CC BY
29
МАТЕМАТИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 2. С. 129-141.
УДК 512.552.7 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14201
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СОПРЯЖЁННОСТЬ НЕПРИВОДИМЫХ ХАРАКТЕРОВ ГРУППЫ СЬ(2, 8)
Р. Ж. Алеев1'2'", О. В. Митина16, А. Д. Годова1с
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "aleev@csu.ru, aleevrz@susu.ru, ьovm@csu.ru, сsasha.godova97@mail.ru
Строение таблиц характеров групп ОЬ(2, д) известно достаточно давно. Однако при конкретном задании д явное нахождение группы может оказаться весьма трудным, поскольку даже вычисление чисел, которые определяют положение характеров в таблице, требует значительных усилий. Также оказывается, что конкретные значения некоторых характеров могут быть весьма нелёгкими для вычисления в силу нетривиальных соотношений между корнями из 1 разных степеней. В данной работе в явном виде представлена таблица характеров группы ОЬ(2, 8), построение которой продемонстрировало приведённые выше трудности. В частности, были обнаружены интересные связи между корнями из 1 степени 21. Полностью определена алгебраическая сопряжённость характеров группы ОЬ(2, 8), что позволило вычислить ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца этой группы.
Ключевые слова: характер, таблица характеров, групповое кольцо, центральная единица группового кольца, 'ранг группы центральных единиц.
Введение
Изучение центральных единиц (центральных обратимых элементов) целочисленных групповых колец конечных групп представляет большой интерес, поскольку позволяет получать важнейшие характеристики групповых колец. Согласно [1], периодической частью группы центральных единиц целочисленного группового кольца конечной группы являются (с точностью до знака) элементы центра группы, а частью без кручения этой группы — прямое произведение конечного числа бесконечных циклических групп. Число таких бесконечных прямых сомножителей и есть ранг группы центральных единиц.
В работах Р. Ж. Алеева, Э. Ф. Исмагиловой, Н. Г. Карлиной [2] и Р. Ж. Алеева, О. В. Митиной и А. П. Митина [3] были описаны группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп ОЬ(2, 4) и ОЬ(2, 5). В этой работе строится таблица характеров группы ОЬ(2, 8), которая используется для нахождения алгебраически сопряжённых характеров, что позволяет, в свою очередь, найти ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы ОЬ(2,8).
Работа выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление №211 от 16.03.2013), соглашение № 02.A03.21.0011, и при частичной поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант Правительства РФ № 14.Z50.31.0020).
1. Таблица характеров группы СЬ(2, 8)
1.1. Таблицы характеров групп ОЬ(2, q)
Общий вид таблицы характеров групп СЬ(2, д) приведён в статье В. А. Белоно-гова [4] (см. табл. 1).
Таблица 1
Таблица характеров группы ОЬ(2, д) при д = 2"
д г" (а € /1) ма(а € /1) г>а,ь((а,&) € /2) ^а(а € /3)
|Сс(д)| N д(д — 1) (д — 1)2 д2 — 1
Хк (к € /1) а2ка а2ка ак(а+ь) ака
^(к € /1) да2ка 0 ак(а+ь) —ака
Пк,т((к,т) € /2) (д + 1)а(к+т)а а(к+т)а а^а+тб + ата+кЬ 0
(к € /3) (д — 1)ака —ака 0 __ в
Пояснения к таблице:
1. /1 = {0, 1,...,д - 2}, |Д| = д - 1.
2. /2 = {(¿,^) | 0 ^ ¿^ ^ д - 2}, |/2| = . ^
3. /3 = {к | 0 ^ к ^ д2 — 2, д +1 не делит к, = }, где кд — остаток от деления числа кд на д2 — 1, |/3| = .
4. а — примитивный корень из 1 степени д — 1, в — примитивный корень из 1 степени д2 — 1, причём а = в9+1.
5. — характер степени 1 (линейный характер),
— характер степени д для любого к € /1,
— характер степени д + 1 для любого (т, к) € /2,
— характер степени д — 1 для любого к € /3.
6. р — примитивный элемент поля , а — примитивный элемент поля Ед2, причём р = а9+1.
_ а_ /ра 0 \ _ /ра 0 \ _ /ра 0 \ а _ /а° 0
7. г р^ ,иа = ^1 р^ ^ = ^0 р7 =^0 а"*
1.2. Таблица характеров группы ОЬ(2, 8)
Построим таблицу характеров группы СЬ(2, 8) в явном виде. Для д = 8 имеем следующее:
1. |/1| = 7, /1 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. |/21 = (8~2)2(8~1} = 21, /2 = {(г, ^ | 0 ^ г < ] ^ 8 — 2}, следовательно,
/2 = {(0,1), (0, 2), (0, 3), (0,4), (0, 5), (0, 6), (1, 2), (1, 3), (1,4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4,6)}.
