Нахождение единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 16и32 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 4- С. 30-55.

УДК 512.5

НАХОЖДЕНИЕ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП ПОРЯДКОВ 16 И 32

Р. Ж. Алеев1'2'", О. В. Митина1'26, Т. А. Ханенко1с

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "aleev@csu.ru; ьovm@csu.ru; ctanja_1110_94@mail.ru

В работе описываются группы единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 16 и 32. Это описание получено в виде прямого произведения подгрупп. Найдены порождающие одной из этих подгрупп для порядков 16 и 32.

Ключевые слова: групповое кольцо, единица группового кольца, циклическая группа, примитивный (первообразный) корень, след, характер.

Введение

В работе изучаются группы единиц (обратимых элементов) целочисленных групповых колец циклических 2-групп, т. е. группы порядков 2п, п = 4, 5,... Группа единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 2 и 4 тривиальна, для группы порядка 8 имеется её полное описание [1].

Получено описание групп единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 16 и 32 в виде разложения в прямое произведение подгрупп.

1. Основные понятия и определения

Пусть С = {е,д1, ...,д|с|-1} — конечная группа, оС и zС — групповые кольца над q и z соответственно:

zС = {го + 2:^1 + ... + г|С|_1д|С|_1|^ е z}, оС = {ао + ад + ... + а|С|_1д|с|_1К' е о}.

Пусть V^С) — нормализованная группа единиц кольца zС, т. е. группа таких единиц, что при разложении этих единиц по элементам группы сумма всех коэффициентов равна 1.

Рассмотрим циклическую группу С = Сп = (ж|ж2" = 1) при п = 1,2,3,... Любой элемент и группового кольца КС группы С над кольцом К может быть представлен в виде

2П _1 2П_1

и = X] ^ = X ТкХ, .7=0 к=0

где коэффициенты в., 7к е К; 1, х,... , ж2"_1 — элементы группы С, е0, е1,... , е2п_1 — минимальные центральные идемпотенты комплексной групповой алгебры сС.

Обозначим через примитивный (первообразный) корень из 1 степени 2n. По таблице характеров для циклических групп коэффициенты в и Yk связаны следующими соотношениями:

2n-1 2n-1

Yk = 2n E Z-jk в и вк = £ ZjkYj. (*)

j=0 j=0

Согласно [2], круговое поле степени n — это поле q(Z2n), полученное присоединением к полю рациональных чисел q первообразного корня (2n. Кольцом целых 2-кругового поля q2n = q(Z2n) является

z[Z2n] = {f(Z2n)|f e z[t]}—

множество значений на (2n всех многочленов с целыми коэффициентами. Обозначим через U (z[Z2n ]) группу обратимых элементов (единиц) кольца z[Z2n ].

Пусть а = cos 2г + i sin 2п, q(a) — соответствующее круговое поле. Следом элемента из q(a) назовём q-линейную функцию

tr : q(a) ^ q,

определённую следующим правилом. Для корней из 1 степени 2n положим

Í2n-1, k = 0, — 2n-1, k = 2n-1, 0 в остальных случаях.

Для произвольного числа z e q(a) след определяется по линейности.

Для числа a e {1, 2,... 2n — 1} определим отображение х« группы G = (ж)

X« : G ^ (а)

где для любого j e {1, 2,... 2n — 1}

X«(xj) = aaj.

Такие отображения называются характерами (точнее, неприводимыми характерами) группы G.

След элемента в общем случае можно определить ещё таким образом. Пусть F — расширение поля P (обозначается F/P), тогда для произвольного элемента Л e F след trF/P(Л) = ^CTeGa[(Fp) 0"(А). Нормой элемента Л e F назовём

nf/p (Л) = П а(Л),

CT€Gal(F, P)

где Gal(F, P) — группа Галуа поля F.

Для любого целого j будем использовать следующие обозначения:

Sj = aj + a-j, tj = 1 + Sj + s2j = 1 + aj + a-j + a2j + a-2j.

Положим также для удобства m = 2n-3, тогда 2n = 8m.

Лемма 1. Для любого натурального v ^ 2 и любого р e z[Z2v]

trq2v (р) = 0 (mod 2v-1).

Доказательство. Так как

2v-1-1 р = е bj ,

j=0

где {bo,..., b2«-i-i} С z, то trq2v (р) = 2v-1bo = 0 (mod 2v-1). □

Лемма 2. Для любого элемента u = k=-1 Ykxk группового кольца z(x) коэффициенты Yk для k G {0,1, 2, 3,..., 8m — 1} удовлетворяют условию

Yk = 8m ^ + E (a-k2«02«)

1 I n-3

8m ( 1 + (—1)k+ trQ4 (i-k02m) + E ^^02«)

1 ( n-3

= 8m 1 + (—1)kв4™ + trQ4 (i-k02m) + E ^2„-« ^^02«) +

V 1=2

+ trQ4m (a-2k02) + trQgm (a-k01)

В частности,

1 ( n-1

yo = 8m 1 + E trQ2n-« (02«) \ 1=0 1 ( n-3

= 8m 1 + 04m + trQ4 (02m) + E trQ2"-« (02« ) + (02) + trQsm (0O ) , \ 1=2 1 ( n-1

Y4m = 8- U + E trQ2n-« (a-4m"«02«) V 1=0 1 ( 3

1 + 04m + trQ4 (02m) + E trQ2n-« (02« ) + trQm (02) — trQsm (01)

8m

V 1=2 1 ( n-1

1 ^ + E trQ2n-« (a-2m"«02«)

Y2m = ^ 1^2^trQ2n-« 1=0

n— 3

8m ( 1 + 04m + trQ4 (02m) + E (02« ) — (02) — trQsm (i01)

1=2

Доказательство. Так как рассматриваются единицы только из группы V^С), то

в0 = 1. По лемме 1.46 из [1] для любого к е {0,1, 2, 3,..., 8т—1} получим требуемое.

□

Предложение 1. Пусть и — элемент конечного порядка в группе V(Ъ(х)). Тогда и е (х). Если

8т_1 8т_ 1

и = хк = Е х7 = Е в7 е7 ,

. =о . =о

то для любого ] е {0,1,..., 2п — 1}

{1 для ] = к, ^ 7к

в. = 7.

0 в остальных случаях,

Иными словами, и = хк = Пп=о их2\ (ак1). В частности, в = ак и в = 1 тогда и только тогда, когда и = 1.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 3 приложения 1 в [1]. □

2. Ограничения на выбор

Предложение 2. Не ограничивая общности, можно выбрать коэффициент в1 € и(Ъ[а + а-1]) С К и, более того,

2m-1 j=i

в = «о + / «j (aj + a j),

где а^ € Ъ для всех {0,1,..., 2т — 1}, причём а0 нечётно.

Доказательство. Пусть К — группа единиц кольца целых поля , тогда в € и(ъ[а]) = (а) х К и можно считать, что К С и(ъ[а + а-1]) С к. Умножив исходную единицу на подходящую степень х, по предложению 1 получим, что в1 € К. Тогда

2m-1

У", «( j=1

в1 = «0 + / «j (aj + a j).

Среди коэффициентов {a0, a1,..., a4m-1} обязательно есть нечётное, иначе норма в1 не смогла бы быть равной ±1. Кроме того, при нахождении нормы получим

2m 1

число а0 и произведения вида

b(aj1 + a-j1) ■ ... ■ (ajk + a-jk), где b G z.

Каждое такое произведение не может дать 1, поскольку при перемножении двух членов получается

. .. , f±(a2j + a-2j + 2) при j = ±1 (mod 4m),

(aj + a-j)(al + a-1) = < . . ,

| (aj+l + a-j-1) + (aj-1 + a-j+l) при j ф ±1 (mod 4m).

