CC BY
26
АЛГЕБРА
В. С. НАСЫПОВА
О ЧИСЛАХ ХИГМАНА ГРУПП L2(2n)
В работе изучаются связи между единицами колец целых полей характеров и центральными единицами целочисленных групповых колец групп £2(2”). Для этих групп найдены верхние оценки чисел Хигмана.
Ключевые слова: единица целочисленного группового кольца, число Хигмана, характер конечной группы.
Введение
Работа посвящена изучению связей между единицами колец целых полей характеров и центральными единицами целочисленных групповых колец групп L2(2n). Эта связь выражается через понятие числа Хигмана. Ранее, в работе [1], Р. Ж. Алеевым была сделана оценка делимости чисел Хигмана через максимальные действительные подполя круговых полей. В данной работе мы будем использовать другой подход, а именно подход, основанный на изучении единиц колец целых круговых полей.
Пусть G — конечная группа, U(I(Z(QG))) — группа единиц (обратимых элементов) кольца целых центра рациональной групповой алгебры QG группы G, U(Z(ZG)) — группа центральных единиц целочисленного группового кольца ZG группы G.
Определение 1. Числом Хигмана конечной группы G называется число
exp (U(I(Z(QG)))/U(Z(ZG))), которое будем обозначать через Hig(G).
Согласно теореме 4 из [3] и работе [2] существует такое натуральное число
l, что ul Е U(Z(ZG)) для любой единицы u Е U(I(Z(QG))). Поэтому можно сформулировать определение числа Хигмана .
Определение 2. Числом Хигмана конечной группы G называется такое наименьшее натуральное число l, что l-я степень всякой единицы кольца целых центра Z(QG) рациональной групповой алгебры QG группы G лежит в Z(ZG).
1. Предварительные сведения и результаты
Прежде всего напомним некоторые понятия и обозначения теории центральных единиц.
1. Пусть G — некоторая конечная группа, тогда
Irr(G) — набор всех неприводимых комплексных характеров группы G;
1тт(С, а1с) — система представителей классов эквивалентности алгебраически сопряженных неприводимых комплексных характеров.
2. Пусть К — ассоциативное коммутативное кольцо с единичным элементом, тогда
I (К) — кольцо целых кольца К; и (К) — группа единиц кольца К.
В качестве конечной группы С рассмотрим группу Ь2(2п) (п Е М). Для
щ
X Е 1тт(С) положим z(x) = -------- и обозначим через п(г(х)) множество простых
аедх
делителей числа z(х).
Положим также д = 2п, и пусть известны разложения на простые множители чисел z(X) = ПРеф(х)) Р1" и д ± 1 = ИРеп(д±1) Ркр.
Пусть Г — поле, F/Q — расширение Галуа и Р — простой идеал кольца целых I(Г). Тогда единственное простое (рациональное) число, содержащееся в Р, будем обозначать рт(Р).
Лемма 1 [1, с. 30]. Пусть К и Г — поля такие, что О С Г С К и К/Г — 'расширение Галуа, пусть Б — простой идеал в I(Г), а Р — простой идеал в I(К), содержащий идеал Б1 (К). Тогда
Б1 (К ) = (Р1_ ••• Рд )*,
где Р\,. .., Рд — простые идеалы в I(К), которые сопряжены при действии группы Са1(К/Г), Р Е {Р\,...,Рд}, е — натуральное число, для любого I фактор-кольцо I(К)/Р% — конечное поле из р? элементов, где р = рт(Б) = рт(Р). Кроме того,
е/д = [К : О].
Определение 3. В обозначениях леммы 1 число е называется индексом ветвления идеала Р над Б, а / — степенью инерции идеала Р над Б. Дополнительно назовём д степенью разложения идеала Р над Б. Иногда будет полезно записывать числа е, /, д более развернуто:
е = е(Р|Б), / = /(Р|Б) и д = д(Р|Б).
Лемма 2 [5, с. 80]. Пусть р — простое (рациональное) число, к — натуральное число и Р — такой простой идеал кольца целых кругового поля О((рк), что р = рт(Р). Тогда
е(Р 1рЪ) = у(ррк) = (р — 1)рк-\ /(Р|pZ) = д(Р [рЖ) = 1
и для первообразного корня £ степени рк из 1 имеем (1 — £)1р(рк') = ри, где и Е
и (I тсРк))).
Лемма 3 [6, теорема III 12, Е, с. 138]. Пусть п = ркт, где к,т Е N и р — простое число, не делящее т. Р — такой простой идеал кольца целых кругового поля О((п), что р = рт(Р). Тогда:
1. е(Р^Ж) = ^р(рк).
2. f (P\pZ) = minjj е N | p = 1 (mod m)}. p(m)
S. g(p\pZ) =
f (P \pZ)
Лемма 4 [1, с. 104]. Пусть n е N, P — простой идеал в I(Q((n)) и p = pr(P). Допустим, что p не делит n. Тогда:
1. e(P\pZ) = 1.
2. f = f (P\pZ) = minjs е N \ ps = 1 (mod n)}.
3. exp(U(I(K)/Pi)) = (pf — 1)pi-1.
