CC BY
46
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 3. С. 253-275.
УДК 512.552.7 Б01: 10.24411/2500-0101-2018-13301
ЛОКАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ
ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ГРУППОВОГО КОЛЬЦА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ПОРЯДКА 64 ДЛЯ ХАРАКТЕРА С ПОЛЕМ ХАРАКТЕРА 064
Р. Ж. Алеев1'2'", О. В. Митина1'26, Т. А. Ханенко1с
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "aleev@csu.ru, ьovm@csu.ru, ctanja_1110_94@mail.ru
Работа посвящена исследованию единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 64. Группы единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 2 и 4 тривиальны, для порядка 8 эта группа хорошо известна, для циклической группы порядка 16 — описана ранее. Исследование единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 64 проводится в терминах локальных единиц, определяемых характерами циклической группы порядка 64 и единицами кольца целых кругового поля <Ц>64, полученного присоединением к полю рациональных чисел примитивного корня из 1 степени 64. Важнейшую роль среди локальных единиц играют единицы для характера с полем характера <Ц>64, поскольку они обеспечивают возможность индуктивного подхода к описанию групп единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп. Отметим, что ранее прямыми вычислениями авторы получили описание локальных единиц для характера с полем характера целочисленного группового кольца циклической группы порядка 32. Поэтому следующим естественным шагом является изучение локальных единиц для характера с полем характера <Ц>64 целочисленного группового кольца циклической группы порядка 64. Для достижения поставленных целей разработан новый подход, который может быть применён для групп единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп порядка, большего чем 64.
Ключевые слова: групповое кольцо, единица группового кольца, циклическая группа, круговое поле, целочисленное групповое кольцо.
Введение
Эта работа продолжает статьи [1-3], посвящённые изучению индуктивного подхода к описанию групп единиц целочисленных групповых колец циклических 2-групп.
В работе [4, Определение 1] для любого неприводимого характера х конечной группы О и любой единицы А кольца целых поля характера 0(х) введено понятие
Работа выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.A03.21.0011, и при частичной поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант Правительства РФ № 14.Z50.31.0020).
локальной единицы их(А), которая в общем случае является центральной единицей рациональной групповой алгебры ОС. Там же [4, Теорема 1] доказано, что в рассматриваемом случае найдётся такое натуральное число /, что их(А1) является центральной единицей целочисленного группового кольца ЖС. На основе этого результата с использованием теоремы 2 из [5] в доказательстве теоремы 3 из [4] показано, что группа центральных единиц целочисленного группового кольца ЖС состоит из произведений локальных единиц, которые определяются множеством представителей классов алгебраически сопряжённых характеров.
Применение указанных результатов в случае конечных циклических 2-групп даёт нам следующее. Пусть С = (ж) — циклическая группа порядка 2п, п Е N и С2п — примитивный (комплексный) корень из 1 степени 2п. Для любого ] Е {0,1,..., 2п — 1} определим комплексный неприводимый характер Хз группы С по правилу Хз) = С2™ для любого к Е {0,1,... , 2п — 1}. Ясно, что хо = 1с — главный характер. Из леммы 3 в [6] стандартными рассуждениями получим, что множеством представителей классов алгебраически сопряжённых характеров является множество 1гг(С, а/с) = {1с, Хъ Х2, Х4,... , Х^,... , Х2"-1} . Поэтому для любой единицы и целочисленного группового кольца ЖС имеем
п—1
и = и!с (во) Д иХ23 (^2*), «=0
где во Е {1, —1} и в2* — подходящая единица кольца целых поля характера х2®. Отметим, что О(х2*) = О(С2П) для всякого 5 Е {0,1,... , п — 1}. Любая нормализованная единица V целочисленного группового кольца ЖС имеет вид
п— 1
V = П иХ2* (в2* ), «=0
где в28 — подходящая единица кольца целых поля характера О(х2®) для всякого 5 Е {0,1,... , п — 1}.
Более точно. Пусть К — подполе поля комплексных чисел С и Ж — кольцо всех целых алгебраических чисел. Тогда обозначим через 1п1(К) = К П Ж — кольцо целых поля К, через Ип(1п1(К)) — группу единиц кольца Ш;(К), через У(ЖС) — нормализованную группу единиц кольца ЖС. В этих обозначениях получим, что
п— 1
У(ЖС) ^ П (их2* (в2*) | в2* Е ип(М(О(х2*)))).
«=0
С другой стороны, предложение 1 из [2] описывает периодическую часть группы У(ЖС). Также из этого результата следует, что множество
иХ23 (в2* ) Е У(ЖС) | в2* Е ип(1п1(О(х2* ))), 5 Е {1, . . . , п — 1}|
есть подгруппа без кручения группы У(ЖС). Отметим, что подгруппа Ш изоморфна подгруппе группы единиц группового кольца Ж (ж2), что позволяет применять индукцию. Оппонентом подгруппы Ш является подгруппа
Ш = (иХ1 (в1) | в1 Е ип(1п1(О(х1)))) ,
Ш
п— 1
П
.«=1
а произведение Ш х Ш является подгруппой конечного индекса группы У^О). Следует отметить, что для дальнейших приложений будет более удобной некоторая подгруппа У1 ^ Ш1, которую введём позднее, ибо её определение требует дополнительных понятий и обозначений.
Описание подгруппы Ш1 было получено в статьях [2] и [1] для циклических групп О порядков 16 и 32. В общем случае описание получилось весьма длинным и довольно запутанным. Следует указать, что в силу определения единицы иХ1 (в1) всё сводится к изучению свойств элемента Е Ип^п!^^))). Поэтому было решено рассмотреть как модель случай циклической группы порядка 64, когда можно реально проследить все существенные моменты, возникающие при изучении подгруппы Ш1 в общем случае.
Итак, в дальнейшем будет изучаться подгруппа Ш1 группы единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 64, фактически будет изучаться группа единиц Ип^[(64]).
Круговое поле, полученное присоединением , будем обозначать как )
или Q2n. Если циклическая группа О имеет порядок 64, то в качестве полей характеров будут круговые поля Q2fc для к ^ 6, причём может встретиться любое такое к.
1. Круговое поле
1.1. Общие сведения
Обозначение. Для удобства положим Z64 = а и, не ограничивая общности, можем считать, что
л 2п . . 2п
а = e 64 = cos--+ г sin —.
64 64
Тогда, в частности, а32 = -1, а16 = i, а8 = ^(1 + i). Хорошо известны следующие результаты.
Лемма 1. 1. Круговое поле 0(а) равно 0(а) = {f (а) | f е Q[31][t]} , где Q[31][t] -множество (точнее, подпространство) всех многочленов с рациональными коэффициентами степени не выше 31. Иными словами, элементы 1, а, а2,..., а31 образуют базис множества 0(а) как векторного пространства над полем рациональных чисел Q.
2. Группа Галуа Gal(Q64) кругового поля Q64, или, равносильно, группа автоморфизмов имеет порядок, равный степени расширения 0(а) над Q:
|Gal(Q64)| = [0(а): Q] = 32.
3. Более того, всякий автоморфизм а поля Q64 является расширением по линейности отображения
а : а м- ак для подходящего нечётного k е {1, 3,..., 63},
т. е. для любого элемента в е Q64
в = Ьз1а31 + ■ ■ ■ + М + bo, где {631,... A, bo} С Q
имеем
а(в) = Ь31а(а31) + ■ ■ ■ + ^а(а) + bo = Ь31а31к + ■ ■ ■ + Ь1ак + bo.
