CC BY
11
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 2. С. 133-151. УДК 512.552.7+511.622
ГРУППЫ ЕДИНИЦ КЛАССОВЫХ КОЛЕЦ ХАРАКТЕРОВ ГРУППЫ РУДВАЛИСА
Р. Ж. Алеев1'2'", М. И. Молодорич2'6
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "aleevrz@susu.ru, aleev@csu.ru; bmolodorichmi@susu.ru
Рассматриваются классовые кольца характеров группы Ru, которые не являются подкольцами действительных квадратичных полей, и описаны их обратимые элементы.
Ключевые слова: спорадическая группа, обратимый элемент, характер, групповое кольцо, классовое кольцо характера.
1. Введение
Классовые кольца характеров группы были введены и изучены в [1].
Определение 1. Пусть G — конечная группа, X(G) — множество представителей всех классов сопряжённости в G, Irr(G) — множество всех неприводимых характеров группы G и х G Irr(G). Положим
Х[о1,х] называется классовым кольцом характера х-
Исследование классовых колец характеров — важный шаг к описанию центральных единиц группы. Весьма полная информация о классовых кольцах характеров для всех спорадических групп получена в [2].
Также Молодорич получены описания групп единиц всех таких колец при условии, что классовое кольцо характера содержится в некотором действительном квадратичном поле [3]. Поэтому остаётся задача нахождения групп единиц таких классовых колец характеров спорадических групп, которые не содержатся в действительных квадратичных полях.
В [4] описаны группы единиц классовых колец характеров групп Янко Jl и О'Нэна О'N, которые не содержатся в действительных квадратичных полях.
Справедлив следующий результат.
Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013), соглашение № 02.A03.21.0011.
Лемма 1. Неизвестны группы единиц классовых колец характеров, которые не содержатся в действительных квадратичных полях, только для следующих спорадических групп: J3, J4, Ly, Ru.
2. Группа Рудвалиса 2.1. Начальные сведения
Лемма 2. [2]. Группа Рудвалиса Ru имеет следующие классовые кольца характеров, которые не содержатся в действительных квадратичных полях:
K = Z + 29 ■ 13 ■ 29AZ + 29 ■ 13 ■ 29BZ, K2 = Z + 29 ■ 53GZ + 29 ■ 53HZ, где
A = -<7 + z2 + Z3 + Z4 + Z5 - zl, B = Z7 - Z2 + Z3 + zl - zl + zl,
G = С 1 3 — С 2 3 — Cl 3 — Cl 3 + Cl 3 — С 1 3 — Cl 3 + Cl 3 — Cl 3 — Cl 3 — Cl 3 + Cl 3 ,
H= -z^-z2 - z3 +z4 - z1 + z1 + z7 - z1 + z1 - z10 - z 1 ^z12
H = S13 S13 S13 + S13 S13 + S13 + S13 S13 + S13 S13 S13 S13 •
Здесь z7 и z13 — примитивные корни из 1 степеней 7 и 13 соответственно.
Замечание 1. Согласно [5] кольцо K1 — классовое кольцо характеров хш Х12 и Х13 степени 27000, а K2 — классовое кольцо характеров х17, х18 и х19 степени 43848. Также стоит отметить, что нецелыми значениями х11, Х12 и х13 являются A, B и
с = z7 + z2-z3-zl + zl + zl,
а нецелыми значениями х17, Х11 и Х11 являются G, H и
т = _ aq + z2 + z3 - z4 - z1 - z1 - z7 - z1 - z1 + z10 + z11 - z12
т = S13 + S13 + S13 S13 S13 S13 S13 S13 S13 + S13 + S13 S13 •
Лемма 3.
1. Для вышеуказанных чисел A, B и C имеем:
(a) A + B + C = - 1;
(b) A2 = 5 - 2A - 2B, B2 = 7 + 2A, AB = - 3 - A + B, ABC = 1.
2. Для вышеуказанных чисел G, H и I имеем:
(a) G + H + I = 1;
(b) G2 = 11 + 2H, H2 = 13 - 2G - 2H, GH = -7 + 3G + H, GHI = -25.
Доказательство. Утверждение 1 (a) проверяется непосредственно, а доказательство утверждения 1 (b) можно найти в [2, Предложение 9].
Утверждение 2 (a) проверяется непосредственно, а утверждение 2 (b) содержится в [2, Предложение 10]1. □
Лемма 4. Пусть p — простое нечётное число не более 67 или p = 9, zp — примитивный корень степени p из 1 и Qp = Q(zp) — круговое поле, полученное присоединением zp к полю рациональных чисел. 1. Кольцо целых поля Qp равно Z[zp].
ХК сожалению, в указанном источнике допущена опечатка: написано ОН1 = чем, не влияет на результат.
-15, что, впро-
2. Пусть д — примитивный корень по модулю р, и положим т = 2 при р = 9 и т = (р — 3)/2. Группа единиц кольца целых равна
т-1 11 _ с9к+1
ър
Un(Z[CP]) = (—а) х П
к=0
1 — сг
3. Если д = 2, то группа единиц кольца Z[(p] П И
Ц"п^[(р] П И) = (—1)х Д<СРк + С;
-к ър
к=1
4. Если д = 3, то
Р-3
2
ЦП^[(р] П И) = (—1) х П <СРк +1 + СР-к>
к=1
Доказательство. Все сформулированные здесь утверждения можно получить довольно стандартными методами из классической книги [6].
Более подробно, утверждение 1 следует из теоремы 1 в § 5 главы V [6]. Утверждение 2 — частный случай теоремы 1 из [7] и [8], как указано во введении [7]. Доказательства утверждений 3 и 4 практически полностью совпадают. Поэтому докажем только утверждение 3 и только простой случай (случай р = 9 аналогичен).
Заметим, что
1 — С
р+1 р+1__
,р =1 + Ср = 1 + Срр+1 = С»2 (Ср2 + С»- 2 ).
