CC BY
27
УДК 517.977
ГРУППА ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ГРУППОВОГО КОЛЬЦА ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППЫ СТЕПЕНИ 14
А.В. Каргаполов
Описывается группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14. Впервые получено описание группы центральных единиц знакопеременной группы, ранг которой больше единицы.
Ключевые слова: групповое кольцо, знакопеременная группа, центральная единица, локальная единица, неприводимые характеры.
Введение
Ранее группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп Ап для п<1 были описаны в работе [1]. Дальнейшее продвижение уже было затруднительно получить без использования компьютера. Также в работе [2] Ферраз нашел, что ранг гп группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп равен 0 тогда и только тогда, когда п е {1,2,3,4,7,8,9,12} . В работе [3] доказано, что ранг гп равен 1 тогда и только тогда, когда п е {5,6,10,11,13,16,17,21,25}. В работе [4] полностью описываются группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп в случаях, когда п е {10,11,13,16,17,21,25}. В совокупности с [1] получено полное описание групп центральных
единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп, имеющих ранг 1. В работе идет исследование самого первого случая, когда ранг > 1, а именно п = 14, в этом случае ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Аы равен 3 .
Основные определения
Обозначение 1. Если К - ассоциативное кольцо с 1, то ип(К) = {* е К | Зх' е К хх' = х'х = 1} группа его единиц ( = обратимых элементов) - мультипликативная группа кольца К .
Определение 1. Пусть К - кольцо. Центральной единицей группового кольца КО называется единица центра 2 (КО) этого кольца, то есть и е КО - центральная единица, если и е 2(КО)
и существует такой элемент и' е 2{КО), что ии' = 1.
Следующие результаты хорошо известны.
Лемма 1. Группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц группового кольца. Более точно, пусть К - кольцо, тогда
ип(2{К0)) = г(К0) П ип(К0) = г(ип(К0)).
Лемма 2. Имеем
ип{2{Ю)) =< -1 > х V (г(го)),
где V(2(20)) = {уе ип(2(20)) \ Д,(1(;) = 1} - множество центральных единиц, у которых сумма коэффициентов при разложении по всем элементам группы равна 1.
Изучение локального случая
Пусть х ~ нецелый неприводимый характер группы Ап, нецелые значения % это
(\ + Ь^)/2 и (\-Ь41)!2 , где Ъ - натуральное число, с1 - целое число свободное от квадратов. Положим соа = (1 + >/с7)/2 , а = (1 + Ьу[^)1 2 = ~~~ + Ьсоа и *<т = (1 - Ь^[с1)/2 = ~~~ + Ьа)*а .
Следующая лемма очевидна.
Лемма 3.
Каргаполов А.В.
Группа центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы степени 14
(01=~Г + а>с1’ ггщ=1гас/=\, (га)]/ = с1 1
+ 1, а>аа)а
1 -а
4 “ ' " 2
Лемма 4. Пусть А - единица кольца 2[Ьа^], и(А) = 'У'1у1у, - локальная единица V{2{2АП )). Тогда согласно [5]
&■(*(*, Х^-1))
К
(1)
где г- \ Ап |/deg ^. .У, - классовые суммы для классов с представителями , у1 - целые числа. Лемма 5. Пусть А = а + Рй)а, тогда
&{А-Х) = 2{а-Х) + Р, (2)
/г(сг(Д -1)) = (а -1) +
1г(*сг(А -1)) = (а -1) + —/3.
Доказательство. В самом деле
&(А -1) = ?г((<2 -1) + Ди^) = 2(а -]) + /?,
(3)
(4)
/г(сг(Я -1)) =
\ с
р(оа\{а-\ + рсоа) =/г Ь/Зй)а+ \Ъ(а-\) + ——Р
У V
1-й
+-
1 -ь
(а-1)
2Л\ 0 ,,, V , .ч Ь(1 + Ь + \-Ь _ , ч 1+Ы0
= Ъ(3 -+ Ь(а -1) + —у- /? + 2(1 - й)(« -!) = («-!) +- -/? = (а-1) + —-—/?,
?г(*С7(/1 -1)) -
+ Ъ - ЬсоИ
\\
(а-\ + Ра>а) 1-М
л ^1 + 6
= («-!)