Отсюда по модулю 2 для нормы «0m-1 = 1(mod 2). Следовательно, а0 нечётно. □ Лемма 3. Пусть

2m-1

в1 = a0 + ^^ aj (aj + a-j), j=1

где коэффициенты aj G z для всех j G {0,1,..., 2m — 1}, причём a0 нечётно. Тогда для любого k G {0,1,..., 4m — 1}

trQsm (a k A) = <

4ma0 при k = 0,

0 при k = 2m,

4mak при k G {1, 2,..., 2m — 1},

k —4ma4m-k при k G {2m + 1, 2m + 2,..., 4m — 1}.

Доказательство. Ясно, что, как в лемме 1, trQgm (в1) = 4ma0. Для k = 2m имеем

—k

a k = — г и

2m 1 2m 1

a-2m51 = a-2m «0 + «j(aj + a-j И = «0a-2m + £ «j(aj-2m + a-j-2m).

j=1 / j=1

Так как для любого j G {0,1,... , 2m — 1} выполняется ±j ф 2m (mod 4m), то

trQ8m (a-2m^1) = 0.

Пусть k G {1, 2,... , 2m — 1}, тогда

(2т- 1 \ 2т-1

ао + £ а, (а + а-) I = аоа-к + £ а, (а-7-к + а-к) = ¿=1 / ,=1

2т-1

= аоа-к + ак(1 + а-2к) + £ а,-(а^-к + а-к).

,=1

,=к

Поэтому (а-к= 4так.

Пусть к € {2т+1, 2т+2,..., 4т—1}, тогда к = 2т+к', где к' € {1, 2,..., 2т—1},

_ - к _ 2т-к' _ „8т-2т-к' _ 6т-к' _ „2т-к'

а = а = а = а = —а .

Так как 2т — к' € {1, 2,..., 2т — 1}, то 1г(8т (а-кв^ = —4та2т-к'. Подставив к' = к — 2т, получим требуемое. □

Лемма 4. Для любого к € {0,1,..., 4т — 1} коэффициент 7к — целое число тогда и только тогда, когда 7к+4т — целое число. Более точно

7к+4т = 7к — ^ (а-кв1)) и 4т ^Г(8т (^'^в1)) € ъ

в частности

74т = 7о — ^Г(8т (в1)) .

Также если

2т-1

в1 = ао + ^^ а, (а-7 + а-), ,=1

где коэффициенты а, € ъ для всех € {0,1,..., 2т — 1}, причём ао нечётно, то для любого к € {0,1,..., 4т — 1}

ао при к = 0,

0 при к = 2т,

7к+4т = 7к — ; п о о п

ак при к € {1, 2,..., 2т — 1},

, —а4т-к при к € {2т + 1, 2т + 2,..., 4т — 1}.

В частности

74т = 7о — ао и поэтому разной четности,

7бт 72т.

Доказательство. В самом деле, по лемме 2

1 / п-1

7к = 8т 1 + £ (а-к2 в*) + (а-кв1)

г=1

и

7к+4т = 8т (1 + £ ^ (а_(к+4т)-2гв*) + (а_(к+4т)в1)

п_ 1

1 ' ' ( -к-2« -4т-21 о \ , , А„-к„ -4т

1 + £ (а_к'21 а_4т'21 в*) + (а_ка_4тв1)

1=1

п— 1

1 + £ ^ (а_8т'2г-1 а_к'2в*) + (—а_кв1)

1=1

п— 1 \

1 + £ (а_к'2гв*) — (а_квО .

Отсюда

7к — 7к+4т = 8т (2^8т (а кв1)) = 4т (^8т кв1)) .

По лемме 1 это целое число, что и требуется. Остальное следует из леммы 3. □

3. Три подгруппы группы V(ЖС)

Для каждого числа I е {0,1,... , п—1} отображение

: V(ЖС) ^ и(Ж[а21 ]) С ,

определённое правилом

(2П_1 \

£ в7 . = в21,

является гомоморфизмом групп. Определим подмножество ^г(С) группы V(ЖС) следующим образом:

п-1

^г(С) = р| ker ^. 1=1

Иными словами,

2П_1

в2г = 1 для любого I е {1, 2,... , п — 1} > . Замечание 1. Из алгебраической сопряжённости следует, что

в2к = 1 для любого к е {1, 2,..., 4т — 1}

■ 2П_1

^г(С) = { £ взе. е V(жС)

7=о

!8т_1

£ взе. е V(ЖС)

.=о

Лемма 5. Множество ^г(С) — подгруппа без кручения в группе V(ЖС).

Доказательство. Множество ^г(С) является пересечением подгрупп, следовательно, само является подгруппой. Из предложения 1 следует, что эта подгруппа без кручения. □

Определим подмножество Оп(С) группы Vследующим образом:

Оп(С) = кег <£0.

Иными словами,

8т-1

Оп(С)

£ в.в. е VДО)

.7=0

в1

1

в2к+1 = 1 для любого к е {0,1,..., 4т — 1} > .

Замечание 2. Из алгебраической сопряжённости следует, что

!8т-1

£ в.в. е VДО)

7=0

Лемма 6. Множество Оп(С) — подгруппа без кручения в V^С).

Доказательство. Множество Оп(С) является ядром гомоморфизма, следовательно, является подгруппой. Из предложения 1 следует, что эта подгруппа без кручения. □

Рассмотрим идеал 2zG

8т-1

2 £ 4 X

к=0

{¿0, ¿1, . . . , ¿8т-1} С ^ .

Пусть V : zG ^ zG/2zG — естественный кольцевой гомоморфизм zG на фактор-кольцо zG/2zG. Ограничение V на V^С) даёт гомоморфизм групп

V : VДО) ^ иДО^С).

Определим группу ТЦС) = кег V = (1 + 2zG) П VДО).

Лемма 7. Множество Ти^) является подгруппой группы V(zG) без кручения индекса, делящего 28т-1.

Доказательство. По определению Ти^) и предложению 1 получим, что Ти^) является группой без кручения.

Рассмотрим элемент а = а + 2zG фактор-кольца zG/2zG. Фактор-кольцо zG/2zG можно рассматривать как векторное пространство над полем из двух элементов Базисом этого векторного пространства является набор

(1.

X ... Х8т-1

При вычислениях по модулю 2 возведение в квадрат является гомоморфизмом, и поэтому для любого элемента фактор-кольца

8т-1

а = ^^ а.X7 (где а. е для каждого е {0 , 1 ,..., 8т — 1})

7=0

имеем

8т 1

а8т

£ е ^2.

.=0

Значит, множество

8т-1

£

.=0

8т-1

£

.=0

1 е К

является мультипликативной группой фактор-кольца ZG/2ZG и эта группа имеет порядок ^ = 28т-1. □

.

4. Подгруппа H

Пусть H = Gn_1 = (ж2) — подгруппа группы G порядка 2n_1 ^ 8. Для определённости в качестве первообразного корня степени 4m из единицы выберем

2 2п . . 2п

а = cos--+ г sin-,

4m 4m

тогда (a2)m/2 = ^(1 + г), (a2)m = г, (a2)2m = -1.