Таким образом, группа Галуа поля Q64 имеет вид
Gal(Q64) = {ak | ak(a) = ak, k G {1, 3,..., 63}} .
4. Кольцом целых кругового поля Q(a) = Q64 является кольцо
Z[a] = {f (a) | f G Z[31][t]} ,
где Z[31][t] — множество (точнее, конечно порождённая подгруппа) всех многочленов с целыми коэффициентами степени не выше 31.
5. Из пунктов 1 и 4 получим, что {1, a, a2,..., a31} — целый базис расширения Q(a)/Q.
Определение 1. Для любого натурального n множество
2Z[(2n] = {2р | р G Z[(2n]}
является идеалом в кольце Z[Z2n ]. Поэтому возникает сравнимость элементов кольца Z[(2n] по модулю этого идеала. Для краткости будем писать для элементов р,а G Z[(2"]
р = a (mod 2), если р = a (mod 2Z[(2n]), т. е. р G a + 2Z[(2n]. Замечание 1. В силу утверждения 5 леммы 1 имеем, что
2Z[a] = j 2 £ bjaj | bj G Z, j G {0,1,..., 31}
I j=0
В частности, получим, что для элемента b = 3=0 bjaj G Z[a] сравнение
b = 1 (mod 2)
выполняется тогда и только тогда, когда b0 — нечётное число, bj — чётное число для j G {1, 2,..., 31}.
1.2. Три полезных последовательности 1.2.1. Последовательность {sj}j€Z
Обозначение. Для любого целого j положим
i -in п .
Sj = aj + a j = 2 cos — j.
32
Замечание 2. Для любого целого j число Sj инвариантно относительно действия автоморфизма кругового поля, индуцированного отображением a i—> a-1, и, очевидно, состоит из действительных чисел, т.е. {sj}jEZ С R.
Свойства последовательности {sjизучены в лемме 2 работы [1], откуда для последующих применений извлечём очевидное, но весьма полезное следствие.
Лемма 2. Последовательность {sj}jeZ по модулю 2 периодична с периодом 32 и имеет следующие свойства.
1. s0 = s16 = 0 (mod 2), s8 = s24 = л/2 (mod 2).
2. Набор (s0, si,..., s32) симметричен относительно центра, т.е. для всех j G {0,1, 2,..., 16} s32-j = Sj (mod 2). Таким образом, по модулю 2 имеем следующие значения элементов последовательности Sj :
0 1 7 8 9 15 16 17 23 24 25 31 32
sj 0 Si S7 V2 S9 s15 0 s15 S9 V2 S7 Si 0
3. Для любых целых j и l Sj sl = + sl-j-, в частности, s2 = s2j (mod 2) и
= s?e = s2 = S24 = 0 (mod 2).
1.2.2. Последовательность {tj}j€Z
Обозначение. Для любого целого j положим
tj = 1 + sj + s2j.
Свойства последовательности {tj }jeZ изучены в лемме 3 работы [1], которая влечёт очевидное, но весьма полезное следствие.
Лемма 3. Последовательность {tj}j€Z по модулю 2 периодична с периодом 32 и имеет следующие свойства.
0. Для любого целого j имеем tj = 1+aj+a-j+a2j+a-2j = 1 + 2 cos 32j + 2 cos 32(2j).
1. t0 = tie = 1 (mod 2), t8 = t24 = 1 + V2 (mod 2).
2. t32-j = tj (mod 2) для любого j G {0,1, 2,..., 31}. Таким образом, по модулю 2 имеем следующие значения элементов последовательности tj :
0 1 7 8 9 15 16 17 23 24 31 32
1 ti t7 1+V2 t9 t15 1 t15 t9 1+V2 t1 1
3. Для любого целого j
t2 = t2j (mod 2), tg = t¡ = t16 = t24 = 1 (mod 2).
1.2.3. Последовательность {rj}j€Z
Обозначение. Для любого целого j положим rj = Sj + si6-j.
Замечание 3. Ясно, что
п п
rj = sj + si6-j =2 c°s —j +2 cos —(16 - j) =
п ( п п \ п п
= 2 cos — j + 2 cos---j =2 cos — j + 2 sin — j.
3Г V 2 32V 3Г 32
Лемма 4. Последовательность {rj}j€Z периодична с периодом 64. Кроме того,
отрезок (ro,..., r63) последовательности {rj}j€Z разбивается на части:
{r0 = 2} U Ro = (ri,..., r8 = 2^2,..., r^) , {ri6 = 2} U Ri = (rir,..., r24 = 0,..., rai), {r32 = -2} U R2 = (raa,... , r4o = -2 A ... , ^7) , {r48 = -2} U Ra = (r49,... , r56 = 0, ..., Г6З) .
Упорядоченные наборы R0, Ri, R2 и R3 имеют следующие свойства.
1. R2 = — Ro и R3 = — Ri.
2. Для любого целого числа ] г16+з = гз- — 2516—з = г—3.
3. Каждый из наборов Д0 и Д2 центрально симметричен, т. е. для любого к Е
Д = (г16А:+1, . . . , г8(2й+1) —1, г8(2й+1)2, г8(2й+1) —1, . . . , г16А:+1) .
Каждый из наборов Д и Д3 центрально антисимметричен, т. е. для любого к Е {1, 3}
Д = (г16&+1, . . . , г8(2й+1) — 1, 0, — г8(2й+1) —1, . . . , — г16А:+1) .
Доказательство. Из леммы 2 в [1] следует, что последовательность {гз-}зеЖ периодична с периодом 64.
Сначала вычислим г8& для к Е {0,1,..., 7, }. В самом деле, по лемме 2 из [1] получим равенства
Г0 = 50 + 516 = 2 + 0 = 2,
Г32 = 532 + 516 = —2 — 0 = —2,
Г16 = 516 + 50 = 0 + 2 = 2,
Г48 = 548 + 532 = 0 — 2 = —2,
Г8 = 58 + 58 = 258 = 2л/2,
Г24 = 524 + 58 = — ^ + л/2 = 0,
Г40 = 540 + 524 = 524 + 524 = —^ — л/2 = — 2Л/2, Г56 = 556 + 540 = 58 + 524 = л/2 — л/2 = 0.
Исследуем свойства наборов Д0, Д1, Д2 и Д3.
1. Рассмотрим произвольный элемент г из Д2 и Д3. Тогда найдётся такой номер ] Е {1, 2,... , 15} и {17,18,... , 31}, что г = гз+32. Поэтому из леммы 2 в [1] следует
г = 53+32 + 516—3—32 = —53 — 516—з = —гз Е Д2 и Д3.
2. Имеем
г16+3 = 516+з + 516—(16+3) = —5—32+(16+з) + 5—3 = 53 — 5—16+3 = 53 — 516—3 = г3 — 2516—з. Кроме того,
г—3 = 5—3 + 516+3 = 53 — 5—32+(16+3) + 5—3 = 53 — 5—16+3 = 53 — 516—3 = г3 — 2516—з.
3. В силу утверждения 1 достаточно рассмотреть Д0 и Д1. Пусть ] Е {1, 2,... , 7}. Элемент гз- Е Д0 в качестве центрально симметричного имеет элемент
г16—з = 516—з + 516—16+з = 516—з + 53 = г3.
