CC BY
29
ВЫРОЖДЕНИЕ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАВНОТЕМПОВЫМИ СТРУКТУРНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков
Рассматривается проблема вырождения сложных динамических систем с равнотемповыми структурными компонентами. Поставленная задача решается с помощью аппарата вещественнозначных передаточных матриц вход-выход, сконструированных на основе решения матричного уравнения Сильвестра. Для количественной оценки вырождения используются функционалы вырождения.
Введение
Проблемы вырождения сложных динамических систем типа многомерный вход-многомерный выход, т.е. систем MIMO-типа, распадаются на две группы: первая группа состоит в содержательной постановке задачи вырождения, вторая - в конструировании инструментария контроля вырождения. Это важное для функционирования сложных динамических систем свойство остается пока малоизученным [1, 2].
Содержательно вырождение сложной системы состоит в такой ее функциональной деформации, при которой размерность ее функциональных возможностей сокращается. Математически вырождение означает сокращение размерности образа линейного оператора, реализуемого системой, который отображает «пространство намерений» в «пространство осуществляемых реализаций», т.е. изменение ранга этого оператора. Ранг оператора является целочисленной характеристикой. В этой связи нужен такой инструментарий, который позволил бы непрерывно оценивать появляющуюся в системе тенденцию к возможному ее вырождению. Этот инструментарий строится на использовании сингулярного разложения [3, 4] критериальных матриц, позволяющего контролировать их обусловленность, а, следовательно, склонность системы к вырождению.
Очевидно, источников вырождения сложной динамической системы достаточно много. В данной работе рассматриваются проблемы, связанные с вырождением сложных динамических систем с равнотемповыми структурными компонентами, которые «генетически» являются идеально обусловленными. Однако по причинам параметрического характера, проявляющегося в появлении перекрестных связей, нарушении равно-темповости, неравномерном распределении заявок по входам, это свойство может быть утрачено, и система может приобрести склонность к вырождению.
1. Постановка задачи. Инструментарий контроля
Конструирование инструментария контроля вырождения матриц операторов "вход-выход" (МОВВ) сложных систем будем осуществлять, опираясь на возможности сингулярного разложения матриц.
Пусть задана сложная многомерная динамическая система, реализующая некий линейный оператор с матрицей N .
Утверждение 1. Произвольная матрица N порождает линейную алгебраическую задачу (ЛАЗ) вида
ПЮ = N (у,в)х(у) (1)
где N(^,в) - р х р- матрица для любых w, в; п(^), х(^)- р-мерные векторы, в — р -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N . □
Доказательство утверждения строится на сингулярном (БУО) разложении матрицы N [5]. ■
Геометрическая интерпретация исходной ЛАЗ (1) состоит в том, что единичная сфера в пространстве, натянутом на векторы х, отображается в эллипсоид, положение
полуосей которого определяется элементами левого сингулярного базиса, а размер полуосей совпадает с сингулярными числами матрицы N .
Будем рассматривать ЛАЗ как инструментальную модель контроля вырождения на спектре сингулярных чисел, порождаемых ими сепаратных чисел обусловленности или функционалов сепаратного вырождения.
Степень близости матрицы N к ее вырождению может быть оценена с помощью глобального числа обусловленности C{N} этой матрицы, при этом решение задачи заметно обогатится, если помимо глобального числа обусловленности C{N} контролируются ее сепаратные числа обусловленности C j {N}, определяемые на спектре сингулярных чисел матрицы N с помощью соотношения
C{N} = ам {N }а-т1 {N}, С {N} = ам {NK+i {N};__(2)
где ам {N} = ai{N}, ат{N} = ар{N}, av+i{N}, v = 0,p -1, - соответственно максимальное, минимальное и v -ое сингулярные числа матрицы N, вычисляемые в силу соотношения
;j = iP, / :det(/-NTN) = 0. (3)
=
/2
}
Числа обусловленности для оценки вырождения позволяют сконструировать функционалы вырождения JDv, задаваемые соотношением
JDv = ^{М}. (4)
По свойству чисел обусловленности [3, 4] функционал вырождения удовлетворяет неравенствам:
0 < JDv = С-Х{Щ < 1. (5)
Таким образом, процесс вырождения ЛАЗ можно отслеживать по последовательному обнулению функционалов вырождения JDv, контроль граничных значений которых в пределах 0 и 1 заметно проще контроля граничных значений в пределах 1 и да чисел обусловленности.
Поставим задачу конструирования критериальных матриц N операторов вырождения вход-выход сложных динамических систем с последующим применением к ним разработанной схемы контроля вырождения.
