Решение задачи о термоупругом колебании пластины, два края которой закреплены шарнирно, а два - жестко Текст научной статьи по специальности «Физика»

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

УДК 539.3 + 624.072.1

О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, А.Н. Федосова

ФГБОУВПО «МГСУ»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕРМОУПРУГОМ КОЛЕБАНИИ ПЛАСТИНЫ, ДВА КРАЯ КОТОРОЙ ЗАКРЕПЛЕНЫ ШАРНИРНО, А ДВА — ЖЕСТКО

Описан математический метод, с помощью которого возможен аналитический вывод частотного уравнения колебания термоупругой пластины, имеющей специальный тип краевых условий (два противоположных края шарнирно оперты, а два других могут иметь произвольные граничные условия). Для выбранной задачи на основе строго математического решения последовательно получены трансцендентные тригонометрические, а затем и частотные алгебраические уравнения.

Ключевые слова: колебание пластины, термоупругое колебание пластины, собственные частоты колебаний, частотное уравнение.

В последнее время теория термоупругости получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций атомных и ядерных электростанций, паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов и др., а также в большинстве отраслей тяжелой промышленности, где различные структурные элементы часто подвергаются механическим нагрузкам при повышенной температуре [1, 2]. Элементы таких конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции, в то время как учет тепловых воздействий при расчете элементов конструкций вносит дополнительные трудности [3, 4].

1. Уравнение колебания термоупругой пластины

Рассмотрим однородную изотропную прямоугольную пластину, срединная плоскость которой в недеформируемом состоянии совпадает с плоскостью ХОУ, а ось 2 направлена вертикально вверх. Пластина в недеформируемом состоянии занимает область

{0<х</ь0 <у<12,-И<г<И}.

При решении задач рассматривается приближенное уравнение четвертого порядка колебания пластины под действием теплового фактора [5, 6]:

— 4 —2 —2 — 2

A —W - 2A2 — AW + A3 — W + Д2W - Bl — Q + B2AQ = 0, (1)

^2

д14 " д^ ' 1 дг

где Щх, у, 0 — прогиб; Q(x, у, /) — температура;

. 7-8v ; A 2 -v ; . 3(1-v) ; R (l + v)gо ; B 2a + v^0 A1 =~:tt- ; a2 = —2T ; A3 = ; Bi = , _,9,9 ; B2 = -

8Ь4 ' 2Ь2 ' 3 2А V 1 Ш2Й2 ' 2 3Н2 ' Уравнение несвязной теории термоупругости, описывающее внешнее температурное действие на систему [6, 7]:

де-с^е - =0, (2)

дГ д/

Г - 1 • Г - 1 • Г - 2 - г 2 - к • Г 2 - к Г1 -• Г2 - 2 ; Г3 Го - ; с - .

с2 2с22 h2 ср г1

вестник 812012

где с — скорость распространения температуры; с1 — параметр термоупругой среды; к — коэффициент теплопроводности; cp — теплоемкость при постоянном давлении. Подстановка (2) в (1) дает уравнение колебания термоупругой пластины [8]

Л4 Л2 р2

4—т w- 2А2 —aw+A3 — W + A2W +

1Лt4 2 Лt2 3 Лt2

+ (52Q - В0^2ГQ + 252СД Q + В2С3Q = 0. (3)

Лг ЛГ

2. Постановка начальных и граничных условий

2.1. Граничные условия для функции прогиба

Граничные условия для прогиба отражают условия закрепления пластины, для шарнирно опертых краев х = const [9]: 2

W =— W = 0. (4)

Лх2

Для жестко закрепленного края у = const:

д

W =— W = 0. (5)

Лу

2.2. Граничные условия для функции температуры

Граничные условия для функции температуры отражают тепловой режим на краях пластины, если на краях пластины поддерживается нулевая температура:

Q = 0 при х = const, у = const. (6)

2.3. Начальные условия уравнения (3)

Общие начальные условия для пластины полагаются нулевыми [9]:

w =—W = — W = —W = 0 при т=0; Q = —Q = 0 при х = 0. (7)

^ dz2 dz3 dz

3. Вывод общего решения уравнения (3) в случае граничных условий специального

вида

Пусть край х = const шарнирно оперт и на нем поддерживается нулевая температура. Тогда требуется отыскать решение дифференциального уравнения (3) при граничных условиях (4), (6). Начальные условия для уравнения (3) при этом полагаются нулевыми (7).