Элемент г16+з Е Д1 в качестве центрально симметричного имеет элемент г32—3. Применим утверждение 2 и получим
г16+з = г3 — 2516—з,
г32—3 = г16+(16—3) = г16—3 — 2516—(16—3) = г3 — 253,
г16+з + г32—3 = гз — 2516—3 + гз — 253 = 2гз — 2гз = 0.
Рассмотрим последовательность {rj}j€Z, приведённую по модулю 2.
Лемма 5. Последовательность {rj}j€Z по модулю 2 периодична с периодом 16. Более точно, в обозначениях леммы 4 последовательность {rj}j€Z по модулю 2 имеет следующие свойства.
1. r0 = r8 = 0 (mod 2).
2. R0 = R1 = R2 = R3 (mod 2) — здесь имеется в виду поэлементная сравнимость по модулю 2 упорядоченных наборов R0, R1, R2 и R3.
3. Набор R0 центрально симметричен по модулю 2, т. е.
j 0 1 7 8 9 15
rj 0 r1 r7 0 r7 r1
4. Для любых целых j и k
rjrk = 0 (mod 2), ssfcrj = 0 (mod 2),
tfcrj = rj + rfc+j + rfc-j + r2fc+j + r2fc-j (mod 2).
Доказательство. 1-3. Утверждения очевидно следуют из леммы 4.
4. По лемме 2 из [1]
rj rfc = (Sj + Si6-j )(sfc + Sia-fc) =
= (sj+fc + Sj—k + S16—k+j + S16—k—j) + (s16—j+k + s16-j-fc + s32-j-fc + S—j+k) = = (sj+fc + s32—j—fc) + (sj—fc + s—j+fc) + 2s16—j—fc + (s16—fc+j + s16—j+fc ).
По лемме 2 из [1] получим S32—j—k = -Sj+fc, S16—j+fc = S32—(16+j—fc) = -S16+j—k, поэтому rjrk = 0 + 2sJ—k + 2s16—j—k + 0 = 0 (mod 2). Далее, по лемме 2 из [1] достаточно рассмотреть k = 1. Получим
S8rj = s8 (sj + S16—j ) = (sj+8 + sj—8) + (s16—j+8 + s16—j—8) = (sj+8 + sj—8) + (s24—j + S8—j ).
По лемме 2 [1] имеем s24—j = s32—(8+j) = — s8+j, и определение последовательности {sj}jeZ даёт, что S8rj = 2s8—j = 0 (mod 2).
Рассмотрим
tk rj = (1 + Sk + S2k )(Sj + S16—j) =
= rj + Sk+j + Sk—j + S2k+j + S2k—j+ + Sk+16—j + Sk—16+j + S2k+16—j + S2k—16+j = = rj + (Sk+j + Sk—16+j) + (Sk—j + Sk+16—j) + + (S2k+j + S2k—16+j) + (S2k—j + S2k+16—j) = = rj + (Sk+j + S —16+(k+j)) + (Sk—j + S16+(k—j)) + + (S2k+j + S —16+(2k+j)) + (S2k—j + S16+(2k—j)) = = rj + (Sk+j + S16—(k+j)) + (Sk—j — S16—(k—j)) + + (S2k+j + S16—(2k+j)) + (S2k—j — S16—(2k—j)) = = rj + rk+j + (Sk—j + S16—(k—j)) + + r2k+j + (S2k—j + S16—(2k—j)) = = rj + rk+j + rk—j + r2k+j + r2k—j (mod 2).
1.3. Максимальное действительное подполе Q64 П R кругового поля Q64
Следующая лемма доказана в работе [7]. Лемма 6. Для любого целого j
S2j = S? + £(-1)j-n (Cj-n + С?—;) sf,
n=0
s2j+i = + £ (-i)j-n (cj+n+n + C+r1) s2n+1.
n=0
Лемма 7. Для максимального действительного подполя Q(a) П R кругового поля Q(a) выполняются следующие утверждения.
1. Максимальное действительное подполе Q(a) П R кругового поля Q(a) равно
Q(a + а-1) = {/(а + а-1) | f е Q[t]} .
2. Поле Q(a) П R абелево, его степень расширения [Q(a) П R : Q] = 16 и любой автоморфизм из группы Gal(Q(a) П R) индуцируется отображением а м- ак для нечётного k. В частности,
0(а + а-1) = {f (а + а-1) | f е Q[15][t]} ,
где Q[15][t] — множество (точнее, подпространство) всех многочленов с рациональными коэффициентами степени не выше 15.
3. Максимальное действительное подполе 0(а) П R кругового поля 0(а) имеет, два следующих целых базиса:
а) 1, s1 = а + а-1, s1 = (а + а-1)2,..., sf = (а + а-1)15;
б) 1, s1 = а + а-1, s2 = а2 + а-2,..., s15 = а15 + а-15.
В частности, кольцо целых Int (0>(а) П R) максимального действительного подполя 0(а) П R кругового поля 0>(а) равно
^[а + а-1] = {f (а + а-1) | f е Z[15][t]} ,
где Z[15][t] — множество (точнее, конечно порождённая подгруппа) всех многочленов с целыми коэффициентами степени не выше 15.
Доказательство.
1. Ясно, что 0(а-1 + а) С_0(а) ПR. Пусть ß = £i а^ е Q(Z) ПR, где для любого i число ai е Q. Тогда в = ^ a^ = ^ а^а-г. Так как в нашем случае ß = ß, то в = Yli ai(ai + а-"1). Поскольку аi + а-i по лемме 6 выражается с целыми коэффициентами через а + а-1, то в е 0(а-1 + а), т.е. 0(а-1 + а) D 0(а) ПR. Таким образом, 0(а-1 + а) = 0(а) П R.
2. Ясно, что множество Q^-1 + а) = 0(а) П R неподвижное относительно комплексного сопряжения подполе поля Q^). Всё следует из леммы 1 по основной теореме теории Галуа [8, § 58] и теореме из [8, § 59, с. 202].
3. а. Это результат из [9].
б. Данное утверждение следует из утверждения 3.а данной леммы и из леммы 6.
2. Подгруппа W1 2.1. Разложение
Во введении была определена подгруппа нормализованной группы единиц У^С) целочисленного группового кольца ZG циклической группы О порядка 64:
= <%1 (в1) | в Е ип(1п1(0(Х1)))).
Из определения единиц иХ1 (в1) в работе [4, определение 1] следует мультипликативность таких единиц, поэтому = {иХ1 (в1) | в Е Ип(1п1(0(х1)))} . Как уже отмечалось ранее Ип(1п1(0(х1))) = ип^[а]). Обозначение. Положим
14
Т = П <¿21+1) = <¿1) X <¿3) X ■ ■ ■ X <¿29) .
1=0
Как следствие леммы 11 [1] получим следующий результат.
Лемма 8. При введённых выше обозначениях выполняются следующие утверждения.
1. Ш№]) = <а) X Т.
2. Ш(М(0[а] П К)) = + а—1]) = <—1) X Т. Доказательство.
1. Это непосредственное следствие леммы 11 из [1].
2. Следует из утверждения 1 и леммы 7.
□
Обозначение. Обозначим след элемента с Е 064 через (с).
Как непосредственное следствие леммы 1 из [4] получим следующий результат.