2. Банк критериальных матриц в задаче контроля вырождения сложных
динамических систем
Задачу построения критериальных матриц будем решать на примере непрерывной многомерной системы вида
х(Г) = Ех(*) + Gg«); х(0); у (Г) = Сх(?) . (6)
где х, g, у - векторы состояния, задающего воздействия и выходы соответственно, х е Я"; g,у е Ят ; Е , G , С - матрицы состояния системы, входа и выхода объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов х, g и у так, что Е е Я"х"; G, СТ е Я"хт .
2.1. Критериальные матрицы во временной области
Рассмотрим поведение системы (6) при конечномерном внешнем воздействии. Источник внешнего конечномерного воздействия зададим в форме автономной непрерывной системы, имеющей представление
&(0 = Е*(0; г(0); g( 0 = Рх(0, (7)
где 2 е Я1, Е е Я/х/; Р е Ятх/; г — вектор состояния модели задающего воздействия (МЗВ), Е, Р — матрицы состояния и выхода МЗВ соответственно, причем матрица Р
удовлетворяет условию: Р ■ Р = I, где I — единичная матрица размерности т х т.
Утверждение 2. Решение системы (6) для переменных состояния х(^) и выхода у(^) для случая задающего воздействия g(^) вида (7) может быть записано в форме хЦ) = Л(0) + [ТеЕ - ер'Т]г(0), (8)
у(1) = СеЕ1х(0) + С[ТеЕ - еЕ(Т]г(0), (9)
где матрица Т ищется из решения матричного уравнения Сильвестра [1,2]
ТЕ - ГТ = ОР. (10)
□
Доказательство утверждения можно найти в работе [6]. ■
Рассмотрим соотношения (8) и (9) для ступенчатого входного воздействия, для которого оказываются справедливыми соотношения
Е = |0, еЕ = I, (11)
матрица Т решения уравнения Сильвестра (10) принимает вид
Т = -Г _1ОР. (12)
В силу (11) и (12) соотношения (8) и (9) записываются в форме
х^) = еих(0) + (еи -1)Г(0), (13)
у(1) = Сеих(0) + С(ер1 -1)Г(0) . (14)
Нетрудно видеть, что (13), (14) сводят задачу исследования процессов в сложной МГМО-системе (6) во временной области при ступенчатом воздействии к линейной алгебраической задаче (1), где критериальная матрица N ^,в) принимает смысл матриц
Нх = (еГ -1)Г_1О и Ну = С(еГ -1)Г_1О при описании вынужденных составляющих движений системы (6), и матриц Нсвх (^) = еГ() и Нсв (^) = СеГ() при описании свободных составляющих этих движений. Сравнение (1) с (13) и (14) позволяет заметить, что вектор п^) реализуется в форме векторов х(^) и у(^), а вектор х(^) соответствует векторам г (0) и х(^ п ) для вынужденной и свободной составляющих соответственно,
переменная w является непрерывным временем I, а параметр в, осуществляющий модификацию матрицы N, задается параметрами исходной матрицы Г.
Таким образом, вынужденная составляющая движения системы МГМО-типа (6) описывает поведение системы на этапе «принятия решения на выполнение заявки», а задание свободной составляющей движения описывает поведение системы на этапе «выполнения заявки» на основе накопленного сложной системой ресурса в форме х^ п ) = (еГ1п -1) Г "1Gg (0) = - Г ~lОg (0) на фиксированный момент времени 1п .
2.2. Критериальные матрицы при внешнем гармоническом воздействии
Теперь рассмотрим случай поведения системы (6) при внешнем гармоническом воздействии, формируемом системой вида (7), где 2 е
Я1, Е е Ях ; Р е Ятх ; г — вектор состояния МЗВ, Е, Р — матрицы состояния и выхода МЗВ соответственно. МЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы ее выход
g«) = РгЦ), где г($) = еЕ г (0) (15)
на множестве начальных состояний г(0) адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (6), представляющих собой линейную комбинацию гармоник. Задача построения критериальных матриц ЛАЗ (1) для случая гармонического воздействия осуществляется в силу утверждения.
Утверждение 3. Для случая многочастотного гармонического задающего воздействия g(V) задача управления системой (6) по переменным х(V) и у) сводится к линейной алгебраической задаче вида (1), записываемой в форме
х(Г) = Ых (V, О) г (0), у(г) = Ну (V, О) г(0), (16)
где
Е - г
Ых (V, О) = Tdiag{ellt =
соба ^ $>та уt
- sinауt cosауt
; у = 1, т}, (г, О) = СНХ (г, О) (17)
О = со1(ау, у = 1, т), (18)
матрица Т удовлетворяет уравнению Сильвестра (10). □
Доказательство утверждения можно найти в работе [7]. ■
Для случая многомерного одночастотного воздействия частоты а матрица Т имеет вид Т(а) = го^\-[Е2 +а21]-1[ЕОу аОу ]: у = 1,т}, а для случая многомерного
многочастотного воздействия Т(О) = row\-[Е2 + а2/ ]-1[ЕОу ауОу ]: у = 1,т}, где О = со1{а у = а/у, у = 1, т}, у у — коэффициент распределения частот многочастотного гармонического задающего воздействия по входам системы, 0 <у у < 1.
