CC BY
21
СОБСТВЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ-ПОЛОСЫ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ОДНОМУ КРАЮ И СВОБОДНОЙ ПО ДРУГОМУ
OWN TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC ELASTIC PLATE - BAND FIXED AT ONE END AND FREE ON ANOTHER
O.A. Егорычев, O.O. Егорычев, B.B. Брендэ
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, V.V. Brende
ГОУ ВПО МГСУ
Динамическое поведение пластинки описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка, определяющим зависимость нормальных перемещений точек пластинки от времени и координат искомой точки.
Dynamic behavior of the plate is described by fourth order differential equations determining the dependence of normal displacements of points of the plate from time and coordinates of the desired point.
Рассмотрим ортотропную предварительно напряженную пластину-полосу серединная плоскость, которой в недеформируемом состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина-полоса занимает следующую область:
{-l < х < l; -да < y < да; —h < z < h}.
При решении задачи будем пользоваться приближенным уравнением колебания пластинки-полосы в виде [3]: 52W , 54W , 54W , 54W л
—Г + A—4— A2—^^ + A3—Г = 0, (1)
dt dt дх dt дх
где W - функция прогиба. A = ^[(1 + co A3-31 + 3 (1 + ao )-1 4-1 ];
A2 = J- [2 i1 + ao ^ i1 + co) - 2 A13 A"1 - 3 (A33 A55 )_1 ( A123 - A11A33 )] ; h2
A3 = ^ + co ^ A33 (A11A13 _ A13 ),
где p - плотность, ao, co - параметры однородного напряженного состояния, A j -упругие коэффициенты определяющие ортотропию.
Решение уравнения (1) будем искать в виде:
Ж (х, г) = W0 (х)ехр | г
(2)
где Ь - скорость поперечной волны, ^ - частота.
Тогда уравнение (1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение:
аж „ а ж „ „
0 -В-- + В Ж = 0
1 , 2
ах4 1 ах1 где
«-1 №В. - А'
-1
Для решения уравнения (3) запишем характеристическое уравнение
г4 + В1г2 + В2 = 0
Его решение имеет вид:
г = +
1,2,3,4 —
В
В
+ 1_^ I _ В,
Используя соотношение (4), равенство (6) будет иметь вид:
2 А
- А ±, А2 - 4 АА + 4
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
Отметим характерное значение , при котором выражение (7), стоящее под корнем, обращается в ноль
А
А
■> 0.
+21Ь Д 4 А1А3 - А ' 4 А1А3 - А22
Из анализа корней (7), возможны два варианта. Вариант I. % < , тогда \< к.
(8)
г = +
1,2,3,4 —
( и\ к.
1
2 А
- А2 ±
(А - 4А1А3)
1 -
^2
к
(9)
Здесь
1 -
^2
к
< 0, следовательно
0 <(а2 - 4 А1 А)
1 -
^2
к
< А2.
Тогда
Г1,2 =±*Л; Г3,4 ~ —,
где
(10)
1,2,3,4
Л =
V
D„
2 A,
Л =
4
D
2A
D =
К -4A,A3)
1 -
^2
hi
; D2 = >/-A2 + D,; D3 = A2 - D,.
Для данного варианта общее решение уравнения (3) имеет вид: W01 = C1 cos Дх + C2 sin Дх + C3 cos Д2х + C4 sin Д2x Вариант II. £ > , тогда h2 > h.
(11)
r = +
1,2,3,4 —
4"
V h2 y
1
2 A
- A ±J(A - 4 A1A3)
1 -
( h V
h2
Здесь
1 -
V h2 y
> 0, (A22 -4A1 A3)
1 -
V h2 y
< 0,
следовательно
Z' г, N
V h2 y
r = +
'1,2,3,4 —
/2 A
A2 ± d p.