Лемма 9. Пусть в1 Е ип^[а]), иХ1 (в1) = ^6=07зх3. Тогда для любого значения 3 Е{0,1,..., 63}
1+--тг:-, если 3 = 0,
1 64 ((в1 — 1)а 3) , если 3 Е {1, . . . , 63}.
Замечание 4. Наша цель — получить единицу иХ1 (в1) из нормализованной группы единиц кольца ZG,
иХ1
63
з
(01) = £ 7з х3.
3=0
Поэтому необходимо найти такие условия на элемент в Е ип^[а]), чтобы обеспечивалась целочисленность коэффициентов 73 для всех значений 3 Е {0,1,..., 63}.
Следующая лемма очевидна в силу того, что многочлен ¿32 + 1 является минимальным многочленом числа а.
Лемма 10. 1. Для любого j G {0,1,..., 63}
{32, если j = 0, -32, если j = 32, 0 для всех остальных j.
2. Пусть в = Y1 k=0 G Un(Z[a]). Тогда для любого j G {0,1,..., 63}
tn f 32bj, если j G {0,1,..., 31},
trQa4(ва j)=< qo, ■ Jw „„
I —32bj-32, если j G {32, 33,..., 63}.
Предложение 1. Пусть в1 G Un(Z[a]). Локальная единица uXl (в1) принадлежит, V(ZG) тогда и только тогда, когда в1 G Un(Z[a + а-1]) = (—1) х T, причём в1 = 1 (mod 2).
Доказательство. Докажем необходимость условий. Пусть в1 = k=0 bkak. Тогда по лемме 10
Yo G Z ^ trQ64 (в1 — 1) = 0 (mod 64) ^
<—> 32b0 = 32 (mod 64) <—> b0 = 1 (mod 2), Y32 G Z ^ trQ64((в1 — 1)(—1)) = 0 (mod 64) ^
<—> 32b0 = 32 (mod 64) <—> b0 = 1 (mod 2),
для любого j G {1, 2,... , 31}
Yj G Z ^ trQ64 ((ft — 1)a-j) = 0 (mod 64) ^
<—> 32bj = 0 (mod 64) <—> bj = 0 (mod 2),
для любого j G {32, 33,..., 63}
Yj G Z ^ trQ64 ((в1 — 1)a-j) = 0 (mod 64) ^
— 32bj-32 = 0 (mod 64) <—> bj-32 = 0 (mod 2).
Это даёт нам, что в1 = 1 (mod 2).
С другой стороны, в1 G Un(Z[a]) = (а) х T. Поэтому в1 = ак ■ t, где k G {0,1,..., 63} и t G T.
Предположим, что k G {0, 32}. В этом случае
НОД(к, 64) = 2s G {1, 2, 4, 8,16} <—► kk1 + 64n = 2s
для подходящих целых k1 и n1. Отсюда 16 = k(k1 ■ 24-s) + 64(n1 ■ 24-s), тогда
i = а16 = afc(fci-24-s)+64(ni-24-s) = (ak )fci'24-s (а64)^24"' = (а^'2"8
и также в = в^1'24 8 = (ак)fcl'24 s ■ tfcl'24 s = i ■ tfcl'24 s. По лемме 7 для подходящих a, G Z для всех j G {0,1,... , 15}
(15 \ 15
a0 + ^ j(а-7 + а- ) I = a0 ■ i + ^ a,(а-7416 + а-'+16). j=1 / j=1
Очевидно {j + 16, —j + 16 | j G {1, 2,... , 15}} П {0, 32} = 0, что даёт противоречие с утверждением 1. Таким образом, в1 = ±t. Поэтому по лемме 8 получим
в1 G Un(Z[a + а-1]) = (—1) х T.
Достаточность следует из леммы 10. □
Лемма 11. При введённых ранее обозначениях (uxi (—1)) = (ж32). Доказательство. Пусть
63
uxi(-1) = Yjx.
j=0
Тогда для любого j Е {0,1,..., 63} по лемме 10 получим
Yj
1 + ^(-1 - 1) =1 - 61=0, если j = 0,
1 64 64 64 j ,
gjtrg,. ((-1 - 1)(-1)(-1)) = - = 1, если j = 32,
—trQ64 ((-1 - 1)a-j) = -2 • 0 = 0 для всех остальных j. 64
□
Обозначения. Введём следующие обозначения.
1. Положим D = {А Е T | А ф 1 (mod 2)} . Иными словами, D = (1 + 2Z[a]) П T.
2. Положим также V1 = {uxi (А) | А Е D}.
Лемма 12. Для любого l Е {0,..., 14} t£6+1 ф 1 (mod 2), т. е. 46+1 Е D, и для любого k Е {0, 1, 2, 3} 4+1 Ф 1 (mod 2), т. е. ¿2г+1 Е D.
Доказательство. Поскольку элемент t21+1 для любого l Е {0,... , 14} алгебраически сопряжён с элементом t1 = 1 + s1 + s2 = 1 + а + а-1 + а2 + а-2, то достаточно доказать лемму для t1. По лемме 3 из [1] для любого целого j t2 ф ¿2j (mod 2). По индукции получим, что для любого натурального k ¿1 ф t2k (mod 2). В частности, по лемме 3 из [1] ¿16 ф t16 = -1 ф 1 (mod 2). Допустим, что для некоторого k Е {0,1, 2, 3} ¿1 ф t2k ф 1 (mod 2). Тогда по лемме 3 из [1]
¿1 ф t8 = 1 + л/2 ф 1 (mod 2).
Откуда ^ Е й[а], что невозможно, ибо не является целым алгебраическим числом. □
Предложение 2. 1. Индекс |T : T 16| = (16)15 = (24)24-1 = 24(24-1) = 260. Равносильно, порядок фактор-группы |T/T 16| = (16)15 = 24(24-1) = 260.
2. D является подгруппой группы T, содержащей T16, т. е. T16 ^ D < T.
Доказательство. 1. Следует из определения группы T и леммы 12.
2. Из леммы 12 получим, что подгруппа T16 содержится в множестве D. Пусть 1 + 2А и 1 + 2ß — произвольные элементы D, где А, ß Е Z^]. Так как
(1 + 2А)(1 + 2ß) = 1 + 2(А + ß) + 4А^ Е (1 + 2Z[а]) П T = D,
то множество D замкнуто относительно умножения. Поскольку D состоит из смежных классов, которые являются элементами конечной фактор-группы T/T16, то получим конечную подгруппу D/T16. Отсюда следует, что D является подгруппой T, содержащей T16. □
Как непосредственное следствие предложений 1 и 2 и леммы 11 получим описание строения группы W1.
Предложение 3. При введённых ранее обозначениях
1. V1 — подгруппа группы W1.
2. W1 = (ж32) х V1.
2.2. Подгруппа М
В этом разделе определена подгруппа М, которая будет ключевой в нахождении подгруппы Д что является целью наших исследований.
2.2.1. Построение воронки
По определению
14
Т = П <*я+1>
1=0
поэтому множеством индексов в этом произведении является состоящее из 15 элементов множество А = {1, 3, 5,..., 29}.
Замечание 5. Построим разбиения (дизъюнктные объединения) множества А, которые будут определяться всё уменьшающимися частями множества А. Поэтому этот процесс назовём воронкой.
Обозначения. Обозначим А0 = {1, 3, 5,... , 15} = {2/ + 1 | / € {0,... , 7}} , в этом множестве 8 элементов. Также обозначим
Во
А \ А0 = {32 - (2/ + 1) | 2/ + 1 € А0 \ {1}} = {29, 27,..., 17}.
