CC BY
24
ВЫРОЖДЕНИЕ СЛОЖНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: ПРОБЛЕМА КОНТРОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ЧАСТОТНЫХ
ЧИСЕЛ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков
Рассматривается проблема вырождения сложной многомерной дискретной динамической системы, имеющей иерархическую структуру, при векторном задающем многочастотном воздействии. Поставленная задача решается с помощью аппарата вещественнозначных передаточных матриц, сконструированных на основе решения матричного уравнения Сильвестра. Для количественного контроля вырождения используются сепаратные частотные числа обусловленности вещественнозначных передаточных матриц вход-выход.
Введение
Любая сложная динамическая система аппаратно реализует некий оператор, который определенности ради можно считать линейным, отображающий элементы пространства целевых намерений в пространство осуществляемых реализаций.
Предполагается, что размерности этих пространств согласованы и являются равными. В математической постановке линейный оператор считается вырожденным [1], если его ранг меньше размерности пространства. Развивая это базовое определение, можно сказать, что процесс вырождения некоторой сложной динамической системы есть процесс уменьшения ранга, реализуемого ею линейного оператора. На этой математической концепции строится данная статья. Очевидно, источников вырождения системы достаточно много. Так, система может вырождаться структурно (конфигурационно), когда из ее состава выпадает некоторый функциональный элемент. Как следствие, размерность пространства осуществляемых реализаций, сокращается. Причины вырождения могут носить организационный характер, когда формируемые целевые намерения неудачно распределяются по выходам каналов сложной динамической системы. Вырождаться могут системы по причине параметрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами системы, неудачно назначены показатели характеристик этих связей, когда неудачно сформированы полосы пропускания каналов, а в случае, если система имеет дискретную природу, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы дискретности и т. д.
Ниже рассматриваются проблемы, связанные с вырождением сложных дискретных динамических систем, в которых возможное вырождение порождается организационными и параметрическими причинами. Причем, основное внимание сосредоточено на контроле плавности эволюции системы в сторону ее полного вырождения, когда ранг оператора реализуемой системы становится равным единице.
В развитие положений работы [2] в настоящей статье задача контроля вырождения решается применительно к сложным дискретным динамическим системам.
Постановка задачи
Пусть задача управления сложной дискретной динамической системой сведена к линейной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида:
ф>) = N (у,в)х(у), (1)
где N(в) - р х р - матрица для любых , в, П(^), х(м) - Р -мерные векторы,
в - р -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N .
Будем рассматривать ЛАЗ как инструментальную модель контроля вырождения на спектре сингулярных чисел, порождаемых ими сепаратных чисел обусловленности или функционалов сепаратного вырождения.
Степень близости матрицы N к ее вырождению может быть оценена с помощью глобального числа обусловленности С {N} этой матрицы, при этом решение задачи
заметно обогатится, если помимо глобального числа обусловленности С {N} контролируются ее сепаратные числа обусловленности Су ^}, определяемые на спектре сингулярных чисел матрицы N с помощью соотношения
С {N} = ам {N1 а-1 {N}, Су {N} =ам {N} а;+\ {N} (2)
где ам ^} = а1 {N}, ат ^} = ар ^}, ау+1 {N}, V = 0, р -1 - соответственно
максимальное, минимальное и V -ое сингулярные числа матрицы N, вычисляемые в силу соотношения
а =
4/2
, ¡и}: - N1N) = 0. (3)
Если воспользоваться сингулярным разложением матрицы (БУО-процедурой) [3,4], то матрица N запишется:
N = UN 2NVTN , (4)
где 2н = diag {а у; у = 1, р} - матрица с сингулярными числами на главной диагонали,
построенная по правилу убывания их значений с ростом индекса у. ин и ¥н -
матрицы соответственно левого и правого сингулярных базисов [3,4], для которых выполняется соотношение
= а иМу, у = ~р. (5)
Векторно-матричное соотношение (5) придает исходной линейной алгебраической задаче (1) прозрачную геометрическую интерпретацию, которая состоит в том, что вектор х = Ущ (У = 1, Р) отражается в подпространство, натянутое на у -ый элемент иМ]- левого сингулярного базиса ин так, что соответствующий ему вектор имеет норму, равную а у. Таким образом, единичная сфера в пространстве, натянутом на векторы х, отображается в эллипсоид, натянутый на левый сингулярный базис с размерами полуосей, совпадающих с сингулярными числами матрицы N .
