CC BY
47
Вычислительная математика
УДК 519.61+512.552.7 DOI: 10.14529/cmse150107
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАНГОВ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Р.Ж. Алеев, Н.А. Цыбина
Изучение центральных единиц (центральных обратимых элементов) целочисленных групповых колец конечных групп почти всегда приводит к трудоемким вычислениям, как в случае нахождения отдельных центральных единиц, так и при описании групп центральных единиц. В силу того, что периодическая часть групп тривиальна (с точностью до знака это элементы центра группы), более интересно нахождение сведений о части без кручения, которая является прямым произведением бесконечных циклических групп. Число таких бесконечных прямых сомножителей — ранг группы центральных единиц. Поэтому ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп — одна из важнейших характеристик таких групп. Поэтому вычисление рангов групп центральных единиц представляет большой интерес при изучении групп центральных единиц. В работе приведены формулы для вычисления рангов в общем случае и в нескольких важнейших частных случаях. На основании этих формул произведены вычисления рангов в достаточно широких диапазонах. Для вычислений использовалась система компьютерной алгебры GAP. Результаты вычислений показываются в таблицах и на графике.
Ключевые слова: характер группы, центральная единица, ранг абелевой группы, система GAP.
Введение
В России (и ранее в СССР) работы по вычислительным аспектам алгебры и теории чисел не часты. Авторы не могут надеяться, что данная статья заполнит образовавшуюся лакуну, но могут надеяться, что возникнет интерес к подобным направлениям исследований.
В 2014 г. исполнилось ровно 25 лет, как первый из авторов начал заниматься центральными единицами целочисленных групповых колец. Почти с самого начала стало ясно, что это направление исследований часто приводит к таким вычислениям, которые невозможно проделать вручную, и приходилось их выполнять на компьютерах. В дальнейшем неоднократно производились различные вычисления по данной тематике, некоторые из которых вошли, как существенная часть в [2].
Далее под центральной единицей будет всегда (если не оговорено противное) пониматься центральная единица (центральный обратимый элемент) целочисленного группового кольца конечной группы. Среди задач, связанных с центральными единицами выделим задачу об нахождении рангов групп центральных единиц. Напомним, что под рангом ко-нечнопорожденной абелевой группы понимается число бесконечных прямых сомножителей при разложении группы в прямое произведение циклических подгрупп. Группы центральных единиц конечнопорождены, поэтому ранг является важной необходимой характеристикой группы центральных единиц, так как периодическая часть всегда тривиальна (равна
(-1) Х zт [10].
В этой работе будем рассматривать вопросы, связанные с вычислениями рангов групп центральных единиц. Статья организована следующим образом. В первом разделе приводятся формулы для вычисления рангов групп центральных единиц, как общие так и для
отдельных классов конечных групп. Во втором разделе приводятся результаты вычислений рангов в виде таблиц и графика и их анализ. Следует отметить, что невозможно привести полные результаты вычислений в связи с их экстремально большим объемами. В заключении приведена краткая сводка полученных результатов и указаны направления будущих исследований.
1. Формулы для вычисления рангов групп центральных единиц
Обозначения. Будем придерживаться следующих обозначений.
1) Зафиксируем конечную группу G.
2) Пусть х — характер группы G. Тогда:
а) deg х — его степень,
б) Q(x) — поле характера х,
в) dx = [Q(x) : Q] - степень Q(x) над Q,
г) Ix — множество всех характеров алгебраически сопряженных с х.
3) Ig — множество представителей классов алгебраически сопряженных неприводимых характеров.
4) Ir = {х е Ig | Q(х) с R}.
5) Ic = {х е Ig | Q(х) £ R}. Отсюда
IG = Ir U IC, IR П IC = 0. Следующий результат получен в [10].
Лемма 1. При введенных выше обозначениях для конечной группы G:
1) группа единиц кольца целых центра рациональной групповой алгебры изоморфна прямому произведению групп единиц колец целых полей Q^) для всех х е Ig;
2) группа центральных единиц целочисленного группового кольца и группа единиц кольца целых центра рациональной групповой алгебры имеют одинаковые ранги.
Как следствие, из этой леммы легко получается следующий результат.
Лемма 2. [формула для рангов] Ранг центральных единиц целочисленного группового кольца равен
£ dX + 2 Е dX - |IG|-
Это утверждение приведено в [2, с. 152, следствие 3.1] и нигде не опубликовано, поскольку считалось тривиальным.