2.3. Критериальные матрицы при стохастических экзогенных воздействиях
Рассмотрим поведение системы (6) при стохастических воздействиях стационарных в широком смысле типа «белый» w(t) и «окрашенный» ) шумы.
Утверждение 4. Пусть система (6) возбуждается стохастическим внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «белый шум» w(t) с матрицей
интенсивности типа Q = diagQJу, у = 1, т, так что в (1) g^) принимает смысл w(t),
тогда матрица спектральной плотности £ (а) по выходу задается выражением
8у (а) = С£х (а)СТ =-2СЕ (Е2 +а21)-1 БХСТ, (19)
А
при этом матрица Бх = М[х^) • хТ ^)], являясь матрицей дисперсии вектора состояния, где М[(•)] есть оператор вычисления математического ожидания стохастической переменной (•), вычисляется с помощью уравнения типа Ляпунова [4]
¥БХ + =^ОТ. (20)
□
Утверждение 5. Пусть система (6) возбуждается стохастическим воздействием ) стационарным в широком смысле типа "окрашенный шум", моделируемым выходом формирующего фильтра, возбуждаемого по входу "белым шумом" w(t) с матрицей интенсивности Q, вида
¿ф ^) = Гфгф ^) + Оф^); &) = РфГф ^), (21)
где Гф е Я1, Гф е Яы, Рф е Ятх1, гф - вектор состояния модели формирующего фильтра (МФФ), Гф, Оф, Рф - матрицы состояния, входа и выхода модели МФФ соответственно.
Тогда матрица спектральной плотности выхода £у(а) системы (6) задается выражением (19), где матрица дисперсии Бх определяется с помощью выражения
Бх = СхБхСТ, (22)
~ T T
тора x = x 2ф
F GPф 0
F = , G =
0 ГФ G
Сx = \lnxn 0nxl|, при этом Dx = M(t) • ~T (t)] - матрица дисперсии составного век-
определяется в силу уравнения типа уравнения Ляпунова, записываемого в форме
FDx + D xFT = -GQGT, (23)
в котором матрицы F и G составной системы имеют представление
(24)
□
Таким образом, при стохастических экзогенных воздействиях критериальные матрицы представимы матрицей спектральной плотности Sy (а ) .
3. Факторы, порождающие вырождение сложных динамических систем
с равнотемповыми структурными компонентами. Основной результат
Построенный банк критериальных матриц N y позволяет осуществить контроль
вырождения сложной динамической системы в соответствии со следующим алгоритмом.
1. Задать векторно-матричное описание сложной динамической системы в форме (6) и зафиксировать ее параметры.
2. Задать допустимый уровень CFJ {Ny} сепаратных частотных чисел обусловленности матрицы N отношения вход-выход исследуемой системы и сконструировать на их основе функционалы вырождения.
3. Для случая гармонического воздействия задать реализацию вектора Y = col (y j, j = 1, m) распределения частот по входам системы; для стохастического воздействия типа «белый шум» установить значения интенсивностей Qjj
для каждого входа системы; для стохастического воздействия типа «окрашенный шум» задать эффективные полосы пропускания формирующих фильтров, а, следовательно, вектор распределения y эффективных полос формирующих фильтров по входам.
4. Задать значение частоты а, порождающей вектор Q = Y® = col{a j =Yj®, j = 1, m} частот внешнего воздействия по входам системы.
5. По данным п.4 сформировать матрицу состояния МЗВ.
6. Решить уравнение Сильвестра вида (10), если имеет место гармоническое внешнее воздействие. Для случаев стохастического внешнего воздействия типа «белый» или «окрашенный» шумы необходимо решить уравнение типа уравнения Ляпунова в формах (20) или (23) соответственно.
7. Вычислить значения сепаратных чисел обусловленности CFj- = {Ny} и функционалов вырождения JDf .
8. Сравнить результат п. 7 с заданием п. 2 на предмет выполнения неравенства CF {Ny} > CFj {Ny} или JDf {Ny} < JDfv {Ny}. В случае его выполнения - переход к п. 9, в противном случае - к п. 4.
9. Зафиксировать результаты в виде вектора y распределения частот по входам и значения частот а , при которых наступает вырождение данного индекса.