В силу краевых условий (6) и (7) функция Q(x,y,t) представима в виде

Q(x,y,0 = Q0eh I Qm (y)sin—x, (8)

n,m=\ 1

где Qm{y) в зависимости от теплового режима на гранях>> = 0,у = ¡2. Если на краях у = 0,у = I2 поддерживается нулевая температура:

Qm00 = sin4qmy, Чт = (7^ -m = I2,••• . (9)

В силу краевых условий (4) функцию прогиба будем искать в виде

Щх,у,0 = е h I Wm C)sin—х, (10)

т,п=\ 1

где Wm(y) — неизвестная функция [6, 10].

Подстановка (8) и (10) в уравнение колебания (3) даст уравнение четвертого порядка относительно (у)

d 4 d 2

— Wm(y) + Do — Wm(y) + I\Wm(y) = D3Qm(y), (11)

dy dy

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

ВЕСТНИК

-МГСУ

где коэффициенты D0, Dj и D3 есть некие функции от a Qm (у) определяется (9).

Общее решение неоднородного уравнения (11) представляется в виде

Wm (У) = W00 + W Л

где Woo — общее решение соответствующего (11) однородного уравнения; W — любое частное решение уравнения (11).

Характеристическое уравнение для однородного уравнения имеет вид

X4+D0X2+ £1=0. (12)

Заметим, что для всех проверенных материалов корни (12) представимы в виде

Х\2= ±ОС о', 4 = —а1 i ,

где а0 =

а! =

(13)

Тогда общее решение однородного уравнения представляется в виде [11]

WJ y) = E

cos а0 y cos а , y

а о

+ Ез

sin ао>" + sin а^у

а,

+ Ел

cos а0 y cos а, y

а о

а,

sin ао>" sin а^

(14)

^2 1X1

при этом целые числа к, р в формуле (14) выбираются при удовлетворении граничных условий на краю у - 2, а условия на краю у - ¡2 приводят к трансцендентным уравнениям для определения собственных частот колебания пластины [6, 9].

Поскольку ()т (у) — функция специального вида, то частное решение для первой краевой задачи теплопроводности:

¡V = -£>2 зш^сту, где £2 — некоторая функция от

Таким образом, общее решение уравнения (11) для первой краевой задачи теплопроводности имеет вид

соз а2>" соз а^

Wm(y) = E1

cos ао>" + cos а^

а0

+ Е3

sin ао>" sin а^у

а^

+ Е4

+ Е2

а0

ак

sin ао>" sin а^у

-D2sin4qmy.

(15)

Варьируя условия закрепления на остальных краях пластинки, из общего решения (15) можно получить частотные уравнения пластин для различных граничных условий.

4. Задача о пластине, два края которой имеют шарнирное закрепление, а два жесткое.

Граничные условия на краях y = const имеют вид (5). 1. Из условия Wm (0) = 0 получим

Е,

1 1 +Е2 i 1

~k +— к

_а0 а _а0 а

= 0, от куда к = 0 , Е^ = 0.

2. При — Wm(0) = 0:

3

а

Р-1 аГ1

+ Е4

а

Р-1 аГ1

- Щ-film = о , откуда р = 1, Е3 =

2

ВЕСТНИК

8/2012

3. При Wm{l2) = 0: Е2 [cos а0/2 - cos oq/2 ] + E^

4. При —Гт(/2) = 0: dy

sin ct0/2 sin a 1/2

A>v 4m

2

sin aq12 + sin a ]l2

. (16)

E2[-a0 sina0l2 +aj sina^+^^osag^ -cosa^] = -[2(-1)m - cos a0l2 - cos aj/2 ].

