CC BY
26
4/2010 М1 ВЕСТНИК
СОБСТВЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ-ПОЛОСЫ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ОДНОМУ КРАЮ И СВОБОДНОЙ ПО ДРУГОМУ
OWN TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC PLATE-BAND RIGIDLY FIXED ON ONE SIDE AND FREE ON ANOTHER
O.A. Егорычев, O.O. Егорычев, О.И. Поддаева, B.B. Брендэ
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, O.I. Poddaeva, V.V. Brende
ГОУ ВПО МГСУ
При решении задачи определенно характерное значение частоты, получены значения частот превышающее характерную или меньше характерной частоты. Общее решение представлено в виде трансцендентных частотных уравнениях.
In solving the problem the characteristic frequency is determined, and then obtained the frequencies higher or less than the characteristic frequency. The general solution presented in the form of transcendental frequency equations.
Рассмотрим ортотропную предварительно напряженную пластину-полосу серединная плоскость, которой в недеформируемом состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина-полоса занимает следующую область:
{-l < х < l; -да < y < да;-h < z < h}.
При решении задачи будем пользоваться приближенным уравнением колебания пластинки-полосы в виде [3]: 52W , 54W , 54W , 54W A
—^ + A—- A—;—г + A3-— = 0, (l)
dt2 1 dt4 ^ дх dt2 3 дх4 w
где W - функция прогиба.
A = ^f^+ co ^ A3 + 3 (l + ao Г A,1 ];
A = У [2 (1+ ao Г (1 + co) - 2 A13 A,"1 - 3 (A33 A,,1 (A2 - An Аз)]; h2
A3 = (1 + co )A331 (A11A13 _ A123 ),
где p - плотность, ao, co - параметры однородного напряженного состояния, At j -упругие коэффициенты определяющие ортотропию.
ВЕСТНИК МГСУ
4/2010
Решение уравнения (1) будем искать в виде:
Ж(х,г) = W0 (х)ехр| г
(2)
где Ь - скорость поперечной волны, ^ - частота.
Тогда уравнение (1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение:
¿X „ а ж „ „ ~тг++ВЖ = о,
ах ах
где
В1-1 (*Ь)' В2 -А И''
^^ I-1
Для решения уравнения (3) запишем характеристическое уравнение г4 + В1г2 + В2 = 0 Его решение имеет вид:
(3)
(4)
(5)
- В 4- Вв
(6)
Используя соотношение (4), равенство (6) будет иметь вид:
= ±1^
2 А,
- А ±. А - 4 А Аз + 4
(7)
Отметим характерное значение , при котором выражение (7), стоящее под корнем, обращается в ноль
/Г
4 =±2
А
А
Ь Л 4 А1А3 - А22
4 А1 Аз А2
■> 0.
(8)
Из анализа корней (7), возможны два варианта. Вариант I. % < , тогда к\< к.
'1,2,3,4 - ±| ^Т"
V
1
/2 А,
"А2 ± (Л2 -4А,Аз)
1
(9)
Здесь
1 -
^2
к
< 0, следовательно
о <(а2 - 4 а Аз)
1 -
^2
Л
< А2.
Тогда
Г1,2 =±'^1; Г3,4 ~ ,
где
(10)
г. А
А =
£
V
А /2аГ
г. А
А =
V
А
¡2А
1.2.3.4
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
D =
(А2 - 4 A A3)
1 -
(h v
hi
; D2 A + Di; D3
Для данного варианта общее решение уравнения (3) имеет вид: W01 = C1 cos Д x + C2 sin Д x + C3 cos Д2x + C4 sin Д2x Вариант II. g > ¿¡0, тогда h2 > h.
r = +
'1,2,3,4 —
( u\ V h2 У
1
2 A
^ -4A1 A3) f h ' 2
1 - 1 h2 У
Здесь
1 -
V h2 У
> 0, (A22 -4A1 A3)
1 -
fh V V h2 У
< 0,
следовательно
Í и Л
V h2 У
r = +
1,2,3,4
[-A2 ± ÍD1 ]2.
Обозначим
' bY A2 V h2 J
2 A
Л =
V h2 У
D
/2 A
Тогда равенство (13) примет вид:
1 1 ?2
1,2,3,4 =±(«3 ± ¿Л У2 =±R2
т + 2кл . Ф + 2кл cosz-± I sinz-
где
R = Jaj + Д2; ф = arctg—.
а,
(11)
(12)
(13)
(14)
Введем новые обозначения для равенства (14)
г,"1 ^ + 2кп 1 . <р + 2кл
а. = R2 cos-; В, = R2 sin-.
4 2 4 2
Окончательно получим корни характеристического уравнения (5) в виде:
1,2,3,4 =±(«4 ± ¿A ) (15)
Для данного варианта II общее решение уравнения (3) представим в виде: W02 = еа"x (C1 cos Д4x + C2 sin Д4x) + е-"4* (C3 cos Д4x - C4 sin Д4x) (16)
Задача решается при следующих граничных условиях [2]. при x = l;
dW0
dx
при x = -l;
d W
= 0
dx
+ KW0 = 0;
d W
dx
= 0
(17)
(18)
ВЕСТНИК 4/2010
-1 №]
Рассмотрим решение задачи, используя вариант I, следовательно, решение уравнения (3) будем представлять в виде (11).