3. |/з| = 88-11 = 28, /з = {к | 0 ^ к ^ 62,9 не делит к,& = ^}, где 8к — остаток от деления числа 8к на 63.
Из множества {0,1, 2,... , 62} удалим числа, кратные 9. Получим множество
{1,2,..., 8,10,..., 17,19,..., 26,28,..., 35, 37,..., 44,46,..., 53,55,..., 62}. Полученное множество разбиваем на пары (п, 8п) по модулю 63:
(1, 8),(2,16),(3,24),(4,32),(5, 40),(6, 48), (7,56), (10,17), (11,25),(12,33), (13,41), (14, 49), (15, 57), (19, 26), (20, 34), (21, 42), (22,50), (23,58),(28,35), (29,43), (30,51), (31,59),(37,44),(38,52),(39,60),(46,53),(47,61),(55,62).
Из каждой пары выберем по одному элементу:
/3 = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7,10,11,12,13,14,15,19, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31, 37, 38, 39, 46, 47, 55}.
4. а — примитивный корень из 1 степени 7, без ограничения общности можно считать, что а = cos + i sin ; в — примитивный корень из 1 степени 63, и мы также можем считать, что в = cos |п + i sin , значит, а = в9.
5. Таким образом, получим следующие семейства характеров:
а) первое семейство состоит из 7 характеров степени 1:
X = {X0,Xi,Xi,X3,X4,X5,X6};
б) второе семейство состоит из 7 характеров степени 8:
@ = {$0, #1, #2, #3, $4, $5, $б};
в) третье семейство состоит из 21 характера степени 9:
H = {по,1, По,2, П0,3, По,4, П0,5, П0,6, П1,2, П1,3, П1,4, П1,5, П1,6, П2,3, П2,4, П2,5, П2,6, П3,4, П3,5, П3,6, П4,5, П4,6, П5,б};
г) четвёртое семейство состоит из 28 характеров степени 7:
" = fó , £2, £3, £4, £5, £6, £7, £10, £11, £12, £13, £14, £15, £19, £2Ъ £3Ъ £38, £55}.
Для удобства в дальнейшем будем обозначать GL(2, 8) = G.
Таблица 2
Блочный вид таблицы характеров группы G = GL(2, 8)
g za(a G /1) ua (a G /1) Va,b((a,b) G /|) wa(a G (/3)
|CG(g)| 3528 56 49 63
Xk(k G /1) A-7X 7 A7X7 B7x21 C7x 28
#k(k G /1) 8^7x7 0 B7x21 C7x28
nfc,m((k,m) G /|) 9B4 9B21x7 Ri B21x7 D21x21 0
£k(k G /3) 7C t 7 C28x7 C t C28x7 0 F28 x 28
Опишем более подробно разбиение на блоки и строение этих блоков. Отметим, что во множестве Д нумерация начинается с нуля, нижние индексы блоков означают их размер, верхний индекс £ — транспонирование и 0 — блоки подходящего размера, состоящие из нулей. Таким образом, в таблице будут ненулевые блоки ^7x7, ^7x21, С*7х28, ^21x21, ^28x28 и транспонированные им.
Блок А7х7. Для к, а € /1 в блоке А7х7 на месте с номером (к, а) стоит элемент
Блок В7х21. Для к Е /1 и (а,Ь) € /2 в блоке В7х21 на месте с номером (к, (а,Ь)) стоит элемент
Блок С7х28. Для к € /1 и а € /3 в блоке С7х21 на месте с номером (к, а) стоит элемент
Блок Д21х21. Для (к, т), (а, Ь) € /2 в блоке Д21х21 на месте с номером ((к, т), (а, Ь)) стоит элемент +
Блок ^28х28. Для к, а € /3 в блоке ^28х28 на месте с номером (к, а) стоит элемент _в_
1.3. Значения характеров
Пользуясь таблицей характеров, выпишем значения характеров для каждого из следующих семейств. Будем обозначать через х(С) множество всех значений характера х группы С.
