Вывод собственных поперечных колебаний предварительно напряженной ортотропной пластины упруго закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЫВОД СОБСТВЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ОДНОМУ КРАЮ И ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПО ДРУГОМУ

DERIVATION OF OWN TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC ELASTIC PLATE CLAMPED ON ONE SIDE AND HINGED ON ANOTHER

O.A. Егорычев, O.O. Егорычев, B.B. Брендэ

O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, V.V. Brende

ГОУ ВПО МГСУ

При решении задачи определенно характерное значение частоты, а затем получены значения частот превышающее характерную или меньше характерной часто-

In solving the problem the characteristic frequency is determined, and then the frequencies higher than typical or less than the characteristic frequency are obtained.

Рассмотрим ортотропную предварительно напряженную пластину-полосу серединная плоскость, которой в недеформируемом состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина-полоса занимает следующую область:

{-l < х < l; -да < y < да; —h < z < h}.

При решении задачи будем пользоваться приближенным уравнением колебания пластинки-полосы в виде [3]:

д2W А д4W А д4W А д4W п

—Г + A—4— A—+ A3—г = 0, (1)

dt dt дх dt дх

где W - функция прогиба. A = ^[(1 + co A3-31 + 3 (1 + ao )-1 A1 ];

A2 = h- [2 I1 + ao Г i1 + co ) - 2 A13 At - 3 (A33 A55 Г ( A123 - A11A33 )]; A3 = hp^ ^ + co ^ A33 (A11A13 _ A13 ),

где p - плотность, ao, co - параметры однородного напряженного состояния, Ai j - упругие коэффициенты определяющие ортотропию. Решение уравнения (1) будем искать в виде:

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

% (х, г) = W0 (х)ехр | г

(2)

где Ь - скорость поперечной волны, ^ - частота.

Тогда уравнение (1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение:

¿Ж , Бс %

-Б% = о,

ск4 1 С.х2 где

б- А ^ ]2; Б. - А Г*'

I-1

1з V

Для решения уравнения (3) запишем характеристическое уравнение

г4 + Б1г1 + Б2 = 0

Его решение имеет вид:

г = +

1,2,3,4 —

Б1

±А I - Б.

Б1

Используя соотношение (4), равенство (6) будет иметь вид:

2 А,

- А. ±. А. - 4 АА + 4 Аз|^

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

Отметим характерное значение , при котором выражение (7), стоящее под корнем, обращается в ноль

А

А

■> 0.

I 4 А1 Аз - А2 4 А1 Аз - А2

Из анализа корней (7), возможны два варианта. Вариант I. ^ < £0, тогда \< к.

(8)

г = +

1,2,3,4 —

^ г, N

4

V

1

2 А

- А. ±

(А.2 - 4А1А3)

1 -

^2

Л

Здесь

1 -

^2

к

< 0, следовательно

0 <(А.2 -4А1 Аз)

1 -

^2

к

< А..

Тогда

г1,2 = ; гз,4 ~ —,

где

г, А

А =

£

V

д. /2Г

г, А

А =

V

/2а

(9)

(10)

1.2.з.4

D =

(А? - 4 А A3)

1 -

( h ^

hi

; D2 = >/-А? + Di; D3 = А? - Di.

Для данного варианта общее решение уравнения (3) имеет вид: W0i = Ci cos Дx + C2 sin Дx + C3 cos Д2x + C4 sin Д2x Вариант II. % > ¿¡0, тогда h2 > h.

r = +

'1,2,3,4 —

Í и

V h2 У

1

2 A

j(A2 - 4 А A3) Í Ь ' 2

1 - i h2 У

Здесь

1 -

V h2 У

> 0, (4 - 4 A A3)

1 -

V h2 У

< 0,

следовательно

í иЛ

^b

V h2 У

r = +

1,2,3,4

[-A2 ± ÍD1 ]2.

Обозначим

' bl2 A2

V h2 J

2A

Из =

V h2 y

D,

2A

Тогда равенство (13) примет вид:

1 1 ?2

Г.,2,3,4 =±(«3 ± ¿Л У2 =±R~2

т + 2кл . Ф + 2кл cos—-± I sinz-

где

R =Jaj + pi; (р = arctg—.

а.

(11)

(12)

(13)

(14)

Введем новые обозначения для равенства (14)

1 <р + 2кл 2 . <р + 2кл

а. = R2 cos-; В, = R2 sin-.

