Спектральный анализ сложных дискретных систем при стохастических экзогенных воздействиях с применением в задачах контроля вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЭКЗОГЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ПРИМЕНЕНИЕМ В ЗАДАЧАХ КОНТРОЛЯ ВЫРОЖДЕНИЯ

Н.А. Дударенко

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор А.В. Ушаков

В работе рассматриваются сложные дискретные динамические системы при стохастических экзогенных воздействиях, для которых решается задача контроля вырождения. Поставленная задача решается с помощью аппарата вещественнозначных передаточных матриц, сконструированных на основе решения матричного уравнения Сильвестра-Ляпунова, корреляционных матриц и матриц спектральной плотности. Для количественной оценки вырождения вводятся функционалы вырождения.

Введение

Теория и практика сложных динамических систем типа «многомерный вход -многомерный выход» (М1МО-типа) встречается с технологическими трудностями формирования скалярных показателей качества их поведения, подобных тем, которые хорошо наработаны в теории и практике систем типа «одномерный вход - одномерный выход» (81БО-типа) [1]. Тем не менее, в последнее время разработки сложных систем М1МО-типа получили конструктивный инструментарий, позволяющий решать эту задачу, но в оценочной форме, когда формируются минорантная и мажорантная скалярные оценки показателя качества, интересующего разработчика. Этот инструментарий строится на использовании сингулярного разложения [2, 3] критериальных матриц, в качестве которых в многомерном случае при стохастическом экзогенном воздействии выступают корреляционные матрицы и матрицы спектральных плотностей [4]. Более того, если дополнить набор этих показателей такой чисто матричной характеристикой, как число обусловленности, то у разработчика появится возможность на классе различных законов управления многомерными объектами, на классе структурных и параметрических реализаций при различных распределениях по входам системы компонентов экзогенного воздействия контролировать такое важное свойство сложных систем, как склонность их к вырождению.

В данной статье решается задача спектрального анализа сложных дискретных динамических систем (СДДС) при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы на основе максимального и минимального компонентов алгебраического спектра сингулярных чисел корреляционной функции и матрицы спектральной плотности выхода СДДС. Предлагается инструментарий, позволяющий контролировать склонность СДДС к вырождению, для количественной оценки которого вводятся функционалы вырождения.

Полученные результаты иллюстрируются примерами.

Постановка задачи. Инструментарий контроля

Конструирование инструментария контроля вырождения матриц операторов «вход-выход» сложных дискретных систем будем осуществлять, опираясь на возможности сингулярного разложения матриц.

Пусть задана сложная многомерная дискретная динамическая система, реализующая некий линейный оператор с матрицей N(*) .

Утверждение 1. Произвольная матрица N порождает линейную алгебраическую задачу (ЛАЗ) вида:

пМ = N (м>, е)хМ, (1)

где N(м', 0) - п х п - матрица для любых значений w, 0 ; п^), х('м) - п -мерные векторы; w имеет смысл дискретного времени к, выраженного в числе интервалов дискретности длительности &, когда ЛАЗ (1) параметризована дискретным временем; 0 -п -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N . □

Доказательство утверждения строится на сингулярном (БУО) разложении матрицы N [5]. ■ Геометрическая интерпретация исходной ЛАЗ (1) состоит в том, что единичная сфера в пространстве, натянутом на векторы %, отображается в эллипсоид, положение полуосей которого определяется элементами левого сингулярного базиса, а размер полуосей совпадает с сингулярными числами матрицы N .

Будем рассматривать ЛАЗ как инструментальную модель контроля вырождения на спектре сингулярных чисел, порождаемых ими сепаратных чисел обусловленности или сепаратных функционалов вырождения.

Степень близости матрицы N к ее вырождению может быть оценена с помощью глобального числа обусловленности С^} этой матрицы [6], при этом решение задачи заметно обогатится, если помимо глобального числа обусловленности контроли-

руются ее сепаратные числа обусловленности С - ^}, определяемые на спектре сингулярных чисел матрицы N с помощью соотношения

С^} = ам{Юа~т1{Щ, С,-{Щ = ам{^а-+!^}, (2)

где а м {Щ = а т ^} = а р ^}, а -+1^}, - = 0, р -1, - соответственно макси-

мальное, минимальное и - -ое сингулярные числа матрицы N, вычисляемые в силу соотношения

а - =

иУ2

;- = 1,р, |:ёе1(|/-^ Ю = 0. (3)

Числа обусловленности для оценки вырождения позволяют сконструировать функционалы вырождения JD . , задаваемые соотношением

= С-(4)

По свойству чисел обусловленности [2, 3] функционал вырождения удовлетворяет неравенствам

0 < JD] = С - ^} < 1. (5)

Таким образом, процесс вырождения ЛАЗ можно отслеживать по последовательному обнулению функционалов вырождения JD . , контроль граничных значений которых в пределах 0 и 1 заметно проще контроля граничных значений в пределах 1 и да чисел обусловленности.