+ -
= /г
Р-
\\
Ъсоа \{а-\ + ра>а) =
Лемма 6. Локальная единица м(Я) е Vп (7(2Л;))) тогда и только тогда, когда для некоторого целого I
, гМ +1
а = 1 +---------/,
2 Ъ<1 /? = -—/.
Ы1
По-другому и ( А) е 11 п {Х (2Ап )) тогда и только тогда, когда А е 1 + \рсос{ ].
Доказательство. По условию леммы 6 нужно, чтобы у1 для всех г были целыми. Из вида таблицы характеров следует, что будут интересны
/г(Я—1) _ 2{а-\) + р 2 г
1г (<7 (А -1)) _ (а -1) + /?(1 + М)/2
(5)
(г (*сг(А -1)) _ (а -1) + ,0(1 -М)/2
г г
Таким образом, нужно чтобы выполнялись условия системы
/ ^ \ ) ^\/ [ г|2(а-1) + /? Г 2(а-1) + /? + гу, =0
г|(а-1) + ^(1 + М)/2о< , , / .. о •! , , / ' о
г\(а-\) + р{\-Ьс1)/2 \2\{а ~1) +Р{Х + М)!2 \(а-1) + /?(1 + М)/2 + гу2 =0
| (а-1) = -/?/2-гу,/2 Г (<эг — 1) = — /5/2 — ^ /2 |(а-1)=г(2у2-у,)/2&й?-2У1(/2
\-Р/2-щ/2 + р(\ + Ь<3)/2 + гу2 =0 \р = ^/Ьс1-2гу2/Ьс1 { Р = -2(2у2-у1)/Ьс1
Так как интересует делимость на 1, то можно упростить решение: («~ 1)-г(2у2 ~vl)/2bd -гу{/2 + гу2
Р = -2(2v2 -vx)/bd
О
2 6с/ +1
or = 1 + zt/lbd + zt/2 a~ + 2 bd * (3 = -ztjbd 0 = -—t
bd
Лемма доказана.
Будем изучать и (А) для характеров Х~Хго степени 4752, % = Хц степени 29 952, X = Х59 степени 34 320.
Лемма 7. Значения характеров Хго’ Хы > Х59 лежат в кольцах , Z[ft^;з], 2[3<й^], при
этом группы единиц данных колец:
£/^[<%])=<-1>х<14-013 >,
и{2\соъъ§ =<-1>х<19 + 8<У33 >,
£/^[3<у5]) =<-1 >х<2 + Зсу5 >.
Поэтому
•^20 ~ е20 (1 + ^3 ) > ~ £Ы (19 + 8(У33 ) , Л59 = £59 (2 + Зй>5 ) , (6)
где £20, е57, е59 е {-1,1} и к,т,пе2.
Обозначение 2. z
20
■(Х2о):
U
210-З5-52-72 -11-13 2Ш-З3-5Z-7Z-11-13
44
deg Х20
4752
= 26 -З2 -52 -72 -13 = 9172 800.
z57 ~z{X5l)~
14 I
2i0 • З5 - 52 • 72 -11-13 2i0 - 35 - 52 ■ 72 -11-13
59
= г(/59):
deg 757
14
29952
2-3-13
24-33 -11
:22-33-52-72-11 = 1455 300
2!0 -3-5 -52 -72 -11-13 210 -3-5 -52 -72 -11-13
:26 - 34 - 5-72 =1270080.
degZ59 34320 2 -3-5-11-13
Лемма 8. Пусть I = ехр(с/^[<у]у^£[ю])) - показатель группы единиц II{2,\со\1 г2\со^, фактор кольца Z[^y]/zZ[й;]. Тогда
/20 = 43 680, для z20 = 26 • З2 • 52 • 72 • 13 = 9172 800
/57 = 5 5 4 40, для z51 = 22 -З3 • 52 • 72 • 11 = 1455 300
/59 = 30 240, для z59 = 26 • З4 ■ 5 ■ Г = 1270 080.