1.3.1. Первое семейство X
Значения характеров этого семейства содержатся в следующем фрагменте таблицы характеров группы С:
д га(а € /1) ма (а € /1) г>а,ь((а,&) € /2) ^а(а € /3)
Хк (к € /1) А-7х 7 А-7х7 В7х 21 С7х28
Из описания строения блоков А7х7, В7х21 и С7х28 очевидно следует, что все значения характеров семейства X являются степенями элемента а. Также очевидно, что Хо = 1с — главный характер, а остальные характеры семейства X имеют в качестве значений все степени а. Таким образом, получим следующие значения характеров:
1) Хо(С) = {1};
2) для любого к € {1, 2,..., 6} имеем хк(С) = {1, а, а2, а3, а4, а5, а6}. 1.3.2. Второе семейство ©
Фрагмент таблицы характеров со значениями характеров семейства в имеет вид _
д га(а € /1) ма(а € /1) г>а,ь((а,&) € /2) ^а(а € /3)
4 (к € /1) 8А7х7 0 В7х 21 — С7х28
Как и в случае семейства X, легко понять, что все значения характеров семейства в либо нулевые, либо кратны степеням а. Понятно, что характер 0о имеет только целые значения. Поэтому непосредственно проверяется, что:
1) 0о(С) = {8,1, 0, —1};
2) для любого к € {1, 2, . . . , 6}
^(С) = {8, 8а, 8а2,8а3, 8а4, 8а5, 8а6,1, а, а2, а3, а4, а5, а6, 0,
—1, —а, —а2, —а3, —а4, —а5, —а6}.
1.3.3. Третье семейство Н
Для этого семейства значения характеров содержатся в следующем фрагменте таблицы характеров:
д га(а € /1) ма (а € /1) г>а,ь((а,6) € /2) ^а(а € /3)
Пк,т(к,т) € /2) 9^21х7 В21х7 ^21х21 0
В этом случае нетрудно понять, что все значения характеров семейства Н либо равны нулю, либо являются степенями а, либо суммой двух степеней а (это для чисел, попадающих в блок Д21х21). Также следует отметить, что в случае, когда (к, т) € /3 и к + т =7, имеем
а(к+т)а = а7« = 1, ак«+тЬ + ата+к& = ака+(7-к)Ь + а(7-к)а+к& = ак(а-Ь) + а(7-к)(а-Ь).
Поэтому соответствующие места в блоке В21х7 будут заполнены 1, а в блоке Д21х21 значения на таких местах легко вычислимы. Таким образом, при непосредственных вычислениях возникают два случая:
1) для (к, т) € {(1, 6), (2, 5), (3, 4)} имеем пк,т(С) = {1, 9, а + а6, а2 + а5, а3 + а4};
2) для всех остальных (к,т) Е /2, т.е. для
(к,т) е /2 \{(1, 6), (2,5), (3, 4)} = {(0,1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0,5), (0, 6), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),(2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 5), (3,6), (4, 5), (4, 6)},
получим
Пк>т(С) = {9, 9а, 9а2, 9а3,9а4, 9а5, 9а6,1, а, а2, а3, а4, а5,а6,а + 1,
а2 + 1,а3 + 1, а4 + 1,а5 + 1,а6 + 1,а2 + а, а3 + а, а4 + а, а5 + а, а6 + а, а3 + а2, а4 + а2, а5 + а2, а6 + а2, а4 + а3, а5 + а3, а6 + а3, а5 + а4, а6 + а4, а6 + а5}.
1.3.4. Четвёртое семейство 2
Наконец, для последнего семейства характеров имеем следующий фрагмент таблицы характеров:
g z"(a G /1) ua(a G /1) va,b((a,b) G /2) w"(a G /3)
бс(k G /3) 7c28x7 — c28x7 0 F28 x 28
Поскольку значения элементов в блоке С28х7 являются степенями элемента а = в9, значения элементов в ^28х28 есть —вка — в8к", а элемент в — это примитивный корень степени 63 из 1, то ясно, что нуждаются в особом рассмотрении те значения к е /3, которые делятся на 3 и/или 7. Также нам потребуется следующий результат, который прояснит значения характеров в некоторых случаях.
Лемма 1. При введённых выше обозначениях в3 + в24 = —а
24 = —а5,
в6 + в48 = —а3, в12 + в33 = —а6, в15 + в57 = —а4,
в30 + в51 = —а, в39 + в60 = —а2, в21 + в42 = —1.
Доказательство. В самом деле
л3 „24 6п 6п 48п 48п
в + в = cos--+ i sin--+ cos--+ i sin-=
И 63 63 63 63
27п 21п 27п 21п п f 3п 3п \
= 2 cos-cos--+ 2i sin ——— cos-= 2 cos — cos — + i sin — =
63 63 7 63 3 V 7 7 J
0 1 , ^ f 10п , . . 10п \ 5 .45
= 2 ■ 2 ■ (—1) (cos—+ i sin—J = —а5 = —в45.