На основе этой формулы были проведены вычисления рангов для всех групп, представленных в GAP [14] таблицами характеров (на 2000 г.), и это было в [2, Приложение Г.1, с. 323-336], но нигде не анонсировалось и не публиковалось.
1) Число таблиц характеров — 998.
2) Полученные значения рангов (записаны списком в виде пар, где первый элемент — значение ранга, а второй — число групп с данным значением ранга):
[ [ 0, 336 ], [ 1, 135 ], [ 2, 108 ], [ 3, 69 ], [ 4, 65 ], [ 5, 40 ], [ 6, 42 ], [ 7, 20 ], [ 8, 27 ], [ 9, 20 ],
[ 10, 11 ], [ 11, 14 ], [ 12, 4 ], [ 13, 12 ], [ 14, 11 ],
[ 15, 11 ], [ 16, 8 ], [ 17, 2 ], [ 18, 3 ], [ 19, 10 ],
[ 20, 7 ], [ 21, 1 ], [ 22, 1 ], [ 23, 3 ], [ 24, 1 ],
[25, 1 ], [ 27, 6 ], [ 28, 2 ], [ 29, 2 ], [31, 1 ],
[ 32, 4 ], [ 34, 2 ], [ 35, 3 ], [ 36, 2 ], [ 40, 3 ],
[ 42, 2 ], [ 43, 1 ], [ 45, 1 ], [ 59, 1 ], [ 69, 2 ],
[ 79, 1 ], [ 94, 1 ], [ 126, 1 ], [ 146, 1 ] ]
Позднее были найдены (с помощью В.Д. Мазурова) статьи [11] и [13], в которых были другие формулы для рангов.
Лемма 3. Пусть О — конечная группа и г — число классов сопряженности группы О (равносильно число неприводимых комплексных характеров). Тогда
г =1]
хе/с
Доказательство. Так как сопряженных с х точно dx, то r = xeiG dx.
□
Определение 1. Элементы a,b £ G называются Q-сопряженными, если существует такой x £ G, что x-1bx = as, где (s, |G|) = 1.
Определение 2. Q-класс с представителем a назовем множество {aG}Q всех Q-сопряженных с a, то есть
Н-1
{aG}Q = U {(aS)G} •
s=1(s,|G|) = 1
Обозначение. Число Q-классов группы G обозначим через uq. Лемма 4. Пусть G — конечная группа. Тогда uq = |1g|.
Доказательство. Так каждая орбита при действии Gal(Q(x)) дает одну простую компоненту Z(QG), то из теоремы Бермана-Витта [8, с. 265, 287] сразу следует uq = |/G|. □
Определение 3. Элементы a, b £ G называются R-сопряженными, если существует такой x £ G, что x-1bx = a±1.
Определение 4. R-класс с представителем a назовем множество {aG}« всех R-сопряженных с a, то есть
{aG}K = {aG}U{(a-1)G}. Обозначение. Число R-классов группы G обозначим через ur.
Определение 5. Класс сопряженности aG называется действительным = вещественным классом, если a-1 £ {aG}.
Обозначение. Число действительных классов группы G обозначим через hR.
Определение 6. Характер х называется действительным = вещественным, если поле характера Q(x) С R.
Лемма 5.
1) Ьк = Ехе1ж Лх,
2) если с число классов сопряженности {а°} с условием {а°} = {(а-1)с}, то
Г г = Ьк + 2с [пщ, = Ьк + с
Доказательство. Так как сопряженных с х точно йх, то Ьк = ^хе1ж йх.
Используя лемму 3 и первое утверждение, получим второе. □
Обозначение. Обозначим через Тъ ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы С.
Теперь по лемме 2
Отсюда, очевидно, имеем:
Тъ = ^ Лх + 2 I] Лх - |/с|-
Тъ = Лх + 2 ^ (1х - |1с|.
22
Подставляя в приведенную выше формулу значения
£ ^ Лх, 11а| х£1а х€/к
из лемм 3, 4 и 5, мы получим
11, 1 ,
Тъ = 2г + 2Ьк - п< = 2 (г + Ьк - 2п<).
Это и есть формула Риттера и Сегала из [13]. Из системы в лемме 5 имеем
с = г - пк, Ьк = пк - с = пк - Т + пк = 2пк - Т.