Вырождение матрицы N в смысле достижения бесконечности её числа обусловленности, записанного в форме (2), означает "сплющивание" этого эллипсоида вдоль его р-той полуоси, т.е. вдоль р -того левого сингулярного вектора иНр. Нетрудно
видеть, что если параметр в модифицирует матрицу N(9) таким образом, что последовательно, начиная с ар принимают нулевые значения остальные р -1 сингулярных чисел, кроме а1 , то в пространстве, натянутом на левый сингулярный базис, будет наблюдаться последовательное "сплющивание" эллипсоида вдоль векторов иНр, ин1,... ин2. В итоге эллипсоид выродится в эллипсоид размерности,
равной 1, т.е. в отрезок прямой. В этом случае констатируется глобальное вырождение линейной алгебраической задачи, которое будем характеризовать индексом вырождения равным р -1.
Спектр сингулярных чисел и сконструированные на нем числа обусловленности матрицы N, указывают механизм численного контроля процесса вырождения [2] при вариации параметра в с помощью контроля сепаратных чисел обусловленности, последовательно устремляющихся к бесконечным значениям.
Задача заметно упрощается, если матрица N^,в) представима в одной из форм:
N (w, в) = N (в) Я( w, в), N (w, в) = в) N (в), (6)
где матрицы Я^,в) и Q(w,в) есть ортогональные матрицы, которые не меняют спектра сингулярных чисел [3,4], так что спектр сингулярных чисел матрицы N ^,в) равен спектру сингулярных чисел ^в) .
Кроме числа обусловленности для оценки вырождения можно использовать функционалы вырождения , задаваемые соотношением
= с;1^} (7)
По свойству чисел обусловленности [3,4] функционал обусловленности удовлетворяет неравенствам:
0 < = С- {N} < 1 (8)
Таким образом, в случае использования функционалов обусловленности процесс вырождения алгебраической задачи можно отслеживать по последовательному обнулению функционалов обусловленности .
Дискретная система при конечномерном задающем гармоническом воздействии
Поставим задачу приведения описания процессов в сложных дискретных динамических системах к виду (1) с последующим применением к ней предложенной схемы контроля вырождения.
Задачу решим на примере дискретной системы вида:
х(к +1) = Ёх(к) + ^ (к); х(0); у (к) = Сх(к) (9)
где х, g,y - векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно: х е Я", g,y е Ят, ^ , G , С - матрицы состояния системы, входа и выхода ДОУ, согласованные по размерности с размерностью векторов х, g, и у так, что ^ е Я"х",
G, СТ е Я"хт, к - дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности Аt так, что I = к(А^) .
Задачу будем решать в предположении, что задающее воздействие g(к) имеет конечномерное представление, задаваемое в форме:
г(к +1) = Тг(к); 2(0); g(k) = Рг(к), (10)
где 2 е Я1, Т е Я1х1, Р е Ятх1, г - вектор состояния модели задающего воздействия (МЗВ), Т , Р - матрицы состояния и выхода МЗВ соответственно, причем матрица Р удовлетворяет условию: Р ■ РТ = I, где I - единичная матрица размерности т х т . МЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы её выход
g (к) = Рг (к), г (к) = Тк ■ г(0), (11)
на множестве начальных состояний г (0) адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (9). Для цели дальнейших исследований сформулируем следующее утверждение.
Утверждение 1
Пусть дискретная система (9) возбуждается конечномерным дискретным внешним воздействием (10), тогда движение дискретной системы х(к), у (к), g (к) будет описываться следующими соотношениями:
х(к) = Ркх(0) + (ТТк - ЁкТ)г(0);
у (к) = Ёкх(0) + С(ТТк - ¥кТ) г(0); (12)
_ g (k) = PГ kz(0),
где матрица T ищется из решения матричного уравнения Сильвестра [5,6]
ТГ - FT = GP . (13)
□
Доказательство утверждения можно найти в работе [5].