Согласно [5, § 60], существуют такие автоморфизмы i/, j G J = {2,4, 5,10,13}, кругового поля 0>(в) = Q63, что í(в) = в^. Так как а = в9, то í(а) = (в9)^ = в9j = а-7.
Рассмотрим действие каждого автоморфизма для j G J на обе части равенства в3 + в24 = —а5. Пусть j = 2, тогда ^(в3) = в6, ?Ыв24) = в48, ^(а5) = а10 = а3. Поэтому в6 + в48 = —а3.
Если j = 4, то 1/4(в3) = в12, í/4(в24) = в96 = в33, "^(а5) = а20 = а6. Таким образом, в12 + в33 = —а6.
Пусть j = 5, тогда ^(в3) = в15, ?Ыв24) = в120 = в57, ?Ма5) = а25 = а4. Поэтому в15 + в57 = —а4.
Если j = 10, то ?Ыв3) = в30, ?Ыв24) = в240 = в51, ?Ыа5) = а50 = а. Таким образом, в30 + в51 = —а.
Наконец, для j = 13 получим 1/13(в3) = в39, ?Мв24) = в312 = в50, ?Ыа5) = а65 = а2. Следовательно, в39 + в60 = —а2. Последнее равенство следует из того, что в21 — корень третьей степени из 1.
□
Рассмотрим значения к € /3, которые делятся на 3 и/или 7.
1. Единственное значение элемента к € /3, которое делится на 3 и 7, равно 21. Тогда ЫС) = {7,1, 0, _ 1, _ 2}.
2. Числами к € /3, которые делятся на 7 и не делятся на 3, являются числа {7,14, 28}. Для таких к имеем по лемме 1
^(С) = {7,0, _ 1, _ в7 _ в56, _ в14 _ в49, _ в21 _ в42 = 1, _ в28 _ в35}.
3. Числами к € /3, которые делятся на 3 и не делятся на 7, являются числа {3,6,12,15, 30, 39}. Так как а = в9, то по лемме 1 для таких к имеем
& (С) = {7, 7а, 7а2, 7а3, 7а4, 7а5, 7а6, 0, _ 1, _ 2, _ а, _ а2, _ а3, _ а4, _ а5, _ а6, _ в3 _ в24 = а5, _ в6 _ в48 = а3, _ 2в9 = _ 2а, _ в12 _ в33 = а6, _ в15 _ в57 = а4, _ 2в18 = _ 2а2, _ в21 _ в42 = 1, _ в30 _ в51 = а, _ 2в36 = _ 2а4, _ в39 _ в60 = а2, _ 2в45 = _ 2а5, _ 2в27 = _ 2а3, _ 2в54 = _ 2а6}
или
& (С) = {7, 7а, 7а2, 7а3, 7а4, 7а5, 7а6, 0, _ 1, _ 2, _ а, _ а2, _ а3, _ а4, _ а5, _ а6, а, а2, а3, а4, а5, а6, _ 2а, _ 2а2, _ 2а3, _ 2а4, _ 2а5, _ 2а6,1}.
4. Для всех остальных к € /3, т.е. для /3 \ {21, 7,14, 28, 3, 6,12,15, 30, 39} = {1, 2, 4, 5,10,11,13,19, 20, 22, 23, 29, 31, 37, 38, 46, 47, 55}, получим по лемме 1
& (С) = {7, 7а, 7а2, 7а3, 7а4, 7а5, 7а6, 0, _ 1, _ а, _ а2, _ а3, _ а4, _ а5, _ а6, _ в _ в8, _ в2 _ в16, _ в3 _ в24 = а5, _ в4 _ в32, _ в5 _ в40, _ в6 _ в48 = а3, _ в7 _ в56, _ в10 _ в17, _ в11 _ в25, _ в12 _ в33 = а6, _ в13 _ в41, _ в14 _ в49, _ в15 _ в57 = а4, _ в19 _ в26, _ в20 _ в34, _ в21 _ в42 = 1, _ в22 _ в50, _ в23 _ в58, _ в28 _ в35, _ в29 _ в43, _ в30 _ в51 = а, _ в31 _ в59, _ в37 _ в44, _ в38 _ в52, _ в39 _ в60 = а2, _в46_ в53,_ в47 _ в61,_ в55 _ в62},
т. е.