Рассмотрим единицу из группы V (zH), для которой зафиксируем обозначения

4m_1 4m_1

£ в ej = £ Ykx2k. j=0 k=0

Лемма 8. Для любого k G {0,1, 2, 3,..., 4m — 1}

/ n_2

Yk =4m 1 + £ tr«2—, (a-2^,) ) =

l=0

1 / n_4

= 4m 1 + (—1)kв2m + trQ4 (i_kem) + £ trQ2n_, (a_2k'2iв21) +

V l=2

+ trQ2m (a_4kв2) + trQ4m (a_2kel)

В частности,

YO = ¡m ^ + в2т + trQ4 (вт) + £ ^n-l (в21 ) + trQ2m (в2) + trQ4m (в1)

Y2m = ^ ^ + в2т + trQ4 (вт) + £ (в21) + trQ2m (в2) — trQ4m (в1)

1 / n_4 Ym = 4m ( 1 + в2т + trQ4 (вт) + (в2,) — (в2) — ^ (гв1 ) ) .

Доказательство. Утверждение следует из леммы 2. □

Лемма 9. Для любого к е {0,1,..., 2т — 1} коэффициент 7к — целое число тогда и только тогда, когда тк+2т — целое число. Более точно

Тк+2т = 7к — ^т (^ (а_2кв1)) и ^т К4т (а_2кв1)) е Ж, в частности

72т = То — 2т (в1)) .

Также если

т_ 1

в1 = а0 + £ а. (а. + а_з), 3=1

где а. е Z для всех {0,1,...,т — 1}, причём а0 нечётно, то для любого к е {0,1,...,т — 1}

7к:+2т = 7к <

а0 при к = 0,

0 при к = т,

ак при к е {1, 2, ...,т — 1}, ^ —при к е {т +1,т + 2,..., 3т — 1},

в частности

72т = 70 — а0 и потому разной чётности,

7э т 7т.

Доказательство. Утверждение следует из леммы 4. □

Рассмотрим естественное вложение ZЯ в ZG

4т-1 4т-1 4т-1

х21+1.

1=0 1=0 1=0

£ ¿IX21 ^ £ ¿IX21 + £ 0 Пусть

4т-1 4т-1

и = £ в.в. = £ 7кх2к е V0Я).

.=0 к=0

Тогда считаем, что

8т-1 8т-1

и = £ в.в. = £ 7кхк е VДО), .=0 к=0

где для любого к е {0, 1 , . . . , 8т - 1}

{7; при к = 2/, 0 при к = 2/ + 1.

Надо найти соответствующие коэффициенты в. для всех ] е {0,1,..., 8т — 1}. Воспользуемся формулами (*) из первого раздела этой статьи:

8т-1 4т-1 4т-1 4т-1

в. = £ а.171 = £ а-21721 + £ а-(21+1)721+1 = £ (а2)^. 1=0 1=0 1=0 1=0

Пусть ] е {0,1,... , 4т — 1}, тогда

4т 1

в. = £(а2« = в..

1=0

Если р е {4т, 4т + 1,..., 8т — 1}, то р = 4т + где ] е {0,1,..., 4т — 1}. Коэффициенты

4т-1 4т-1 4т-1

вр = в4т+. = £ (а2)(4т+.)171 = £ (а24т1 (а2).1 ^ = £ (а2« = в.. 1=0 1=0 1=0

Таким образом, для любого ] е {0,1,... , 4т — 1} получим

в. = в4т+. = в..

В частности, в0 = в4т = в0 = 1.

5. Подгруппа Оп(С)

В этом разделе будем рассматривать только элементы из Оп^), т. е.

8т-1 8т-1

в. в. = ^^ 7кхк е V (zG) с условием в1 = 1. .=0 к=0

Наша цель состоит в следующем. Нужно найти условия для коэффициентов в2 = в2х ,. . . ,в4т = в2"- 1, которые обеспечивали бы целочисленность коэффициентов 7к для любого к е {0,1, 2, 3,..., 8т — 1}.

Лемма 10. Для любого к е {0,1, 2, 3,..., 8т — 1} Тк = 8^ (1 + £^ (а-"в21)) =

1 + (—1)'в4т + ^ (¿-*в2т) + £ ^^ (а-*2'в*)

ч 1=0

п-3

1 + (—1)'в4т + ^ (г-кв2т) + £ (а-** в*) +

1=2

+ (а-2кв2) + (а-к^ .

В частности,

^0 = 8т (в2г)

1=0

п— 3

8т ( 1 + в4т + ^4 (в2т) + £ ^2„-1 (в2 ) + (в2) + 4т

8т 6 + £ (а-4т2'в2.)

( 1=0

( 1 + в4т + ^4 (в2т) + £ (в2 1) + (в2) — 4т

8т ( 1=2 2 п- 1 (

1 ' - ( ,-2т-2г

1 + £ ^ (а-2т^21 в2 1)

8т

( 1=0

= 8т ( 1 + в4т + ^4 (в2т) + £ ^2„-1 (в2 ') — (в2) 8т 1=2 2

Доказательство. Утверждение следует из леммы 2. □

Лемма 11. Для любого к е {0,1,..., 4т — 1} коэффициент 7к — целое число тогда и только тогда, когда 7к+4т — целое число. Более точно

!7о — 1 при к = 0,

1 -I п

7к при к = 0.

Доказательство. Утверждение следует из леммы 2. □

74т

Лемма 12. При введённых выше обозначениях выполняются следующие утверждения:

1) в2т = 1, в частности в4т = 1;

т 1 т 1

2) X 74.+1 = X 74.+З = 0;

.=о .=о

т_ 1 т_ 1

3) X 74.+2 = 0 и X 74. = 1; .=0 .=0

4) 70 = 8т (4 + 4т + £ (в21)

5) для любого к е {1, 2,..., 2т — 1}

1 ( п_3

72к = 8т (2(1 — (—1)к) + £ (а_2к'2гв*)

в частности

п—3

72т = 8т ( 4 + X (в2г ) — Ш ) ;

6) для любого к е {0,1,..., 2т — 1}

п_3

72к+1 = 8т £ ^ (а^*.

8т ^ 1=1

Доказательство. 1) По формулам (*) из первого раздела

8т_1 2т_1 2т_1 2т_1

в2т = £ ?7? = £ г4*'74. + £ г^Чти + £ ¿.+27.+2 + .=0 .=0 .=0 .=0 2т_ 1

+ У^ г^+^.+з = [74т = 70 — 1 по лемме 11] = .=0

т_ 1 т_ 1 т_ 1 т_ 1

= 70 + 74т + 2 X 74. + 2г X 74.+1 — 2 X 74.+2 — 2г £ Т^'+З .=1 .=0 .=0 .=0

(т_1 т_1 \ /т_1 т_1

X 74. — X 74.+2 ) + 2г ( X 74.+1 — X 74.+3 .=1 .=0 ' \.=0 .=0

(т_1 т_1 \ /т_1 т_1 \

£ 74. — £ 74.+2 I + 2г ( £ 74.+1 — £ 74.+3 I . .=0 .=0 .=0 .=0

По лемме 10

т_ 1 т_ 1 т_ 1 т_ 1

X 74.+1 = X Т^^ поэтому в2т = — 1 + 2 ( X 74. — X Т.+2 .=0 .=0 .=0 .=0

Мы рассматриваем нормализованную группу единиц, поэтому

2т 1

1 = £ 72..

.=0

Отсюда

(m— 1 m— 1 \ /2m-1 m— 1

£ Y4j - £ Y4j+2 I = -1 + 2 1 £ Y2j - 2 £ 74j+2

j=0 j=0 J \ j=0 j=0

(m—1 \ m— 1

1 - 2 £ 74j+J =1 - 4 £ 74j+2 = 1 (mod 4). j=0 / j=0

Так как ^m e U(z[i]) = {1, i, -1, -i}, то ^m = 1.