Лемма 5 [1, предложение 2.12, с. 105]. Пусть P — простой идеал в I(Q((n)) и
p = pr(P). Допустим, что p делит n и n = pkm, где p не делит m. Тогда:
1. e = e(P\pZ) = (p — 1)pk-1.
2. f = f (P\pZ) = minjs е N \ ps = 1 (mod m)}.
3. exp(U(I(Q((n))/Pei)) = (pf — 1)pv, где
(a) при p = 2 имеем v = k + i — 2;
\k + i — 2 при n = 3k ,ki> 1,
(b) при p = 3 имеем v = <
Ik + i — 1 в остальных случаях;
(c) при p ^ 5 имеем v = k + i — 1.
Определение 4. Пусть x е Irr(G) — произвольный фиксированный характер группы G. Определим l(x) как наименьшее натуральное число l со свойством, что для любой единицы X е U(I(Q(x))) выполняется пх(Х1) е U(Z(ZG)).
Сформулируем в виде леммы теорему 3.20 из [1, с. 178] для произвольной конечной группы G.
Лемма 6. Пусть G — произвольная конечная группа, тогда Hig(G) =
НОК{1(Х) \ X е Irr(G,alc)}.
2. Основной результат
Теорема. Пусть х1 и 91 — неприводимые характеры группы Ь2(д) такие, что —) и Щ91) = Q(cos +;
i) = Q(cos -37) и Q(91) = Q(cos -+7) (такие характеры существуют ввиду [7,
с. 260]). Тогда
1. 1(X7) равно q(q-14(q-2), если q — 1 просто, и дели/т,
q(q — 1)2 ^ f (pv(q-1') — 1)pkp
2\n(q-i)\+1ГГ , . p J-l I q _ 1
LLp£n(q 7) n£n(q— 1)
pen(q-i)
в противном случае.
2. l(Ol) равно IL2(q)I, если q +1 просто или q +1 = 9, и делит
(q + 1)L (q) I n f (p'f(q+l) — 1)pkp
2l'(«+l)l+l rw+l) p ,jq+l)\ q + 1
в противном случае.
3. Hig(L2(q)) = HOK(l(xl),l(9i)).
Доказательство. Так как числа Хигмана и их оценки для малых значений n = 2, 3, 4 подробно рассмотрены в [І, п. 3.4.3.2, с. І8Т—І95], то можно, не ограничивая общности, считать, что n > 5 (случай n = 1 тривиален).
І. Имеем z(xi) = q(q — 1) и n(z(xl)) = {2} U {n(q — 1)}.
a) Для вычисления чисел e и f применим лемму 3. Так как 2 не делит q — 1, то e = 1. Поскольку min{i > 0 | 2і = 1 (mod 2n — 1 = q — 1)}=n, то f = n.
b) Если q — 1 простое число, тогда согласно лемме 2
e = p(q — 1) = 2(2n_l — 1) и f = 1. Таким образом, при q > 4 по леммам 4 и 5
l(xl) = НОК{(2п — 1)2n_l, (2n — 1 — 1)(2n — 1)} = 2n_l(2n — 1)(2n_l — 1)
,n-и on і won-і л q(q— 1)(q— 2)
4
с) Рассмотрим случай, когда д — 1 не является простым числом. Тогда
его можно представить следующим образом: д — 1 = рат1, где р Е п(д — 1),
т1 = 1 и р не делит т1. Тогда индекс ветвления ер = р(ра) и степень инерции /р определяются согласно лемме 3. Поскольку \и(Жя-1 )| = р(д — 1) и /р делит \и(Zm1 )\, а \и(Zm1 )\ делит \и(^д-1)\, то /р делит р(д — 1).
Таким образом, по лемме 5
1(Х1) = ехр(и(1 (СНСд-О П Щ/д(д — 1)1 (0(С9-1) П Е))) =
= НОК {(2п — 1)2п-1, {(р^р — 1)р2кр-1\р Е п(д — 1)}} делит
НОК {(д — 1)2п-1 (д — 1)2 , {рр — 1) \ р Е п(д — 1)}
1 \-реп^-1) р
делит —1— П (pfp — 1)
ПPen(q_l) p pen(q_l)
делит —1— П (гр1р{я ^ — 1)-
Преж(д-1) р реп(д-1)
Рассмотрим отдельно произведение ПРеП^-1)(р{р((1-1') — 1). Посколькур Е п(д —1) — нечетное простое число, то р^^-1) — 1 делится на 2, то есть все произведение делится на 2 1 п(ч-1 1. Заметим также, что так как т1 = -■ и НОД(р^(ра),т1) = 1, то в силу теоремы Эйлера и мультипликативности функции Эйлера р получим
(pv(pa))v(mi) = 1 (mod ml) или rpv(q l) — 1 = 0 (mod ml).
Следовательно, выражение pv(q l) — 1 делится на ml.