Специфика контроля вырождения систем М1МО-типа с равнотемповыми структурными компонентами состоит в том, что все матрицы системы (6) (О , Е , С ) являются диагональными с равными диагональными элементами. При всех модельных представлениях входных заявок, равномерно распределенных по входам, числа обусловленности и функционалы вырождения всех критериальных матриц оказываются единичными. Однако эту идеальную обусловленность (невырожденность) могут нарушить следующие факторы возможного вырождения систем:
1. во временной области - нарушение равнотемповости структурных компонентов;
2. в частотной области - неравномерное распределение частот по каналам;
3. при стохастическом экзогенном воздействии
типа «белый шум» - различные компоненты матрицы интенсивности; типа «окрашенный шум» - различные эффективные полосы пропускания формирующих фильтров;
4. при параметрических модификациях - появление перекрестных связей. Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение. Утверждение 6. При любом методе моделирования потока входных намерений
система с равнотемповыми компонентами без связей между ними и равномерном распределении гармонических и (или) стохастических воздействий не вырождается.
□
4. Пример
Рассмотрим непрерывную систему вида х^) = Ех^) + Оg^) ; х(0) = 0; у ^) = Сх(1),
где
0 1 0 0 0 0 0 0 0 " " 0 0 0 " 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-216 -72 -12 0 0 0 0 0 0 216 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 О = 0 0 0 ' Т СТ = 0 0 0
0 0 0 -216 -72 -12 0 0 0 0 216 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -216 -72 -12 0 0 216 0 0 0
Из приведенных матриц видно, что система имеет три входа и три выхода, каждый сепаратный канал имеет третий порядок, связей между соседними каналами нет, матрицы состояния каждого из сепаратных каналов характеризуются распределением мод Баттерворда с характеристической частотой w01 02 03 = 6 с-1.
Проиллюстрируем, основываясь на предложенной технологии, поведение равно-темповой системы под влиянием факторов, которые могут нарушить ее идеальную обусловленность.
1. Внешнее ступенчатое воздействие для случаев реализации системы а) с исходными параметрами; б) при появлении перекрестных связей &12 23 = 0.1 и &2132 = -0.1;
в) при нарушении равнотемповости. Используем представление матриц состояния первого и третьего сепаратных каналов распределением мод Баттерворда с характеристическими частотами w01 = 2 с-1 и w03 = 18 с-1 соответственно. Результаты моделирования
зависимостей функционалов вырождения (V = 1) от времени t приведены на
рис. 1 (а, б, в).
Рис. 1. Зависимости функционала вырождения от времени для непрерывной системы при внешнем ступенчатом воздействии
2. Векторное многочастотное гармоническое воздействие g(^) с вектором распределения частот вида О = усо=со/{а} = ур0^, ] = 1,3} для случаев реализации а) ут = [1 1 1]; б) у1 =[1/9 1 1/3]. Результаты моделирования зависимостей функционалов вырождения (V = 1) от частоты с приведены на рис. 2 (а, б).
А-Е. 16 и
;........
........;..........I......
6) 3
А ов
0.0
04
0.1
Л ; ;
..........и............|............
ф (рад!с)
ю
20
30 40
оу {рад!с)
Рис. 2. Зависимости функционала вырождения от частоты для непрерывной системы при векторном многочастотном гармоническом воздействии
3. Внешнее стохастическое воздействие g (^) = w(t) типа «белый шум» с канальными интенсивностями Qj =у}00, ] = 1,3, где Q0 = 1 (*2 ■ с ) для случаев реализации а) уТ = [1 1 1]; б) уТ =[1/3 1 1/9]. Результаты моделирования зависимостей функционалов вырождения (V = 1) от частоты с приведены на рис. 3 (а, б).
А:
I 6 1
1: I
ое а 60
А..
оу (рад¡с)
.................. ..........| ......1___________
;
а) (рад¡с)
Рис. 3. Зависимости функционала вырождения от частоты для непрерывной системы при стохастическом воздействии типа «белый шум»
Заключение
Вырождение сложных систем представляет собой модельную концепцию, которая содержательно в ее предельной реализации представляет процесс деформации сложной конструкции. Предложенная технология контроля вырождения сложных динамических систем позволяет ни только оценивать исходную систему, но и выявлять возможные причины, которые могут привести к вырождению изначально идеально обусловленную систему.
Литература
1. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем./ Пер. с англ. М.: Наука, 1970.
2. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы // Под ред. С. В. Емельянова. М.: Мир. 1978.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. . Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления./Пер. с англ. М.: Мир, 1999.
5. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности. // Современные технологии: Сборник статей / Под ред. С. А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2003. 298 с.
6. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. / Под ред. Д.К. Фад-деева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
7. Dudarenko N. Degeneration control of complex dynamic systems. Preprints of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), St.-Petersburg, Russia, 2004, SPb: SPSUITMO, 2004.
