CC BY
28
ВЕСТНИК МГСУ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 539.3
O.A. Егорычев, О.О. Егорычев, В.В. Брендэ
ФГБОУВПО «МГСУ»
СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ-ПОЛОСЫ
Рассмотрена новая постановка краевой задачи о собственных колебаниях однородной предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы с различными граничными условиями. В качестве уравнения движения используется новое приближенное гиперболическое (в отличие от большинства работ, где используется параболическое) уравнение колебания однородной ортотропной пластины-полосы. Используются вновь выведенные граничные условия соответственно шарнирного, жесткого, упругого (вертикального) закрепления, а также свободного от закрепления края пластины, преобразование Лапласа и не стандартное представление общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Подробно изложена задача о свободных колебаниях однородной ортотропной пластины-полосы, жестко закрепленной на противоположных сторонах, кроме того, приведены (без вывода) частотные уравнения пластины, имеющей следующие граничные условия: смешанное жесткое и шарнирное закрепление на противоположных сторонах, шар-нирно закрепленный край с одной стороны и свободный от закрепления край с другой, смешанное жесткое и упругое закрепление на противоположных сторонах. Приведенные результаты могут быть полезны в тех областях строительства и техники, в которых используются плоские элементы конструкций.
Ключевые слова: механика деформируемого тела, ортотропная пластина, собственные колебания, анизотропия, частотное уравнение, краевая задача, теория упругости, вязко-упругость.
Развитие современной строительной техники и строительных технологий делает необходимыми постоянные исследования в области механики деформируемого тела. В данной работе рассматривается однородная ортотропная пластина-полоса с различными закреплениями на противоположных сторонах.
В декартовой системе координат (х, у, т) рассматривается однородная предварительно напряженная ортотропная пластина-полоса, срединная плоскость которой совпадает с координатной плоскостью ХОУ, ось 2 направлена вертикально вверх. Пластина занимает в пространстве область (у е (-да; +<»), х е [-/; I], т е [-к; к]).
Однородное уравнение поперечных колебаний пластины представим в виде [1]
d2W dt2 "
hl 6
A dt4 A
d4W dt2dx2
d4W dx4
= 0,
(1)
где
A1 = P [_(1 + С Г Аз1 + 3 i1 + a0 Г As5 ] ,
A2 = [2 + c0 )(1 + a0 ) _ 2 A13 A33 + 3 A33 A55 ( A11A33 _ A13 )] ,
© Егорычев О.А., Егорычев О.О, Брендэ В.В., 2012
11
ВЕСТНИК МГСУ
2/2012
A3 - [2 (! + С0 )A33 (A11A33 A13 ) ],
где р — плотность, А — константы ортотропного материала; а0, с0— начальные перемещения [2].
дЖ
1. Пусть пластина жестко закреплена [3]: Ж =-= 0 при х= 0,1.
дх
„г дЖ д Ж д3Ж Начальные условия нулевые: Ж =-=-— =-— , г = 0.
dt dt2
Решение уравнения (1) будем искать в виде
dt3
Ж (х, г) = Ж0 (х )ехр t
где Ь — скорость поперечной волны; — безразмерная частота.
Тогда получим обыкновенное дифференциальное решение уравнения
д4Ш д 2Ж 0 Ж в1 ^^ + ВЖ = 0,
дх4
д х2 2
-A i); *-Íí h
A1
A3 ^ J h
A
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Общее решение уравнения (5) запишем в виде
г(х, t ) = С1
cos (a0l) cos (а1/)
а,
+ а
sin (а0/) sin (а1/)
а„
+ а
+ сл
cos (a0l) cos (а1/) sin (а0l) sin (а1/)
(7)
где С¡ — постоянные интегрирования; ia01 — корни характеристического уравнения
а4 + B1a2 + B2 = 0,
B1 л. B1
где а2 =—^ ±J- B,
1,0 2
Целые числа (m, n) выбираются при удовлетворении граничных условий при x = 0, а другие граничные условия при x = l, приводят к трансцендентному уравнению.
При помощи граничных условий (2) и используя решение (7), получим n = 0, m =1, С1 = С3 = 0, из условий при x = l получим
sin (а0/) sin (а1/)
С2 [cos(а0l)- cos(а1/)] + С4
= 0.
(9)
С2 [а0 sin (а0l)-а1 sin (a1l)] - С4 [а0 cos (а0l)- cos (a1l)] = 0.
Из условий нетривиальности решения системы (9) получаем трансцендентное
уравнение
Í 2 , 2 Л
Oq +Ц
2 -
V
sin (a0l)sin (cx1l) — 2cos(a0l )cos (cx1l) = 0.
(10)
У
Представим тригонометрические функции в виде сходящихся рядов и, используя только первые два члена разложения и воспользовавшись представлением (6), получим частотное уравнение
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК
г+1
( h
^ b ) A1A2
Í б A - 3 A1 A21
l2 V _ A3 1 _ A3 J
-
2 ( h
IF
b ) A1A2
- = 0.