Таким образом, мы можем уточнить оценку для l(xl) и получить, что q(q — 1)2 f (p^(q_l') — 1)pa \
l(xi) делит 2 ln(q_i)lИ (------------------------------- •
LLp^n(q_l) P p£n(q_l) q J
2. Имеем z(9i) = q(q +1) и n(z(9i)) = {2} U {n(q + 1)}.
a) Для вычисления чисел e и f применим лемму 3. Так как 2 не делит q+ 1,
то e = 1. Так как 22n = 1 (mod 2n + 1 = q + 1), то f = 2n.
b) Если q + 1 — простое число или q + 1 = 9, тогда согласно лемме 2
e = p(q + 1) = (2n + 1 — 1) = 2n и f = 1. Таким образом,
l(9i) = НОК{(22п — 1)2n_l, (2n + 1 — 1)(2n + 1)} =
= 2n(2n — 1)(2n + 1) = q(q2 — 1) =
c) Пусть q +1 представимо в виде pbm2, где p Є n(q + 1), m2 отлично от 1 и не делится на p. Тогда индекс ветвления ep = p(pb) и степень инерции fp определяются согласно лемме 3. Поскольку IU(Zq+l)I = p(q +1) и
fp делит IU(Zm2)I, а IU(Zm2)I делит IU(Zq+i)I, то fp делит p(q + 1).
Таким образом, по лемме 5
l(9i) = exp(U(I(Q(Zq+i) П R)/q(q — 1)I(Q(Zq+i) П R))) =
= HGK{(22n — 1)2n_l, {(pf' — 1)p2k'_lIp Є n(q + 1)}} делит
НОК I (q2 — 1)2п_1 +1)2 , {(pf' — 1) I p Є n(q + 1)}
[ 1 \.p£n(q+l) P
q(q2 — 1)(q + ^ f fp n
делит ^ H (pf'—1)
*-p^n(q+l) p£n(q+i)
q(q2 — 1)(q + ^ 77 і v(q+i) 1\
делит ^-----------------— Ц (pv( ) —1)-
*-p^n(q+l) p£n(q+i)
Проводя аналогичные рассуждения, как в случае l(xl), поскольку
p Є n(q + 1) — нечетное простое число и m2 = получим, что произведение
np6„<„+i)(P«q+i) — 1) делится на 2ln(q+l')| и p^(q+l) = 1 (mod m2). Таким образом, q(q2 — 1)(q + 1) f (pV(q+l — 1)pb4
l(9i) делит 2*(q+nl+in , ,'P ^ I-qn---
llp^n(q+l) P p£n(q+l) q +
3. Утверждение 3 следует из леммы 6 и первых двух утверждений.
□
3. Примеры
Рассмотрим в качестве примеров две группы L2(32) и L2(64). Найдем для этих групп точные значения чисел Хигмана и оценки, полученные при помощи теоремы.
Для группы L2(32) имеем следующее.
Точное значение Hig(L2(32)), полученное с помощью лемм 2, 4, 5, равно 900240.
Найдем оценку числа Hig(L2(32)) по теореме. l(x1) = 7440 и
1(в1) делит 4 • 31 • (320 — 1) • (1120 — 1), поэтому Hig(L2(32)) делит Н0К(7440, 4 • 31 • (320 — 1) • (1120 — 1)) = 290871039241435232225659643520000.
Для группы L2(64) имеем следующее.
Точное значение Hig(L2(64)), полученное с помощью лемм 2, 4, 5, равно 126977760.
Найдем оценку числа Hig(L2(64)) группы L2(64) по теореме. l(x1) делит 8 65 (3 --2i '(7 -1), и l(^1) делит 8 • 63 • (548 — 1) • (12iS — 1), поэтому Hig(L2(64)) делит НОК (8-65-(з36^1)-(736-1), 8 • 63 • (548 — 1) • (1248 — 1^ = 150746221027830032765193948 93439547176901974144976548642882540401880971632807186169350455514953594523 81961885841413793398213120000.
Из приведенных примеров видно, что оценки чисел Хигмана групп L2(2n) являются достаточно грубыми и нуждаются в уточнении.
Список литературы
1. Алеев, Р. Ж!. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп : дис. .. .д-ра физ.-мат. наук / Р. Ж. Алеев. — Челябинск, 2000. — 355 с.
2. Aleev, R. Z. Higman’s central unit theory, units of group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Internat. J. Algebra Comput. — 1994 — Vol. 4, № 3. — P. 309-358.
3. Higman G. The units of group rings / G. Higman. // Proc. London Math. Soc(2). — 1940. — Vol. 46. — P. 231-248.
4. Алеев, Р. Ж!. Числа Хигмана групп PSL2(2n) / Р. Ж. Алеев, В. С. Насыпо-ва // Мальцевские чтения : материалы междунар. конф. — Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2009. — C. 37.
5. Ленг, С. Алгебраические числа : пер. с англ. / С. Ленг. — М. : Мир, 1966. — 225 с.
6. Вейль, Г. Алгебраическая теория чисел / Г. Вейль. — М. : Гос. изд-во иностр. лит. — 1947. — 226 с.
7. Белоногов, В. А. Представления и характеры в теории конечных групп / В. А. Белоногов. — Свердловск : УрО АН СССР. — 1990. — 379 с.