р+1 _
Элемент (» 2 + (р 2
СР + Ср1. Поэтому ясно, что группа ии^[(р] П И.) является прямым произведением (-1 ) и циклических подгрупп, порождённых элементами, алгебраически сопряжёнными при действии группы Галуа с (р + (
С другой стороны, так как для любого к Е {1,..., (р — 1)/2} имеем равенство С + Срк = (рр-к + Ср+к, норма в Цр имеет вид
1 — Ср
р+1
р+1 2
Е И алгебраически сопряжён при действии группы Галуа с
1
р-1 (р—
N0тт((р + Ср-1) = П(Срк + С-) = ( П(Срк + (-к) ) = 1, к=1 \к=1
и потому
р-1
П(<?+(-к ) = ±1.
к=1
2.2. Кольцо Кх 2.2.1. Общие свойства
Положим для удобства 51 = (7 + (-1, 32 = С? + С-2 и 33 = (73 + С-3. Лемма 5. При введённых обозначениях имеют место следующие равенства: 1) А = —1 — 2(т — 2(6 = —1 — 231;
□
2) в = —1 — 2(2 — 2(5 = —1 —
2
2
3) C = -1 - 2(73 - 2(4 = -1 - 2s4;
4) Un(Z[(7] П R) = Un(Z[si]) = (-1) x (1 + Si) x (1 + S2);
5) (1 + Si)(1 + S2)(1 + S3) = -1, S1S2S3 = 1. Доказательство. Утверждения 1-3 следуют из того, что
Z7 + С? + С73 + Z4 + Z5 + С76 = -1.
Утверждение 4 следует из леммы 4, поскольку 3 — примитивный корень по модулю 7. Утверждение 5 проверим непосредственно:
(1 + Si)(1 + S?)(1 + S3) = (1 + Si + S? + S3 + Si)(1 + S3) = Si(1 + S3) =
= Si + S3 + S2 = -1; SiS2S3 = (S3 + Si)S3 = Si + 2 + S3 + S2 = 1.
□
Лемма 6. Кольцо Ki удовлетворяет равенствам
Ki = Z + 2i0 ■ 13 ■ 29Zs1 + 2i0 ■ 13 ■ 29Zs2 =
= Z + 2i0 ■ 13 ■ 29Z(1 + s1) + 2i0 ■ 13 ■ 29Z(1 + s2).
Доказательство. Равенства следуют из утверждений 1 и 2 леммы 5. □
Лемма 7. Пусть P = Q(^) П R = Q(si) и p G {2,13, 29}. Тогда
1) индекс ветвления e =1 для всякого p G {2,13, 29};
2) степень инерции f = 3 для p = 2 и f =1 для p G {13, 29}.
Доказательство. Утверждения следуют из следствия [9, с. 247], так как 2 ф ±1 (mod 7), a 13 ф -1 (mod 7) и 29 ф 1 (mod 7). □
2.2.2. Модуль 210
Для каждого неотрицательного целого n G {0,1, 2,... } введём в рассмотрение вспомогательные кольца K (n) = Z + 2nZs1 + 2nZs2. Отметим сразу, что
Z[si] = Z[Z7] п R = K(0).
Обозначим через автоморфизм поля P = Q[Z7] П R = Q[s1], индуцированный отображением Z7 м-
Замечание 2. Легко понять, что группа Галуа поля P (над Q) (равносильно: группа автоморфизмов поля P) равна G(P) = {1, <^2, = (^2)2} = Z3.
Лемма 8. Ряд K(0) > K(1) > ■ ■ ■ > K(n) > ■ ■ ■ стабилизируется автоморфизмами из G(P).
Доказательство. Утверждение сразу следует из того, что (s1) и ^2(s2) = s3, а S3 = -1 - Si - S2. □
Лемма 9. Группа единиц Un(K{) < Un(K(1)) = (—1) х (A) х (Б). Доказательство. Ясно, что
Ki = Z + 2i0 ■ 13 ■ 29Zsi + 210 ■ 13 ■ 29Zs2 < K(1) < Z[si] = Z[(7] П R.
Поэтому для групп единиц
Un(Ki) < Un(K(1)) < Un(Z[si]) = Un(Z[(7] П R) = (-1) х (1 + si) х (1 + S2).
Согласно результатам из [10, § 3] получаем, используя лемму 7, что для любой единицы A Е K(0) = Z[si] = Z[(7] П R выполняется A7 Е Un(K(1)). Однако условие возведения в 7-ю степень является достаточным, но не необходимым. Проведём вычисления в GAP [5].
gap> P:=NF(7,[1,6]);
NF(7,[ 1, 6 ])
gap> b:=CanonicalBasis(P);
CanonicalBasis( NF(7,[ 1, 6 ]) )
gap> b[1];
E(7)+E(7)~6
gap> b[2];
E(7)~2+E(7)
gap> L1:=1+b[1];
-E(7)~2-E(7)~3-E(7)~4-E(7)~5
gap> L2:=1+b[2];
-E(7)-E(7)~3-E(7)~4-E(7)~6
gap> c:=Basis(P,[1,b[1] ,b[2]]);
Basis( NF(7,[ 1, 6 ]), [ 1, E(7)+E(7)~6, E(7)~2+E(7)~5 ] )
gap> pr: = []; []
gap> for i in [0..7] do
> for j in [0..7] do
> k:=Coefficients(c,L1~i*L2~j);
> if (k mod 2) = [1,0,0]
> then
> Add(pr,[i,j,k]);
> fi;
> od;
> od; gap> pr;
[ [ 0, 0, [ 1, 0, 0 ] ], [ 0, 7, [ 101, -56, 70 ] ], [ 1, 3, [ -3, 2, -2 ] ], [ 2, 6, [ 29, -16, 20 ] ], [3,2, [1,2,0]], [ 4, 5, [ 9, -4, 6 ] ], [5,1, [ 17, 14, 6 ] ], [6,4, [ 9, 4, 4 ] ], [ 7, 0, [ 157, 126, 56 ] ], [ 7, 7, [ -19, 14, -14 ] ] ] gap> quit;
Отсюда получаем, что
{(1 + si)(1 + S2)3, (1 + si)2(1 + S2)6, (1 + si)3(1 + S2)2, (1 + si)4(1 + S2)5,
(1 + si)5(1 + S2), (1 + si)6(1 + S2)4} С Un(K(1)).