& (С) = {7, 7а, 7а2, 7а3, 7а4, 7а5, 7а6, 0, _ 1, _ а, _ а2, _ а3, _ а4, _ а5, _ а6, _ в _ в8, _ в2 _ в16, _ в4 _ в32, _ в5 _ в40, _ в7 _ в56, _ в10 _ в17, _ в11 _ в25, _ в13 _ в41, _ в14 _ в49, _ в19 _ в26, _ в20 _ в34, _ в22 _ в50, _ в23 _ в58, _ в28 _ в35, _ в29 _ в43, _ в31 _ в59, _ в37 _ в44, _ в38 _ в52, _ в46 _ в53, _ в47 _ в61, _ в55 _ в62, а, а2, а3, а4, а5, а6, 1}.
2. Поля характеров и их автоморфизмы
На основе информации о значениях характеров можно найти поля всех характеров и автоморфизмы этих полей.
Лемма 2. Для любого характера х € {х0,^0,£21} полем характера является поле рациональных чисел: О(х) = О.
Доказательство. Утверждение очевидно, поскольку эти характеры принимают только целые значения. □
Лемма 3. Для любого характера
х € {х/с А | к € {1, 2,..., 6}}и{пс,т | (к,т) € /2 \ {(1, 6), (2,5), (3, 4)}}и
и{& | к € {3,6,12,15, 30, 39}}
полем характера является круговое поле, полученное присоединением примитивного корня а из 1 степени 7 к полю рациональных чисел: о(х) = о(а) = о7. Группа автоморфизмов (группа Галуа) поля о7 состоит из 6 элементов:
Аи^) = {^ | 3 €{1,2,...,6}},
где для любого 3 € {1, 2,..., 6} ^(а) = а-7.
Доказательство. Значения этих характеров, рассмотренные ранее, влекут очевидно утверждение о полях характеров. Утверждение об автоморфизмах следует из результатов [5, § 60]. □
Лемма 4. Для любого характера х € {^1)6, П2,5, П3,4} полем характера является максимальное действительное подполе кругового поля о7:
о(х) = о(а) П к = о7 П к.
Группа автоморфизмов (группа Галуа) поля о7 П к состоит из 3 элементов:
Аи1(о7 П к) = {£,■ | 3 €{1, 2, 3}},
где для любого 3 € {1, 2, 3} (/-(а + а-1) = а7 + а-7.
Доказательство. Так как значения каждого такого характера являются элементами множества {1, 9, а + а6, а2 + а5, а3 + а4}, то о(х) С о7 Пк. Поскольку о(х) = о, то по теореме о степенях (см. [5, § 40]) получим, что о(х) = о(а) П к = о7 П к. Утверждение об автоморфизмах следует по лемме 3 из [5, § 59]. □
Можно подвести предварительный итог. В леммах 2-4 описаны поля всех характеров семейств X, в и Н. Заметим, что поля характеров семейства 2 связаны с блоками С28х7 и ^28х28. Поскольку а = в9, то все значения этих характеров содержатся в круговом поле о (в) = о63. Поэтому необходимо сначала описать автоморфизмы поля о63.
Лемма 5. Группа автоморфизмов (группа Галуа) поля о63 изоморфна группе единиц zg3 кольца z63 классов вычетов по модулю 63. Более подробно, пусть
Я63 = {1, 2, 4,5, 7, 8,10,11,13,14,16,17,19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38, 40, 41,43, 44, 46, 47, 49, 50, 52, 53,55, 56, 58, 59, 61, 62}
есть приведённая система вычетов по модулю 63. Тогда группа автоморфизмов (группа Галуа) поля о63 имеет следующее строение: Аи^о63) = | 3 € Я631, где —(в) = в7. В частности, -г/ (а) = а7.
Доказательство. Утверждение следует из [5, § 60].
□
Лемма 6. Пусть
Я863 = /3 \ {21, 7,14, 28, 3,6,12,15, 30, 39} =
= {1, 2, 4,5,10,11,13,19, 20, 22, 23, 29, 31, 37, 38, 46, 47, 55}.
Тогда для любого характера х Е | к е Я863} полем характера
о(х) = Со, ш = о(в + в8,а)
является централизатор автоморфизма "8 поля о63, или, равносильно, поле, полученное присоединением элементов в + в8 и а к полю рациональных чисел О. Также группа автоморфизмов (группа Галуа) поля о(х) имеет следующее строение :
Аи1(о(х)) = {" I 3 е Д863} ,
где " (в + в8) = в' + ви " (а) = а.