Обозначим
a3 = -
2
V h2 y
A2
2 A
P3 =
Z' г, ^ V h2 y
D
2A
Тогда равенство (13) примет вид:
1 1 ?2
Г1,2,3,4 =±(«3 ± ^Р3 У2 =±R 2
т + 2кл . ю + 2кл cos--± I sinz-
где
R =Ja¡ + р]; <р = arctg—.
а.
(12)
(13)
(14)
Введем новые обозначения для равенства (14)
1 <р + 2кл 2 . <р + 2кл
а4 = R2 cos-; В. = R2 sin-.
4 2 4 2
Окончательно получим корни характеристического уравнения (5) в виде:
Г1,2,3,4 =±(«4 ± ^Р4 ) (15)
Для данного варианта II общее решение уравнения (3) представим в виде: W02 = ea"х (C1 cos Д4x + C2 sin Д,x) + е-"4x (C3 cos Д4x - C4 sin Д4x) (16)
Задача решается при следующих граничных условиях [2].
Пусть пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной. Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом (1), а вертикальной (2). при x = l
d W dW
d V + + k2W01 = 0;
dx
dx
dW dW dW
d + k!^ + K4 W + K6W0i = 0.
dx Здесь
dx
dx
(17)
к 2 = -Pi 4
(1) 3 AH- 2 b
7 aW _ 4 A1
7 A33 4 A13 v
4(1)
¿1
; K3 = ¿2A55
(1)
2(4>-Щ V
4 J ;
K4 = - - A 4 при x = -l
(1)
\ J ; K5 " 3¿2 A«
(2) ( A(1)^
A(2) V A55
7 Aí1) - 4 A(1)
7 A33 4A13 V
2\P1 A1
(2)
3¿22 At
к "1/~1 A11 Í Aw - Av'
6 _ ->r2 33 A13
¿(1)_ 4(1)'
¿1.
d 2^o
dx2
d W
dx
+ K1W0 = 0
= 0
(18)
I
¿1
. 3 -10 A12 A44
где K1 =pA44^22AJ4
Рассмотрим решение задачи используя вариант I, следовательно уравнение (3) будем искать в виде (11). Подставим выражение (11) в граничные условия (17) и (18), получим однородную систему, решение которой и определит общее решение задачи. Получим:
C1 (K2 cosPxlx - К3Д sinpxlx - Д2 cos Д111) + С2 (K2 sin Д111 + K3Д cos Д111 --Д2 sin Д111) + С3 (К2 cos Д211 - К3Д sin Д211 - Д2 cos Д211) + С4 (К2 sin Д211 + +К3Д2 cos Д211 - Д2 sin Д211) = 0
С1 (К6 cos Д111 - К4Д sin Д111 - К5Д2 cos Д111 + Д3 sin Д111) + +С2 (К6 sin Д111 + К4 Д1 cos Д111 - К5 Д12 sin Д111 - Д3 cos Д111) + +С3 (КК6 cos Д211 - К4Д sin Д l1 - К5Д22 cos Д211 + Д23 sin Д211) + +С4 (К6 sin Д211 + К4Д2 cos Дl1 - К5Д22 sin Д211 - Д3 cos Д211 ) = 0 С1 (К1 - Д2)cos Д111 - С2 (К1 - Д12) sin Д111 + С3 (X - Д2)cos Д211 --С4 (К1 -Д2 )sin Д^ = 0.