Далее заметим, что имеют место равенства
((1 + Si)3(1 + S2)2)2 = ( + Si)6(1 + S2)4,
((1 + Si)3(1 + S2)2)3 = ( + Si)9(1 + S2)6 = (1 + Si)2(1 + S2)6 (1 + Si)7,
((1 + Si)3(1 + S2)2)4 = ( + Si)i2(1 + S2)8 = (1 + Si)5 (1 + S2)(1 + Si)7(1 + S2 )7,
((1 + Si)3(1 + S2)2)5 = ( + Si)i5(1 + S2)i0 = (1 + Si)(1 + S2 )3(1 + Si)i4(1 + S2)7,
((1 + Si)3(1 + S2)2)6 = ( + Si)i8(1 + S2)i2 = (1 + Si)4(1 + S2)5 (1 + Si)i4(1 + S2 )7.
Следовательно, Un(K(1)) = (-1) x ((1 + Si)7, (1 + S2)7, (1 + Si)3(1 + S2)2). Имеем
(1 + Si)3(1 + S2)2 = 1 + 2si = -A.
Из лемм 3 и 5 получаем, что
B = (A) = ^2 (-(1 + Sl)3(1 + S2)2) = -(1 + S2)3(1 + S3)2 = = -(1 + S2)3 (-(1 + Si)(1 + S2))-2 = -(1 + Si)-2(1 + S2) = = -(1 + Si)-7(1 + Si)5(1 + S2) =
= -(1 + Si)-7 ((1 + Si)3(1 + S2)2)4 ((1 + Si)7(1 + S2)7)-1 = = -(-A)4 (1 + Si)-i4(1 + S2 )-7,
следовательно, (1 + Si)i4(1 + S2)7 = -A4B-i;
C = ^4(A) = ^4 (-(1 + Si)3(1 + S2)2) = -(1 + S3)3(1 + Si)2 = = -(1 + Si)2 (-(1 + Si)(1 + S2))-3 = (1 + Si)-i(1 + S2)-3 = = (1 + Si)6(1 + S2)4 (1 + Si)-7(1 + S2)-7 = = (-A)2(1 + Si)-7 (1 + S2)-7,
поэтому (1 + Si)7(1 + S2)7 = A2C-i = A2(AB) = A3B. Отсюда
(1 + Si)7 = (1 + Si)i4(1 + S2)7 ■ ((1 + Si)7(1 + S2)7)-i = -A4B-i ■ (A3B)-i = -AB-2, (1 + S2)7 = (1 + Si)7(1 + S2)7 ■ (1 + Si)-7 = A3B ■ (-AB-2)-i = -A2B3.
Так как ABC =1 по лемме 3 и s3 = -1 - Si - S2, то
A-i = BC = (-1 - 2s2)(-1 - 2S3) G K(1).
Аналогично B-i G K(1). Таким образом, Un(K(1)) = (-1) x (A) x (B). □
Лемма 10. Для любого X G {A, B, AB} и любого неотрицательного целого n X±2" G K(n +1) \ K(n + 2). Более точно, если X±2" = x0 + 2ra+ixisi + 2n+ix2s2 для подходящих целых x0, xi и x2, то
0) x0 = 1 (mod 2n+i);
1) по крайней мере одно из чисел xi и x2 также должно быть нечётным. Доказательство. Сначала рассмотрим X = A и A2". Так как A = -1 - 2si, то получается базис для индукции по n. Пусть доказано, что A2" G K(n) \ K(n + 1). Тогда A2" = а0 + 2naisi + 2na2s2 для подходящих целых а0 = 1 (mod 2n), ai и a2. А так как A2" G K(n) \ K(n + 1), то, по крайней мере, одно из чисел ai и а2 также должно быть нечётным. При этом
A2" = (A2"- 1 )2 = («0 + 2naiSi + 2n«2 S2)2 = «0 + 2ra+4ai Si + 2n+ia0a2S2 + 2n+2c
для некоторого c Е Z[si] = Z[(7] П R. Поэтому A2" Е K(n +1), а так как одно из чисел aoa1 или a0a2 обязательно нечётно и a0a0 = 1 (mod 2n+1), то в этом случае получаем требуемое.
Далее по лемме 3 ABC = 1. Поэтому
A-1 = BC = (-1 - 2s2)(-1 - 2ss) = 1 + 2s2 + 2ss + 4(s2 + si) =
= -1 + 2(1 + S2 + S3 + si) + 2si + 4s2 = -1 + 2si + 4s2 Е K(1) \ K(2)
л 2"
и можно повторить рассуждения, как для A .
Таким образом, для любого неотрицательного целого n A±2" Е K(n+1)\K(n+2). Применяя лемму 8 к B = (A) и C = ^4(A), получаем для любого неотрицательного целого n B±2", C±2" Е K(n +1) \K(n + 2). Нужно лишь проверить утверждение 0) про свободный член. В самом деле, если = a0 + 2naisi + 2na2s2 для под-
ходящих целых а0 = 1 (mod 2n), a1 и a2, то
B±2"-1 = ^2(ао + 2n aisi + 2n «2S2) = ао + 2naiS2 + 2^3 =
= ao + 2nais2 + 2na2(-1 - si - s2) =
= (ao - 2na2) - 2na2si + 2n(ai - a2)s2,
что и требовалось. Для величины C доказательство проводится аналогично.
Так как AB = C-i, то лемма полностью доказана. □
Предложение 1. Группа единиц Un(Ki) < Un(K(10)) = (-1) х (A29) х (B29).
Доказательство. Докажем по индукции, что Un(K(n)) = (-1) х (A2" 1) х (B2" 1). Отсюда при n =10 будет следовать утверждение леммы.
Базисом индукции является лемма 9. Допустим, что утверждение выполняется для натурального n, то есть Un(K(n)) = (-1) х (A2" ) х (B2" ). Докажем для n + 1. По лемме 10 A2" Е K(n + 1) и B2" Е K(n + 1). Поэтому
Un(K(n +1)) ^ (-1) х (A2") х (B2").