Доказательство. Рассматривая приведённые ранее значения любого такого характера х, нетрудно понять, что автоморфизм "8 централизует любое значение этого характера. Поэтому о(х) С Со63("8). С другой стороны, любой симметрический многочлен с целыми коэффициентами от двух неизвестных х и у представляется в виде многочлена с целыми коэффициентами от х + у и ху. Следовательно, любое число вида —в5 — в85 является значением некоторого многочлена с целыми коэффициентами от х + у и ху при х = в и у = в8, ибо х + у = в + в8 и ху = вв8 = в9 = а. Отсюда ясно, что
о(х) С о(в + в8, а) с С063Ш.
Так как порядок автоморфизма "8 равен 2, то из § 59 и § 60 в [5] следует, что степень расширения поля о
|СобзШ : = ^ = = 18.
где ф — теоретико-числовая функция Эйлера.
Множество Я63 разбиваем на пары чисел (п, 8п) по модулю 63:
(1, 8),(2,16),(4,32),(5, 40), (10,17), (11, 25), (13, 41), (19, 26), (20, 34), (22, 50),
(23, 58), (29, 43), (31, 59), (37, 44), (38,52), (46, 53), (47, 61), (55, 62).
Каждая из этих пар определяет смежный класс в группе автоморфизмов (группе Галуа) поля о63 по подгруппе ("8) порядка 2. Поэтому из § 59 в [5] следует, что
Аи1(Собз ("$)) = {" I 3 е Я863} ,
где для любого 3 е Я863 имеем "(в + в8) = в' + ви "(а) = а'.
Так как степень расширения [Со63("8) : о] = 18, о(а) С о(х) и степень расширения |о(а) : = 6, то по теореме о степенях (см. [5, § 40]) получим, что
либо о(х) = о(а), либо о(х) = Собз("0.
По основной теореме теории Галуа [5, § 58] поле о (а) является централизатором в поле о63 подгруппы К порядка 6 группы автоморфизмов (группы Галуа) поля Из леммы 5 и строения группы Аи1(Со63("8)) нетрудно понять, что
К = {"1, 08, 022, 050, 029, "43}.
Если о(х) = о(а), то, в частности, получим, что в + в8 = -22 (в + в8) = в22 + в50. Тогда имеем
в + в8 = в22 + в50 ^ 1 + в7 = в21 + в49 ^ ^ 1 - в21 = в49 - в7 = в7(в42 - 1) = в7(в21 - 1)(в21 + 1) ^ ^ -1 = в7(в21 + 1) ^ в28 + в7 + 1 = 0,
т. е. в является корнем многочлена степени 28, что невозможно (см. [5, § 60]). Таким образом, показано, что о(х) = о(в + в8, а) = С<д63(—8). □
Лемма 7. Для любого характера х € {£7,£14,£28} полем характера является максимальное действительное подполе кругового поля о9 :
о(х) = о(в7) п к = о9 п к.
Группа автоморфизмов (группа Галуа) поля о9 П к состоит из 3 элементов:
Аи1(о9 П к) = {- | 3 € {1, 2, 4}}, где для любого 3 € {1, 2, 4} ^(в7 + а-7) = в77 + в-77.
Доказательство. Так как значения каждого такого характера лежат во множестве
{7,0, -1, -в7 - в56, -в14 - в49, -в21 - в42 = 1, -в28 - в35},
то о(х) С о9 П к. Поскольку о(х) = о, то по теореме о степенях [5, § 40] получим, что о(х) = о(в7) П к = о9 П к.
Утверждение об автоморфизмах следует из леммы 5 в силу результатов [5, § 59].
□
3. Алгебраически сопряжённые характеры
Разобьём характеры группы О = СЬ(2, 8) на классы алгебраически сопряжённых характеров и укажем соответствующие автоморфизмы.
Теорема 1. Все неприводимые комплексные характеры группы СЬ(2, 8) разбиваются на 12 классов эквивалентности алгебраически сопряжённых характеров:
1) {хо};
2) {х1,х2,х3,х4,х5 ,х6};
3) Ш;
4) {01,02,03ААА};
5) {П1,6, П2,5, П3,4};
6) {П0,1, По,2, П0,3, По,4, По,5, По,6};
7) {П1,2, П2,4, П3,6, П1,4, П3,5, П5,6};
8) {П1,3, П2,6, П2,3, П4,5, П1,5, П4,6};
9) {Ы;
10) {^7,^14,^28};
11) {£3,£6,£12,£15,£30,£39};
12) {£ъ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ £3Ъ ^ £38, ^ ^ £55}.
Доказательство. По лемме 3 из [6] алгебраическая сопряжённость характеров полностью определяется автоморфизмами поля характеров, которое одно и то же у алгебраически сопряжённых характеров.