4 2 4 2

Окончательно получим корни характеристического уравнения (5) в виде:

Г1,2,3,4 =±(«4 ± ) (15)

Для данного варианта II общее решение уравнения (3) представим в виде: W02 = е"4x (C1 cos Д4x + C2 sin Д4x) + е-"4x (C3 cos Д4x - C4 sin Д4x) (16)

Задача решается при следующих граничных условиях [2].

Пусть пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной. Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом (1), а вертикальной (2). при x = l

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

d W dW

d V + + k2W01 = 0;

dx

dx

d W d W dW d + k5 IWl + K4 W + K6W0l = 0.

dx Здесь

dx

dx

(17)

к , = -Pi 4

(1) 3АЦ-2Afff. b

7 A«_ 4 A(1) 7 A33 4 A13 V

hx

4(1)

; K3 = 2Ah2 A55 7 4 a(1)

2 (a£>- A«)f bУ

4 '

13 V V

к4 =- - p, A

(1)

'дТ- к 2A ^

4J ; K5 " 3h,2 A«

( A(1) ^

A(2) V A55 У

; K " 3h22 A« A13 '

h..

при x = —l

w - d-W

0 J 2

dx

= 0.

(18)

Рассмотрим решение задачи (3), (17), (18) используя вариант I, т.е. будем искать решение в виде (11). Получим систему однородных уравнений вида:

C1 cos /3lll - C2 sin/3lll + C3 cos Д2l1 - C4 sinД,11 = 0

-СД2 cosPxlx + С2Д2 sinPxlx - С3Д22 cosP2lx + С4Д2 sinP2lx = 0

С1 (К, cosPxlx - К3Д sinPxlx - Д2 cosPxlx) + C2 (K2 sinPxlx + K3 Д cosPxlx -Д2 sinД lx) +

+C3 (к, cosP2lx - K3 Д2 sin P2lx - Д22 cos P2lx) + С4 (К2 sin P2lx + K3 Д2 cosP2lx -

~P¡ sin Pb ) = 0 (19)

Cx (K6 cosД lx - K4px sinpxlx - K5px cosPxlx + pi sinPxlx) + C2 (K6 sinPxlx + К4p cosPxlx --K5Pt sinpxlx - p\ cosPxlx) + C3 (K6 cosP2lx -KAp2 sinp2lx - К5Д22 cosp2lx + p\ sinp2lx) + +C4 (К6 sinД2^ + К4Д2 cosP2lx - K5Pl sinp2lx -Picos p2lx ) = 0

, l где lx =—. h

He тривиальное решение системы уравнений (19) приводит к трансцендентному уравнению вида:

sin2^xlx {cosp2l [К, Д2 (К4 -р2)- Клр2хр1 + КзР, (К - K5pl) + Д3 Д3 ] + +isrnP2l[К, (K6 -К5Д2)-К (Д2 -Д2 )]} + cos2Дlll {sinp2lx [К3рх (К5Д2 -К6)+ (20)

+К2Д1 (Д12 -К4) + Д2 Д2 (К4 -Pi)] + cosР2Ш3Р1Р2 (Д12 - Д22)} = 0.

Используя равенство (16) для решения задачи (3), (17) и (18), т.е. решая вариант II, получим систему однородных уравнений вида: Cx cosPAlx - С, sinPAlx + C3eaA cosPAlx + C4e2^1 sinPAlx = 0

Cj (а4 cos P4lx + Д, sin p4lx) + C2 (-a4 sin p4lx + Д, cos p4lx) +

+e2a4lx [C3 (-a4 cosP4lx + Д, sinP4lx) + C4 (-a4 sinP4lx - p4 cosP4lx)] = 0

e2"4'1 |cj [a;2 cos P4lj - 2a4P4 sin P4lj - Pl cos P4lj + K3 (a4 cos P4lx -

~P4 sin P4lx) + K2 cosP4lx ] + C2 [a42 sin P4lx + 2a4P4 cosP411 - Pl sinP4lx +

+ K3 (a4 sin P4lx + P4 cos P4lx) + K2 sin P4lx ]| + C3 [a4 cos Д,'х +

Y2a4P4 sin P4lx - Pl cos P4lx + K3 (-a4 cos P4lx - P4 sin P4lx) + K2 cos P4lx ] +