Допустим, что существует D = AkBl Е Un(K(n + 1)) \ (A2") х (B2"). Без ограничения общности можно считать, что 0 ^ k,/ < 2n, а по лемме 10 0 < k,/. Далее по предположению индукции имеем, что k = / = 2n-i и потому по лемме 10
D = (AB)2"-1 Е K(n) \ K(n +1),
что невозможно, так как D Е Un(K(n + 1)). Лемма доказана. □
2.2.3. Модуль 13
Введём в рассмотрение вспомогательное кольцо
L = Z + 13 ■ 2i0Zsi + 13 ■ 2i0Zs2 < K(10) = Z + 2i0Zsi + 2 ■ 2i0Zs2.
Предложение 2. Группа единиц Un(L) = (-1) х (Ai536) х (Ai024B5i2).
Доказательство. Согласно результатам из [10, § 3] получаем, используя лемму 7, что для любой единицы А Е K(0) = Z[si] = Z[Z7] П R выполняется а12 Е Un(L0), где L0 = Z + 13Zsi + 13Zs2. Поэтому, если А Е Un(K(10)), то А12 Е Un(L).
Однако условие возведения в такую степень является достаточным, но не необходимым. Проведём вычисления в GAP [5] с использованием предложения 1.
gap> P:=NF(7,[6]);
NF(7,[ 1, 6 ]) gap> b:=CanonicalBasis(P); CanonicalBasis( NF(7,[ 1, 6 ]) ) gap> A:=-1-2*b[1];
-E(7)+E(7)~2+E(7)~3+E(7)~4+E(7)~5-E(7)~6 gap> B:=-1-2*b[3];
E(7)+E(7)~2-E(7)~3-E(7)~4+E(7)~5+E(7)~6 gap> c:=Basis(P,[1,b[1] ,b[2]]);
Basis( NF(7,[ 1, 6 ]), [ 1, E(7)+E(7)~6, E(7)~2+E(7)~5 ] ) gap> k:=Coefficients(c,A~512) mod 13; [ 9, 8, 6 ]
gap> X1:=9+8*c[2]+6*c[3];
-E(7)-3*E(7)~2-9*E(7)~3-9*E(7)~4-3*E(7)~5-E(7)~6 gap> l:=Coefficients(c,B~512) mod 13; [ 1, 11, 5 ]
gap> X2:=1+11*c[2]+5*c[3];
10*E(7)+4*E(7)~2-E(7)~3-E(7)~4+4*E(7)~5+10*E(7)~6 gap> k3:=Coefficients(c,X1~3) mod 13; [ 1, 0, 0 ]
gap> l3:=Coefficients(c,X2~3) mod 13; [ 1, 0, 0 ]
gap> pr: = []; []
gap> for i in [0..3] do
> for j in [0..3] do
> m:=(Coefficients(c,X1~i*X2~j) mod 13);
> if (m[2]=0) and (m[3]=0)
> then
> Add(pr,[i,j,m]);
> fi;
> od;
> od; gap> pr;
[ [ 0, 0, [ 1, 0, 0 ] ], [0,3, [1,0,0]], [1,2, [ 9, 0, 0 ] ], [2,1, [ 3, 0, 0 ] ], [3,0, [1,0,0]], [3,3, [ 1, 0, 0 ] ] ] gap> quit;
Из этих вычислений следует, что
Un(L) = (-1) х (A1536,B1536,A512B 1024,A1024B512).
Так как A512B1024-A1024B512 = A1536B1536, то Un(L) = (-1) х (A1536, B1536, A1024B512). Далее заметим, что (A1024B512)3 = A3072B1536 = (A1536)2 B1536. Поэтому Un(L) = (-1) х (A1536) х (A1024B512). □
2.2.4. Модуль 29
Теорема 1. Группа единиц Un(K1) = (-1) х (A512^21) х (A512a7B512).
Доказательство. Согласно результатам из [10, § 3] получаем, используя лемму 7, что для любой единицы А € К(0) = ] = X[Ст] ^ К выполняется А28 € Ц7п(М), где
M = Z + 29Zsi + 29Zs2. Поэтому если A Е Un(L), то A28 Е Un(Ki). Однако условие возведения в такую степень является достаточным, но не необходимым. Проведём вычисления в GAP [5] с использованием предложения 2.
gap> P:=NF(7,[6]); NF(7,[ 1, 6 ]) gap> b:=CanonicalBasis(P); CanonicalBasis( NF(7,[ 1, 6 ]) ) gap> c:=Basis(P,[1,b[1] ,b[2]]);
Basis( NF(7,[ 1, 6 ]), [ 1, E(7)+E(7)~6, E(7)~2+E(7)~5 ] ) gap> A:=-1-2*b[1];
-E(7)+E(7)~2+E(7)~3+E(7)~4+E(7)~5-E(7)~6 gap> B:=-1-2*b[2];
E(7)-E(7)~2+E(7)~3+E(7)~4-E(7)~5+E(7)~6 gap> kA:=Coefficients(c,A~1536) mod 29; [ 12, 26, 3 ]
gap> kAB:=Coefficients(c,A~1024*B~512) mod 29; [ 15, 6, 3 ]
gap> ZA:=12+26*c[2]+3*c[3];
14*E(7)-9*E(7)~2-12*E(7)~3-12*E(7)~4-9*E(7)~5+14*E(7)~6 gap> ZAB:=15+6*c[2]+3*c [3];
-9*E(7)-12*E(7)~2-15*E(7)~3-15*E(7)~4-12*E(7)~5-9*E(7)~6 gap> kA28:=Coefficients(c,ZA~28) mod 29; [ 1, 0, 0 ]
gap> kA14:=Coefficients(c,ZA~14) mod 29; [ 1, 0, 0 ]
gap> kA7:=Coefficients(c,ZA~7) mod 29; [ 1, 0, 0 ]
gap> kA4:=Coefficients(c,ZA~4) mod 29; [9, 26, 23 ]
gap> kAB28:=Coefficients(c,ZAB~28) mod 29; [ 1, 0, 0 ]
gap> kAB14:=Coefficients(c,ZAB~14) mod 29; [ 1, 0, 0 ]
gap> kAB7:=Coefficients(c,ZAB~7) mod 29; [ 1, 0, 0 ]
gap> kAB4:=Coefficients(c,ZAB~4) mod 29; [ 12, 26, 3 ]
gap> pr: = []; []
gap> for i in [0..7] do
> for j in [0..7] do
> m:=(Coefficients(c,ZA~i*ZAB~j) mod 29);
> if (m[2]=0) and (m[3]=0)
> then
> Add(pr,[i,j,m]);
> fi;
> od;
> od; gap> pr;
[ [ 0, 0, [1,0,0]], [0,7, [1,0,0]], [1,3, [1,0,0]], [2,6, [ 1, 0, 0 ] ], [3,2, [1,0,0]], [ 4, 5, [ 1, 0, 0 ] ], [5,1, [1,0,0]], [6,4, [ 1, 0, 0 ] ], [7,0, [1,0,0]], [7,7, [ 1, 0, 0 ] ] ] gap> quit;
Как в доказательстве леммы 9, из этих вычислений следует, что
Un(K1) = (-1) х (A1536-7, (A1024B512)7 , A1536-5 ■ (A1024B512)) .