С1Д13 sinp1ll + С2 cosPlll + C3P¡ sinД211 + С4Д3 sinД211 = 0, l
(20)
где l1 =
¿1'
Решение системы (20) приводит к трансцендентному уравнению вида:
cos2^1l1 • H1 + cos2^2l1 • H2 + sin2^1l1 sin2^2l1 • D1 + sin2^1l1 sin2 P2l1 ■ D2 + + sin2 /31l1 sin2 P1l1 ■ D3 + sin2 /3lll sin2^2l1 • D4 + cos2 Pll1 cos2 Д211 ■ D5 --sin2^1l1 • D6 + cos2 Pll1 sin2^2l1 • D7 + sin2 /31l1 cos2 /32ll ■ D8 + + cos2 P1l1 sin2 P2ll • D9 = 0, где
D = 3(^1 -Д2)Д3H4 -Д2)Д3 (2H3 + H6); D2 = 2-Д2)Д3H5;
D3 = (K1 - Pl) Д3 (Я3 - H5 ) + (АТ1 - ft) Pi H4; D4 = (K1 - Pi) Д3 H5;
D5 = (K1 -Pi)piH4 +(K-Pi)PiH3; D6 = (K1 -Pi)pi (Я4 + H5) + 2-Pi)PiH6;
D7 = 2 (iK - Pi) Pi H6 - 2 - Pi) Pi H5;
D8 = -Д2)Д3H3 + (^1 -д2)д3H4; D9 = (K1-д2)д3H4 -(K1- д2)Л3H3;
H1 = Д [(Л2 - K4) (K-2 - Д2) + K3 (K6 - K5PI)]; H2 = P1 [(Pi -K4)[K2 -Pi) + K3 (K6 -K5PI)];
H3 = p2 [ K2 (Д2 - K4) + K3 (*6 - K5 Д2) + K4PI - Pi Pi ];
H4 = Д [K2 (Д2 - K4) + K3 (K6 - K5PI) + K2Д2 - Д2 Д2 ];
H5 = (Д2 - Л2)(K6 - K2K5); H6 = K3P1P2 (Д2 - Д2).
Используя равенство (16) для решения уравнения (3), т.е. решая вариант II и используя граничные условия (17), (18), получим систему однородных уравнений:
C1 {al cos Д4l1 + 2а4Р4 sin Д4l1 - Pi cos P4l1 + K1 cos P4l1) + +C2 (-a* sinД^ + 2a4P4 cosP411 + Pi sinP4l1 - K1 sinP4l1 ) + +C3e2a<l1 {аЦ cos Д^ - 2a4P4 sin P4ll - Pi cos P411 + K1 cos P4ll) + +C4e2^1 [аЦ sin Дl1 + 2a4P4 cos P4lx - Pi sin P411 + K1 sin P4lx) = 0 C1 (a43 cos p4lx + 3alP4 sin P4lx - 3a4Pl cos P4lx - Pi sin P4lx) + +C2 (-a3 sin Д4l1 + 3alP4 cosP411 + 3a4Pl sinP411 -p\ cosP4\) +
«У (-< c„s+ s_n+ З^2 cos«s¡nM)+ ^
+C4e2a*h (-a3 sin Д^ - 3а4Д4 cosP4l1 + 3а4Д2 sinP4lx + Д3 cosP4l1) = 0 C^2"411 [а42 cos ДД - 2а4Д4 sin P4l1 - Pl cos ДД + K2 cos Д(/1 + +K3 («4 cosp4lx-p4 sinp4lx)] + Qe2a<l [«42 sin Д^ + 2a4P4 cosД! --Д42 sin P4l1 + K2 sin P4l1 + K3 (a4 sin ^4l1 + P4 cos ДД)] + C3 [а42 cos ДД + +2a4p4 sin p4ll - Pl cos P! + K2 cos ^4l1 + K3 (-a4 cos ДД - P4 sin P4l1)] + +C4 [-а42 sin p4l1 + 2а4Д4 cos ^4l1 + Pl sin P4l1 - K2 sin P4l1 + +K3 (a4 sin p4ll - p4 cos p4ll)] = 0
С/"4'1 [«43 cosp4l1 - 3a¡p4 sinp4lx - 3a4pl cosp4l + p34 sinp4l + +K5 (a2 cos P4l1 - 2a4P4 sin P4l1 - Pi cos P4l1) + K4 (a4 cos P4l1 - P4 sin P4l1) + +K6 cos Pl ] + C2e2"4'1 [a43 sin P4l1 + 3a¡P4 cos P4l1 - 3a4Pl sin P4lx --Pi cos P4l1 + K5 {al sin p4l1 + la4P4 cos P4l1 - Pi sin P4l1) + +К4 (a4 sin P4l1 + P4 cos P4l1 )+K6sin P4l1 ] + C3 [-a43cos P4l1 - 3a4^4sin P411 + +3a4Pl cosP4l1 + Д43 sinP4l1 + K5 (al cosP4l1 + la4P4 sinP4l1 - Pl cosP4l1) + +К4 (-a4 cos P4l1 -P4sin P4l1)+ K6 cos P411 ] + C4 [a3 sin P411 - 3a4^4cos P4l1 --3a4Pl sin P4l1 + Pi cos P4l1 + K5 (-a42 sin P4l1 + 2a4P4 cos P4l1 + Pi sin P4l1 ) + +K4 (a4 sinP4l1 -p4 cosP4l1 )-K6 sinP411 ] = 0.