Далее, А1 = {1, 3, 5, 7} и В = {15,13,11,9}. Наконец, А2 = {1, 3} и В = {7, 5}. Изобразим этот процесс таблично:
А
/ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2/ + 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
Шаг 0. Имеем
А0 В
/ 0 1 2 3 4 5 6 7 ,
2/ + 1 1 3 5 7 9 11 13 15
/ 8 9 10 11 12 13 14
2/ + 1 17 19 21 23 25 27 29
Шаг 1 . Далее
А1
Шаг 2. Наконец,
/ 0 1 2 3 , В = / 4 5 6 7
2/ + 1 1 3 5 7 2/ + 1 9 11 13 15
А2
/ 0 1
2/ + 1 1 3
В2
/ 2 3
2/ + 1 5 7
и на этом процесс закончен. Получили разбиение
А = {1, 3} и {5, 7} и {9,11,13,15} и {17,19, 21, 23, 25, 27, 29}. Теперь очевидно получим следующий результат. Лемма 13. При указанных выше обозначениях получим разбиения
А = А0 и В = А1 и В и В = А2 и В и В и В0.
2.2.2. Сравнимость элементов воронки
Используя построенные в лемме 13 разбиения, изучим сравнимость по модулю 2 степеней порождающих группы T.
Лемма 14. Для любых l,r Е {0,..., 15} имеем t|1+1i2r+i Е D. В частности, Е D.
Доказательство. По лемме 3 для любого целого j ¿2 = t2j (mod 2). Поэтому для любого l Е {0,1,..., 7} t|1+1 = ¿8(2г+1) (mod 2). Из леммы 3 следует, что ¿8(2г+1) = 1 ± V2. Так как (1 ± V2)2 = 1 ± 2^2 + 2 = 1 (mod 2) и (1 + ^2)(1 - ^2) = 1 - 2 = 1 (mod 2), то произведение любых двух таких элементов сравнимо с 1 по модулю 2. В частности, из леммы 12 следует, что i-8i| = (¿-16)(^8) Е D. □
Обозначения. Введём обозначения согласно шагам воронки. Для шага 0. Для любого 21 + 1 Е {3,... , 15} = A0 \ {1} положим
m(0, 2l + 1) = ¿-¿1*з2-(я+1).
Для шага 1. Для любого 21 + 1 Е {1,... , 7} = A1 положим
m(1, 2l + 1) = t—+1^16-(2i+1).
Для шага 2 положим m(2,1) = i-1i7, m(2, 3) = t—1t5. Лемма 15. При введённых ранее обозначениях
2
T = (¿1) х <t—1t3> х П П <m(k, 21 + 1)) =
fc=0 26-fe-(21+1)eBfe
2
= (t1> X (t—1t3> х П (m(0, 21 + 1))х П П (m(k, 2l + 1)).
21+1eAo\{1} fc=121+1eAfe
Доказательство. Будем рассматривать доказательство по шагам. Для шага 0 для любого 2l + 1 Е {3,..., 15} = A0 \ {1} получим t32-(21+1) = t21+1m(0, 2l + 1). Поэтому
T = П (¿21+1) X П (¿32-(21+1)) = 21+1eAo 32-(21+1)eBo
= П (¿21+1) X П (t2i+1m(0,2l + 1)) =
21+1eAo 32-(21+1)eBo
= П (¿21+1) X П (m(0, 2l + 1)) = To X П (m(0, 2l + 1)),
21+1eAo 32-(21+1)eBo 32-(21+1)€B0
где
To = П (¿21+1).
21+1eAo
Для шага 1 рассмотрим T0. Для любого 2l + 1 Е {1,... , 15} = A1 получим
¿16-(21+1) = ¿21+1m(1, 2l + 1).
Поэтому
To = П (t21+1) х П (t 16—(21+1)) =
2i+1eAi 16—(2i+1)eBi
= П (t2i+1) х П (t2i+1m(1,2/ + 1)) =
2i+1eAi 16—(2i+1)eBi
= П (t2i+1) х П (m(1, 2/ + 1)) = T1 х П (m(1, 2/ + 1)),
2i+1eAi 16—(2i+1)eBi 16—(2i+1)eBi
где
T = П (t21+1).
2i+1eAi
Для шага 2 рассмотрим T1 = (t1) х (t3) х (t5) х (t7). Поскольку t5 = t1m(2, 3), t7 = t3m(2,1), то
T = (t1) х (t3) х (t5) х (t7) = (t1) х (t3) х (t3m(2, 3)) х (t1m(2,1)) = = (t1) х (t3) х (m(2, 3)) х (m(2,1)).
Последний шаг. Имеем (t1) х (t3) = (t1) х (t1(t—1t3)) = (t1) х (t—1t3). В результате получим требуемое. □
Теперь по шагам воронки исследуем сравнимость с 1 по модулю 2 элементов подгрупп из разложения группы T, приведённого в лемме 15.
Лемма 16. Имеем по шагам воронки
0) на шаге 0
t32—(21+1) = t2i+1 (mod 2) i—у m(0, 2/ + 1) = t—¡+^32—(21+1) G D
для любого 2/ + 1 G {3,5,..., 15} = Ao \ {1};
1) на шаге 1
t26—(21+1) = t2i+1 (mod 2) i—► m(1, 2/ + 1)2 = t—i+1t16—(21+1) G D и t16—(21+1) = t21+1 (mod 2)
для любого 2/ + 1 G {1, 3, 5, 7} = A1;
2) на шаге 2
t4—(21+1) = 4+1 (mod 2) ^ m(2, 2/ + 1)4 = t—1+1t8—(21+1) G D и
t2—(21+1) = 4+1 (mod 2)
для любого 2/ + 1 G {1, 3} = A2. Доказательство. На нулевом шаге по утверждению 2 леммы 3 получим
t32—(21+1) = t21+1 (mod 2)
для любого 2/ + 1 G {3, 5,... , 15}.
Посмотрим, что будет на первом шаге. По лемме 3 (утверждения 3 и 2) получим, что для любого 2/ + 1 G {1, 3, 5, 7} = A1
4+1 = t2(21+1) (mod 2) и t26—(21+1) = t32—2(21+1) = t2(21+1) (mod 2).
Предположим, что = ¿16—(21+^ (mod 2), т.е.
1 + S21+1 + S2(21+1) = 1 + $16—(21+1) + $32—2(21+1) (mod 2).
По лемме 2 £32-2(21+1) = $2(21+1) (mod 2), следовательно, $21+1 = $16—(21+1) (mod 2), т. е. для некоторых целых чисел а
16 1
$21+1 — s 16—(21+1) — 2 + 2 ^
j=1
aj $j,
что противоречит линейной независимоси 1, s1, $2,..., $15 над Q. (По лемме 7 элементы 1, $1, $2,..., $15 образуют целый базис поля Q[a] П R — Q[a + а-1].) Предположение неверно, поэтому ¿16—(21+1) = t21+1 (mod 2).
Для второго шага отметим, что A1 — A2 U {8 — (2/ + 1) | 2/ + 1 G A2} . По утверждению 3 леммы 3 получим, что для любого 2/ + 1 G A1 t^1+1 = t4(21+1) (mod 2). Поэтому для любого 2/ + 1 G A2 по утверждению 2 леммы 3
¿8—(21+1) = ¿4(8—(21+1)) — ¿32—4(21+1) = ¿4(21+1) (mod 2).
