CC BY
21
ВЫВОД ЧАСТОТНОГО УРАВНЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ПЛАСТИНЫ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ОДНОМУ КРАЮ И ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ДРУГОМУ
DERIVATION OF THE FREQUENCY EQUATION OF THE NATURAL TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ELASTIC PLATE FIXED AT ONE END AND RIGIDLY FIXED ON
THE OTHER
O.A. Егорычев, O.O. Егорычев, B.B. Брендэ
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, V.V. Brende
ГОУ ВПО МГСУ
Неизвестная величина прогиба определяется с помощью экспоненциальной функции, в аргумент которой входят геометрические и физические параметры, а неизвестный коэффициент определяется из биквадратного характеристического уравнения.
In solving the problem unknown amount of deflection is determined by the exponential function, which argument consists of geometric and physical parameters, and the unknown factor is determined by solving the biquadratic characteristic equation.
Рассмотрим ортотропную предварительно напряженную пластину-полосу серединная плоскость, которой в недеформируемом состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина-полоса занимает следующую область:
{-l < x < l; -да < y < да; —h < z < h}.
При решении задачи будем пользоваться приближенным уравнением колебания пластинки-полосы в виде [3]: д2W А дW А дW А дW п
—^ + A,—— - A2—-—- + A3—— = 0, (l)
dt2 1 dt4 ^ dx2 dt2 3 dx4 W
где W - функция прогиба.
A, = + co Г A331 + 3 (l + ao Г 41 ];
4 = ^ [2 (1 + а0 Г (1 + С0 ) - 2 А13 43 - 3 (А33 455 Г ( А123 - А11А33 )] ;
н2
43 = ^ + С0 ) 4331 (411413 _ 413 ),
где р - плотность, а0, с0 - параметры однородного напряженного состояния, Д
упругие коэффициенты определяющие ортотропию. Решение уравнения (1) будем искать в виде:
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
W (х, г) = (х)ехр | г^—г
(2)
где Ь - скорость поперечной волны, ^ - частота.
Тогда уравнение (1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение:
-в-
с1х2
-ЗД = 0,
а X
скА где
X ^ )' в- - А '
41 1-1
13 V
Для решения уравнения (3) запишем характеристическое уравнение г4 + В1г2 + В2 = 0 Его решение имеет вид:
г = +
1,2,3,4 —
В1
±11-^ I _В.
В1
(3)
(4)
(5)
(6)
Используя соотношение (4), равенство (6) будет иметь вид:
-
- А- ±. А - 4 А Аз + 4 4| £
(7)
Отметим характерное значение , при котором выражение (7), стоящее под
корнем, обращается в ноль -
А
А
1Ь ]]] 4 а А3 - А2' 4 а а- А2 > Из анализа корней (7), возможны два варианта. Вариант I. £ < , тогда \< к.
(8)
1,2,3,4 —
1
1
(4 - 4 А Аз)
Здесь
1 -
< 0, следовательно
1 -
^2
(9)
0 <(А22 - 4 А Аз)
1 -
^2
Л
< А2.
Тогда
г1,2 = ±гР{; гз,4 ~ —,
где
(10)
г,
Л =
V
А /2АГ
г,
Л =
V
/2АТ
1,2,3,4
D =
- 4 Д A3)
1 -
( h ^
hi
; D2 ; D3 = J^Z^.
Для данного варианта общее решение уравнения (3) имеет вид: W01 = C1 cos Дх + С2 sin Дх + С3 cos Д2х + С4 sin Д2х Вариант II. % > ¿¡0, тогда h2 > h.
(11)
г = +
'1,2,3,4 —
í U \
V h2 У
1
/2 A
- A ± (A22 - 4 A1A3)
1 -
2
V h2 У
Здесь
1 -
V h2 У
> 0, (A22 - 4 A A3)
1 -
V h2 у
< 0,
следовательно
Í и Л
V h2 У
г = +
1,2,3,4 —
["А ± ÍD1 ]2.
Обозначим
ОТ Z
V h2 J
2 A
А =
V h2 у
D
2A
Тогда равенство (13) примет вид:
1 1 ?2
Г1,2,3,4 =±(«3 ± ¿A У2 =±R 2
т + 2кл . ю + 2кл cos--± I sinz-
где
—2-2 А
а3 + Д3 ; ф = arctg—.
а.