Имеем A1536^5 (A1024B512) = A1536^5+1024B1536 = A51247B512. Для удобства положим X = A512 и Y = B512. В таких обозначениях Un(K1) = (-1) х (X21,X 14Y7,X 17Y). Возникает матрица
'21 14 7
Л 1
над которой произведём элементарные преобразования:
21 0N 14 7 17 1,
<—>
21
14 - 119 17
<—>
21 -105 17
<—>
21 17
Таким образом, получаем Un(Ki) = (-1) х (A512^21) х (A51247B512).
2.3. Кольцо K2 2.3.1. Общие свойства
Положим для удобства для каждого i G {1, 2,... , 6} s¿ = Zí3 + Zi?.
Лемма 11. При введённых обозначениях
1) G = S1 - S2 - S3 - S4 + S5 - S6 = 1 + 2s1 + 2S5;
2) H = -S1 - S2 - S3 + S4 - S5 + S6 = 1 + 2s4 + 2s6;
3) I = -S1 + S2 + S3 - S4 - S5 - S6 = 1 + 2s2 + 2S3;
4) Un(Z[Z13] П R) = Un(Z[s1]) = (-1) х (S1) х (s2) х Ы х (S4) х (S5);
5) S1S2S3S4S5S6 = -1 U (S1 + S5)(S2 + S3)(S4 + S6) = -1. Доказательство. Утверждения 1-3 следуют из того, что
□
12
Si + S2 + S3 + S4 + S5 + S6
Ее
j=i
-1.
Утверждение 4 следует из леммы 4, поскольку 2 — примитивный корень по модулю 13. Утверждение 5 проверим непосредственно. Имеем
SlS2SзS4S5S6 = (йэ + З^^а + 51)^2 + в1) =
= (S4 + Sз + S6 + S5 + S4 + S2 + S2 + 2)^2 + Sl) = = (S6 + S5 + S4 + Sз + S2 + Sl + 1 + S4 + S2 - Sl + 1)(S2 + Sl) = = (S4 + S2 - Sl + 1)(S2 + Sl) = = S4(S2 + Sl) + (S2 - Sl)(S2 + Sl) + (S2 + Sl) = = S6 + S2 + S5 + Sз + S4 - S2 + S2 + Sl = -1.
Так как s2s3 = s1 + s5, s4s6 = s2 + s10 = s2 + s3 и = s4 + s6, то утверждение доказано. □
Лемма 12. Кольцо
K = Z + 210 ■ 53Z(si + S5) + 210 ■ 53Z(s4 + Se) = = Z + 210 ■ 53Z(si + S5) + 210 ■ 53Z(s2 + S3).
Доказательство. Равенства следуют из утверждений 1 и 2 леммы 11. □
Пусть F = Q(s1 + s5,s2 + s3) < Q((13) П R. Группу Галуа поля F (над Q) (равносильно: группу автоморфизмов поля F) обозначим G(F).
Для каждого i Е {1, 2,..., 12} обозначим через фг автоморфизм кругового поля Q((13), индуцированный отображением £13 ^ Ci3.
Лемма 13. Централизатором поля F в группе Галуа кругового поля Q((13) (над Q) (равносильно: в группе автоморфизмов поля Q((13)) является
{ф1,ф5,ф12,фв} = <ф5> = Z4.
Другими словами, если для i Е {1,..., 12} обозначить через фг автоморфизм поля F, индуцированный фг, то группа Галуа G(F) = {ф1,ф2,ф4} = <ф2> = Z3.
Доказательство. Так как выполняются равенства
Ф5 (Si + S5) = S5 + S25 = S5 + Si, Ф5 (S2 + S3) = S10 + S15 = S3 + S2,
то подгруппа <ф5> централизует поле F. Поскольку
52 = 25 = 12 (mod 13), 53 = 125 = 8 (mod 13) и 54 = 625 = 1 (mod 13),
то <ф5> = {Ф1, Ф5, Ф12, Фв} = Z4. Заметим, что ф2^1 + S5) = S2 + S10 = S2 + S3. Поэтому ф2 не централизует поле F, что завершает доказательство. □
Лемма 14. Пусть p Е {2, 5}. Тогда для поля F
1) индекс ветвления e =1 для всякого p Е {2, 5};
2) степень инерции f = 3 для p = 2 и f =1 для p = 5.
Доказательство. По лемме 13 утверждения влечёт следствие [9, с. 247], так как 2 Е <5> (mod 13). □
Лемма 15. Пусть L — кольцо целых поля F. Тогда
1) L = Z + Z(Si + S5) + Z(S2 + S3);
2) группа единиц Un(L) = <—1> х <s1 + s5> х <s2 + s3>. Доказательство. 1. По лемме 4 кольцо целых поля Q(Z13) равно
I = (Ёа»<13 I Е Z Vi Е {0,1,..., 11}
Пусть
г=0
11
a = ^^ a
г=0
Ё агСг Е I.