Поставим задачу конструирования критериальных матриц N операторов вырождения вход-выход сложных дискретных динамических систем при стохастических экзогенных воздействиях с последующим применением к ним разработанной схемы контроля вырождения.

Спектральный анализ сложных дискретных систем при стохастических, стационарных в широком смысле экзогенных воздействиях типа «белый» и «окрашенный» шумы

Предпринятое исследование сложных дискретных динамических систем выполним [4, 7] по схеме: формирование критериальной матрицы N в виде корреляционной

матрицы и матрицы спектральной плотности выхода системы, а затем их скаляризация с помощью аппарата сингулярного разложения с целью формирования минорантных и мажорантных оценок указанных матриц.

Рассмотрим многомерную систему вида

х(к +1) = Гх(к) + (к), х(0); у(к) = Сх(к), (6)

где х, %, у - векторы состояния, задающего воздействия и выхода, соответственно;

х е Яп; %,у е Ят ; Г , О , С - матрицы состояния системы, входа и выхода дискретного объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов х , %, и у так, что Г е Лпхп; О,СТ е Япхт; к - дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительностью А/ так, что непрерывное время / и дискретное к связаны соотношением / = к (А/).

Пусть % (к) = ^(к) - дискретный «белый» шум с матрицей интенсивности Q = diagQjj : у = 1, т и дисперсией

М[м>(к)м>Т (к)] = V. (7)

Дискретный «белый» шум м>(к) , кроме (7), характеризуется следующими свойствами:

М[м>(к)] = 0; М[х(к)^Т (к)] = 0; М[м^(к)хТ (к)] = 0. (8)

Сконструируем выражения для вычисления матриц дисперсии:

Вх = М [ х(к) хТ (к)], В у = М [ у(к) уТ (к)] = СВХСТ . (9)

Для поставленных целей введем в рассмотрение параметризованные дискретным временем матрицы дисперсии

А Т А Т

Вх = М[х(к)хТ (к)], Вх (к +1) = М[х(к +1)хТ (к +1)]. (10)

С целью формирования Вх (к +1) в форме (10) протранспонируем первое выражение в (6), записав его в форме

хТ(к +1) = хТ(к)ГТ + %Т(к)0Т . (11)

Подстановка (6) и (11) в (10) с учетом (7) и (8) дает

М [ х(к +1) хТ (к +1)] = М [ Гх(к) хТ (к) ГТ ] + М [0м?(к) хТ (к) ГТ ] +

+М [ Гх(к (к )0Т ] + М [0м>(к (к )0Т ], что можно записать как

Вх (к +1) = ГВх (к) ГТ + GVGT . (12)

Осуществив в (12) предельный переход к ^ да, для установившегося режима получим

Вх = ГВхГТ + О УОТ, (13)

В у = СВхСТ . (14)

Рассмотрим теперь случай, когда экзогенное воздействие %(к) является дискретным «окрашенным» шумом ^(к) с матрицей интенсивности Q = diagQjj : у = 1, т и дисперсией В^ , формируемым дискретным формирующим фильтром (ДФФ)

г (к +1) = Гф г(к) + Оф *(к); $(к) = Рф г (к). (15)

Для сведения задачи к виду (13) введем в рассмотрение составной вектор

~ = [хТ, гТф], (16)

для которого оказывается справедливой запись

x (k +1) =

x(k +1) z ф (k +1)

Fx(k) + ОРф z(k) 0 x(k) + Оф z(k)

" 0 "

+ _

Оф

w(k) = Fx (к) + Ow(k),

x(k) = Cxx(k); y(k) = Cyx(k); s(k) = Csx(k),

(17)

(18)

"f ОРф' " 0 "

F = ; О = _

0 Оф _ Оф _

; X =[/„xn 0nxl]; =[C o]; Cs = [-C Рф]. (19)

Тогда для дисперсий

Dх(к) = М[х(к)х Т (к)]; Dx(к) = М[х(к)хТ (к)];

Dy (к) = М[у(к)уТ (к)]; Ds (к) = М[е(к)еТ (к)] (20)