(12)
(13)
(14)
Введем новые обозначения для равенства (14)
1 <р + 2кл 2 . <р + 2кл
а. = R2 cos-; В, = R2 sin-.
4 2 4 2
Окончательно получим корни характеристического уравнения (5) в виде:
Г1,2,3,4 =±(«4 ± ) (15)
Для данного варианта II общее решение уравнения (3) представим в виде: W02 = еа"х (C1 cos Д4х + C2 sin Д4х) + е-"4х (C3 cos Д4х - C4 sin Д4х) (16)
Задача решается при следующих граничных условиях [2].
Пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной. Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом (1), а вертикальной (2). при х = l
d 2W dW ÍW + K3 W + KW = 0;
j 2 3 j 20 ?
dх dх
d W d W
2" 0
dW
dх
dх
ck
+kw = 0.
(17)
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
Здесь
к 2 = -А4
,. 3 A^ - 2 A1
(1) 3 A33 2A13
(1) с
K4 =- - А 4
(1)
4 A«
( z. Y
7 A W _ 4 a1
/Л33 4^13 v "1 у
h
2 U>- A,(1)
K3 = 3 ^ h2 ^ ^Т
2
Üi) М
4(1) *
7 A w - 4 A
33 13 1
h
h
; к5 =
2h 4
(2)
3h22 a«
A(2) V A55
; к6 =-
3h2 A«"33 "413
при x = -l
<ix
= 0.
(18)
Рассмотрим решение задачи, используя соотношение (11), т.е. вариант I. Подставим выражение (11) в граничные условия (17) и (18), получим однородную систему, решение которой и определит общее решение задачи. Имеем:
C1 cos /31ll + C2 sin /31ll + C3 cos P2lx + C4 sin P2lx = 0
Cx/?x2 cos Pxlx + C2P¡ sin Pxlx + C..PI cosP2lx + C4^22 sinP2lx = 0
C1 (K2 cos Pxlx - К3Д1 sinД lx - Д2 cosД lx) + C2 (K2 sinД lx + K3 Д cosД lx -
-Д2 sin Pxlx) + C3 (K2 cos P2l1 - K3P2 sin P2lx - Pi cos P2lx) +
+C4 (К2 sinp2lx + K3p2 cosP2lx-p\ sinp2lx) = 0 (19)
C1 (K6 cosД^ - K4p1 sinPxlx - K5p¡ cosPxlx + Д3 sinPxlx) +
+C2 (K6 sinpxlx + K4p1 cosPxlx -K5px sinpxlx - p\ cosPxlx) +
+C3 (K6 cosP2lx -K4p2 sinp2lx - K5Pl cosP2lx + Д3 sinP2lx) +
+C4 (K6 sinp2\ + K4P2 cos P2lx - KsPl sinp2lx - Pi cosP2lx) = 0
, l где lx = —. h
He тривиальное решение системы однородных уравнений (19) приводит к трансцендентному уравнению вида:
(Д2 - Д2) {(K4Дl - Pfx ) 1sin 2p2lx (K2 - Д22) + K3p.l1 cos2 P2lx +
+^in lp2lx [K2 (Д2 - K4P1) + K3 (^Д - K5PIP2) + K4P1PI - (20)
-Д13 Д2 ] + K3P1P2 (pi - pi) sin2 p¿)= 0.
Используя равенство (16) для решения задачи (3), (17) и (18), т.е. решая вариант II, получим систему однородных уравнений вида: Cx cosPl¡x - C2 sinPl¡x + C3eaA cosP4lx + C4eaA sinP4lx = 0 Cx (a4 cosp4lx + P4 sinp4lx) + C2 (~a4 sinp4lx + p4 cosp4lx) + +e2аЛ [C3 (-a4 cosP4lx + p4 sinp4lx) + C4 (-a4 sinp4lx - p4 cosp4lx)] = 0
е2"4'1 |Cj [a;2 cos Р411 - 2а4Р4 sin Р411 - Pl cos P411 + K3 (a4 cos P411 --Д, sin P411) + K2 cos Д4'1 ] + C2 [a4 sin P411 + 2a4P4 cos P411 --Pi sinp4ll + K3 (a4 sinp4ll + p4 cosP4l1) + K2 sinP4l1 ]} +
+C3 [a42 cos Pl + 2a4p4 sin P4l1 - Д42 cos P4l1 + (21)
+K3 (-a4 cosp4l1 -p4 sinp4l1 )+K2 cosP4l1 ] + C4 [-a¡¡ sinP4l1 + +2a4P4 cosP4\ + Pi sinp4\ + K3 (a4 sinД^ -P4 cos Д(11 ) --K2 sin P1 ] = 0.