2) По формулам (*) из первого раздела

8m—1 8m—1 /2m—1 2m—1

A> = 1 = £ jYj = £ Yj = Y0 + Y4m + 2 I £ Y21+1 + £ Y21

j=0 j=0 V 1=0 1=0

8m—1 8m—1 / 2m—1 2m—1

Am =1= £ a4mYj = £ (-1)4m Yj = Y0 + Y4m + 2 - £ Y21+1 + £ Y21

j=0 j=0 V ¿=0 1=0

Вычтем эти равенства, получим

2m—1 2m—1

в - ^4m = 0 = 4 £ Y21+1, т. е. £ Y2j+1 = 0, 1=0 j=0

и при доказательстве первого утверждения получили, что

m— 1 m— 1

£ Y4j+1 = £ Y4j+3. j=0 j=0

Поэтому

m— 1 m— 1

£ Y4j+1 = £ Y4j+3 = 0. j=0 j=0

3) Для элемента нормализованной группы единиц

2m— 1

£ * = 1,

.=0

а при доказательстве первого утверждения получили, что

(т-1 т-1 \

£ — £ 74.+Л . .=0 .=0 /

Снова используя доказательство первого утверждения, получим

т- 1 т- 1 т- 1 т- 1 т- 1

1 = £ Y4j — £ Y4j+2 = 1 — 2 £ Y4j+2 ^^ £ Т4?+2 = 0 и £ Y4j = 1. .=0 .=0 .=0 .=0 .=0

4)-6) Равенства получаются очевидным образом при подстановке в выражения из леммы 11 значения в2т =1. П

Пусть V е Оп(С) и

8т_1 8т_1 4т_1 4т_1

V = X 7кхк = X ве. = е0 + X е2.+1 + X в2.е2.. к=0 .=0 .=0 .= 1

Определим отображение

ф : Оп(С) ^ оН

следующим образом:

4т_1 4т_1

Ф(v) = е0 + £ в.е. = £ 7кх2к. .=1 к=0

Ясно, что ф^) е и(I(оН)).

Лемма 13. Отображение ф является инъективным гомоморфизмом группы Оп(С) в группу V(жН). Кроме того, для любого к е {0,1,..., 4т — 1}

!27о — 1 при к = 0, 27к при к = 0.

В частности, ф(Оп(С)) ^ Т^(Н).

Предложение 3. Отображение ф : Оп(С) ^ Т^(Н) является изоморфизмом групп.

6. Подгруппа Тш(С)

Рассмотрим единицу группы из Т^(С) < V(жС), для которой зафиксируем обозначения:

8т_ 1 8т_1

£ в. е. = 1 + 2 £ йхк. .=0 к=0

Лемма 14. При введённых выше обозначениях

1) в4т = 1; 4т 1

2) £ ¿.+1 = 0;

.=0 4т_1

3) £ ¿2. = 0;

.=0

п—3

4) ¿0 = — ^2 + ^ (в2т) + (в21 ^ — 1;

5) для любого к е {1, 2,..., 4т — 1}

1 / п_3

1 ' - '' -\кд ) , I „,-2к-2'

¿2к = — 2 + ^ ((—1)кв2т) + £ (а_2к'2'в2')

16т 1=0 2

6) для любого к е {0,1,..., 4т — 1}

1 ( п_3

¿2к+1 = ^ К4 ((—1)_к(—г)в2т) + £ ^ (а_(2к+1)-2'в2«)

Доказательство. 1) Имеем

8m—1 4m—1 4m—1

1 = 00 = 1 + 2 £ = 1 + 2 £ + 2 £ ¿2j+1,

j=0 j=0 j=0

8m—1 4m—1 4m—1

04m = £ (-1)jYj = 1 + 2 £ ¿2j - 2 £ ¿2j+1. j=0 j=0 j=0

Поэтому

4m— 1

1 - 04m = 4 £ ¿2j+1, j=0

а значит, 04m = 1 (mod 4). Так как 04m e {1, -1}, то 04m = 1. 2), 3) По доказательству первого пункта этой леммы

4m—1 4m—1

£ ^2j+1 = 0, значит, 1 = 00 = 04m = 1 + 2 £ . j=0 j=0

Поэтому

4m— 1 £ = 0.

j=0

4) В самом деле,

1 + 2^0 = 81- ( 1 + £ trQ2n-1 (&« ) ) = 8m ( 1 + 1 + trQ4 (&m) + £ trQ2n_i (в21)

V 1=0 /V 1=0

= 8m ( 2 + ^ (&m) + £ (в«)

V 1=0

5) Для любого k e {1, 2, 3,..., 2m - 1}

n— 1

^rQ2n-i

2i2k = 8m (1 + £tr«2._, («—«A«) j =

n—3

1 + 1 + trQ4 (i—2k02m) + £ trQ2n-i (a—2k •202«)

1=0 2

n—3

8m \ 2 + trQ4 ((-1)fc^2m) + £trQ2„-« (a—2k *02«) 8m 1=0

6) Для любого k e {0,1, 2, 3,..., 2m - 1}

= 8m (1 + £ t,rQ2"-' («—(2k+" ^ )) =

n—3

• — (2k+1,o ) — (2k+1, • 2 «

8m ( 1-1+trQ4 (i —(2k+1,^2m) + £ trQ2„_« (a —(2k+1) ^ 202«) g-m (trQ4 ((-1) —k ( i)02m) + £ trQ2„- (a—(2k+1) 2 02«)

□

С помощью несложных преобразований лемму 14 можно уточнить.

Лемма 15. Имеют место следующие равенства: 1) в2т = 1, в частности в4т = 1;

2т 1 2т 1

2) X ^4j+1 = X ^4j+3 = 0; j=o j=o

2m-1 2m-1

3) X ^4j+2 = X =0;

j=o j=o

n3

4) = 16m (4 + X>Q2n-« (02 «)) —1

5) для любого k G {1, 2,..., 4m — 1}

n- 3

¿2k = ^ ( 2(1 — (—1)k) + E trQ2„-« (a-2k2«02«) ) ;

6) для любого k G {0,1,..., 4m — 1}

n- 3 ( )

■W1 = I61m E («-(2k+1)'2« 02«).

1=o

7. Подгруппа Zr(G)

Напомним, что по определению X1(xj) = aj для любого j = 1, 2,... 2n — 1. Поэтому в силу локального соответствия Хигмана группа

Zr(G) = {uxi (A) G V(zG)| A G U(z[a])}

изоморфна подгруппе из U (z[a]) при отображении

uxi(A) ^ A.

Пусть A G q8m. Положим

8m-1

Uxi (A) = 1 + E HA) — 1)e(tf) = E Ykxk.

CT€GalQ8m k=o

Лемма 16. Пусть A G q8m, тогда для любого k G {0,1,..., 8m — 1}

1 + 8mtrQ8m(A — 1), если k = 0,

Yk = 1 8m ( )

8mtrQ8m ((A — 1)a-^ , если k =0. Лемма 17. Пусть 01 = A G U(z[a]), тогда

Uxi (A) G Zr(G) ^ ((A) -k) Л 4m (mod 8m)

I trQ8m (Aa 1 I 0

для любого k G {0,1,..., 8m — 1}.

Введём обозначение M = z[a + а 1] = z[a] П r и рассмотрим идеал

2m—1

2M = <| 2^ + £ ¿k(ак + а—k)

¿0

k=1

{<Mb . . . , ¿2m— 1} с z

в кольце М. Пусть отображение V : М ^ М/2М — естественный кольцевой гомоморфизм М на фактор-кольцо М/2М. Ограничение V на и(М) даёт гомоморфизм групп V : и (М) ^ и (М/2М). Определим группу

Ти(М) = кег V = (1 + 2М) П и(М).

Лемма 18. Группа Ти(М) является подгруппой группы и(М) индекса, делящего

2 2т- 1 .