(7)
(8) (9)
Доказательство. Так как z20 = 26 - З2 - 52 - 72 -13 = 9172 800, то по лемме 3 из [1] /20 - наименьшее общее кратное чисел exp^L^Z[<y]/p6e2 jj, exp , exp
exp(t/(z[ O) ]/S2ei fj, exp(t/(z[<y]/£,e'3)), где P - простой идеал из Z [&>], содержащий 2, и е2 -
его индекс ветвления над 2Z, Т - простой идеал из Z[a>], содержащий 3, и е3 - его индекс ветвления над 3Z, F - простой идеал из Z\co\, содержащий 5, и е5 - его индекс ветвления над 5Z , S - простой идеал из Z[&>], содержащий 7, и е1 - его индекс ветвления над 7Z, Е - простой идеал из Z[®], содержащий 13, и е]3 - его индекс ветвления над 13Z .
Теперь по предложению 5 из [6] имеем
Qxp(u(z[co]/Рве7-)) = 3 ■ 25 = 96, exp({y(z[<y]/r2<;3)) = 2 ■ 3 = 6,
exp(t/(z[ft)]/F2£5)) = 4-5 = 20, exp(t/(z[®]/£2e7)) = 6-7 = 42,
Каргаполов А.В. Группа центральных единиц целочисленного
__________________________________________группового кольца знакопеременной группы степени 14
exp(u(z[a)]lEe* )) = 12-13 = 156.
Отсюда /20 = НОК (96, 6,20, 42,156) = 25 • 3 • 5 • 7 • 13 = 43 680 .
Доказательство утверждения для /57 и /59 опустим, так как оно аналогичное.
Теорема 1 .Допустим, что и20 (Я) е U(Z(ZAl4)^. Тогда А = (\ + соп)ЪШк для подходящего
целого к .
Доказательство. По лемме 7
A = s(l + col3)k =ak + РкЩъ,
где е е {-1,1}, к, а, /?е Z.
Поймём, что достаточно рассматривать случай, когда к > 0 . Заметим, что
А* =ак + Рксо[ъ = + ®*з)* = *0 + а\гУк •
Тогда
и(Я)и^Л*^ = 1.
Из алгебраической сопряжённости характеров %2о и Хг\ получаем, что одновременно г/(Я) и «| Я* j принадлежат C/(Z(Z^14)). Отсюда и получаем, что достаточно рассматривать случай, когда к > 0 .
Итак, к > 0 . Пусть для любого неотрицательного целого к
(1 + Ю|3)* =ак+рк(щу
По лемме 6 получим
ак s 1+ 4 939 200(mod9172 800) и =8 467 200-Г (mod9172 800). (10)
По китайской теореме об остатках получим, что эти условия равносильны системе условий: \ак =1 (mod 64) Га*. =1 (mod9) [ак si (mod 25)
|/^s0(mod64) =0(mod9)’ [д s=0(mod 25)’
[ак = 1 (mod 49) \ак =l + 6-;(modl3)
[Рк -0 (mod 49)’ [А (mod 13) ( ^
Согласно лемме 7 [4] имеем следующие рекуррентные соотношения:
ак+2 = Зак+1 + ак > а0 = «1 - 1,
А+2 = ЗД^+1 + Рк’ Ро = 0, Д = U
поскольку ?г(1 + су13) = 3 и Norm(1 + й>]3) = -1 по лемме 5. Посчитаем последовательности
{«*}”=0 и {At}"=0 по модулям 64,9,25,49,13.
По модулю 64 имеем:
{«^”^ = {1,1,4,13,43,14,21,13,60,1,63,62,57,41,52,5,3,14,45,21,44,25,55,62,49,17,36,
61,27,14,5,29,28,49,47,62,41,57,20,53,51,14,29,37,12,9,39,62,33,33,4,45,
11,14,53,45,60,33,31,62,25,9,52,37,35,14,13,53,44,57,23,62,17,49,36,29,59,
14,37,61,28,17,15,62,9,25,20,21,19,14,61,5,12,41,7,62,1,1,...},
{^}“ о = {°,13,Ш,33,45,4°,37,23,42,2141,16,25,27,42,25,53,56,29,И,10,45,П,32,49,
51,10,17,61,8,21,7,42,5,57,48,9,11,42,9,5,24,13,63,10,29,33,0,33,35,10,1,
13,40,5,55,42,53,9,16,57,59,42,57,21,56,61,47,10,13,49,32,17,19,10,49,29,8,
53,39,42,37,25,48,41,43,42,41,37,24,45,31,10,61,1,0,1,...}.