становятся справедливыми матричные соотношения

Dx = Р5хРТ + ОГОТ , (21)

Dx = ; Dy = ; Ds = СвСВТ. (22)

Теперь сконструируем матрицы спектральных плотностей Бх (ш), Б у (ш) и £е (ш) дискретной системы (6), для чего введем в рассмотрение корреляционные матрицы

Rx(v) = M[x(k + v)xT (k)] = FvDx : v > 0 ;

(23)

(24)

(25)

-х- • - (26)

где V - дискретное время, такое что V = кД/. Матрицы спектральных плотностей зада-

Rx (v) = M[x(k - v)xT (k)] = F -vDx : v < 0; Ry (v) = CRxCT = CFvDxCT : v > 0; Ry (v) = CRxCT = CF~vDxCT : v < 0,

дим соотношениями

да да

Бх(ш) = IРх(у)е-^; Бу(ш) = XРу(V)6-^ = СБх(ш)СТ . (27)

V=-да V=-да

Тогда с учетом (23) и (24) для матрицы Бх (ш) спектральной плотности процессов по

состоянию можно записать

0 да

+ I FVDxe - '/VшДt =

Sx (®) = X F " vD

X(F-1e"jcAt)vDx + X(Fe-jcAt)vDx = X(FejroAt)-vD* + X(Fe-jcAt)vDx .(28)

v=0

v=-да v=0

0 да 0 да

x X ) Dx

v=-да v=0 v=-да

Для суммы членов геометрической прогрессии получим

X(Fe/roAí)-v =+... + (FejcAt)3 + (FejraAt)2 + FejraAt +I = (I -FejraAt)-1, (29)

v=-да да

j-jaAt)v = T + + Fe-jaAt + (Fe-JaAt )2 + (Fe-JaAt )3 + = (T - Fe~jcA)-1

X (Fe"J ^ )v = I +... + Fe~J + (Fe"J )2 + (Fe"J )3 +... = (I - Fe"J ^ )"

v=0

Подстановка (29) и (30) в (28) дает

Sx (c) = {i - Fe jraAt)-1 + (I - Fe~jcAt)-1 )px =

= {(I - F cos cAt) - JF sin cAt]-1 + [(I - F cos cAt) + JF sin cAt]-1 }px. Запишем единичную матрицу в форме

I = [(I - F cos cAt) - jF sin cAt][(I - F cos cAt) + JF sin wAt] x

(30)

(31)

х {[(/ - F cos шЛ/) - jF sin шЛ/][(/ - F cos шЛ/) + jF sin шЛ/]} 1 =

= [(I - F cos шЛt) - jF sin шЛ][(/ - F cos шЛt) + jF sin шЛt] { - 2F cos шЛ + F 2 }" \ (32) Подстановка (32) в (28) дает

Sx (ш) = 2(I - F cos шЛ/)(I - 2F cos шЛ/ + F2)-1 Dx, (33)

Sy (ш) = CSx (ш)СТ = 2C (I - F cos шЛ/)(I - 2 F cos шЛ/ + F2)-1 DxCT . (34)

В выражениях для спектральных плотностей Sx и Sy в формах (33) и (34), соответственно, для ш действует неравенство

п п _ _

--<ш<—. (35)

Л/ Л/

Скаляризация векторных процессов с помощью аппарата сингулярного разложения критериальных матриц.

Формирование мажорантных и минорантных скалярных оценок

Для скаляризации стохастических векторных процессов на основе критериальных матриц (корреляционной матрицы Ry (v) и матрицы спектральной плотности Sy (ш))

применим к указанным матрицам процедуру сингулярного разложения, тогда максимальные и минимальные сингулярные числа этих матриц и будут определять мажоранту и миноранту требуемого пользовательского показателя.

Так, для случая корреляционной матричной функции Ry (v) вектора выхода, при-

г>Ш

надлежащего пространству R , выполняются оценочные неравенства

аш {Ry (v)} < аi {Ry (v)} < ам {Ry (v)} . (36)

Соответственно для случая спектральной плотности Sy (ш) стохастических процессов, наблюдаемых в произвольном одномерном подпространстве пространства выхода, выполняются оценочные неравенства вида

аШ {Sy (ш)} < аi {Sy (ш)} < аM {Sy (ш)} . (37)

В связи со сказанным спектральные и корреляционные свойства MIMO-системы полностью определят левые и правые элементы приведенных оценочных неравенств.