Подставим выражение для Ьк в формулу Риттера и Сегала и получим
1
Тъ = 2 (г + 2пк - Т - 2п<) = пк - п<. Это и есть формула Ферраза [11].
Замечание 1. Таким образом, формулы из [11] и [13] достаточно просто выводятся из леммы 2.
Подведем итог в виде теоремы.
Теорема. Пусть С — конечная группа. При сохранении введенных ранее обозначений ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы С может вычислен по одной из следующих формул:
74 Вестник ЮУрГУ. Серия «Вычислительная математика и информатика»
!) Y^ dx + dx — |Ig| = ^2 dx + dx -I/GI> (фоРмУла из [2])
2) nR — uq, (формула из [11])
3) 1 (r + — 2uq) . (формула из [13])
Приведем, как следствия, формулы для рангов для некоторых классов групп. Однако следует отметить, что в действительности следствия 1-5 каждый раз получались без применения каких-либо общих формул. Исключение составляет последнее следствие 6, полученное по формуле из [11].
Обозначение. Для натурального числа и пусть т(n) — количество его натуральных делителей.
Следствие 1. [Алеев, [1]] Ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы L2(2n) равен
2n + 1 — т (2n — 1) — т (2n + 1).
Следствие 2. [Алеев—Ишечкина, [3]] Пусть q = 22n+1, n ^ 1, m+ = q+1+2r, m_ = q+1 —2r, где r = 2n = \f2.. Тогда ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Sz(q) равен
q + 2 — т (m+) — т (m_) — т (q — 1).
Следствие 3. [Алеев—Митина, [4]] Ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGL2(q), q нечетно, равен
q + 2 — т (q — 1) — т (q + 1).
Следствие 4. [Алеев—Перавина, [5]] Ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы L2(q), q нечетно, равен
— т (i—i 1 — т (i±i' 1+1,
при q = 1 (mod 4) и q — не квадрат,
q + 3 — ^q — ^ — Т f q + 1
в остальных случаях.
Следствие 5. [Алеев, [10]] Пусть G — циклическая группа порядка n. Тогда ранг группы центральных целочисленного группового кольца группы G равен
щ / ч __ | n++1 — т(n) для нечетного n,
2
— т (n) + 1 =
' 2 — т(n) + 1 для четного n.
Следствие 6. [Шумакова, [9]] Пусть О — метациклическая группа Фробениуса с циклическим ядром порядка т и циклическим дополнением порядка п (п делит п). Тогда ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы О равен
( гш n\ m — 1 гш . .
(1+.2. — 2) — — .2. +2 — T(m) — Т (П) =
Щ-1 + +2 — т(m) — т(n) для нечетного n, Щ-1 + П +2 — т(m) — т(n) + 1 для четного n.
2. Вычисления рангов
В этом разделе приведем результаты вычислений рангов для случаев, описанных в следствиях 1-6. Вычисления производились в системе GAP [12] с привлечением дополнительных средств для анализа полученных результатов.
Во всех следствиях 1-6 есть «неинтересная» часть, вычисляемая легко (как правило, это линейная функция) по параметрам группы (например, для следствия 3 это q + 2), и «интересная» часть, связанная с нахождением количества делителей некоторых чисел. Интерес ко второй части побуждается тем, что количество делителей числа напрямую не связано с данным числом. А именно, если n = p^1 • • • Pfcfc — разложение числа в произведение степеней различных простых чисел (каноническое разложение), то количество делителей
т(n) = (а + 1) • • • (afc + 1).
Однако следует отметить, что этот подход приводит к задаче факторизации натуральных чисел, которая наряду с задачей дискретного логарифма, является (как общепризнано) очень трудной1.
Соглашение. Мы сосредоточимся на вычислениях, связанных с количеством делителей.
2.1. Степени 2
В этом пункте мы рассмотрим случаи для групп ¿2(2") и 5^(22га+1). Так как согласно леммам 1 и 2 вычисления зависят от 2", то вполне понятно, что здесь можно вычислить небольшое число возможностей для п.
2.1.1. Группы ¿2(2")
Согласно следствию 1 нужно вычислить сумму s(n) = т(2" — 1)+т(2" + 1) для натуральных n, что было проделано для n от 1 до 102. Приведем код программы при интерактивном вводе в GAPe на рис. 1.
Последнее сообщение в программе
gap> Tau(2~103+1);
#I FactorsInt: used the following factor(s) which are probably primes: #I 8142767081771726171
означает, что появляется трудность с факторизацией 2103 + 1. Табл. 1 показывает зависимость между n и s(n).