+C4 [-a42 sin P4lx + 2a4P4 cosP4lx + Pl sinP4lx +

+ K3 (a4 sinp4lx-p4 cosp4lx)-K2 sinp4lj] = 0. (21)

e2a4,x {Cj [«43 cosp4lx - 3a¡p4 - 3a4 Pl cosPJX + p¡ sinp4lx +

+K5 (a42 cosP4lx -2a4P4 sinP4lx - Pl cosP4lx) + K4 (a4 cosP4lx -

~P4 sin p4lx) + K6 cosp4lx ] + C2 [«43 sinP4lx + 3a\P4 cosP4lx -

-3a4Pl sinP4lx ~Pl cosP4lx + K5 [al sinP4lx + 2a4P4 cosP4lx -

-Pl sinp4lx) + K4 (a4 sinp4lx + p4 cosP4lx) + K6 sinP4lx]} +

+C3 [-a43 cosP4lx - 3alP4 sinP4lx + 3a4Pl cosP4lx + Pl sinP4lx +

+K5 (a2 cos P4lx + 2a4P4 sin P4lx - Pl cos P4lx) +

+K4 (-«4cosP4lj -P4sinP4lj )+ K6 cos Лlj ] + Q [«43 sinP4lx -

-3alP4 cosp4lx - 3a4Pl sinP4lx + Pl cosP4lx +

+K5 (-a42 sinP4lx + 2a4P4 cosP4lx + Pl sinP4lx) +

+K4 (a4 sinP4lx ~P4 cosP4lx)-K6 sinP4lx ] = 0.

Результатом решения однородной системы уравнений (21) получим трансцендентное уравнение вида:

eSa4lx - Hx- e4a4lx -1 = 0, (22)

H2

где

Hx = {sin 2p4 [«4 («42 - 3P2 ) + K5 (pl - «42) + K4a4 - K6 ] + cos 2P4 [д (Д2 - 3^ + K5 2«4 --K4)]}{sin2Д [(«42 + P2)(«4 + K3) + K2a4] + cos2p4 [д (o^ + Д2)-K2]j + {sin2p4 [pl + +K3K4 -K2] + cos2Д, [Д (2«4 -K3)]}{sin2^4 [(«42 + pl)(д2 -a42 + K,a4 -K4)-K^] + + cos 2p4 [(a42 + Pl) (~2a4P4 - K5P4) + K6P4 ]| + {sin 2Д, [a42 - Pl + K3a4 + K4 ] + + cos 2Д [ Д (2«4 + K3)]} {sin 2p4 [(«42 + pl)(K4 -K5«4) - «42 + pl + K6«4 ] + + cos 2p4 [(«42 + Д2)(K5p4 - 2a4p4) - K6«4 ]} + {sin 2p4 [«4 (o^ - 3pl) + K5 (o^ -tf) +

4/2010 М1 ВЕСТНИК

++ K6 ] + cos 2Д [д (3a42 - Д2) + K5 2а4Д4 + K4Д4 ]} {sin 2Д [(с^2 + Д2)(«4 - K) +

+K2«4 ] + cos 2Д4 [д (^2 - «42 - Д2 )]};

H2 = (-Д ) {«2Д («42 + 2Д2 ) + Д45 - K4Д4 («42 + # ) - K 2«4Д4 +

+K3 [Д4 («42 + # ) (2«4 + K5 ) - K& ] + K2 Д4 [3«42 - Д42 + K5 2«4 + K4 ]} .

В выражениях (20) и (22) представим тригонометрические и показательные функции в виде степенного разложения, получим частотное выражение в виде алгебраического уравнения любой необходимой степени.

Литература

1. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебаний пластин. ПГС №9. 2004.

2. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. Москва. 2005. 239 с.

3. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев. ШТИИНЦА. 1988. 190 с.

4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гу-вернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.

References

1. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Influence of formulation of boundary conditions in determining the natural frequencies of plates. PGS № 9. 2004.

2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.

3. Filippov I.G., Cheban V.G. The mathematical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau. Shtiintsa. 1988. 190 pp.

4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.

5. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Gu-vernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Ther-mophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.

Ключевые слова: поперечные колебания, предварительно напряженная ортотропная пластина, упругий контакт

Key words: transverse vibrations, pre-stressed orthotropic plate, the elastic contact

Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26 e-mail: [email protected], Контактные данные: (495) 739-33-63

Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.

Киселев А.Б