Граничные условия в этом случае примут вид: при х = l
C1 cos J31l1 + C2 sin Pxlx + C3 cosP2lx + C4 sinP2lx = 0 (19)
-CXPX sinPxlx + C2px cosPxlx - Сър2 sinp2lx + C4P2 cosP2lx = 0 (20)
при х = -l
C (Kx-Д2 )cosPxlx - C2 -Д2 )sinpxlx + C3 (Kx -ft)cosp2lx - C4 (Kx -ft) = 0 (21) Cxfi sinPxlx + C2ff cosPxlx + C..PI sinp2lx + C4^23 cosP2lx = 0, (22)
, l
где lx = — ■ hx
Решение системы однородных уравнений (19), (20), (21) и (22) приводит к трансцендентному уравнению, определяющему искомое частотное уравнение вида:
[(*1 -Д2)Д4 +{kx-Pl)Д4]sin2Px\ sin2Д2lx +[(Kx -Д2)Д3Д + + (Kx -p¡)pxp¡](eos2pxlxsin2p2lx -1) = 0.
Используя равенство (16) для решения уравнения (3), т.е. решая вариант II и используя
граничные условия (17) и (18), получим систему однородных уравнений.
Cxe^ cosPl¡x + C2e2^1 sinP4lx + C3 cosP4lx - C4 sinP4lx = 0
Cx (a42 cosp4lx + 2a4p4 sinP4lx ~P4 cosP4lx + Kx cosP4lx) +
+C2 (-аЦ sin /?4lx + 2a4p4 cos P4lx + Pl sin P4lx - Kx sin P4lx ) +
+C3ela4h (a42 cosДД -2a4P4 sinP4lx -Д2 cosP4lx + Kx cosP4lx) +
+C4e2^1 («42 sin + 2a4p4 cos P4lx - Д2 sin P41 + Kx sin P4lx) = 0
Cxela4k («4 cosp4lx-p4 sinp4l) + C2e2"4lx (a4 sinp4lx + p4 cosp41) +
+C3 (-a4 cosp4lx ~P4 sinp4lx) + C4 (a4 sinp4lx -p4 cosp4lx) = 0
Cx (al cos ДД + 3a24P4 sinP4lx - 3a4Pl cos P4lx - Pl sin P4lx) +
+C2 (-al sin /?4lx + 3a24P4 cos P4lx + 3a4Pl sinP4lx - Pl cos P4lx) +
+C3e2"4lx (-«43 cosp4lx + 3a24p4 sinp4lx + 3a4P'l cosp4lx - Д? sinp4lx) +
+C4e2^1 (-«43 sin- 3a24P4 cosP4lx + 3a4Pl sinP4lx + Pl cosp4lx) = 0.
Результатом решения однородной системы (24), получим трансцендентное уравнение вида:
eSa4l1 - e4a4lx +1 = 0, (25)
P2
4/2010 М1 ВЕСТНИК
P1 = 2sin («45 - 2«42$ - «4^44 sin 2^ + Д), P1 = tf («42 + ft ) + KA (3«42 ~ Pi ).
Разложив тригонометрические функции и eax в степенные ряды в уравнениях (23) и (25), получим частотные алгебраические уравнения любой необходимой степени.
Литература
1. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебаний пластин. ПГС №9. 2oo4.
2. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. Изд-во АСВ. Москва. 2oo5. 239 с.
3. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев. ШТИИНЦА. 1988. 19o с.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 2o9-211, Mart 1998.
5. Исаев C.A., Судаков А.Г., Баранов П.А., Усачов А.Е., Стрижак С.В., Лоханский Я.К., Гувернюк С.В. «Разработка, верификация и применение основанного на многоблочных вычислительных технологиях распараллеленного пакета открытого типа VP2/3 для решения фундаментальных, прикладных и эксплуатационных задач аэромеханики и теплофизики», Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2oo9. Т. 15o. № 17. С. 59-72.
References
1. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Influence of formulation of boundary conditions in determining the natural frequencies of plates. PGS № 9. 2oo4.
2. Egorychev O.O. Fluctuations of plane structural elements. Publishing house ASV. Moscow. 2oo5. 239 pp.
3. Filippov I.G., Cheban V.G. The mathematical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau. Shtiintsa. 1988. 19o pp.
4. Isaev S.A., Leontev A.I., Frolov DP. «Identification of self-organizing by the numerical simulation of laminar three-dimensional flow around a crater on a plane by a flow of viscous incompressible fluid.» Technical physics letters. V.24, Issue 3, pp 2o9-211, Mart 1998.
5. Isaev S.A., Sudakov A.G., Baranov P.A., Usachev A.E., Strizhak S.V., Lohanskii Ya.K., Guvernyuk S.V. «Development, Verification and application-based multiblock computational technologies parallelized package open-VP2 / 3 for basic, applied and operational objectives of Aeromechanics and Thermophysics», Journal of South-Ural State University. Series: Mathematical Modeling and Programming. 2oo9. V. 15o. № 17. pp. 59-72.
Ключевые слова: поперечные колебания, предварительно напряженное состояние, ортотропная пластинка-полоса
Key words: natural transverse vibrations, prestressing, orthotropic plate - band
Почтовый адрес: 129337 г. Москва Ярославское шоссе дом 26
e-mail: misi@mgsu.ru Контактные данные: (495) 739-33-63, e-mail: misi@mgsu.ru
Рецензент: профессор кафедры волновой и газовой динамики мех.-мат ф-та МГУ, д.ф.-м.н.
Киселев А.Б