1 Трудность задач факторизации и дискретного логарифма широко используется для целей защиты информации, например, [6] и [7]
# Задание списка
gap> t: = []; [ ]
# Заполнение списка
# Tau - встроенная функция GAP для подсчета числа делителей gap> for n in [1..102] do
> i:=2~n;
> tm1:=Tau(i-1);
> tp1:=Tau(i+1);
> Add(t,[tm1+tp1,n]);
> od;
# Сортировка gap> Sort(t);
gap> for i in [1..Length(t)] do
# Запись списка в файл
> AppendTo("Tau2p.txt",t[i],"\n");
> od;
# Возникновение трудности для 103 gap> Tau(2~103+1);
#I FactorsInt: used the following factor(s) which are probably primes: #I 8142767081771726171
gap> quit;
Рис. 1. Нахождение s(n)
Таблица 1
Зависимость между n и s(n)
s(n) n s(n) n s(n) n s(n) n s(n) n
3 1 24 21, 22, 25, 26, 34, 38, 85 88 87 196 40 960 78
4 2 28 12, 27, 39 96 91, 98 208 42 1040 88
5 3 32 93 104 24 224 54, 75 2048 102
6 4, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61 36 32, 97 112 55 256 81 4624 60
8 11, 23,101 40 33, 57, 62, 69 128 45 264 56 5632 90
10 6, 8 48 18,35, 46 132 64 448 66 6152 96
12 9, 37, 41, 43, 49, 67, 79 52 20 136 44, 52 512 99 8284 72
14 10 64 74,82,86,95 140 68 516 92 8256 100
16 14, 29, 47, 53, 71, 73 68 28, 83 144 30, 76 528 36 9248 84
18 16,18 72 58, 65 160 63 608 70
20 15, 59 80 51, 77, 94 192 50 776 48, 80
Вычисление рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец...
2.1.2. Группы 5г(22п+1)
По следствию 2 нужно вычислить сумму
в1(п) = т(22п+1 - 2п+1 + 1) + т(22п+1 + 2п+1 + 1) + т(22п+1 + 1)
для натуральных п, что было проделано для таких п от 1 до 75, а при п > 75 возникают трудности с факторизацией.
На рис. 2 изображены точки с координатами (2п + 1,«1(п)), и становится ясно, что распределение этих точек весьма хаотично.
145 125 105
85
65
45
25
5 0
2п + 1
40 80 120 160 200 240 280 320
Рис. 2. Распределение 2п + 1 и 51(п)
„(1920,135)
„(1408,117) „(1856,105)
360
31 (п)
Табл. 2 показывает зависимость между п и «1(п).
Зависимость между п и «1(п)
Таблица 2
«1 (п) 2п + 1 «1(п) 2п + 1 «1(п) 2п + 1 «1(п) 2п + 1
6 3 24 25, 27, 49, 67 56 93 160 63
7 5 26 73 64 77 208 141
8 7 28 21,71,131 80 39, 51 224 115,119,143,147
10 11,13,17, 89 32 33 84 55 320 75
12 9,19 36 35 96 95,129,145 384 99
14 29, 31 40 59,121,139 104 87,133 1408 117
16 23,37,41, 53,137 42 151 112 91 1856 105
18 47, 79,107 48 57, 79 120 85 1920 135
20 43,83,101, 103,109,149 50 113 128 81
22 15, 61 52 97 144 45,111
2.2. Группы РСЬ2(д) и РБЬ2(д), д нечетно
Для построения таблиц в этом пункте 2.2. были найдены все нечетные примарные д, от 3 до 226 + 1 = 67108 865. Отметим, что таких д в указанном диапазоне будет 3 958 973.
2.2.1. Группы РСЬ2(д), д нечетно
По следствию 3 нужно вычислить сумму 82(5) = т(д — 1) + т(д + 1).