Нетривиальное решение однородной системы (22) приводит к трансцендентному уравнению, которое и есть общее уравнение свободных колебаний пластины:
-1 = 0, (23)
eSa4¡1 _ H2 + H3 e4a¿1
H
где
H = p4 {[(«2 + # )2 + K1 (3«42 - Д42 )] [ - («42 + Д42 )2 + K2 (Д42 - 3«42 ) + + (K32«4 + K4 -K3Ks)(«42 + Pl) -K2K4 + K2K52«4 + K3Кб + Кб2«4]j;
H2 = 2sin2^4/1 cosip4lld2d5 -2sin2/?4lldld4 -2d1d3;
H3 = (d6 + d7 sin2 P4lx + d8 cos2 P4lxd9 sin2^4l1 + d10 sin2 P4lx + d11 cos2 P4lx) + + (d6 + d8sin2 Pl + d7cos2 Pl )(-d9 sin2^4l1 + d11sin2 P4l1 + d10cos2 P4l1); dx = Д [5«42 (2Д42 - «42) - # - K1 (3«42 - Д42)];
d2 =«4 K1 (3Д42 -«42 )-(«42 +Д42 )2 ;
d3 = p4 [5«42 (2Д42 - «42 ) - # + K2 (Д42 - 3«42 ) + K4 - 3«42 ) - K2K4 -
-2K3K4&4 + K3K5 (3«42 - Pl) - K6 2«4 ];
d4 =a4 [ -(«42 + Д?)2 + (K3K5 -K4)(«42 + Д42) + K2 (3Д42 -«42) + K3K6 -K2K4
d, = Д [K3&4 («42 + Д42) + K3K6 - K2K5 2«4 ];
d6 = 4a4pl [2al - Pl); d7 = 2^ [ K3 (3Д2 -a2 )-(«44 + Pl)]; d8 = 4a34Pl; d4 = 2a4p4 [K2K5 - K6 - K3 (a2 + Д2)];
d10 = 4a4^42 [(3«42 + Д42) - K3K5 + K4 ];
1 2
- («42 + Д42 )2 + 2# («42 + Д42 ) + (K2 + K4 - K3 К 5) (д,2 - «42) + K3 K6 - K2 К4
Для получения частотного алгебраического уравнения необходимого порядка следует показательные и тригонометрические функции разложить в сходящиеся степенные ряды.
Литература
1. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебаний пластин. ПГС №9. 2004.
2. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. Москва. 2005. 239 с.
3. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев. ШТИИНЦА. 1988. 190 с.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.
5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.
References
1. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Influence of formulation of boundary conditions in determining the natural frequencies of plates. PGS № 9. 2004.
2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.
3. Filippov I.G., Cheban V.G. The mathematical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau. Shtiintsa. 1988. 190 pp.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.
5. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Guvernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.
Ключевые слова: собственные поперечные колебания, предварительно напряженное состояние, ортотропная пластинка-полоса
Key words: natural transverse vibrations, prestressing, orthotropic plate - band
Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26
e-mail: misi@mgsu.ru Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: misi@mgsu.ru
Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.
Киселев А.Б