Из леммы 13 следует, что а Е Ь <—> "05(а) = а. Имеем по модулю 13
г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5г 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3
Кроме того,
и
>12
i=0
Теперь
^5(а) = а0 + а!С153 + а2Cl130 + азС123 + а4С[з + ^13 + абС 43 + а7< 13 +
+ авС l 3 + ад( 6з + а юС^ + а l 1С:
1з
а0 + а8<13 + азС2з + а 11С33 + абС143 + ^3 + аэС163 + а4<73 +
513 ^ "11413 ^ ^413
+ а7С19з + ак^з0 + аюС^1 + ак^з2 =
*2 I „ ^3 , „ л4
2 3 4 5 6 7
а0 + авС 1 з + азС ^ + а 1 1 С з3 + ^3 + а 1С ^ + аэС 1.3 + а4С 13 +
11
+ а7С !з + а2С $ + аю^1 - а^ Сi
i=0
= (ас - а5) + (ав - а5)(1з + (аз - a5)(l2з + (ац - а5)С13з+
+ (а6 - а5)С 43 + (а 1 - а5)С 13 + (а9 - а5)С 13 + (а4 - а5)С 13 +
+ (-а5)С18з + (а7 - а5)С 19з + (а2 - а5К*1!0 + (а 10 - а5)С11з1.
Возникает система
а0 = а0 - а5 а0 = а0
а1 = а8 - а5 а1 = а8
а2 = аз - а5 а2 = аз
аз = ап - а5 аз = ап
а4 = а6 - а5 а4 = а6
а5 = а1 - а5 <—у > а5 = а1
а6 = а1 - а5 а6 = а1
а7 = а4 - а5 а7 = а4
а8 = -а5 а8 =0
а1 = а7 - а5 а1 = а7
а10 = а2 - а5 а10 = а2
ац = а10 - а5 ац = а10
<—> <
а0 = а0
а1 = а5 = а8 = 0
а2 = аз = а10 = а11
а4 = а6 = а7 = а1
Следовательно,
а = а0 + а2(С?з + <?з + С!з0 + Сй) + а4 (С!з + С6з + С7з + &) = = а0 + a2(s2 + sз) + a4(s4 + S6) =
= а0 + a2(s2 + sз) + а4(-1 - + S5) - (s2 + sз)) = = (а0 - а4) + (-a4)(sl + S5) + (а2 - a4)(s2 + sз),
что и требовалось.
2. Так как Ь содержится в 2 [Си] ^ то по леммам 11 и 13 достаточно рассмотреть и = s11 Sз3sk4s'kб Е ип(Ь) <—> ^5(и) = и для {к1,к2,кз,к4,к5} С 2. В самом деле
Фб(и) = ^ 44 = 42 ^44 = 42 ^ (—^ зз^Гк4 =
&4 „&5 — кз —к;4Й2-„ — к:4 „—
(—1)к4 к4 в
2
в
з
4 в
Отсюда возникает система
к4 е 2Z
к1 = к5 — к4 ^2 = кз — кз = ^2 — &4 к4 = —к4 к5 = к1 — к4
^—^ <
5
к4 = 0
к1 = к5 Г к4 = 0
к2 = кз <—> Г к1 = &5 кз = ^2 [ = кз
к5 = к1
Таким образом, и = (в1в5)к1 (в2вз)к2, в1в5 = з6 + з4, з2зз = з5 + в1. Из леммы 11 получаем требуемое.
□
10
2.3.2. Модуль 2
Для каждого неотрицательного целого п е {0,1, 2,... } введём в рассмотрение вспомогательные кольца Ь(п) = Z + + з5) + 2"^(з2 + зз). Отметим сразу, что
Ь = ¿(0).
Лемма 16. Ряд Ь(0) > Ь(1) > ■ ■ ■ > Ь(п) > ми из С(Е).
стабилизируется автоморфизма-
Доказательство. Утверждение сразу следует из того, что ф2(в1 + з2) = з2 + зз и 02^2 + вз) = 34 + вб, а 34 + вб = —1 — (з1 + 55) — (^ + зз). □
Лемма 17. Для вышеуказанных чисел С и I имеем
1) С2 = 13 — 2С — 21;
2) I2 = 11 + 2С;
3) С1 = —7 + С + 31.
Доказательство. Равенства легко следуют из леммы 3. □
Лемма 18. Группа единиц
ип(К1) < ип(Ь(1)) = (—1) X ((81 + ^)7, (в1 + 35)5(з2 + вз)) .
Причём
(з1 + 35)7 = —183 + 286(з1 + ¿5) + 76(^ + вз) = —364 + 143С + 381, (в1 + ¿5)5(з2 + зЗ ) = —11 + 10(в1 + в5) + 6(в2 + ¿З) = —19 + 5С + 31.
Доказательство. Ясно, что
К = Z + 210 ■ + в5) + 210 ■ + вз) < Ь(1) < Z[sl] = Z[Clз] П И.
Поэтому для групп единиц
ип(К2) < ип(Ь(1)) < ип(Ь) = (—1) X Д(в1 + в5) X (в2 + вз).
Согласно результатам из [10, § 3] получаем, используя лемму 7, что для любой единицы А е Z[s1] = Z[Zlз] П И. выполняется А7 е ип(Ь(1)).
Однако условие возведения в 7-ю степень является достаточным, но не необходимым. Проведём вычисления в GAP [5].