(11)
2. Пусть пластина жестко закреплена при х = ! и шарнирно при х = 0. Проделав аналогичное ранее изложенному решение задачи, также используя только два первых члена разложения, получим частотное уравнение вида
,4 l'h Y б ( б 2 i 48 ( h Y A3
-ITI a I, F+A f + "F i b J t -0-
(12)
3. Пусть пластина шарнирно закреплена при х = 0 и свободна от напряжений при х = 1, то частотное уравнение будет иметь вид
Г-1т1
b ) Al
l2 + б A2 + 4
7 A33 4 Al3
V 3 A33 _ 2 A13 J
A ( h
PA55 I b
4
^ +
1 +
7 A33 4 A13
V 3 A33 _ 2 A13
l2
3A3pA55 ^ b
4
l21 h 1 A = 0.
l4 I b J Al
(13)
4. Пусть пластина жестко закреплена при х = 0 и упруго заделана при х = 1, то частотное уравнение будет иметь вид
^ + D $ + D + A. % + £± % + D = о,
D
D
D
D
D
(14)
All, A31, A13 , A33 , A55 , P, h, b, l, ao , ^0.
0 ^0 0 ^0 где Di — есть функция от параметров: ,il3, „33, F,^
Анализируя полученные решения, следует отметить, что граничные условия в по -лученных решениях влияют на порядок частотного уравнения.
Библиографический список
1. Егорычев O.O. Колебания плоских элементов конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2005. С. 45—49.
2. Arun K Gupta, Neeri Agarwal, Sanjay Kumar. Free transverse vibrations of orthotopic visco-elastic rectangular plate with continuously varying thickness and density // Institute of Thermomechan-ics AS CR, Prague, Czech Rep 2010 # 2.
3. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев : Штиница, 1988. С. 27—30.
Поступила в редакцию в феврале 2012 г.
Об авторах: Егорычев Олег Александрович — доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337 Ярославское шоссе, 2б, тел. 8(495)320-4302;
Егорычев Олег Олегович — доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337 Ярославское шоссе, 2б, тел. 8(495) 287-49-14, misi@mgsu.ru;
Брендэ Владимир Владиславович — старший преподаватель, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет», 129337 Ярославское шоссе, 2б, тел. 8(499)1б1-2157, brende@mail.ru.
Для цитирования: Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Свободные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы // Вестник МГСУ. 2012. № 2. С. 11—14.
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, V.V. Brendje
NATURAL TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC PLATE-STRIPE
The article represents a new outlook at the boundary-value problem of natural vibrations of a homogeneous pre-stressed orthotropic plate-stripe. In the paper, the motion equation represents a
Designing and detailing of building systems. Mechanics in civil engineering
1З
BEdMK 2/2o12_
new approximate hyperbolic equation (rather than a parabolic equation used in the majority of papers covering the same problem) describing the vibration of a homogeneous orthotropic plate-stripe. The proposed research is based on newly derived boundary conditions describing the pin-edge, rigid, and elastic (vertical) types of fixing, as well as the boundary conditions applicable to the unfixed edge of the plate. The paper contemplates the application of the Laplace transformation and a nonstandard representation of a homogeneous differential equation with fixed factors. The article proposes a detailed representation of the problem of natural vibrations of a homogeneous orthotropic plate-stripe if rigidly fixed at opposite sides; besides, the article also provides frequency equations (no conclusions) describing the plate characterized by the following boundary conditions: rigid fixing at one side and pin-edge fixing at the opposite side; pin-edge fixing at one side and free (unfixed) other side; rigid fixing at one side and elastic fixing at the other side. The results described in the article may be helpful if applied in the construction sector whenever flat structural elements are considered. Moreover, specialists in solid mechanics and theory of elasticity may benefit from the ideas proposed in the article.
Key words: solid mechanics, orthotropic plate, natural vibrations, anisotropy, frequency equation, boundary value problem, theory of elasticity, viscoelasticity.
References
1. Egorychev O.O. Kolebanija ploskih elementov konstrukcij [Vibrations of Two-Dimensional Structural Elements]. Moscow, ASV, 2005, pp. 45—49.
2. Arun K Gupta, Neeri Agarwal, Sanjay Kumar. Free transverse vibrations of orthotropic visco-elastic rectangular plate with continuously varying thickness and density// Institute of Thermomechanics AS CR, Prague, Czech Rep, 2010, Issue # 2.
3. Filippov I.G., Cheban V.G. Matematicheskaja teorija kolebanij uprugih i vjazkouprugih plastin i sterzhnej [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shti-nica, 1988, pp. 27—30.
About the authors: Oleg Aleksandrovich Egorychev — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia, 8 (495) 320-4302;
Oleg Olegovich Egorychev — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia, misi@mgsu.ru, 8 (495) 287-4914;
Vladimir Vladislavovich Brendje — Senior Lecturer, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Jaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia, brende@mail.ru, 8 (499) 161-2157.
For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Brendje V.V. Svobodnye poperechnye kolebanija predvaritel"no naprjazhennoj ortotropnoj plastiny-polosy [Natural Transverse Vibrations of a Prestressed Orthotropic Plate-Stripe], Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, Issue # 2, pp. 11—14.