Таблица 3
Все значения з2(д)
3 < в2(д) < 140 5, 7, 8, [10..14], [16..18], [20..118], [120..124], 126,128, [129..134], [136..140],
142 < в2(д) < 176 [142..146], [148..156], [158..160], 162,164, [166..168], 170, [172..174], 176,
178 < Й2(д) < 206 178, [180..184], [186..190]2, [192..194], [196..198], 200, 202, [204..206],
208 < Й2(д) < 236 [208..212]2, [214..216], 218, [220..222], 224, 226, [228..230], [232..234], 236,
238 < Й2(д) < 298 238, [240..242], 244, [246..248], [250..252], [254..272]2, [274..276], [278..298]2,
300 < в2(д) < 332 [300..302], [304..306], [308..316]2, [318..320], [324..328]2, [330..332],
334 < в2(д) < 452 [334..4042], [408..410], [412..416]2, [420..432]4, [436..440]2, [444..452]4,
454 < в2(д) < 556 [454..466]2, 472, 480, [484..488]2, [492..498]2, [504..528]4, 536, 544, 548, 556,
564 < 82 (д) < 602 564, 568, 576, [580..584]2, 588, 592, 600, 608, 644, 648, 656, 664, 680, 688, 724.
Таблица 4
Наиболее часто встречающиеся значения ^(д)
«2(д) п т «2(д) п т «2(д) п т «2(д) п т
14 16310 29 40 308403 1429 72 155576 7561 124 13317 92399
16 24914 41 42 17644 2351 76 78813 10079 128 43542 55439
18 10376 97 44 191279 1259 80 182475 13441 132 12119 3792
20 93166 71 46 13364 1681 84 39349 13859 136 32259 65519
22 49578 179 48 222011 2161 88 118659 21839 144 26015 225721
24 85598 169 50 13790 4049 92 19624 20161 152 28784 180181
26 30585 181 52 137856 3079 96 81653 22679 160 22230 151201
28 211019 239 54 19996 3361 100 36320 30241 168 13041 166319
30 23038 883 56 305278 2521 104 92798 42841 176 14319 262079
32 231756 419 60 80262 4159 108 23665 45361 200 13471 332641
34 28133 701 64 218627 5041 112 82275 78121
36 131798 839 68 71811 5039 116 14719 81901
38 45983 881 70 18305 20789 120 31025 87359
В рассматриваемом диапазоне 82 (д) изменяется от 5 для 3 до 724 для 61261199 и 64864799, и принимает 339 различных значений. Мы ограничились двумя таблицами, в первой из которых (табл. 3) указаны все возможные значения 82(д) (использованы обозначения [г.._7] для идущих подряд чисел, [2к..21]2 для идущих подряд четных чисел и [4т..4п]4
для идущих подряд чисел, делящихся на 4), а во второй (табл. 4) указаны значения 82(5), которые встречаются п > 10 000 раз и т — наименьшее значение 5 с данным 82(5)..
2.2.2. Группы РБЬ2(д), д нечетно
По следствию 4 нужно вычислить сумму 83(5) = т((5 — 1)/2) + т((5 + 1)/2). Оказалось, что з3(д) изменяется от 3 для 3 до 602 для 64864799.
В табл. 5 будем использовать обозначения, указанные перед табл. 3.
Таблица 5
Все значения з3(д)
3 < 83 (5) < 230 [3..164], [166..178], [180..184], [186..210], [212..218]2, [219..222], [224..230],
232 < 83(5) < 266 232, 233, [234..240]2, [241..252], [254..256], 255, 256, [258..262], [264..266],
268 < 83(5) < 316 268, [272..290]2, 291, [292..296]2, 297, 298, [300..304], 306, 308, [312..316],
319 < 83(5) < 360 319, 320, [322..324], [326..332]2, 333, [334..344], 348, [352..356], 360,
362 < 83(5) < 411 [362..366]2, [368..380]4, [382..392]2, 393, [394..402]2, 403, 404, 408, 409, 411,
412 < 83(5) < 504 412, 416, 422, 424, 428, 434, 436, [440..448]4, [450..456]2, 482, 484, 488, 504,
506 < 83(5) < 602 506, 508, 512, [514..516], 520, 548, 578, 580, 584, 602.
В табл. 6 укажем значения 83(5), которые встречаются п > 10 000 раз и т — наименьшее значение д с данным 83(5).