gap> F:=NF(13,[5]); NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]) gap> b:=CanonicalBasis(F); CanonicalBasis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]) ) gap> b[1];
E(13)+E(13)~5+E(13)~8+E(13)~12 gap> u:=b[1];
E(13)+E(13)~5+E(13)~8+E(13)~12 gap> v:=b[2];
E(13)~2+E(13)~3+E(13)~10+E(13)~11 gap> c:=Basis(F,[1,b[1] ,b[2]]);
Basis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]), [ 1, E(13)+E(13)~5+E(13)~8+E(13)~12, E(13)~2+E(13)~3+E(13)~10+E(13)~11 ] ) gap> d:=Basis(F,[1,1+2*b[1],1+2*b[2]]); Basis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]), [ 1,
E(13)-E(13)~2-E(13)~3-E(13)~4+E(13)~5-E(13)~6-E(13)~7+E(13)~8 -E(13)~9-E(13)~10-E(13)~11+E(13)~12,
-E(13)+E(13)~2+E(13)~3-E(13)~4-E(13)~5-E(13)~6-E(13)~7-E(13)~8 -E(13)~9+E(13)~10+E(13)~11-E(13)~12 ] )
gap> pr: = []; []
gap> for i in [0..7] do
> for j in [0..7] do
> k:=Coefficients(c,u~i*v~j);
> l:=Coefficients(d,u~i*v~j);
> if (k mod 2) = [1,0,0]
> then
> Add(pr,[i,j,k,l]);
> fi;
> od;
> od; gap> pr;
[ [ 0, 0, [ 1, 0, 0 ], [ 1, 0, 0 ] ],
[ 0, 7, [ -259, -76, 210 ], [ -326, -38, 105 ] ],
[1,3, [ -7, -2, 6 ], [ -9, -1,3]],
[ 2, 6, [ 189, 56, -148 ], [ 235, 28, -74 ] ],
[ 3, 2, [ 5, 2, -4 ], [ 6, 1, -2 ] ],
[ 4, 5, [ -135, -40, 106 ], [ -168, -20, 53 ] ],
[5,1, [ -11, 10, 6 ], [ -19, 5, 3 ] ],
[ 6, 4, [ 97, 28, -76 ], [ 121, 14, -38 ] ],
[ 7, 0, [ -183, 286, 76 ], [ -364, 143, 38 ] ],
[ 7, 7, [ -2479, -734, 1946 ], [ -3085, -367, 973 ]] ]
gap> quit;
Как в вычислениях, обозначим для удобства u = s1 + s5 и v = s2 + s3. Получаем, что {uv3,u2v6,u3v2, u4v5, u5v, u6v4} С Un(L(1)). Далее заметим, что
uv3)2 = u2ve, uv3)3 = u3v9 = u3v2v7, uv3)4 = u4v12 = u4v5v7, uv3)5 = u5v15 = u5vv14, uv3)e = uev18 = uev4v14.
Следовательно, ип(Ь(1)) = (—1) X (и7, V 7, и/уз). Возникает матрица
'7 0^ 0 7
13
над которой произведём элементарные преобразования
7 0\ f 7 0\ /7 0N
0 7 1 ц—► 1-2 1 | ц—► 1-2 1 | ц—►
1 3 1 3 7 0
70
51
Таким образом, получаем
Un(L(1)) = <-1> х <(Si + S5)7) х <(Si + S5)5(S2 + S3)) . Оставшееся следует из вычислений. □
Далее можно рассуждать, как в лемме 10 и предложении 1, но мы проведём прямые вычисления.
Предложение 3. Группа единиц
Un(K2) < Un(L(10)) = <-1> х <(Si + S5)7512) х (((Si + S5)5(S2 + S3))512) .
Доказательство. Согласно результатам из [10, § 3 и лемма 32] получаем, используя лемму 7, что для любой единицы Л Е L(1) выполняется Л512 Е Un(L(10)).
Проверим необходимость условия возведения в такую степень. gap> F:=NF(13,[5]); NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]) gap> b:=CanonicalBasis(F); CanonicalBasis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]) ) gap> c:=Basis(F,[1,b[1] ,b[2]]); Basis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]), [ 1, E(13)+E(13)~5+E(13)~8+E(13)~12, E(13)~2+E(13)~3+E(13)~10+E(13)~11 ] ) gap> p:=b[1]~7;
469*E(13)+259*E(13)~2+259*E(13)~3+183*E(13)~4+469*E(13)~5+ 183*E(13)~6+183*E(13)~7+469*E(13)~8+183*E(13)~9+259*E(13)~10 +259*E(13)~11+469*E(13)~12 gap> q:=b[1]~5*b[2];
21*E(13)+17*E(13)~2+17*E(13)~3+11*E(13)~4+21*E(13)~5+
11*E(13)~6+11*E(13)~7+21*E(13)~8+11*E(13)~9+17*E(13)~10
+17*E(13)~11+21*E(13)~12
gap> Coefficients(c,p~512) mod 1024;
[ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,p~256) mod 1024; [ 1, 512, 512 ]
gap> Coefficients(c,q~512) mod 1024; [ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,q~256) mod 1024; [ 513, 0, 512 ]
gap> pr: = []; []
gap> for i in [0..512] do
> for j in [0..512] do
> k:=(Coefficients(c,p~i*q~j) mod 1024);
> if (k[2]=0) and (k[3])=0
> then
> Add(pr,[i,j]);
> fi;
> od;
> od; gap> pr;
[ [ 0, 0 ], [ 0, 512 ], [ 512, 0 ], [ 512, 512 ] ] gap> quit;
□
2.3.3. Модуль 53 Теорема 2. Группа единиц
Un(K2) = (-1) X <(S1 + S5)7^512^25) x <((Sl + S5)5(S2 + S^)5^) .
Доказательство. Согласно результатам из [10, § 3 и лемма 32] получаем, используя лемму 7, что для любой единицы Л Е Z [s1] = Z[Z7] П R выполняется Л100 Е Un(M), где M = Z + 53Zs1 + 53Zs2. Поэтому, если Л Е Un(L(10)), то Л100 Е Un(K2).