Далее предположим, что для 2/ + 1 G A2 ¿21+1 = ¿2—(21+1) (mod 2), тогда
1 + $2(21+1) + $4(21+1) = ¿2(21+1) = ¿21+1 = ¿8—(21+1) =
= ¿2(8—(21+1)) = ¿(16—2(21+1)) = 1 + $16—2(21+1) + s32—4(21+1) (mod 2).
По утверждению 2 леммы 2 $4(21+1) = $32—4(21+1) (mod 2), следовательно,
$2(21+1) = $16—2(21+1) (mod 2).
Противоречие получится также, как на первом шаге. □
Обозначения. Введём обозначения согласно шагам воронки. Для шага 0:
7 7
Mo — (21+1)> = ПМ0, 2/ + 1)) = П М0, 2/ + 1)).
1=1 1=1 21+1eA0\{1}
Для шага 1 имеем
33
M1 = (¿—+1 ¿?6—(21+1)> — ПМ1, 2/ + 1)2> — П М1, 2/ + 1)2>.
1=0 1=0 21+1€Ai
Для шага 2:
11
M2 = (¿21+^8—(21+1)> = Л ^—+¿8—(21+1)> = (¿1^7> Х (¿3 4¿4> = l=0 l=0 — (m(2, 3)4> х (m(2,1)4>.
Наконец,
2
16 -8 8
¿3 >
fc=0
M — (¿16> х (¿-¿8> Х П Mfc,
т. е.
M = (¿16) X (¿-8¿3) X (¿-^) X (¿3-^) X (t-2t25) X (tз-2t1з) X (¿-^1) X 2фх
X ^д) X ^7) X 1^25) X ^3) X (t-l1t21) X (¿-^д) X (t-51tl7).
Лемма 17. Множество M — подгруппа в D. Кроме 'того, T16 < M ^ D < T.
Доказательство. Утверждение следует из лемм 12, 14 и 16. По лемме 15 имеем
2
T16 = (¿16) х ((¿-%)16) х П (m(0, 2l+1)16) х П П (m(k, 2l+1)16).
21+1eAo\{0} fc=1 21+1€Afc
Поэтому M > T16, дополнительное утверждение следует из предложения 2. □
2.3. Подгруппа VM
Обозначение. Обозначим \M = ^ Е T | ¿2 Е M} .
Лемма 18. Множество л/M — подгруппа группы T, имеющая следующие свойства.
1. Фактор-группа
2
VM/M = (¿1M) х ((¿^^M) х П П (m(k, 2l + 1)2'-1 M)
fc=121+1eAfc
и является элементарной абелевой 2-группой, возможно, единичной.
2. T16 < M ^ VM П D ^ VM < T.
Доказательство. То, что vM является подгруппой группы T, очевидно, так как T абелева. Дополнительные утверждения непосредственно следуют из определения подгруппы M и леммы 17. □
Далее исследуем представителей порождающих смежных классов факторгруппы vM/m , указанные в утверждении 1 леммы 18. Первый шаг будет состоять в исследовании множества {m(1, 2l + 1) | 2l + 1 Е A1 = {1, 3, 5, 7}} .
Лемма 19. При введённых ранее обозначениях
m(1,1) = 1 + r7 + (r2 + r4) (mod 2), m(1, 3) = 1 + r5 + (r4 + r6) (mod 2), m(1, 5) = 1 + r3 + (r4 + r6) (mod 2), m(1, 7) = 1 + r1 + (r2 + r4) (mod 2).
Доказательство. Найдём m(1,1) по модулю 2. Так как
1 = М-1 = (1 + S1 + в2^-1 = (1 + в2^-1 + s^-1,
то (1 + s2)t—1 = 1 + s^-1 (mod 2). Отсюда
m(1, 1) = 1 ¿15 = ¿-1(1 + S15 + S30) = ¿-1 (1 + S15 - S2) =
= ¿-1(1 + S15 + S2) = ¿-1(1 + S2) + 1S15 = 1 + S^-1 + 1S15 =
= 1 + ¿-1(в1 + S15) = 1 + ¿-1 ■ r1 (mod 2).
По леммам 3 и 12 имеем m(1,1) = 1 + ¿8 • ¿4 • ¿2 • ¿1 • r1 (mod 2). Теперь по леммам 2 и 5
¿1 r 1 = Г1 + Г2 + Го + Г3 + Г1 = Г2 + Г3 (mod 2),
¿2 ¿1Г1 = ¿2 (Г2 + Г3) = Г2 + Г4 + Го + Г6 + Г2 + Г3 + Г5 + Г1 + Г7 + Г1 =
= Г4 + Г6 + Г3 + Г5 + r7 — Г3 + Г4 + Г5 + Г6 + Г7 (mod 2), ¿4¿2 ¿1Г1 = ¿4 (Г3 + Г4 + Г5 + Г6 + Г7) =
= Г3 + Г 7 + Г1 + Гц + Г5 + Г4 + Г8 + Го + Г12 + Г4 + + Г5 + Г9 + Г1 + Г13 + Г3 + Г6 + Г10 + Г2 + Г14 + Г2 + + Г 7 + Гц + Г3 + Г15 + Г1 =
= Г3 + Г 7 + Г1 + Г3 + Г5 + Г4 + 0 + 0 + Г4 + Г4 +
+ Г5 + Г 7 + Г1 + Г3 + Г3 + Г6 + Г 2 + Г2 + Г6 + Г2 + + Г 7 + Г3 + Г3 + Г1 + Г1 =
= Г7 + Г1 + Г5 + Г4 + Г5 + Г7 + Г1 + Г2 + Г7 =
= г7 + г4 + г2 (mod 2),
¿8¿4¿2 ¿1Г1 = (1 + $8 + $16 )(Г7 + Г 2 + Г4) — (1 + $8)(г7 + Г2 + Г4) =
= г7 + г2 + г4 (mod 2).
Таким образом, m(1,1) = 1 + г7 + (г2 + г4) (mod 2).
Пусть, как в лемме 1, G Gal(Q64) для k G {3, 5, 7}, где (а) — ак. Кроме того, по лемме 3
СТ3(ш(1,1)) — ^(¿—1'¿15) — ¿—1 ¿45 = ¿—¿13 — m(1, 3) (mod 2), 0б(та(1,1)) —^5(¿—1¿l5) = ¿—1 ¿75 = ¿-1¿ll = m(1, 5), ^7(ш(1,1)) —^5(¿—1¿l5) — ¿^¿105 = ¿—1 ¿9 — m(1, 7) (mod 2).
Также по лемме 5
m(1, 3) — оз(га(1,1)) = 03(1 + г7 + (г2 + Г4)) — 1 + Г21 + (г6 + Г12) =
= 1 + Г5 + (г4 + Г6) (mod 2), m(1, 5) — 05(m(1,1)) = 05(1 + r7 + (r2 + Г4)) — 1 + Г35 + (гЮ + Г20) =
= 1 + Г3 + (r4 + Г6) (mod 2), m(1, 7) — 07(m(1,1)) = 07(1 + r7 + (r2 + Г4)) — 1 + Г49 + (rM + Г28) =
= 1 + r1 + (r2 + r4) (mod 2).