Поле характера О. Так как поле О имеет только тривиальный автоморфизм, то по лемме 2 получим следующие классы алгебраически сопряжённых характеров:
Поле характера О7. Из леммы 3 из работы [6] следует, что все характеры множеств
{Хк | к е {1, 2,..., 6}}и{^ I к е {1, 2,..., 6}}и{& I к е {3,6,12,15, 30, 39}}
алгебраически сопряжены, поскольку их 6 = [о7 : о] в каждом из этих множеств. Из таблицы характеров непосредственно следует, что для любого к е {1, 2,..., 6} № (х1) = Хк и ^ (#1) = . Также из таблицы характеров по лемме 2 нетрудно
извлек что ^(Ы = ЫЫ = 62, ЫЫ = 65, ЫЫ = Cзo, ^6(Ы = 69.
Во множестве {пк,т | (к,т) е /2 \ {(1, 6), (2, 5), (3,4)}} 18 характеров. Они разобьются на три класса алгебраически сопряжённых характеров, а именно непосредственные вычисления дают:
^(По,1) = По,к для любого к е {1, 2,... , 6};
<^2^1,2) = П2,4, ^3(^1,2) = П3,6, ^4(^1,2) = П1,4, ^5(^1,2) = П3,5, ^6^1,2) = П5,6; ^2(^1,3) = П2,6, ^3(^1,3) = П2,3, ^4(^1,3) = П4,5, ^5(^1,2) = П1,5, ^(Пм) = П4,6.
Поле характера о7 П к. По лемме 4 этой работы и по лемме 3 из [6] все характеры множества {п1,6, П2,5, П3,4} алгебраически сопряжены, поскольку их 3 = [о7 П к : о] в этом множестве. Также легко понять, что <^2(п1,6) = П2,5 и <^3(п1,6) = П3,4.
Поле характера о9 П к. По лемме 7 с учётом леммы 3 из [6] все характеры множества {£7,£14,£28} алгебраически сопряжены, поскольку в этом множестве их 3 = о П к : о]. Очевидно, что ^(ы = и "мы = &8.
Поле характера о(в + в8, а). Применим лемму 6 этой работы и лемму 3 из [6] и получим, что все характеры множества | к е Я863} являются алгебраически сопряжёнными, поскольку их 18 = [о(в + в8, а) : о]. Также из таблицы характеров непосредственно следует, что для любого к е Я863 (^1) = .
Все возможные случаи разобраны. □
4. Нахождение ранга группы центральных единиц
Теорема 2. Ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы СЬ(2, 8) равен 24.
Доказательство. Ранг группы центральных единиц можно вычислить по формуле
где /с — множество представителей классов алгебраически сопряжённых характе-
ров, /к = {х е /с | О(х) с К}, /с = {х е /с | О(х) £ К}, ^ = [О(х) : О] — степень
расширения характера х е /с над полем О. Из теоремы 1 следует, что |/с| = 12 и
Как и в доказательстве теоремы 1, рассмотрим характеры по их полям характеров. Поле характера О. В этом случае х е /(1) = {х0,#0,С21} С /к,
{хо}, {6о} и {^21}.
из [7]:
хе/*
хе/с
/с = {хо,х1,6о,61,П1,6,По,1 ,П1,2,П1,3,С21,С7,С3,С1}.
хе/(1)
Поле характера о>7. Теперь х € /(6) = {х1, 01, Под, П1,2, Пм, £3} С /с,
11
¿х = 6, г6 = ^ ¿х =2 ' 6 ' 6 = 18. хе/(6)
Для полей характеров о7 П к и о9 П к имеем х € /(3) = {п1,6, £7} С /к и
¿х = 3, г3 = ^^ ¿х = 2 ■ 3 = 6.
хе/(3)
В случае поля характера о(в + в8, а) имеем х € /(18) = {£1} С /с,
11
¿х = 18, Г18 =2 Е ¿х =2 ■ 18 = 9.
хе/(18)
Таким образом, согласно приведённой выше формуле ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы 2, 8) равен 24:
Г1 + г6 + Г3 + г 18 - |/с| = 3 + 18 + 6 + 9 - 12 = 2 4.
□
Список литературы
1. Aleev, R. Z. Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Intern. J. of Algebra and Computation. — 1994. — Vol. 4, no. 3. — P. 309-358.