Поканально полученные корреляционные матрицы и матрицы спектральных плотностей по схемам (23)-(26) и (33), (34), соответственно, позволяют сформировать канальные скалярные версии корреляционной функции и функции спектральных плотностей, если в (23)-(26) и (33), (34) иметь в виду не полную матрицу выхода, а матрицу-строку, формирующую данную компоненту выхода. Следует также сказать, что решение задачи контроля вырождения с помощью функционалов вырождения Jd . {N} осуществляется путем фиксации превышения их значениями некоторого допустимого уровня Jd доп {N} . Линейная алгебраическая задача вида (1) становится близкой к вырожденной, если Jd j {N} не превышает J d доп {N} = 0.001 ^ 0.002.

Контроль вырождения сложных дискретных динамических систем на основе вычисления сепаратных частотных чисел обусловленности C j {N} и функционалов вырождения Jd . {N} критериальной матрицы N отношения вход-выход может быть произведен в соответствии со следующим алгоритмом.

1. Задать векторно-матричное описание сложной дискретной динамической системы в форме (6) и зафиксировать ее параметры.

2. Задать допустимый уровень сепаратных частотных функционалов вырождения

- д } матрицы N отношения вход-выход исследуемой системы.

3. Для случая стохастического воздействия типа «белый» шум установить значения интенсивностей Q-- для каждого входа системы; для стохастического воздействия типа «окрашенный» шум задать эффективные полосы пропускания формирующих фильтров, а, следовательно, вектор распределения у эффективных полос формирующих фильтров по входам системы.

4. Решить уравнение типа уравнения Ляпунова для стохастического воздействия типа «белый» и «окрашенный» шумы в формах (13) или (21), соответственно.

5. Вычислить значения сепаратных функционалов вырождения Jб . ^}.

6. Сравнить результат п. 5 со значениями п. 2. В случае его выполнения - переход к п. 7, в противном случае - к п. 3.

7. Зафиксировать результаты в виде вектора у эффективных полос формирующих фильтров по входам СДДС, при которых возникает опасность в смысле функционала вырождения данного индекса.

8. Полученные результаты передать системному аналитику на предмет интерпретации и принятия системных решений.

Пример

Проиллюстрируем предложенную процедуру построения мажорант и минорант скалярных оценок корреляционной матрицы и матрицы спектральной плотности выхода для случая сложных дискретных динамических систем М1МО-типа на примере. Пусть задана сложная дискретная динамическая система вида х(к +1) = ¥х(к) + ^ (к), х(0); у(к) = Сх(к),

где

" 0.9988 0.0988 0.0044 0 0 0 0 0 0

- 0.0349 0.9639 0.0813 0 0 0 0 0 0

- 0.6504 - 0.6853 0.6387 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.9736 0.0905 0.0033 0 0 0

¥ = 0 0 0 - 0.7089 0.7373 0.0511 0 0 0

0 0 0 -11.0378 4.3882 0.1241 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.6347 0.0480 0.0012

0 0 0 0 0 0 - 7.1128 -0.1556 0.0041

0 0 0 0 0 0 - 24.0655 -9.7868 - 0.3041

"0.0012 0 0 " "1 0 0"

0.0349 0 0 0 0 0

0.6504 0 0 0 0 0

0 0.0264 0 0 1 0

в = 0 0.7089 0 , СГ = 0 0 0

0 11.0378 0 0 0 0

0 0 0.3653 0 0 1

0 0 7.1128 0 0 0

0 0 24.0655 0 0 0

Из приведенных матриц видно, что исследуемая дискретная система имеет три входа и три выхода, каждый сепаратный канал имеет третий порядок, межканальные связи отсутствуют. Дискретное время к, выраженное в числе интервалов дискретности длительности Дt, выберем равным 0.1с.

Рассмотрим предложенную технологию для фиксированных параметров системы. 1) На примере внешнего стохастического воздействия g(к) = м^(к) типа «белый»

шум с канальными интенсивностями Qj = у jQo, ] = 1,3, где Qo = 1 (*2 •с) и

уТ = [1 1 1]. Мажоранты и миноранты, а также поканальные характеристики функции корреляции Я у (у) и спектральной плотности Б у (ш) дискретной системы по выходу приведены на рис. 1 (а-с1) и рис. 2 (а-с1), соответственно.

-----,<■£> ЛЛ1

-м ч

{Ку(у)}

ь)

25

111)

15

300

(V)}..;.............

С)

Г^® Нщ

.............