□
Лемма 20. При введённых ранее обозначениях
m(2,1)2 = 1 + Г2 + Г4 (mod 2), m(2, 3)2 = 1 + Г4 + Г6 (mod 2).
Доказательство. Будем действовать, как в лемме 19. Найдём m(2,1)2 по модулю 2. Используя леммы 3 и 12, получим
1 — 22 = ¿2¿—2 — (1 + $2 + $4^—22 — (1 + $4^—2 + $2¿—2 (mod 2). Поэтому (1 + $4^—2 = 1 + 22 (mod 2). Отсюда
m(2, 1)2 — ¿—2¿7 = ¿—2^ 14 = ¿—2(1 + $ 14 + $28) = ¿—2(1 + $ 14 + $4) —
— ¿—2(1 + $4) + ¿—2$ 14 = 1 + $2¿—2 + ¿—2$ 14 = 1 + ¿—2($2 + $ 14) =
— 1+ ¿—2 • Г2 = 1+ ¿8 • ¿4 • ¿2 • Г2 (mod 2).
По леммам 2 и 5
¿2Г2 = r2 + r4 + r0 + r6 + r2 = r4 + r6 (mod 2), t4t2r2 = ¿4 (r4 + r6) = r4 + r8 + r0 + r12 + r4 + r6 + ГЮ + r2 + rM + r2 = = r4 + r2 (mod 2), t8t4t2r2 = (1 + S8 + S16)(r2 + r4) = (1 + S8 )(r7 + r2 + = = r2 + r4 (mod 2).
Поэтому m(2,1)2 = 1 + r2 + r4 (mod 2).
Пусть, как в лемме 1, о3 Е Gal(Q64), где о3(а) = а3. Тогда по леммам 3 и 5 получим
o3(m(2,1)2) ^(i-^) = t—2t21 = t—2t42 = t—2t10 = t—2t2 = m(2, 3)2 (mod 2), о3(m(2,1)2) = 03(1 + r2 + r4) = 1 + r6 + r12 = 1 + r4 + r6 (mod 2).
□
Лемма 21. При введённых ранее обозначениях (¿—43)4 = 1 + r4 (mod 2). Доказательство. По лемме 14 имеем ¿16 = 1 (mod 2) , поэтому по леммам 2 и 3
¿—4 = ¿12 = = ¿8 ¿4 = (1 + S8)(1 + S4 + S8) =
= (1 + S4 + S8) + (s8 + S4 + S12 + S16 + 2) = 1 + S12 (mod 2).
Также по лемме 3 ¿3 = ¿12 = 1 + s12 + s24 = 1 + s12 + s8 (mod 2). Следовательно, по лемме 2
(¿-1 ¿3)4 = (1 + S12 )(1 + S12 + S8) =
= (1 + S12 + S8) + (S12 + S24 + 2 + S4 + S20) = = 1 + S4 + S20 = 1 + S4 + S12 = 1 + r4 (mod 2).
□
2.4. Разложение W1 в прямое произведение циклических подгрупп
Теорема 1. При введённых ранее обозначениях выполняются следующие утверждения.
1. M = D, и поэтому 6) х («)
х (¿—1^29) X (¿—1%7) X (¿—^25) X (¿—1Ч23) X (t-l1t21) X (¿—^и) X (t-51tl7)
D = (¿16) х (t-8t3) х (t-4t7) х ^¿й) х (t-2t25) х (¿—2&) х (¿—х (¿—2фх
2. W1 = (x32) х V1, где
Vl = Ki (A) | А Е D} =
= (uXi (¿l6)) X (Uxi(t-8t3)) X ((uxi(t-4t4)) X (uXi (¿—4t5))) X
x ((uxi (¿—2115)) x (uxi (¿—22i?3)) x (uxi (¿—22i?l)) x (¿—2^2)) x
X ((uxi (t—1t29)) X (uxi (t—1t27)) X (uxi (t—1t25)) X (uxi (t—1t23))х
X (uxi (tз11t21)) X (uxi (tз31t19)) X (uxi (tз51t17
Доказательство. По предложению 3 утверждение 2 этой теоремы является непосредственным следствием утверждения 1. Докажем утверждение 1.
По леммам 17 и 18 достаточно доказать, что VM П D — M. По лемме 18 для этого достаточно доказать, что
3
d — ¿8й(¿—143)4<5°(m(2,1))2Й21 (m(2, 3))2Й23 х П(т(1, 2/ + 1))Й1(21+1) g D
l=0
тогда и только тогда, когда
i = ¿0 = ¿21 = ¿23 = ¿1(1) = ¿1(3) = ¿1(5) = ¿1(7) = 0 (mod 2).
Естественно, можно считать, что {¿, ¿0, ¿21, ¿23, ¿1(1), ¿1(3), ¿1(5), ¿Ц?")} ^ {0,1}.
По леммам 2 и 3 ¿1 = ¿8 — 1 + $8 + $16 — 1 + $8 (mod 2). Поэтому по леммам 19, 20 и 21 имеем
d = (1 + $8)Й (1 + Г4)Й0 (1 + Г2 + Г4)Й21 (1 + Г4 + Г6)^23 Х
Х (1 + Г7 + (Г2 + Г4))й1(1) (1 + Г5 + (Г4 + Г6))^1(3) (1 + Г3 + (Г4 + Г6))Й1(Б) Х х (1 + Г1 + (Г2 + Г4))Й1(7) (mod 2).
Поскольку все показатели степеней либо 0, либо 1 , то
d = (1 + ¿$8)(1 + ¿0 Г4 )(1 + ¿21 (Г2 + Г4 ))(1 + ¿23 (Г4 + Г6))Х х (1 + ¿1(1) (Г7 + (Г2 + Г4 )))(1 + ¿1(3) (Г5 + (Г4 + ^)))х х (1 + ¿1(5)(Г3 + (Г4 + Г6)))(1 + ¿1(7)(Г1 + (Г2 + Г4))) (mod 2).
Далее в силу леммы 5 получим
d = 1 + ¿$8 + ¿0Г4 + ¿21 (r2 + Г4) + ¿23 (Г4 + Г6) + + ¿1(1) (Г7 + (Г2 + Г4)) + ¿1(3) (Г5 + (Г4 + Г6))) + + ¿1(5)(Г3 + (Г4 + Г6)) + ¿1(7)(Г1 + (Г2 + Г4)) (mod 2).
Применяя лемму 7, получим, что ¿1(1) — ¿1(3) — ¿1(5) — ¿1(7) — 0. Поэтому имеем
d = 1 + ¿$8 + ¿0Г4 + ¿21 (r2 + Г4) + ¿23(Г4 + Г6) (mod 2).
Снова применяя лемму 7, получим, что ¿ — ¿0 — ¿21 — ¿23 — 0. □
Замечание 6. Т. А. Ханенко произвела вычисления в системе GAP [10], которые согласуются с утверждением 1 теоремы.
А именно, согласно лемме 17 для элементов а — ¿11 ¿3¿5¿74¿95¿11¿13¿15 при i1 G {0,1,..., 15}; i2 G {0,1,..., 7}; i3,i4 G {0,1, 2, 3} и г5,г6,г7,г8 G {0,1} проверено (с помощью программы), существуют ли элементы, сравнимые с 1 по модулю 2.