Доказательство. Множество Ти(М) является ядром гомоморфизма, следовательно, это подгруппа. По предложению 2.19 из [1] |и(М/2М)| = 22т-1. □

Лемма 19. Пусть

2т-1

в1 = А = а0 + ^^ а. (а. + а-.), .=1

где коэффициенты а. е Z для всех ] е {0,1,..., 2т — 1}, причём а0 нечётно. Тогда

мХ1 (А) е ^ А е Ти(М).

Доказательство. Утверждение леммы следует из того, что для любого к е {0,1,..., 4т — 1}

trQ8m (а k в1) = <

'4ma0 при k = 0,

0 при k = 2m,

4mak при k e {1, 2,..., 2m - 1},

k -4ma4m—k при k e {2m + 1, 2m + 2,..., 4m - 1}.

□

Лемма 20. |U(M) : Tw(M)| ^ 2m = 2n—2.

Доказательство. Элемент t = 1 + (а + а—1) + (а2 + а—2) является единицей кольца z[a + а—1]. Ясно, что

t2 = 1 + (а2 + а—2) + (а4 + а—4) (mod 2). По индукции получим для любого натурального k

t2k = 1 + (а2' + а—2k) + (а2'+1 + а—) (mod 2).

В частности,

t2m = 1 + (а2m + а—2m) + (а4m + а—4m) = 1 + (i - i) + (-1 - 1) = -1 = 1 (mod 2).

Покажем от противного, что 2m — наименьшее натуральное число с таким свойством. Для l e {1, 2,... , 2m} найдём t1 = 1 (mod 2). Если l нечётно, то из взаимной

простоты l и 2m = 2n 2 следует, что t = 1 (mod 2). Но это не так, следовательно, l чётно. Тогда

tm = 1 + (am + a-m) + (a2m + a-2m) = 1 + ^^^ + i) + - i) 1 +

+ (i - i) = 1 + V2 (mod 2).

Отсюда G z[a], что невозможно, ибо ^ не является целым алгебраическим числом. □

Из работы [3] следует

Лемма 21. При введённых выше обозначениях V(ZG) = (ж) х Zr(G) х On(G).

Далее рассматриваются случаи групп порядков 16 и 32. В этих случаях группа круговых единиц [4] полей q(Zi6) и q(Z32) совпадает с группой всех единиц колец целых этих полей (это получается на основе результатов работ [5-9] с использованием [10-12]).

8. Подгруппа Zr(G) для группы порядка 16

Рассмотрим группу G = (ж|ж16 = 1) порядка 16. Лемма 22. Пусть 2п = 8m = 16, тогда n = 4,m =2 и для любого к G {0,1,..., 15}

Yk = j6(1 + Е ^ (а-*" 1 в2 «) ) = V 1=0

= -6 + (-1)'вв + trQ4 (i-k+ trQs (а-2'+ trQl6 (a-k£i) В частности,

Yo = 1"6 (1 + в + trQ4 (в4) + trQ8 (в2) + trQi6 (в1)) , Y8 = 1"6 (1 + в + trQ4 (в4) + trQ8 (в2) - trQi6 (в1)) ,

Y4 = 16 (1 + в + trQ4 (в4) - trQ8 (в2) - trQi6 (iei)) .

Доказательство. Утверждение следует из леммы 2. □

Лемма 23. Пусть 2п = 8m = 16, тогда n = 4, m =2 и для любого к G {0,1,..., 7} коэффициент Yk — целое число тогда и только тогда, когда Yk+8 — целое число. Более точно

Yfc+8 = Yfc - 1 (trQi6 (а-кei)) и 8 (trQi6 (а-к£i)) G z,

в частности y8 = Y0 - 8 (tr<Qi6 (вО). Также если

3

ei = a0 + aj (aj + a-j), j=i

где а, € Ъ для ] € {0,1, 2, 3}, причём а0 нечётно, то для к € {0,1,..., 7}

7й+8 = - <

а0 при к = 0,

0 при к = 4,

ак при к € {1, 2, 3},

к —а8-к при к €{5, 6, 7}.

В частности, 78 = 70 — а0 и поэтому разной чётности, ^12 = 74.

Доказательство. Утверждение следует из леммы 4. □

Лемма 24. Пусть 2п = 8т = 16, тогда п = 4, т = 2 и выполняются следующие утверждения:

1) в4 = 1, в8 = 1; 3 3

2) £ = £ ^+3 = 0; ,=0 ,=0

33

3) £ ^+2 = £ ¿4, = 0; ,=0 ,=0

4) ¿0 = з2 (4 + (в2) + (в1)) — 1;

5) для любого к € {1, 2,..., 7}

¿2к = 1 (2(1 — (—1)к) + ^8 ((—г)кв2) + (а-2к&)) ; 6) для любого к € {0,1,..., 7}

¿2к+1 = ^ (^8 (а-^1^) + (а-(2к+1)в1)) .

Доказательство. Утверждение следует из леммы 15. □

В работе [13] доказано следующее утверждение (теорема 1).

Лемма 25. Группа К круговых единиц поля 016 имеет вид

К = (а) х (¿1) х (¿?*2> х (Фб), где = 1 + а + а- + а2^' + .

С его помощью докажем следующую теорему.

Теорема 1. Для группы С = (х|х16 = 1) при введённых выше обозначениях имеем 2г(С) = (и1) х (и2) х (и3), где

щ = 42 + 38(х + х-1 — х7 — х-7) + 29(х2 + х-2 — х6 — х-6) +

+ 16(х3 + х-3 — хб — х-5) — 41х8, и2 = 4 — 2(х + х-1 — х7 — х-7) — 4(х2 + х-2 — х6 — х-6) +

+ 6(х3 + х-3 — хб — х-5) — 6х8, щ = 6 — 2(х + х-1 — х7 — х-7) — 4(х2 + х-2 — х6 — х-6) + + 5(х3 + х-3 — хб — х-5) — 5х8.

Доказательство. Пусть

15 15 и = £ в,е, = £ € ^г(С), ,=0 к=0

тогда u = uXl(А), где A G U(z[a]). По лемме 25 в качестве элемента А нужно рассматривать

Ai = = 83 + 76si + 58s2 + 32s3, A2 = ¿2*3 = 7 - 2si - 4s2 + 6S3, A3 = ¿3*5 = 11 - 4si - 8S2 + IOS3.

Элементы t1, ¿1*3, ¿3*5 были вычислены с помощью системы компьютерной алгебры GAP.

По лемме 16 для элемента А = ао + a1s1 + a2s2 + a3s3 G q16 получим

Yo = 1 + ^trQ16(ао - 1 + a1S1 + а2^2 + «3^3) = 1 + (ао - 1)/2; 16

а3 ■ 8,k = 1,k = 15, «2 ■ 8,k = 2,k = 14, а1 ■ 8, k = 3, k = 13,

trQi6 ((A-1)a )=<

_k 0, k = 4, k =12,

-а1 ■ 8, k = 5, k = 11,

Yfc = <

-а2 ■ 8, k = 6,k = 10, -«3 ■ 8, k = 7,k = 9, ^ - (ао - 1) ■ 8, k = 8, Подставим результаты вычислений в формулу

а3/2, k = 1, k = 15, «2/2, k = 2, k = 14, «1/2, k = 3, k = 13, 0, k = 4, k = 12, -«1/2,k = 5, k = 11, -«2/2,k = 6, k = 10, -«3/2, k = 7, k = 9, k-(«o - 1)/2, k = 8.

u

15

Y

fc=0

Yfc x

Для элемента А1 = ¿1 = 83 + 76в1 + 58з2 + 32^3 получим

и = 42 + 38(х+х-1—х7—х-7)+29(х2+х-2—х6—ж-6) + 16(ж3+ж-3—х5—х-5) - 41х8. Для А2 = = 7 — 2й1 — 4^2 + 6з3 получим элемент

и2 = 4 — 2(х + х-1 — х7 — х-7) — 4(х2 + х-2 — х6 — х-6) + 6(х3 + х-3 — х5 — х-5) — 6х8. Для А3 = ¿3¿5 = 11 — 4^1 — 8з2 + 10з3 получим

М3 = 6 — 2(х + х-1 — х7 — х-7) — 4(х2 + х-2 — х6 — х-6) + 5(х3 + х-3 — х5 — х-5) — 5х8.