Получаем, что эти последовательности периодичны с периодом 96, по соотношениям (11) подходят
[а9брі = 1 (тосі 64),
[Аб я =0(тоё64)
для любого целого р, > 0. По модулю 9 подходят а6р2 и /36р2 для любого целого р2 > 0. По модулю 25 подходят а60р} и Дб0рз для любого целого ръ> 0. По модулю 49 подходят «Шр4 и Д12р4 для любого целого р4 > 0. По модулю 13 ПОДХОДЯТ ОГ4 и Д1р. для любого целого р5 > 0. Таким образом, получаем к = 96/?, = вр2 = 60р3 = 112р4 = 4/?5.
Наименьшее общее кратное чисел 96,6,60,112,4 равно
25 -3-5-7 = 3360.
Применение леммы 10 завершает доказательство.
Теорема 2. Допустим, что и57 (Я) &и{2 (ХА14)). Тогда Я = (19 + 8©33)840т для подходящего целого т .
Теорема 3. Допустим, что и59 (Я) є 1](і (2/4,4)). Тогда Я = (2 + Зсу5)504л для подходящего целого п.
Изучение глобального случая
Лемма9.Пусть M = M2o('^2o)M57(/^57)M59(^59)e^r(^('2^i4))- тогда
*20 =(1 + ®1з)Л =ак + РкС0п и ак +7А (mod9172800 ),
Я^ = (19 + 8®33 )т = а'т + (3'тсоъг па’т+П(3'т=\ (mod 1455 300 ),
Яда =(2 + 3щ)п =а'н + ftcos и а"п +Щ (mod 1270 080 ).
Доказательство. Докажем истинность леммы для характера %2{) (для %ы и Хьъ доказательство аналогичное).
Рассмотрим коэффициент yv (х) соответствующий 48 -му столбцу в таблице характеров группы Аы . Из леммы 1.45 [5]:
М*) = Т7Т 21 №%х)х(х)Ру{х). (12)
I ^ I /еЛг(С)
В сумме (12) Д(х) = 1 для всех характеров, за исключением %2о , ^57 и ^^следовательно нужно вычислить эту независящую от Я часть и уже на основе данного значения искать нужную степень единицы кольца 2[ю13]. Заметим также, что в столбце 48 таблицы характеров в строках, соответствующих характерам и Х& > стоят нули, таким образом получаем следующее выражение для у:
( / \к \
I * / * \л
у =------—-------+ deg /20
9172 800 0
Ин| Иі4І
У
9172800 9172 800 V
и,з(і + ^з)А+®*з (і + ®Гз)
9172800 +й>13) + ^(<У,э + <у‘3)) 9172800^А + 7^А
Из (13) следует, что для целочисленное™ у необходимо выполнение условия ак + 7/Зк =1 (mod 9172 800 ). Лемма доказана.
Найдем степени фундаментальных единиц квадратичных полей, которые необходимы для получения глобальных центральных единиц группы и^ (2Ц4)).
Каргаполов А.В. Группа центральных единиц целочисленного
группового кольца знакопеременной группы степени 14
Лемма 10. Пусть и = и20 (Д^ ) и51 (/Ц7 ) и59 (A$9 ) е £/(Z (ZA14 )), тогда
Ло + Г™ nu2oeU(z(ZA14)),
Лъ7 =(19 + 8й>33 )840m и i/57 e£/(z(Z4,4)),
Лд9 =(2 + 3©5)504" и u59eU(Z(ZAX4))
для подходящих k,n,m е Z .
Доказательство. Докажем истинность леммы для характера Хго (Для И Z59 доказательство аналогичное).