2. Алеев, Р. Ж!. Центральные единицы целочисленного группового кольца группы GL2(5) / Р. Ж. Алеев, Э. Ф. Исмагилова, Н.Г. Карлина // Алгебра и линейная оптимизация : тр. Междунар. семинара, посвящ. 90-летию со дня рождения С.Н.Черникова. — Екатеринбург : УрО РАН, 2002. — С. 12-14.
3. Aleev, R. Zh. Central unit group of integral group ring of GL(2,4) / R. Zh. Aleev, O. V. Mitina, A. P. Mitin // Abstracts of the International Conference and PhD Summer School. — Yekaterinburg : Ural Branch of Russian Academy of Sciences, 2015. — P. 32.
4. Белоногов, В. А. О малых взаимодействиях в конечных группах / В.А.Бело-ногов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 1992. — Т. 2. — С. 3-18.
5. Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. ван дер Варден. — 2-е изд. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 624 с.
6. Алеев, Р. Ж!. Центральные элементы целочисленных групповых колец / Р. Ж. Алеев // Алгебра и логика. — 2000. — Т. 39, вып. 5. — С. 513-525.
7. Алеев, Р. Ж!. Вычисление рангов групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп / Р. Ж. Алеев, Н.А. Цыбина // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Вычислит. математика и информатика. — 2015. — Т. 4, № 1. — С. 71-85.
Поступила в 'редакцию 26.03.2019 После переработки 30.04.2019
Сведения об авторах
Алеев Рифхат Ж^алялович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; профессор кафедры системного программирования, ЮжноУральский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: aleev@csu.ru, aleevrz@susu.ru.
Митина Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: ovm@csu.ru.
Годова Александра Даниловна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: sasha.godova97@mail.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 2. P. 129-141.
DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14201
ALGEBRAIC CONJUGACY OF IRREDUCIBLE CHARACTERS OF THE GROUP GL(2,8)
R.Zh. Aleev1'2'", O.V. Mitina1b, A.D. Godova1c
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "aleev@csu.ru, aleevrz@susu.ru, bovm@csu.ru, csasha.godova97@mail.ru
The structure of the tables of characters for groups GL(2,q) is known for a long time. However, with setting a specific value for q, its finding in explicit form can be very difficult because even calculating numbers, which determine the position of characters in the table, requires considerable effort. It also turns out that specific values of some characters can't be easy for calculating because of nontrivial relations between roots of 1 of various degrees. In the work a table of the characters of the group GL(2,8), construction of which demonstrated the difficulties above, is presented explicitly. In particular, there are discovered interesting connections between the roots of 1 degree 21. Algebraic conjugacy of the characters of the group GL(2,8) is fully defined, which allowed to calculate the rank of the group of central units of the integral group ring of this group.
Keywords: character, table of characters, group ring, central unit of the group ring, rank of the group of central units.
References
1. AleevR.Z. Higman's central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers. International Journal of Algebra and Computation, 1994, vol. 4, no. 3, pp. 309-358.
2. AleevR.Zh., Ismagilova E.F., KarlinaN.G. Tsentral'nye edinitsy tselochislennogo gruppovogo kol'tsa gruppy GL2(5) [Central units of an integral group ring of the group GL2(5)]. Algebra i lineynaya optimizatsiya [Algebra and linear optimization]. Yekaterinburg, Ural Branch of Russian Academy of Sciences, 2002. Pp. 12-14. (In Russ.).
3. AleevR.Zh., MitinaO.V., MitinA.P. Central Unit Group of integral Group Ring of GL(2, 4). Abstracts of the International Conference and PhD Summer School, Yekaterinburg, Ural Branch of Russian Academy of Sciences, 2015. P. 32.
4. Belonogov V.A. O malykh vzaimodeystviyakh v konechnykh gruppakh [On small interactions in finite groups]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN [Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of Russian Academy of Sciences], 1992, vol. 2, pp. 3-18. (In Russ.).
5. Van der VardenB.L. Algebra [Algebra] 2nd ed. Moscow, Nauka Publ., 1979. 624 p. (In Russ.).
6. AleevR.Zh. Central elements of integral group rings. Algebra and Logic. 2000. Vol. 39, no. 5. p. 293-300.
7. AleevR.Z., TsybinaN.A. Vychisleniye rangov grupp tsentral'nykh edinits tselochislennykh gruppovykh kolets konechnykh grupp [Computing ranks of groups of central units of integral group rings of finite groups]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Vychislitel'naya matematika i informatika [Bulletin of South Urala State University. Series: Computational mathematics and informatics], 2015, vol. 4, no. 1, pp. 71-85. (In Russ.).
Accepted article received 26.03.2019 Corrections received 30.04.2019