Ay q, 2

(17)

Из уравнений (16) и (17) получим систему для нахождения неизвестных коэффициентов E2 и E4 .

Будем искать нетривиальные решения данной системы. Найдем корни уравнений Д = 0, Дx = 0 и Дy = 0.

I. Условие А = 0 приводит к трансцендентному тригонометрическому уравнению

2a0a-2aja0 cosa0l2 cosall2 — ^aj^ + aj2)sinal sina0l2 =0. (18)

Разложим в уравнении (18) тригонометрические функции в степенные ряды, ограничившись первыми тремя членами. После выполнения элементарных преобразований (18) примет вид

l24a0 a ja4 +a4 —aj af — a2 a? (2 +a2 )j + ... = 0.

При подстановке (13) полученное уравнение сводится к произведению следующих уравнений:

1) уравнению четвертого порядка:

- 1[3(1 - V) + 2у(2 - v)]£,2 +у2= 0, у =

о 2

2

nn

VI

(19)

решением которого при | > 0 являются действительные частоты

^0,2 = 2^

3

У(2 — V) + -(1 — v)

.V

У2 (2 + V2) + 3у(1 — v)(2 — v) + 94 (1 — V)2

7 — 8v

2) уравнению шестого порядка

= 0,

7 — 8v

(20) (21)

где A =

14- 23v + 8v 8

2

B = 1 {12 - 24yv + 4yv4 23y - 18v + e~2 [33 - 24v(1 - v)]};

C = 3 {y[3 - yv + 2y - v] - e~2 [9(1 - v) - 2y(2 - v)]} ; D = 2у2 (у —3e~2);

Y =

( Л2 nnh

v 1 J

l2

;e = —. h

Решением уравнения (21) являются три частоты §345.

II. Рассуждая аналогично, условие Дx = 3 сводится к произведению алгебраических уравнений:

a

ос

a

a

0

0

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

ВЕСТНИК

-МГСУ

1) уравнению (19);

2) уравнению второго порядка

4 _е)2 +я+„. о,е-(*

решением которого является комплексно-сопряженная частота:

I3 =

^e-1 -4Ç2 + 2Ç

ie-l ie-l

3) уравнению второго порядка:

(2 - v) 1_4 + (-1)m JI2 - 2у [i + (-1)m ] - 20e- [2 + (-1)m ] = 0 с решением

2 у[ i + (-1)m ] - 20 e- "2 + (-1)m '

(2 -v) [ i + (-1)m ]

=

III. Условие Дy = 0 приводит к произведению уравнений (19), (22) и

„3 + 4yv-8y-3v-30e~2(2-v) , 16y(y + 15e~2) nnh i2

где d0 = 4-------- ; d, = ——-- ; y =-; e = —,

0 17-2v(8-3v) 1 17 - 2 v (8-3v) , h

решениями которого являются две частоты

(22)

(23) (2i)

(25)

(26)

lo

йУ _ Ç4,5 -

f4fî - dl

(27)

Из условия нетривиальности исследуемой системы находим пять собственных

частот колебания: = |02 (20), (25) и = |y5 (27).

За частотное уравнение колебаний принимаем уравнение десятого порядка F (|10 ) = 0, являющееся произведением уравнений (19), (2i) и (26), корнями которых являются частоты ^ 2 (20), Ç3 (25) и (27).

Таким образом, колебание термоупругой пластины, два края которой шарнирно оперты, а два жестко закреплены, при условии поддержания на гранях нулевой температуры происходит по пяти частотам. Две из полученных частот полностью соответствуют случаю свободного колебания пластины.

Библиографический список

1. Abo-el-nour N., Abd-alla, Nadia A. Askar. The numerical computation for ant symmetric modes of vibration of a transversely isotropic generalized thermoelastic plate // International Journal of Mathematical. Archive-3(3), 2012, p. 1091—1101.

2. Hetnarski RichardB., Eslami M. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 158 // Springer Science + Business Media, B.V. 2009.