Программа
a:=E(64);# Возвращает примитивный корень 64 степени из 1. K:=CF(64);# Создает круговое поле Q_64 t: = [];
for j in [1..15] do
t[j]:=a~(2*j)+a~(j)+1+a~(-j)+a~(-2*j); Add(t,t[j]);
od;
# список всех произведений
# список степеней
# список сумм
# список элементов, когда сумма = 1
# список степеней при которых сумма элементов =1
# список элементов
# список степеней for i1 in [0..15] do for i2 in [0..7] do for i3 in [0..3] do for i4 in [0..3] do for i5 in [0..1] do for i6 in [0..1] do for i7 in [0..1] do for i8 in [0..1] do
a:=t1~i1*t3~i2*t5~i3*t7~i4*t9~i5*t11~i6*t13~i7*t15~i8; b:=CanonicalBasis(K); # Возвращает базис K
d:=Coefficients(b,a); # создаёт список коэффициентов элемента a
# в базисе b
f:=d mod 2; # приводит коэфициенты d по модулю 2 Add(l,f); Add(m,d);
i:=[i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8]; Add(y,i); od; od od od od od od od
k := Length(l); # количество элементов в списке for j in [1..k] do if l[j][1] = 1 then if Sum(l[j]) = 1 then Add(q,l[j]); Add(h,y[j]); fi; fi; od;
gap > q; []
gap > h; []
ВЫВОД: В результате работы программы получено, что среди исследуемых элементов только один сравним с 1 по модулю 2. Это элемент, у которого все показатели степеней равны 0.
Список литературы
1. Алеев, Р. Ж!. Сравнение по модулю 2 круговых единиц в полях Qi6 и Q32 / Р. Ж. Алеев, О. В. Митина, Е. А. Христенко // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 4. — С. 8-29.
2. Алеев, Р. Ж!. Нахождение единиц целочисленных групповых колец циклических групп порядков 16 и 32 / Р. Ж. Алеев, О.В.Митина, Т. А.Ханенко // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 4. — С. 30-55.
3. Алеев, Р. Ж!. Описание групп единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 16 / Р. Ж. Алеев, О.В.Митина, Т. А.Ханенко // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2017. — Т. 23, вып. 4. — С. 32-42.
4. Алеев, Р. Ж!. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп / Р. Ж. Алеев // Мат. тр. — 2000. — Т. 3, вып. 1. — С. 3-37.
5. Aleev, R. Z. Higman's central unit theory, units of integer group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // International Journal of Algebra and Computation. — 1994. — Vol. 4, no. 3. — P. 309-358.
6. Алеев, Р. Ж!. Центральные элементы целочисленных групповых колец / Р. Ж. Алеев // Алгебра и логика. — 2000. — Т. 39, вып. 5. — С. 513-525.
7. Алеев, Р. Ж!. Вычисление квантовых факториалов и к ним обратных / Р. Ж. Алеев, И. Р. Мухамадеева // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 1. — С. 6-15.
8. Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. ван дер Варден. — 2-е изд-е. — М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 624 с.
9. Liang,J.J. On the integer basis of the maximal real subfield of a cyclotomic field / J.J.Liang // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1976. — Band 286/287. — P. 223-226.
10. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.7.7; 2015 [Электронный ресурс]. — URL: http://www.gap-system.org (дата обращения: 15.06.2018).
Поступила в 'редакцию 02.06.2018 После переработки 03.08.2018
Сведения об авторах
Алеев Рифхат Ж^алялович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; профессор кафедры системного программирования, ЮжноУральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: aleev@csu.ru.
Митина Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; доцент кафедры прикладной математики и программирования, ЮжноУральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: ovm588@gmail.com.
Ханенко Татьяна Александровна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: tanja_1110_94@mail.ru.
274
P. A.neeB, O. B. MHTHHa, T. A. XaHeHKO
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 3. P. 253-275.
DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13301
LOCAL UNITS OF INTEGER GROUP RING OF CYCLIC GROUP OF ORDER 64 FOR CHARACTER WITH CHARACTER FIELD Q64
R.Zh. Aleev1'2'", O.V. Mitina1'2'6, T.A. Khanenko1c
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "aleev@csu.ru, bovm@csu.ru, ctanja_1110_94@mail.ru
The work is devoted to the study of units of the integer group ring for order 64 cyclic group. The units groups of the integer group rings for the cyclic groups of the orders 2 and 4 are trivial, for the order 8 this group is well known, for the cyclic group of the order 16 such group is described earlier. The study of units of the integer group ring of the order 64 cyclic group is carried out in terms of local units defined by the characters of the order 64 cyclic group and by units of the ring of the circular field Q64, obtained by adjoining the degree 64 primitive root of 1 to the field of the rational numbers. The most important role among the local units is played by units for the character with the character field Q64, because they provide the possibility of the inductive approach to the description of the units groups of the integer group rings for the cyclic 2-groups. We note that earlier, by direct calculations, the authors obtained a description of the local units for a character with the character field of the integer group ring for the cyclic group of the order 32. Therefore, the next natural step is to study the local units for a character with the character field Q64 of the integer group ring for the order 64 cyclic group. To achieve these goals, a new approach has been developed, which can be applied to units groups of the integer group rings for the cyclic 2-groups of an order greater than 64.
Keywords: group ring, unit of group ring, cyclic group, cyclotomic field, integer group ring.
References
1. AleevR.Zh., MitinaO.V., Khristenko E.A. Sravneniye po modulyu 2 krugovykh edinits v polyakh Q16 i Q32 [Congruence modulo 2 of circular units in the fields Q16 and Q32]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, iss. 4, pp. 8-29. (In Russ.).
2. AleevR.Zh., MitinaO.V., KhanenkoT.A. Nakhozhdeniye edinits tselochislennykh gruppovykh kolets tsiklicheskikh grupp poryadkov 16 i 32 [Finding of units for integer group rings of orders 16 and 32 cyclic groups]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, no. 4, pp. 30-55. (In Russ.).
3. Aleev R.Zh., Mitina O.V., Khanenko T.A. Opisaniye edinits group tselochislennykh gruppovykh kolets tsiklicheskikh grupp poryadka 16 [Description of the unit group of the integer group ring of a cyclic group of order 16]. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN [Proceedings of Istitute of Mathematics and Mechanics], 2017, vol. 23, iss. 4, pp. 32-42. (In Russ.).
4. AleevR.Zh. Units of character fields and central units of integer group rings of finite groups. Siberian Advances of Mathematics, 2001, vol. 11, iss 1. pp. 1-33.
5. Aleev R.Z. Higman's central unit theory, units of integer group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers. International Journal of Algebra and Computation, 1994, vol. 4, no. 3, pp. 309-358.
6. AleevR.Zh. Central elements of integer group rings. Algebra and Logic, 2000, vol. 39, no. 5, pp. 293-300.
7. Aleev R.Zh., Mukhamadeeval.R. Vychisleniye kvantovykh faktorialov i k nim obratnykh [Computation of quantum factorials and their inverses]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2016, vol. 1, iss. 1, pp. 6-15. (In Russ.).
8. Vander VardenB.L. Algebra [Algebra]: 2nd ed. Moscow, Nauka Publ., 1979. 624 p. (In Russ.).
9. Liang J.J. On the integer basis of the maximal real subfield of a cyclotomic field. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1976, Band 286/287, pp. 223-226.
10. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.7.7; 2015. Availabel at: http://www.gap-system.org, accessed 15.06.2018.
Accepted article received 02.06.2018 Corrections received 03.08.2018