Проведём вычисления в GAP [5] с использованием предложения 3, чтобы проверить необходимость возведения в такую степень.
gap> F:=NF(13,[5]); NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]) gap> b:=CanonicalBasis(F); CanonicalBasis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]) ) gap> c:=Basis(F,[1,b[1] ,b[2]]); Basis( NF(13,[ 1, 5, 8, 12 ]), [ 1, E(13)+E(13)~5+E(13)~8+E(13)~12, E(13)~2+E(13)~3+E(13)~10+E(13)~11 ] ) gap> c1:=(Coefficients(c,b[1]~(7*512)) mod 125); [ 86, 60, 20 ]
gap> c2:=(Coefficients(c,b[1]~2560*b[2]~512) mod 125); [ 96, 15, 70 ]
gap> r:=86+60*b[1]+20*b [2];
-26*E(13)-66*E(13)~2-66*E(13)~3-86*E(13)~4-26*E(13)~5
-86*E(13)~6-86*E(13)~7-26*E(13)~8-86*E(13)~9-66*E(13)~10
-66*E(13)~11-26*E(13)~12
gap> t:=96+15*b[1]+70*b [2];
-81*E(13)-26*E(13)~2-26*E(13)~3-96*E(13)~4-81*E(13)~5 -96*E(13)~6-96*E(13)~7-81*E(13)~8-96*E(13)~9-26*E(13)~10 -26*E(13)~11-81*E(13)~12 gap> Coefficients(c,r~100) mod 125; [ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,r~50) mod 125; [ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,r~20) mod 125; [ 76, 75, 25 ]
gap> Coefficients(c,r~25) mod 125; [ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,t~100) mod 125; [ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,t~50) mod 125; [ 1, 0, 0 ]
gap> Coefficients(c,t~20) mod 125; [26, 50, 25 ]
gap> Coefficients(c,t~25) mod 125; [ 1, 0, 0 ]
gap> pr: = []; []
gap> for i in [0..25] do
> for j in [0..25] do
> k:=(Coefficients(c,r~i*t~j) mod 125);
> if (k[2]=0) and (k[3]=0)
> then
> Add(pr,[i,j]);
> fi;
> od;
> od; gap> pr;
[ [ 0, 0 ], [ 0, 25 ], [ 25, 0 ], [ 25, 25 ] ] gap> quit;
□
Список литературы
1. Алеев, Р. ЖЖ. Центральные элементы целочисленных групповых колец / Р. Ж. Але-ев // Алгебра и логика. - 2000. - T. 39, № 5. - C. 513-525.
2. Молодорич, М. И. Классовые кольца характеров спорадических групп / М.И. Мо-лодорич // Сиб. электрон. мат. изв. — 2014. — T. 11. — C. 878-886.
3. Молодорич, М. И. Группы единиц классовых колец характеров спорадических групп / М. И. Молодорич // Сиб. электрон. мат. изв. — 2016. — T. 13. — C. 38-48.
4. Aleev, R. Zh. Class character rings of groups J1 and O'N / R. Zh. Aleev, M. I. Molodorich // Groups and Graphs, Algorithms and Automata: Abstracts of the International Conference and PhD Summer School in honor of the 80th Birthday of Professor Vyacheslav A. Belonogov and of the 70th Birthday of Professor Vitaly A. Baransky. — 2015. — P. 31.
5. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.8.3; 2016 [Электронный ресурс]. — URL: http://www.gap-system.org (дата обращения 12.03.2017).
6. Боревич, З. И. Теория чисел / З.И.Боревич, И. Р. Шафаревич. — М. : Наука, 1985. — 504 с.
7. Алеев, Р. Ж!. Порождающие группы круговых единиц / Р. Ж. Алеев, В. С. Такше-ева // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2008. — № 6 (107). Математика. Механика. Информатика. Вып. 10. — С. 121-129.
8. Masley, J. M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields / J. M. Masley // Compositio Mathematica. — 1976. — Vol. 33, fasc. 2. — P. 179-186.
9. Narkiewicz, W. Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers / W. Narkiewicz.— Warsaw : PWN — Polish Sci. Publ., 1974. — 630 p.
10. Алеев, Р. Ж!. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп/ Р. Ж. Алеев // Мат. труды. — 2000. — T. 3. — C. 3-37.
Поступила в 'редакцию 18.04-2017 После переработки 25.06.2017
Сведения об авторах
Алеев Рифхат Ж^алялович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: aleevrz@susu.ru, aleev@csu.ru.
Молодорич Маргарита Ивановна, преподаватель кафедры системного программирования, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: molodorichmi@susu.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 2. P. 133-151.
THE UNIT GROUPS OF CLASS CHARACTER RINGS OF RUDVALIS GROUP
R.Zh. Aleev1'2'", M.I. Molodorich2'6
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "aleevrz@susu.ru, aleev@csu.ru; bmolodorichmi@susu.ru
In our work we study the class character rings of group Ru, which are not the subrings of real quadratic fields. Their units are described.
Keywords: sporadic group, unit, character, group rings, class character ring.
References
1. Aleev R.Zh. Central elements of integral group rings. Algebra and Logic, 2000, vol. 39, no. 5, pp. 293-300.
2. Molodorich M.I. Klassovye kol'tsa kharakterov sporadicheskikh grupp [The class character rings of sporadic groups]. Sibirskie elektronnye matematicheskiye izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2014, vol. 11, pp. 878-886. (In Russ.).
3. Molodorich M.I. Gruppy yedinits klassovykh kolets kharakterov sporadicheskikh grupp [The unit groups of class character rings of sporadic groups]. Sibirskie elektronnye matematicheskiye izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2016, vol. 13, pp. 38-48. (In Russ.).
4. Aleev R.Zh., Molodorich M.I. Class character rings of groups J1 and O'N. Groups and Graphs, Algorithms and Automata: Abstracts of the International Conference and PhD Summer School in honor of the 80th Birthday of Professor Vyacheslav A. Belonogov and of the 70th Birthday of Professor Vitaly A.Baransky, 2015, p. 31.
5. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.8.3; 2016. Available at: http://www.gap-system.org, accessed 12.03.2017.
6. Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Number Theory. New York, San Francisco, London, Academic Press, 1966. 435 p.
7. Aleev R.Zh., Taksheeva V.S. Porozhdayushchiye gruppy krugovykh edinits [Generators of the group of cyclotomic units]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2008, no. 6 (107), pp. 121-129. (In Russ.).
8. Masley J.M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields. Compositio Mathematica, 1976, vol. 33, fasc. 2, pp. 179-186.
9. Narkiewicz W. Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers. Warsaw, PWN - Polish Scientific Publishers, 1974. 630 p.
10. Aleev R.Zh. The units of character fields and the central units of integer group rings of finite groups. Siberian Advances in Mathematics, 2001, vol. 11, no. 1, pp. 1-33.
Accepted article received 18.04.2017 Corrections received 25.06.2017