□

9. Подгруппа Zr(G) для группы порядка 32

Рассмотрим группу О = (х|х32 = 1) порядка 32. Лемма 26. Пусть 2п = 8т = 32, тогда п = 5, т = 4 и для любого к Е {0,1,..., 31}

Yk = 3^1 + Y trq26-i (Vfc-2 1 в2 «) J = 3^1 + (-1)kв16 + trQ4 (i-fcft) +

1

32

+ trQg (a-4kft) + trQi6 (a-2kft) + trQ32 (a-fc£1) .

В частности,

70 = 32 (1 + в16 + ^4 (в8) + ^8 (в2 1 ) + ^16 (в2) + ^32 (в1)) , 716 = 32 (1 + в16 + ^ (в8) + ^Ой (в4) + (в2) — (в1)) ,

78 = 32 (1 + в16 + ^4 (в8) + ^ (в4) — (в2) — ^32 («в1)) .

Доказательство. Утверждение следует из леммы 2. □

Лемма 27. Пусть 2п = 8т = 32, тогда п = 5, т = 4 и для любого к € {0,1,..., 15} коэффициент 7к — целое число тогда и только тогда, когда 7к+16 — целое число. Более точно

7к+16 = 7к — 16 ^гОз2 (а-кА)) и 16 ("^г0^з2 (а-кА)) € Ъ в частности 716 = 70 — (^з2 (в1)). Также если

7

в1 = а0 + ^^ а, (а-7 + а-), ,=1

где а, € Ъ для ] € {0,1,..., 7}, причём а0 нечётно, то для к € {0,1,..., 15}

7&+16 = 7к — <

а0 при к = 0,

0 при к = 8,

ак при к € {1, 2,..., 7},

а16-к при к € {9,10,..., 15}.

В частности, 716 = 70 — а0 и поэтому разной чётности, 724 = 78.

Доказательство. Утверждение следует из леммы 4. □

Лемма 28. Пусть 2п = 8т = 32, тогда п = 5,т = 4 и выполняются следующие утверждения:

1) в8 = 1;

77

2) £ ¿4,+1 = £ ¿4,+3 = 0; ,=0 ,=0

77

3) £ ¿4,+2 = £ ¿4, =0; ,=0 ,=0

4) ¿0 = 64 (4 + ^8 (в4) + (в2) + ^ (в1)) — 1;

5) для любого к € {1, 2, . . . , 15}

¿2к=б4 (2(1 — (—1)к((—¿)*в4) + (а-4к£2) +^2 (а-2кА)) ;

6) для любого к € {0, 1, . . . , 15}

¿2к+1=б4 (^ (а-(2к+1)^ 4в4) (а-(2к+^ 2в2) (а-(2к+1)в1)) .

Доказательство. Утверждение следует из леммы 15. □

Далее воспользуемся следующим утверждением [13, теорема 2]. Лемма 29. Группа К круговых единиц поля 032 имеет вид

К = (а) х (¿1) х (¿з"1^) х (¿5"4п) х ) х (¿1*3) х (ф7) х (¿3*2), где *- = 1 + а-7 + а" + а2-7 + а"2-7 для любого целого

Теорема 2. Для группы С = (х|х16 = 1) при введённых выше обозначениях 2г(С) = (и1) х (щ2) х (щ3) х (щ4) х (щ5) х (щ6) х (щ7), где

щ1 = 19082+18536(х + х"1 - х15 - х"15) + 16982(х2 + х"2 - х14 - х"14)+ + 14640(х3 + х"3 - х13 - х"13) + 11805(х4 + х"4 - х12 - х"12) + +8768(х5 + х"5 - х11 - ж"11) + 5744(х6 + х"6 - х10 - х"10) + +2828(х7 + х"7 - х9 - х"9) - 19081х16, Щ2 = 4660+4536(х + х"1 - х15 - х"15) + 4267(х2 + х"2 - х14 - х"14) + +3856(х3 + х"3 - х13 - х"13) + 3238(х4 + х"4 - х12 - х"12) + +2542(х5 + х"5 - х11 - х"11) + 1767(х6 + х"6 - х10 - х"10) + +874(х7 + х"7 - х9 - х"9) - 4359х16,

щ3 = 1370-478(х + х"1 - х15 - х"15) - 284(х2 + х"2 - х14- х"14) +

+ 1315(х3 + х"3 - х13 - х"13) - 708(х4 + х"4 - х12 - х"12)

-129(х5 + х"5 - х11 - -х"11)- Ь 1165(х6 + х"6 - х10 - х"10)

-950(х7 + х"7 - х9 - х"9) - 1369х16,

Щ4 = 250+225(х + х"1 - х15- х"15) + 173(х2 + х"2 - х14- х"14) +

+ 118(х3 + х"3 - х13 - х"13) + 60(х4 + х"4 - х12 - х"12) + + 10(х5 + х"5 - х11 - х"11) - 8(х6 + х"6 - х10 - х"10)--3(х7 + х"7 - х9 - х"9) - 249х16, щ5 = 3332-2734(х + х"1 - х15 - х"15) + 1228(х2 + х"2 - х14 - х"14) + +623(х3 + х"3 - х13 - х"13) - 2306(х4 + х"4 - х12 - х"12) + +3262(х5 + х"5 - х11 - х"11) - 3059(х6 + х"6 - х10 - х"10) +

+ 1796(х7 + х"7 - х9 - -х"9) - 3331х16,

щ6 = 3332-623(х + х"1 - х15- х"15) - 3059(х2 + х"2 - х14- х"14) +

+ 1796(х3 + х"3 - х13 - х"13) + 2306(х4 + х"4 - х12 - х"12)-

-2734(х5 + х"5 - х11 - х"11) - 1228(х6 + х"6 - х10 - х"10) +

+3262(х7 + х"7 - х9 - -х"9) - 3331х16,

Щ7 = 3332-1796(х + х"1 - х15 - -х"15) - 1228(х2 + х"2 - х14- -х"14)+

+3262(х3 + х"3 - х13 - х"13) - 2306(х4 + х"4 - х12 - х"12)-

-623(х5 + х"5 - х11 - - х"11) + 3059(х6 + х"6 - х10- -х"10)-

-2734(х7 + х"7 - х9 - х"9) - 3331х16.

Доказательство. Пусть элемент

31 31

и = Е в-е7 = Е ^хк е ^г(С), 7=0 к=0

тогда и = щХ1 (Л), где Л € и(ъ[а]). По лемме 29 в качестве элемента Л нужно рассматривать

Л1 = = 38163 + 37072^1 + 33964^2 + 29280^ + 23610^ + 17536^ + 11488^+ + 5656з7;

Л2 = ¿4*4 = 9319 + 9072^1 + 8534з2 + 7712з3 + 6476^ + 5084зб + 3534з6 + 1748^; Л3 = ¿6*2 = 2739 — 956^1 — 568^2 + 2630^3 — 1416^4 — 258^ + 2330^6 — 1900^; Л4 = = 499 + 450в1 + 346з2 + 236з3 + 120з4 + 20зб — 16з6 — 6з7;

Лб = ¿7*11 = 6663 — 5468^1 + 2456^2 + 1246^ — 4612^ + 6524^ — 6118^ + 3592^

Л6 5

¿7*9 = 6663 - 1246si - 6118s2 + 3592s3 + 4612s4 - 5468^5 - 2456se + 6524s7;

A7 = t7t13 = 6663 - 3592s1 - 2456s2 + 6524s3 - 4612s4 - 1246s5 + 6118s6 - 5468s7.