3. Бекназаров М.Н., Блажевич С.В., Немцев С.Н. К вопросу о термоупругих колебаниях тонкой эллиптической пластинки, возбуждаемых импульсным пучком заряженных частиц // Взаимодействие заряженных частиц с кристаллами : тез. докл. ХХХУП междунар. конф. (Москва 29 мая — 31 мая 2007). М., 2007. С. 27—28.

i. Бондаренко Н.С. Термоупругое состояние трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных тепловых воздействиях : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Донецк : Донецкий национальный университет, 2010. 169 с.

5. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев : Штиинца, 1988.

6. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины при граничных условиях специального вида // Вестник МГСУ 2012. № 7. С. 31—38.

7. Подстригач Я.С., КоляноЮ.М. Обобщенная термомеханика. Киев : Наукова думка, 1976.

ВЕСТНИК 8/2Q12

8. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Влияние граничных условий на решение задачи о термоупругом колебании пластины // Вестник гражданских инженеров. 2011. № 4. С. 26—30.

9. Егорычев О.О. Исследования колебаний плоских элементов конструкций. М. : Архитектура-С, 2009.

10. Богданов А.В., Поддаева О.И. Собственные колебания упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны от закрепления // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. тр. III междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2010. С. 81—87.

11. Богданов А.В., Поддаева О.И. Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения) // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. тр. второй междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2009. С. 65—69.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Егорычев Олег Александрович — профессор, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495) 739-33-63, [email protected];

Егорычев Олег Олегович — профессор, доктор технических наук, первый проректор, заведующий кафедрой теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495) 739-33-63, [email protected];

Федосова Анастасия Николаевна — старший преподаватель кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)1833338, [email protected].

Для цитирования: Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины, два края которой закреплены шарнирно, а два — жестко // Вестник МГСУ 2312. № 8. С. 91—97.

O.A. Egorychev, O. O. Egorychev, A.N. Fedosova

SOLUTION TO THE PROBLEM OF THE THERMOELASTIC VIBRATION OF A PLATE, IF THE TWO OF ITS EDGES ARE PINNED AND THE OTHER TWO ARE RIGIDLY FIXED

The operating conditions of uneven warming can cause changes in physical and mechanical properties of the material. Awareness of the intensity and nature of thermal stresses is required to perform a comprehensive analysis of the structural strength.

The authors provide their solution to the problem of identification of natural frequencies of vibrations of rectangular plates, if a thermal factor is taken into account.

The introductory section of the paper covers the equation of the thermoelastic vibration of a plate and formalizes initial and boundary conditions.

The middle section of the paper covers the method of frequency equation derivation for plates exposed to special boundary conditions, if the two opposite edges of a plate are pinned and their surface temperature is equal to zero, while the two other edges have an arbitrary type of fixation and an arbitrary thermal mode.

A general solution is developed for the boundary conditions of pinned edges, while any alternative types of fixation of the two other edges require derivation of transcendental trigonometric equations reducible to algebraic frequency equations expendable in series. Thus, derivation of frequency equations on the basis of the general solution becomes possible for different types of boundary conditions.

The final section of this paper covers the derivation of the solution for a selected problem through the application of the method proposed by the authors. The results demonstrate that a thermoelastic plate with two pinned and two rigidly fixed edges has five natural frequency patterns, two of which represent the frequencies produced by the plate, if it is free from any temperature influence.

Key words: thermoelastic plate vibration, plate vibration, vibration frequency.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

References

1. Abo-el-nour N., Abd-alla, Nadia A. Askar. The Numerical Computation for Anti-symmetric Modes of Vibration of a Transversely Isotropic Generalized Thermoelastic Plate. International Journal of Mathematical Archive. 2012, no. 3(3), pp. 1091—1101.

2. Hetnarski Richard B., Eslami M. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications. Springer Science + Business Media, 2009, vol. 158, p. 578.