Таблица 6
Наиболее часто встречающиеся значения 83(5)
п т п т п т п т
8 16310 23 30 33043 432 54 15938 13859 88 31424 63361
10 30821 41 32 297813 1439 56 155300 12601 96 13464 122401
12 127433 79 34 63696 2399 60 39323 21121 98 19449 92399
14 57706 112 36 219546 2161 64 80045 13441 100 41143 55439
16 217966 132 38 39161 2879 66 26062 15121 104 33946 65519
18 74281 421 40 299168 2521 68 70806 21839 112 14997 100799
20 326442 239 42 20454 6047 72 71257 36721 132 11599 166319
22 63282 479 44 115823 3359 74 13455 1812 148 10679 262079
24 333303 769 48 146398 5279 76 43984 20161
26 66910 719 50 45882 712 80 54321 35281
28 274405 312 52 139916 5039 84 22888 45361
Замечание 2. Возникает обманчивое впечатление, что 82(5) и 83(5) очень просто между собой связаны, например, пропорциональны. Однако на самом деле все сложнее. Пусть
q — 1
е = (-1) 2 . Тогда
q — е = 0 (mod 4) и q + е = 2 (mod 4). Отсюда q — е = 2ав и q + е = 2y, где а ^ 2, а в и Y нечетны.
Таблица 7
Значения т (n)
т (п) о(т(п)) т(т (п)) т (п) о(т (п)) т(т (п)) т (п) о(т (п)) т(т (п)) т (п) о(т (п)) т(т (п))
2 2063689 2 49 4 46656 125 4 810000 245 1 29160000
3 760 4 50 3715 6480 126 1557 100800 250 12 5670000
4 6090743 6 51 7 589824 128 63439 83160 252 750 1108800
5 21 16 52 1618 61440 130 29 1658880 256 3327 1081080
6 1093224 12 54 21339 6300 132 1006 322560 260 7 11612160
7 7 128 55 6 82944 135 155 176400 264 175 3548160
8 7417249 24 56 72561 6720 136 22 6881280 270 240 1940400
9 1553 36 57 4 2359296 140 1589 181440 280 303 1995840
10 198403 48 60 99135 5040 144 61851 110880 288 4740 1441440
11 3 210 63 205 14400 147 8 1166400 294 10 8164800
12 2679516 60 64 481777 7560 150 661 226800 297 2 11289600
13 2 212 65 4 331776 152 1 27525120 300 235 2494800
14 48545 384 66 1118 46080 153 2 14745600 308 1 26127360
15 479 144 68 99 983040 154 14 3732480 312 13 14192640
16 4963136 120 70 1532 25920 156 215 1290240 315 6 6350400
17 1 216 72 247434 10080 160 22594 1166400 320 1117 2162160
18 213193 180 75 85 32400 162 1005 352800 324 244 3880800
19 1 218 76 22 3932160 165 10 2073600 330 4 14515200
20 444480 240 77 3 746496 168 7437 221760 336 610 2882880
21 195 576 78 321 184320 170 1 26542080 350 1 22680000
22 3616 3072 80 134694 15120 175 5 3240000 352 21 10644480
23 1 222 81 292 44100 176 680 967680 360 558 3603600
24 2511201 360 84 20053 20160 180 5406 277200 378 24 7761600
25 22 1296 85 1 5308416 182 3 14929920 384 757 4324320
26 1045 12288 88 3465 107520 189 42 705600 392 5 17962560
27 1083 900 90 7272 25200 192 30885 332640 396 7 17740800
28 100471 960 91 1 2985984 195 3 8294400 400 72 6486480
30 61943 720 95 1 21233664 196 94 1632960 405 3 21344400
32 1996343 840 96 284560 27720 198 86 1612800 420 26 9979200
33 49 9216 98 138 233280 200 1565 498960 432 186 7207200
34 96 196608 99 34 230400 204 2 20643840 440 1 31933440
35 18 5184 100 4916 45360 208 94 3870720 448 47 86486400
36 395896 1260 102 25 2949120 210 223 907200 450 5 17463600
38 30 786432 104 727 430080 216 6094 554400 480 97 10810800
39 26 36864 105 57 129600 220 52 2903040 486 1 31046400
40 360258 1680 108 23187 50400 224 2671 665280 504 17 14414400
42 14591 2880 110 105 414720 225 24 1587600 512 17 17297280
44 6315 15350 112 22538 60480 231 1 18662400 540 2 25225200
45 569 3600 114 5 11796480 234 17 6451200 560 1 25945920
46 3 12582912 117 14 921600 240 7070 720720 576 10 21621600
48 1174467 2520 120 47554 55440 243 17 2822400 600 1 32432400
Поэтому
52(9) = Т(9 - 1) + т(9 + 1) = (а + 1)т(в) + 2т(в), вэ(9) = т((9 - 1)/2) + т((9 + 1)/2) = ат(в) + т(в).