Элементы ¿1, ¿1*3, ¿3*5, ¿it2, ¿7tii, ¿7*9, ¿3t 13 были вычислены с помощью системы компьютерной алгебры GAP.

Для элемента Л = ао + a1 s1 + a2s2 + a3s3 + a4s4 + a5s5 + a6s7 + a7s7 G Q32 по лемме 16 получим

Yo = 1 + itro16 (ао - 1 + a1S1 + а2«2 + а3^3 + а4S4 + а5^5 + аб«7 + «7^7) = 1 + (ао - 1)/2; 16

trQ32 ((Л-1)a-k)

'а1 ■ 16, k =1, k = 31, а2 ■ 16, k = 2, k = 30, а3 ■ 16, k = 3, k = 29, «4 ■ 16, k = 4, k = 28, «5 ■ 16, k = 5, k = 27, а6 ■ 16, k = 6, k = 26, а7 ■ 16, k = 7, k = 25, 0, k = 8, k = 24, -«7 ■ 16, k = 9, k = 23, -«6 ■ 16, k = 10, k = 22, -а5 ■ 16, k = 11, k = 21, -«4 ■ 16, k = 12, k = 20, -«3 ■ 16, k = 13, k = 19, -«2 ■ 16, k = 14, k = 18, -«1 ■ 16, k = 15, k = 17, k-(«0 - 1) ■ 16, k = 16,

7fc=

«1/2, k = 1, k = 31, «2/2, k = 2, k = 30, «3/2, k = 3, k = 29, «4/2, k = 4, k = 28, «5/2, k = 5, k = 27, «6/2, k = 6, k = 26, «7/2, k = 7, k = 25, 0, k = 8, k = 24, -«7/2, k = 9, k = 23, 22, 21, 20, 19,

-«6/2, k = 10, k

-«5/2, k = 11, k

-«4/2, k =12, k

-«3/2, k = 13, k

-«2/2, k = 14, k = 18, -«1/2, k =15, k = 17,

[-(«o - 1)/2, k =16.

Подставим все вычисления в формулу u = ^2k=0 7^xk. Для элемента Л1=*1=38163+37072в1+33964в2+2928053+23610s4+17536s5+11488s6+5656s7

получим

u1 = 19082+18536(x + x-1 - x15 - x-15) + 16982(x2 + x-2 - x14 - x-14) + + 14640(x3 + x-3 - x13 - x-13) + 11805(x4 + x-4 - x12 - x-12) + +8768(x5 + x-5 - x11 - x-11) + 5744(x6 + x-6 - x10 - x-10) + +2828(x7 + x-7 - x9 - x-9) - 19081x16.

Далее аналогично

Л2 = ¿4*4 = 9319 + 9072^1 + 8534^2 + 7712^3 + 6476^ + 5084^ + 3534^6 + 1748^,

щ = 4660+4536(х + х-1 — х15 — х-15) + 4267(х2 + х-2 — х14 — х-14) + +3856(х3 + х-3 — х13 — х-13) + 3238(х4 + х-4 — х12 — х-12) + +2542(х5 + х-5 — х11 — ж-11) + 1767(х6 + х-6 — х10 — х-10) + +874(х7 + х-7 — х9 — х-9) — 4359х16,

Л3 = ¿6^2 = 2739 — 956^ — 568з2 + 2630з3 — 1416^ — 258^ + 2330в6 — 1900^,

и3 = 1370—478(х + х-1 — х15 — х-15) — 284(х2 + х-2 — х14 — х-14) + + 1315(х3 + х-3 — х13 — х-13) — 708(х4 + х-4 — х12 — х-12) —

— 129(х5 + х-5 — х11 — х-11) + 1165(х6 + х-6 — х10 — х-10) — —950(х7 + х-7 — х9 — х-9) — 1369х16,

Л4 = ф? = 499 + 450в1 + 346з2 + 236з3 + 120з4 + 20з5 — 16з6 — 6з7,

и4 = 250+225(х + х-1 — х15 — х-15) + 173(х2 + х-2 — х14 — х-14) + + 118(х3 + х-3 — х13 — х-13) + 60(х4 + х-4 — х12 — х-12)+ + 10(х5 + х-5 — х11 — х-11) — 8(х6 + х-6 — х10 — х-10 ) —

— 3(х7 + х-7 — х9 — х-9) — 249х16,

Л5 = ¿7^11 = 6663 — 5468^1 + 2456^2 + 1246^ — 4612^ + 6524^ — 6118^ + 3592^,

щ = 3332—2734(х + х-1 — х15 — х-15) + 1228(х2 + х-2 — х14 — х-14) + +623(х3 + х-3 — х13 — х-13) — 2306(х4 + х-4 — х12 — х-12) + +3262(х5 + х-5 — х11 — х-11) — 3059(х6 + х-6 — х10 — х-10) + + 1796(х7 + х-7 — х9 — х-9) — 3331х16,

Л6 = ¿7^9 = 6663 — 1246^1 — 6118^2 + 3592^3 + 4612^ — 5468^ — 2456^ + 6524^7,

и6 = 3332—623(х + х-1 — х15 — х-15) — 3059(х2 + х-2 — х14 — х-14) + + 1796(х3 + х-3 — х13 — х-13) + 2306(х4 + х-4 — х12 — х-12) —

— 2734(х5 + х-5 — х11 — х-11) — 1228(х6 + х-6 — х10 — х-10) + +3262(х7 + х-7 — х9 — х-9) — 3331х16,

Л7 = ¿7^13 = 6663 — 3592^1 — 2456^2 + 6524^3 — 4612^ — 1246^ + 6118^ — 5468^,

и 7 = 3332—1796(х + х-1 — х15 — х-15) — 1228(х2 + х-2 — х14 — х-14) + +3262(х3 + х-3 — х13 — х-13) — 2306(х4 + х-4 — х12 — х-12) — —623(х5 + х-5 — х11 — х-11) + 3059(х6 + х-6 — х10 — х-10) —

— 2734(х7 + х-7 — х9 — х-9) — 3331х16.

□

Заключение

Целью работы было описать группу единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 16 и 32. Это описание получено в виде разложения в прямое произведение подгрупп.

Для циклической группы С = Сп = (ж|ж2" = 1) обозначим через

2П —1 2П —1

к

и = £ в е7 = X ТкХ 7=0 к=0

элемент группового кольца ZС. Нормализованная группа V(2С) единиц кольца ZС распадается в прямое произведение подгрупп

VДО) = (ж) X (^г(С)) х (Оп(С)),

где

!2П —1

X в.е. е VДО)

7=0

!2П —1

X в.е. е VДО)

7=0

в2 г = 1 для любого I е {1, 2,... , п — 1} в1 = 1

Также найдены порождающие группы ^г(С) для порядков 16 и 32. Теорема 1. Пусть С = (ж|ж16 = 1) и Л7- = ж7 + ж-7 — ж8-7 — ж-(8-7), где = 1, 2, 3. Тогда ^г(С) = (и1) х (и2) х (и3), где

и1 = 42 + 38Л1 + 29Л2 + 16Л3 — 41ж8, и2 = 4 — 2Л1 — 4Л2 + 6Л3 — 6ж8, из = 6 — 2Л.1 — 4Л,2 + 5Лз — 5ж8.