Согласно лемме 9 и китайской теореме об остатках получаем систему:
ак+1 /Зк= \ (mod 64) ак +1 рк = 1 (mod 9)
« ак +1 Рк =1 (mod 25) . (14)
ак + 1 J3k=l (mod 49) ак +1 Рк = 1 (mod 13)
На основании уже вычисленных при доказательстве теоремы 1 последовательностей [ак }“=0
и {Yk-.(> по модулям 64,9,25,49,13 проанализируем выражение ак +1 Рк ■
По модулю 64 имеем:
{ак + 7 рк }”=0 = {1,8,25,19,18,9,45,16,29,39,18,29,41,24,49,43,50,1,53,32,21,31,50,53,
17,40,9,3,18,57,61,48,13,23,18,13,57,56,33,27,50,49,5,0,5,15,50, 37,33,8,57,51,18,41,13,16,61,7,18,61,9,24,17,11,50,33,21,32,53, 63,50,21,49,40,41,35,18,25,29,48,45,55,18,45,25,56,1,59,50,17,
37,0,37,47,50,5,1,8,...} .
Получаем, что эти последовательности периодичны с периодом 96, по соотношениям (14) подходят индексы 0, 17 и 86. На основании леммы 10 показатель группы единиц /20 = 43680, а так как 17, 86 не делят /20, то подходят только «96/)| и P96pi для любого целого рх >0.
По модулю 9 подходят а6р2 и р6р2 для любого целого р2> 0.
По модулю 25 подходят а60рз и Р60рз для любого целого р3 > 0.
По модулю 49 подходят a, ]2f4 и Д12р4 для любого целого р4> 0.
По модулю 13 подходят a4ps и Р4р^ для любого целого р5> 0.
Таким образом, получаем
к-96рх =6р2 =60р3 -112р4 -4р5.
Наименьшее общее кратное чисел 96,6,60,112,4 равно
25-3-5-7 = 3360.
Лемма доказана.
Следствием является теорема о строении группы центральных единиц U(Z (ZAX4)).
Теорема 4.
t/(Z(Z^14)) =<-1 >х<и20(1 + ®13)336° >х<м57(19 + 8©зз)840 >х<м59(2 + 3<у5)504 > . Доказательство. На основании теорем 1, 2 и 3 известны локальные единицы группы U{Z{ZAX4)Y Если учитывать композиции единиц квадратичных полей, порожденных различными характерами АХ4 , то могут появиться новые единицы группы C/(Z(Z/414)), которые отсутствуют в локальном случае.
В лемме 10 находится нижняя граница для степеней единиц квадратичных полей, она совпадает с локальным случаем. Следовательно, глобальный случай исчерпывается локальными единицами. Теорема доказана.
Литература
1. Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп. / Р.Ж. Алеев // Матем. труды. - 2000. - Т. 3, № 1. - С. 3-37.
2. Ferraz R.A. Simple components and central units in group rings. / R.A. Ferraz // Intern. J. of Algebra. - 2004. - V. 279, № i._p. 191-203.
3. Алеев Р.Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / Р.Ж. Алеев, А.В. Каргаполов, В.В. Соколов // Фундамент, и прикл. матем. -2008.-Т. 14, №7.-С. 15-21.
4. Алеев Р.Ж. О группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп / Р.Ж. Алеев, В.В. Соколов // Труды института математики. - 2009. - Т. 15, № 2. -С. 3-11.
5. Алеев Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Р.Ж. Алеев. - Челябинск, 2000. - 355 с.
6. Алеев Р.Ж. Числа Хигмана конечных групп / Р.Ж. Алеев // Матем. труды. - 2000. - Т. 3, № 2. - С 3-28.
Поступила в редакцию 3 февраля 2011 г.
CENTRAL UNIT GROUP OF INTEGRAL GROUP RING OF ALTERNATING GROUP OF DEGREE 14
Central unit group of integral group ring of alternating group of degree 14 is considered. For the first time full definition of central unit group of integral group ring of alternating group, whose rank is greater than one, was received.
Keywords: group ring, alternating group, central unit, local unit, irreducible characters.
Kargapolov Andrey Valerievich is Graduated Student, Algebra Department, South Ural State University.
Каргаполов Андрей Валерьевич - аспирант, кафедра алгебры, Южно-Уральский государственный университет.
e-mail: akargapolov@gmail.com
