль линии тока, полагая в (9) у = const, d у = 0, получим

dx =

dy =

cos0dф

xin4lgH~o '

sin 0d ф

1/2

(1o)

Для эквипотенциалей с учетом d ф = 0, следует: h sin Qd у

H'

(11)

dx = -

dy =

Ho x1/2 (1 -x)V2gH; ho cos 0d y

Ho x1/2 (1 -x),/^'

+

r

o

Из системы (8) непосредственным дифференцированием следует:

d у = Cjd 6; 1 - 3т

d ф = - Ä 2H п

С(1 -х)2

d х.

dx = -

dy = -

dx = -

dy =

C1hn (1 - 3х) cos 8d х

2H п х3'2 (1- х)2 pgHп

C1hn (1-3х) sin 8d ф

H п х3/2 (1-х)^2gHп

C1hn sin 8d 8

H п х1/2 (1- х)^2gHn ;

C1hn cos 8d8

(12)

(13)

Hn х1/2 (1 -x)V2gH0'

Проинтегрировав систему (12) и упростив, получим выражения для линии тока:

Cjhn cos 8

1

У =

H nnsßgHt Cjhn sin 8

n х1/2(1 -х);

(14)

h

n х1/2(1 -х)'

.2 hn2

1

1

x2 + y2 = C —---

1 H2 х(1 -х)2 2gH

(15)

r 2 = C 2 in__L

ГП " „2 \ 2

1

Hn2 хп (1 -ХП)2 2gHn

(16)

Из уравнения (16) выразим постоянную C12:

r02H02т0 (1 -т0 f2gH0

4 =

2 rn хП (1 хП ) r = -

или

х(1 -х)2

r _ хп1/2 (1 -хп)

rn х1/2 (1 -х) Поступила в редакцию

(17)

Для проверки формулы (17) аналогично интегрируем систему (13) и получаем:

Подставляя выражение для dq в систему (10), а выражение для dy в систему (11), получим:

x = C hn

cos 6

1

У = C1

HnnfigHn х1/2(1 -х)' hn sin 8 1 HnnyßgHn х1/2(1 -х).

(18)

Возводя в квадрат и складывая почленно оба уравнения системы (18), получим уравнение для экви-потенциалей, которое совпадает с уравнением (15):

2 2 2 x2 + y2 = C12

h2

1

1

H2 х(1 -х)2 2gHп

Возводя обе части каждого уравнения системы (14) в квадрат и складывая почленно, получим

Учитывая, что на радиусе r0, т = т0, из выражения (15) следует

К

Выразим из уравнения (15) закон распределения глубин и скоростей вдоль линии тока [2]:

(1 "т0 )2

Полагая т = const, находим, что эквипотенциали представляют собой концентрические окружности при любом фиксированном т.

Из уравнения (17) следует, что при т ^ 1, r ^ да ,

т.е. с увеличением радиуса растекания потока его глубина стремится к нулю, а скорость к максимальной (5). И очевидно, что полученный закон распределения скоростей и глубин вдоль радиуса растекания потока (17) совпадает в случае бурного потока с результатом в [1].

3т — 1

Производная rT =-2 > 0 при т > 1/ 3 ,

2т1/2 (1 -т)2

т.е. радиус увеличивается монотонно с увеличением т от т0 до 1, монотонно уменьшается h, монотонно увеличивается скорость и, наоборот, с увеличением радиуса т^ 1.

Таким образом, можно сформулировать общий метод (технологию) решения ряда задач по плановому течению бурного потока жидкости:

1) используя физику растекания потока, необходимо выбрать конструкцию решения базовой системы в плоскости годографа скорости;

2) имея уравнение связи между физической плоскостью и плоскостью годографа скорости (9) и решение (8), составляем систему дифференциальных уравнений для линий тока у = const и эквипотенциалей Ф = const, связывающую координаты х, y и параметры т, 9, а затем, интегрируя их, получаем уравнения для линий тока и эквипотенциалей в физической плоскости течения потока. Можно также определить параметры потока в любой точке области течения потока, т.е. V, h, 9.

Литература

1. ЕмцевБ.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 212 с.

2. Коханенко В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков: монография. Ростов н/Д., 2007. 168 с.

11 февраля 2013 г.

x =

1