Для поиска установившегося решения при гармоническом внешнем воздействии учтем следующее соотношение
lim F(k) = 0,
k ^-х
делающее в силу (12) справедливыми равенства:
xy (k) = lim x(k) = TT z(0),
k —x
Уу (k) = lim y(k) == Cxy (k) = CTTkz(0),
J k —x j
ev (k) = lim e(k) = (P - CT)Tkz(0).
k —^x
(14) (15)
Утверждение 2
Пусть (10) является источником гармонического воздействия частоты ®, тогда Г имеет представление
cos® At sin® At - sin® At cos® At '
T =
(16)
rk
примет вид:
Tk =
cos ak At sin ak At - sinakAt cos ak At
(17)
□
Доказательство строится на прямом вычислении степенной функции Г от Г . Заметим, что матрицы (16), (17) являются ортогональными [3,4].
Для
случая
многочастотного
гармонического
воздействия
g(t) = col{gj(t,aj): j = 1,m} матрицы T и Tk принимают вид: T = diag \ Tj =
costj At sintj At
- sintj At costj At
Tk = diag \ T k =
costj Atk sintj Atk - sintj Atk costj Atk
(18)
причем они сохраняют свою ортогональность.
Нетрудно видеть, что (14), (15) сводят задачу исследования процессов управления к линейной алгебраической задаче (1), где вектор ц^) принимает смысл векторов х(к) и
у(к), матрица N^,9) принимает смысл матриц ТГk и СТ.Гk, вектор х(у) принимает смысл вектора z(0), переменная w является дискретным временем к, а параметр 9, осуществляющий модификацию матрицы N, для случая гармонического воздействия
принимает смысл частоты а, при этом в силу ортогональности матриц (17) и (18) можно ограничиться спектром сингулярных чисел матриц T , CT, и (P - CT) .
Поставленная задача приобретает конструктивное решение, если известно явное решение T уравнения Сильвестра (13) для матрицы Г вида (16). Тогда для случая многомерного одночастотного воздействия частоты а матрица T приобретет вид:
T (а) = row {[ I - 2F cos a At + F2 ]-1[ I cos a At - F ( - sin a At ) I ]G}, а для случая многомерного многочастотного воздействия
T(Q) = row {[I - 2F cos af At + F2 ]-1[I cos a} At - F ( - sin af At)I]G], j = ,
где Q = col{ф] =аУ], j = 1, m}, Yj - коэффициент распределения частот
многочастотного гармонического задающего воздействия по входам системы,
0 <Yj < 1.
Основной результат
Рассматривается вырождение многомерной сложной дискретной динамической системы, имеющей иерархическое построение. Каждый j -ый уровень этой системы имеет положительные прямые связи от выхода j - 1-го уровня к его входу и с его выхода на вход j +1 -го уровня, а также отрицательные обратные связи с его выхода на вход j -1 уровня и с выхода j +1 -го уровня на вход j -го уровня. Каждый уровень характеризуется эффективной полосой его пропускания (Aa)j. С ростом индекса j от верхнего к нижнему эффективная полоса (Aa)j уровня увеличивается по сравнению с
предыдущим. Контроль вырождения такой системы осуществляется при подаче на его входы многочастотного гармонического воздействия с различными распределениями весовых коэффициентов Yj -ых гармонических компонентов.
Задача контроля вырождения сложных дискретных динамических систем, как
представляется авторам, получает полное решение на множестве факторов в общесистемной постановке, таких как:
1. Распределение частот гармонических задающих воздействий по входам иерархических уровней на множестве весовых коэффициентов Yj с целью
поиска их неблагоприятной версии;
2. Межуровневые связи в сложных системах с поиском их неблагоприятной реализации.
Чисто "дискретными" факторами являются:
1. Интервалы дискретности уровней с поиском их неблагоприятного сочетания;
2. Запаздывания в канальных средах уровней при формировании сигнала цифрового управления с поиском неблагоприятного сочетания их величин.
Литература
1. Математический энциклопедический словарь./Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Советская энциклопедия, 1988.
2. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности.//Современные технологии: Сборник статей/Под ред. С. А. Козлова. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2003. 298 с.
3. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления./Пер. с англ. М.: Мир, 1999.
5. Уонем M. Линейные многомерные системы. Геометрический подход. М.: Наука, 1980.
6. Икрамов Х. Д. Численное решение матричных уравнений./Под ред. Д. К. Фадеева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