2.3. Циклические группы и метациклические группы Фробениуса
По следствию 5 для циклических групп нужно подсчитать число делителей натуральных чисел, что было проделано в диапазоне от 2 до 225 = 33 554 432. Отметим, что число делителей изменяется от 2 (это в точности простые числа) до 600 для 32 432 400. В табл. 7 указаны возможные т(п), количество о(т(п)) таких т(п) в рассматриваемом диапазоне для п и минимальное значение п = т(т(п)) с данным т(п).
Для метациклических групп Фробениуса можно из вычислений т(п) можно получить по следствию 6 нужные значения т(т) + т(п), где п делит т — 1. Однако тут возникает слишком много возможностей для т и п, что приведет к огромным таблицам, которые просто невозможно разместить в рамках одной статьи.
Заключение
Результаты, приведенные в данной работе, дают удобные для вычислений формулы рангов групп центральных единиц, что позволяет анализировать поведение рангов при возрастании параметров, таких как порядок конечного поля для линейных групп или порядок группы для циклических или метациклических групп Фробениуса. Таблицы и график, приведенные во втором разделе, показывают характер изменений параметров рангов групп центральных единиц, связанных с числом делителей чисел, которые входят в формулы для рангов.
В дальнейшем на основе полученных данных планируется изучить асимптотическое поведение рангов групп центральных единиц.
Первый автор и его ученики получали существенную техподдержку от коллективов, возглавляемых Л.Б. Соколинским, что позволяет, наконец, выразить большую признательность ему за содействие.
Литература
1. Алеев, Р.Ж. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р5Х2(2га) / Р.Ж. Алеев // Сб. научн. трудов «Комбинат. и вычислит. методы в ма-тем.». — Омск: ОмГУ , 1999. — С. 1-19.
2. Алеев, Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дисс. .. .д-ра физ.-мат. наук. / Р.Ж. Алеев — Челябинск, 2000. — 355 с.
3. Алеев, Р.Ж. Теория групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп £,г(д) / Р.Ж. Алеев, Н.Б. Ишечкина // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2001. — Т.7, № 2. — С. 3-16.
4. Алеев, Р.Ж. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РОЬ(2,д), 9 нечетно / Р.Ж. Алеев, О.В. Митина // Сибирские Электронные Математические Известия. — 2008. — Т. 5. — С. 652-672.
5. Алеев, Р.Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL(2, q), q нечетно / Р.Ж. Алеев, О.В. Перавина // Вестник ЧелГУ, сер. «Математика. Механика». - 1999, № 1(4). - С. 5-15.
6. Василенко, О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. / О.Н. Василенко — М.: МЦНМО, 2006. — 336 с.
7. Глухов, М.М. Введение в теоретико-числовые методы в криптографии. / М.М. Глухов, И.А. Круглов, А.Б. Пичкур, А.В. Черемушкин — СПб.: Изд-во «Лань», 2011. — 400 с.
8. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр: Пер. с англ. / Ч. Кэртис, И. Райнер — М.: Наука, 1969. — 668 с.
9. Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец мета-циклических групп Фробениуса / Е.О. Шумакова // Сибирские Электронные Математические Известия. — 2008. — Т. 5. — С. 691-698.
10. Aleev, R. Z. Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Intern. Journ. Algebra and Computations. — 1994. — Vol. 4. — P. 309-358.
11. Ferraz, R. A. Simple components and central units in group rings / R.A. Ferraz // Journal of Algebra. — 2004. — Vol. 279, No. 1. — P. 91-203.
12. The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.7.4. — 2014. URL: http://www.gap-system.org (дата обращения: 04.05.2014).
13. Ritter, J. Trivial units in RG / J. Ritter, S.K. Sehgal // Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy. — 2005. — Vol. 105A, No. 1. — P. 25-39.
14. Schonert, M. GAP - Groups, Algorithms, and Programming / M. Schonert et al. — Lehrstuhl D fur Mathematik, Rheinisch Westfalische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997. URL: http://www.gap-system.org/Gap3 (дата обращения: 14.06.2012).
Алеев Рифхат Жалялович, д.ф.-м.н., профессор кафедры системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), aleevrz@susu.ac.ru.
Цыбина Наталья Андреевна, магистр кафедры системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), tsybinanatasha@gmail.com.