3. Beknazarov M.N., Blazhevich S.V., Nemtsev S.N. K voprosu o termouprugikh kolebani-yakh tonkoy ellipticheskoy plastinki, vozbuzhdaemykh impul'snym puchkom zaryazhennykh chastits [Concerning Thermoelastic Vibrations of a Thin Elliptical Plate Caused by a Pulsed Beam of Charged Particles]. Vzaimodeystvie zaryazhennykh chastits s kristallami [Interaction of Charged Particles with Crystals]. Proceedings of the 38th International Conference. 2007, Moscow, May 29-31, pp. 27—28.

4. Bondarenko N.S. Termouprugoe sostoyanie transversal'no-izotropnykh plastin pri sosredoto-chennykh teplovykh vozdeystviyakh [Thermoelastic State of Transversely Isotropic Plates Exposed to Concentrated Thermal Effects]. Donetsk National University, Donetsk, 2010, 169 p.

5. Filippov I. G., Cheban V. G. Matematicheskaya teoriya kolebaniy uprugikh i vyazkouprugikh plastin i sterzhney [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1988.

6. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Reshenie zadachi o termouprugom kolebanii plastiny pri granichnykh usloviyakh spetsial'nogo vida [Solution to the Problem of Thermoelastic Vibration of a Plate in Special Boundary Conditions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 31—38.

7. Podstrigach Ya.S., Kolyano Yu.M. Obobshchennaya termomekhanika [Generalized Thermal Mechanics]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1976.

8. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Vliyanie granichnykh usloviy na reshenie zadachi o termouprugom kolebanii plastiny [Influence of Boundary Conditions on the Solution to the Problem of Thermoelastic Vibrations of a Plate]. Vestnik grazhdanskikh inzhenerov [Bulletin of Civil Engineers]. 2011, no. 4, pp. 26—30.

9. Egorychev O.O. Issledovaniya kolebaniy ploskikh elementovkonstruktsiy [Research of Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2009.

10. Bogdanov A.V., Poddaeva O.I. Sobstvennye kolebaniya uprugoy trekhsloynoy plastiny, dva pro-tivopolozhnykh kraya kotoroy sharnirno zakrepleny, a dva drugikh svobodny ot zakrepleniya [Natural Vibrations of an Elastic Three-layer Plate, If Its Two Opposite Edges are Pinned, While the Other Two Are Not Fixed]. Teoriya i praktika rascheta zdaniy, sooruzheniy i elementov konstruktsiy. Analiticheskie i chislennye metody [Theory and Practice of Analysis of Buildings, Structures and Structural Elements. Analytical and Numerical Methods]. Proceedings of the 3rd International Scientific Conference, Moscow, 2010, pp. 81—87.

11. Bogdanov A.V., Poddaeva O.I. Vyvod chastotnogo uravneniya sobstvennykh kolebaniy uprugoy trekhsloynoy plastiny, dva protivopolozhnykh kraya kotoroy sharnirno zakrepleny, a dva drugikh zhestko zakrepleny (analiticheskiy metod resheniya) [Derivation of the Frequency Equation of Natural Vibrations of an Elastic Three-layer Plate, If Its Two Opposite Edges Are Pinned, While the Other Two Edges Are Rigidly Fixed (an analytical Solution). Teoriya i praktika rascheta zdanii, sooruzhenii i elementov kon-struktsii. Analiticheskie i chislennye metody [Theory and Practice of Analysis of Buildings, Structures and Structural Elements. Analytical and Numerical Methods]. Proceedings of the 2nd International Scientific Conference, Moscow, 2009, pp. 81—87.

About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected], +7 (495) 739-33-63;

Egorychev Oleg Olegovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, First Vice-Chancellor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected], +7 (495) 739-33-63;

Fedosova Anastasia Nikolaeva — Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (495) 183-30-38.

For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Reshenie zadachi o termouprugom kolebanii plastiny, dva kraya kotoroy zakrepleny sharnirno, a dva — zhestko [Solution to the Problem of the Thermoelastic Vibration of a Plate, If the Two of Its Edges Are Pinned and the Other Two Are Rigidly Fixed]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 91—97.