e2"4'1 |с1 [a4 cosP4ll - 3агАР4 - 3a4 Pi cosP4ll + Pi sinP4ll + K5 (a42 cosP4ll -
-2a4P4 sin p4ll - Pl cos p4ll) + K4 (a4 cos P4ll - P4 sin P4ll) + K6 cos P4ll J +
+C2 [a4 sin P41X + 3а4Д cos P41X - 3а4Д4 sin P41X - Pl cos P41X +
+K5 (a42 sin p4l1 + 2a4p4 cos P4ll - pl sin P411) + K4 (a4 sinP4ll + P4 cos P4ll) +
+ K6 sin Pl ]} + C3 [-a4 cos p4l1 - 3alP4 sin P411 + 3a4Pl cos P411 +
+Pl sin p4'i + K5 ia2 cos p4'i + 2a4p4 sin P4'i - Pl cos
+K4 (-a4 cosp4l1 -p4 sinp4l1) + K6 cosp4l1 ] + C4 [a4 sinД' -
-3alP4 cos p4l1 - 3a4Pl sin P411 + Pl cos P4ll + K5 (-a42 sinP4ll +
+ 2а4Д cosp4l1 + Pl sinp4l1) + K4 (a4 sinP411 -P4 cosP411) - K6 sinP411 ] = 0.
Результатом решения однородной системы уравнений (21) получим трансцендентное уравнение вида:
е%аА - е4""'1 -1 = 0, (22)
H2
H1 = {sin2р4\ [«4 («42 - 3Д2) + K5 (Д2 - «42) + K4&4 - K6 ] + cos 2р4\ [д (Д2 --laí2 + K5 2a4 - K4 )]| {sin 2Д411 [(a42 + Д2) (a4 + K3) + K2a4 ] + + cos 2p4\ [ Д («42 + pl) - K2 ]j + {sin 2p4\ [ Д3 + K3K4 - K2 ] + + cos 2p4\ [ Д (2«4 - K3 )]} {sin 2Д^ [(«42 + Pl ) - «42 + K5«4 - K4 ) - K6«4 ] + + cos 2Д411 + Pl) {-2a4p4 - K5P4) + K6^4 ]| + {sin 2Д(11 [a42 - Д,2 + K3a4 + K4 ] + + cos 2p4\ [ Д (2«4 + K3)]} {sin2p4\ [(«42 + pl)(K4 - K5«4) - «42 + pl + K6«4 ] + + cos2p4\ [(al + pl){K,p4 - 2a4p4) -^«4]j + {sin2p4\ [«4 (al - 3pl) + +K5 (a42 - Д42) + K4a4 + K6 ] + cos 2Д1, [Д (3a42 - Д2) + K5 2а4Д4 + +K4Д4]}{sin2p4lx [(a42 + pl)(a4 -K3) + K2a4] + cos2^ [д (jK2 -a42 - Д2)]};
4/2010 М1 ВЕСТНИК
H2 = (-Д, ) {«4 Л («42 + 2^42 ) + Я - ВД («42 + Я ) " K 2«4^4 +
+K3 [Д, («42 + # ) (2«4 + K5 K6fr ] + K2 Д [3«42 - Д42 + K5 2«4 + K4 ]} .
В выражениях (20) и (22) представим тригонометрические и показательные функции в виде степенного разложения, получим частотное выражение в виде алгебраического уравнения любой необходимой степени.
Литература
1. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебаний пластин. ПГС №9. 2004.
2. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. Москва. 2005. 239 с.
3. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев. ШТИИНЦА. 1988. 190 с.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.
5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Т. 150. № 17. С. 59-72.
References
1. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Influence of formulation of boundary conditions in determining the natural frequencies of plates. PGS № 9. 2004.
2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2005. 239 pp.
3. Filippov I.G., Cheban V.G. The mathematical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau. Shtiintsa. 1988. 190 pp.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 209-211, Mart 1998.
5. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Guvernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2009. V. 150. № 17. pp. 59-72.
Ключевые слова: собственные поперечные колебания, предварительно напряженное состояние, упругое закрепление
Key words: natural transverse vibrations, prestressing, elastic fixing
Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26 Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: misi@mgsu.ru
Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.
Киселев А.Б