Теорема 2. Пусть С = (ж|ж16 = 1) и Л7- = ж7 +ж-7 — ж16-7 — ж-(16-7), где= 1, 2,... 7. Тогда ^г(С) = (и1) х (и2) х (и3) х (и4) х (и5) х (и6) х (и7), где

и1 =19082 + 18536Л1 + 16982^ + 14640^3 + 11805^ + 8768Л, + 5744^ + 2828Л— — 19081ж16,

и2 =4660 + 4536Л1 + 4267Л2 + 3856^3 + 3238^ + 2542^, + 1767Лз + 874^ — 4359ж16, и3 =1370 — 478Л1 — 284Л2 + 1315^3 — 708^ — 129^ + 1165Лз — 950^7 — 1369ж16, и4 =250 + 225Л1 + 173Л2 + 118Л3 + 60Л4 + 10Л5 — 8Л6 — 3Л7 — 249ж16, и5 =3332 — 2734Л1 + 1228^ + 623^3 — 2306^ + 3262^, — 3059Лз + 1796^ — 3331ж16, и6 =3332 — 623Л1 — 3059Л2 + 1796^3 + 2306^ — 2734Л — 1228Лз + 3262^ — 3331ж16, и7 =3332 — 1796Л1 — 1228Л2 + 3262Л3 — 2306Л4 — 623Л5 + 3059Л6 — 2734Л7 — 3331ж16.

Список литературы

1. Алеев, Р. Ж!. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Р. Ж. Алеев. — Челябинск, 2000. — 355 с.

2. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр : пер. с англ. / Ч. Кэртис, И. Райнер. — М. : Наука, 1969. — 668 с.

3. Алеев, Р. Ж!. Индуктивный подход к описанию групп единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп / Р. Ж. Алеев, О. В. Митина, В. Н. Пузач // Мальцевские чтения: тез. докл. междунар. конф., посвящ. 75-летию Ю. Л. Ершова. Новосибирск, 3-7 мая 2015 г. — Новосибирск : Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2015. — С. 81.

4. Sinnott, W. Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of a cyclotomic field / W. Sinnott // Annals of Mathematics. — 1978. — Vol. 108, no. 1. — P. 107-134.

5. Miller, J. C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem / J. C. Miller // Acta Arithmetica. — 2014. — Vol. 164, no. 4. — P. 381397.

6. Miller, J. C. Class numbers of real cyclotomic fields of composite conductor / J. C. Miller // LMS J. of Computation and Mathematics. — 2014. — Vol. 17, special iss. A. — P. 404-417.

7. Van der Linden, F. J. Class number computations of real Abelian number fields / F. J. van der Linden // Mathematics of Computations. — 1982. — Vol. 39, no. 160. — P. 693-707.

8. Masley, J. M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields / J. M. Masley // Compositio Mathematica. — 1976. — Vol. 33, fasc. 2. — P. 179-186.

9. Fukuda, T. Weber's class number problem in the cyclotomic Z2-extension of Q / T. Fukuda, K. Komatsu // III Intern. J. of Number Theory. — 2011. — Vol. 7, no. 6. — P. 1627-1635.

10. Алеев, Р. Ж!. Порождающие группы круговых единиц / Р. Ж. Алеев, В. С. Такше-ева // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2008. — № 6 (107). Математика. Механика. Информатика. Вып. 10. — С. 121-129.

11. Bass, H. Generators and relations for cyclotomic units / H. Bass // Nagoya Mathematical J. — 1966. — Vol. 27, no. 2. — P. 401-407.

12. Виноградов, И. М. Основы теории чисел : учеб. пособие. — 12-е изд., стер. / И. М. Виноградов. — СПб. : Лань, 2009. — 176 с.

13. Алеев, Р. Ж!. Сравнение по модулю 2 круговых единиц в полях Q16 и Q32 / Р. Ж. Алеев, О. В. Митина, Е. А. Христенко // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 4. — С. 8-29.

Поступила в 'редакцию 21.10.2016 После переработки 07.11.2016

Сведения об авторах

Алеев Рифхат Ж^алялович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет; профессор кафедры системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: aleev@csu.ru.

Митина Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет; доцент кафедры прикладной математики и программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: ovm@csu.ru.

Ханенко Татьяна Александровна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: tanja_1110_94@mail.ru4@mail.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 4. P. 30-55.

FINDING OF UNITS FOR INTEGER GROUP RINGS OF ORDERS 16 AND 32 CYCLIC GROUPS

R.Zh. Aleev1'2'", O.V. Mitina1'2'6, T.A. Khanenko1c

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia

"aleev@csu.ru; bovm@csu.ru; ctanja_1110_94@mail.ru

The groups of integer group rings units for cyclic groups of orders 16 and 32 are described. This description is obtained as a direct product of their subgroups. Generators of one of the subgroups are found for orders 16 and 32.

Keywords: group ring, group ring unit, cyclic group, primitive root, track, character.

References

1. Aleev R.Zh. Tsentral'nye edinitsy tselochislennykh gruppovykh kolets konechnykh grupp [Central units of finite groups integral group rings. Thesis]. Chelyabinsk, 2000. 355 p. (In Russ.).

2. Curtis Ch.W., Reiner I. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Providence, Rhode Island, AMS Chelsea Publ., 2006. 689 p.

3. Aleev R.Zh., Mitina O.V., Puzach V.N. Induktivnyy podkhod k opisaniyu grupp edinits tselochislennykh gruppovykh kolets tsiklicheskikh 2-grupp [An inductive approach to the description of the units groups of units for integer group rings of cyclic 2-groups]. Abstracts of the International Conference "Mal'tsev meeting", dedicated to 75th anniversary of Yu.L. Ershov, May 3-7, 2015, Novosibirsk. Novosibirsk, 2015. P. 81. (In Russ.).

4. Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of a cyclotomic field. Annals of Mathematics, 1978, vol. 108, no. 1, pp. 107-134.

5. Miller J.C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem. Acta Arithmetica, 2014, vol. 164, no. 4, pp. 381-397.

6. Miller J.C. Class numbers of real cyclotomic fields of composite conductor. LMS Journal of Computation and Mathematics, 2014, vol. 17, special iss. A, pp. 404-417.

7. Van der Linden F. J. Class number computations of real Abelian number fields. Mathematics of Computations, 1982, vol. 39, no. 160, pp. 693-707.

8. Masley J.M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields. Compositio Mathematica, 1976, vol. 33, fasc. 2, pp. 179-186.

9. Fukuda T., Komatsu K. Weber's class number problem in the cyclotomic Z2-extension of Q. III International Journal of Number Theory, 2011, vol. 7, no. 6, pp. 1627-1635.

10. Aleev R.Zh., Taksheeva V.S. Porozhdayushchiye gruppy krugovykh edinits [Generators of the group of cyclotomic units]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2008, no. 6 (107), pp. 121-129. (In Russ.).

11. Bass H. Generators and relations for cyclotomic units. Nagoya Mathematical Journal, 1966, vol. 27, no. 2, pp. 401-407.

12. Vinogradov I.M. Osnovy teorii chisel [Fundamentals of number theory]. St. Petersburg, Lan' Publ., 2009. 176 p. (In Russ.).

13. Aleev R.Zh., Mitina O.V., Khristenko E.A. Sravneniye po modulyu 2 krugovykh yedinits v polyakh Q16 i Q32 [Congruence modulo 2 of circular units in the fields Q16 and Q32]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, iss. 4, pp. 8-29.

Accepted article received 21.10.2016

Corrections received 07.11.2016