Поступила в редакцию 20 декабря 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University
Series "Computational Mathematics and Software Engineering"
2015, vol. 4, no. 1, pp. 71-85
DOI: 10.14529/cmse150107
THE COMPUTATION OF RANKS OF UNIT GROUPS OF INTEGRAL GROUP RINGS OF FINITE GROUPS
R.Zh. Aleev, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation) aleevrz@susu.ac.ru,
N.A. Tsybina, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation) tsybinanatasha@gmail.com
The study of central units (central invertible elements) of integral group rings is encountered to difficult calculations almost everywhere, both in the case of finding of individual central unit and in the case of describing of group of central elements. By virtue of torsion part of central unit group is trivial (up to sign those are elements of center group) it is more interesting to find data about torsion free part that is direct product infinite cyclic groups. The number of such infinite factors is the rank of central unit group. Therefore the ranks of central unit groups of integral group rings of finite groups are the very important characteristic those groups. So that the computation ranks of central unit groups has big interest for study of central unit groups. In the paper we point out the formulas for computation of ranks in general case and some important particular cases. On the base of those formulas we compute the ranks in quite large ranges. We used computer algebra system GAP. The results are shown on tables and graph.
Keywords: group character, central unit, rank of Abelian group, system GAP.
References
1. Aleev R.Zh. Teoriya central'nyh edinic celochislennyh gruppovyh kolec grupp PSL2(2ra) [The theory of central units of integral goup rings of groups PSL2(2n)] // Sb. nauchn. trudov «Combinat. i vychislit. metody v matem.». Omsk: OmGU , 1999. P. 1-19.
2. Aleev R.Zh. Central'nye edinicy celochislennyh gruppovyh kolec konechnyh grupp [Central units of integral group rings of finite groups]: diss. ... d-ra fis.-mat. nauk. Chelyabinsk, 2000. 355 p.
3. Aleev R.Zh., Ishechkina N.B. A Theory of Central Unit Groups of Integral Group Rings of Groups Sz(q) // Proccedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. MAIK «Nauka/Interperiodica». 2001. P. 1-15.
4. Aleev R. Zh., Mitina O. V. Teorema razlozheniya and rangi central'nyh edinic celochislennyh gruppovyh kolec grupp PSL(2,q), q nechetno [The decomposition theorem and ranks of central unit groups of integer group rings of groups PGL2(q), q odd] // Siberian Electonic Mathematcal Reports. 2008. Vol. 5. P. 652-672
5. Aleev R.Zh., Peravina O.V. Rangi grupp central'nyh edinic celochislennyh gruppovyh kolec grupp PSL(2, q), q nechetno [The ranks central units of integral group rings of finite groups PSL(2,q), q odd] // Vest. ChelSU. ser. Mat. Mekh., 1999, No 1(4). P. 5-15.
6. Vasilenko O.N. Number-theoretic Algorithms in Cryptography. AMS, 2007. 243 p.
P.^. A.neeB, H.A. ^i6HHa
7. Glukhov M.M., Kruglov I.A., Pichkur A.B., Cheremushkin A.V. Vvedenie v teoretiko-chislovye metody kriptografii [Introduction to theoretical and numerical methods in cryptography]. Sankt-Peterburg: Lan', 2011. 400 p.
8. Curtis, Charles W.; Reiner, Irving, Representation theory of finite groups and associative algebras, Pure and Applied Mathematics, Vol. XI, New York-London, Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons, 1962. 703 p.
9. Shumakova E.O. Gruppy central'nyh edinic celochislennyh gruppovyh kolec metaciklicheskih grupp Frobeniusa [Central units in integral group rings for Frobenius metacyclic groups] // Siberian Electonic Mathematcal Reports. 2008. Vol. 5. C. 691-698.
10. Aleev R. Z. Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers // Intern. Journ. Algebra and Computations. 1994. Vol. 4. P. 309358.
11. Ferraz R. A. Simple components and central units in group rings // Journal of Algebra. 2004. Vol. 279, No. 1. P. 91-203.
12. The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.7.4. — 2014. URL: http://www.gap-system.org (accessed: 04.05.2014).
13. Ritter J., Sehgal S.K. Trivial units in RG // Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy. 2005. Vol. 105A, No 1. P. 25-39.
14. Schonert M. et al. GAP - Groups, Algorithms, and Programming // Lehrstuhl D fur Mathematik, Rheinisch Westfalische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997. URL: http://www.gap-system.org/Gap3 (accessed: 14.06.2012).
Received December 20, 2014-