а)

300

................... аМ3 и

(у>)

50

ЮС

130

МО

Рис. 1. Мажоранта, миноранта и поканальные характеристики корреляционной функции по выходу для дискретной системы при стохастическом воздействии типа «белый» шум

На рис 1 (а) и рис. 2 (а) ат {Яу (у)}, ам {Яу (у)} и ат {Бу (ш)}, ам {Бу (ш)} - миноранта и мажоранта функций корреляции и спектральной плотности по выходу для исходной системы; на рис. 1 (Ь, с, ё) и рис. 2 (Ь, с, ё) а т1 {Яу1 (у)}, а м 1 {Яу1 (у)} и

а

ч {Бу1 (ш)}, а м 1 {Бу1 (ш)};

а

{Яу2 (у)} , ам2 {Яу2 (у)}

у 2

и

а

т2 {Бу2 (ш)}

ам2{Бу2(ш)}; а т3 {Яу 3 (у)} , ам3{Яу3(у)} и а т3 {Бу3 (ш)} , ам3 {Бу3 (ш)} - миноранта и мажоранта функций корреляции и спектральной плотности по выходу первого, второго и третьего каналов исходной системы, соответственно.

2) На примере внешнего стохастического воздействия g (к) = ^(к) типа «окрашенный» шум интенсивности Qj = 1, j = 1,3, с частотой формирующего фильтра

О ф . = у j О ф0 , где О ф0 = 1 и уТ = [1 1 1]. Мажоранты и миноранты, а также поканальные характеристики функции корреляции Я у (у) и спектральной плотности Б у (ш) дискретной системы по выходу приведены на рис. 3 (а-ё) и рис. 4 (а-ё), соответственно.

2

Рис. 2. Мажоранта, миноранта и поканальные характеристики спектральной плотности выхода для дискретной системы при стохастическом воздействии типа «белый» шум

а)

0 '

оз

06 $<

02 о ■0 2 см .0.0 о.е -1.

- '0 _._._ 101*

Ь) '

7 6 5 л

г 2 1 о.

; :

! |

; ;

; ;

:

¡1

..... а м2 <*,3М>

............1.............

<0

о.а 0.6 О.А

о.г о ■0.2 ОА ■0.6 ■03 и

259

50 100 150 200 ип 50 100 150 200

.......-.....^.............'г.............

' !

;

...................

............,-,• (Я.. 1 *." ! .............

■/3 ' "

:

;

50 100 150 200

Рис. 3. Мажоранта, миноранта и поканальные характеристики корреляционной функции по выходу для дискретной системы при стохастическом воздействии типа «окрашенный» шум

Рис. 4. Мажоранта, миноранта и поканальные характеристики спектральной плотности выхода для дискретной системы при стохастическом воздействии типа «окрашенный

шум»

На рис 3 (а) и рис. 4 (а) ат {Яу (у)}, ам {Яу (у)} и ат {8у (ю)}, ам {8у (ю)} - миноранта и мажоранта функций корреляции и спектральной плотности по выходу для исходной системы; на рис. 3 (Ь, с, ё) и рис. 4 (Ь, с, ё) ат {Яу1 (у)}, ам 1 {Ку1 (у)} и

а т1 {^у1 (ю)} , а М 1{^у1(ю)}; а т2{Ку 2(у)}, а М 2{Ку 2 (у)} и а т 2{Бу 2 (ю)Ь

аМ 2{^у2(ю)}; а т3 {^у3 (у)}, аМ3{^у3(у)} и а т3 {^у3 (ю)} , аМ3{^у3(ю)} - миноранта и мажоранта функций корреляции и спектральной плотности по выходу первого, второго и третьего каналов исходной системы, соответственно.

Заключение

Скаляризация векторных процессов, наблюдаемых в пространстве выхода сложных дискретных динамических систем при стохастических экзогенных воздействиях, с использованием алгебраического спектра сингулярной матрицы и матрицы спектральной плотности сводит решение задачи спектрального и корреляционного анализа к случаю систем БКО-типа в минорантной и мажорантной постановках. Степень различия минорант и мажорант позволяет разработчику контролировать удачность процесса проектирования, так как она позволяет сформировать интегральную оценку робастности системы в смысле отношения вход-выход.

Литература

1. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб: Профессия, 2003.

2. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

3. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

4. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Спектральный анализ сложных непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях. / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. СПб: СЗТУ, 2005. Вып.34.

5. Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов Р.О., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. Бишкек: Илим, 1991.

6. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности. // Современные технологии: Сборник статей / Под ред. С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2003. 298 с.

7. Квакернаак Х., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления. / Пер. с англ. М.: Мир, 1997.