О СТРОЕНИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С БОЛЬШИМ НЕПРИВОДИМЫМ ХАРАКТЕРОМ СТЕПЕНИ $p^2q$

Поисеева Саргылана Семеновна

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

УДК 512.547.214

О СТРОЕНИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С БОЛЬШИМ НЕПРИВОДИМЫМ ХАРАКТЕРОМ СТЕПЕНИ p2q С. С. Поисеева

Аннотация. Изучаются конечные неединичные группы G, обладающие неприводимым комплексным характером © степени ©(1) = p2q, для которых |G| < 2©(1)2, где p, q — простые числа.

Ключевые слова: конечная группа, характер конечной группы, степень неприводимого характера конечной группы.

Конечную неединичную группу порядка больше двух, обладающую неприводимым комплексным характером В, для которого 20(1)2 > |G|, будем называть LC(В)-группой (от "Large character"), см [1]. LC(В)-группы представляют особый интерес, поскольку очевидно обладают экстремальным свойством, ибо в силу известной теоремы Фробениуса порядок группы является суммой квадратов степеней ее неприводимых комплексных характеров и при этом часто он значительно больше степени любого ее неприводимого характера.

В общем случае задача описания строения группы, обладающей неприводимым характером В, таким, что |G| < сВ(1)2, при c < 5 представляется довольно сложной. Атлас конечных групп [2] содержит таблицу характеров 90 конечных простых групп, из них 23 группы обладают таким неприводимым комплексным характером В степени В(1), для которого верно неравенство сВ(1)2 > |G|, при c < 5. Из этих 23 групп: 8 спорадических простых групп (Мц, Mi2, M22, M23, М24, Th, J1, HS), 6 знакопеременных (A5, A§, A7, A9, A11), 6 классических простых групп лиева типа (L2(11), L3(2), L3(3), L3(4), ^4(2), U4(3)) и 3 исключительных простых групп лиева типа (Sz(8), 2F4(2)', O+ (2)). При c < 4 всего 15 групп, для которых выполняется неравенство сВ(1)2 > |G|. При c < 3 условию удовлетворят только 8 групп.

Таким неприводимым характером В степени В(1) = 190373976 при c < 2, 6 обладает спорадическая группа Томпсона Th = F3|3, т. е. |Th| < 2, 51В(1)2. При c < 3 четыре группы Матье Мц, М22, М23, М24 имеют неприводимый характер В степени В(1), равный соответственно 55, 385, 2024, 10395. При c < 2, 7 группа L3(2) порядка 168, обладает неприводимым характером степени В(1) = 8. Знакопеременные группы A5 ,A7 при c < 2, 5 имеют неприводимый характер степени 5 и 35 соответственно.

Заметим, что в [2] нет таких групп, у которых степень неприводимого комплексного характера В удовлетворяла бы условию cB(1)2 > |G|, при c < 2.

Естественно изучать конечные LC(О)-группы, у которых ©(1) имеет некоторые дополнительные ограничения. В [3] показано, что если ©(1) — степень простого числа р и силовская р-подгруппа группы G абелева, то G является р-нильпотентной группой. В [4] доказано, что в случае, когда ©(1) — произведение двух различных простых чисел р и q, группа G является разрешимой группой с абелевой нормальной подгруппой K индекса pq. А в [1] изучались РС(©)-группы с ©(1) = p2q, где р > q, которые, как выяснилось, являются разрешимыми группами с абелевой нормальной подгруппой M индекса p2q.

Большая часть работы [1] посвящена LC(©)-группам с ©(1) = p2q, для которых р > 3 и р > q. Для этого случая было доказано, что конечная группа с таким неприводимым характером © обладает абелевой нормальной подгруппой индекса р^. Для групп с р = 3 была сделана ссылка на систему GAP [5] и на Атлас конечных групп [2]. Однако имеет смысл показать, что основные результаты [1] выполняются также и для РС(©)-групп с ©(1) = р^, для которых р = 3, q = 2 или р = q.

Для краткости LC(©)-группы с ©(1) = 32 • 2 или ©(1) = р3, где р — простое число, будем называть исключительными LC(©)-группами.

Цель настоящей работы — уточнение строения исключительных конечных РС(©)-групп, а также исправление формулировки и доказательства леммы 12, использованной в доказательстве теоремы 2 из [1].

Следует заметить, что хотя лемма 12 из [1] требует коррекции, от этого результат теоремы 2 не изменится.

Рассмотрим исключительные РС(©)-группы с ©(1) = р3, где р — простое число.

(1) В [3] установлено, что LC(©)-группы с ©(1) = рт и абелевой силовской р-подгруппой являются либо группами Фробениуса, либо прямым произведением групп Фробениуса. Пример В. И. Зенкова из [6] является не единственным исключением, как показалось на первый взгляд. С помощью системы GAP [5] были найдены и другие примеры LC(©)-групп с ©(1) = рт и неабелевой силовской р-подгруппой.

Пусть G == (C3 х Сз) х Q8, где V9 = С3 х С3 — элементарная абелева подгруппа порядка 9. Тогда G = G/Oz{G) = Q% и таблица характеров для Q§ известна, ибо изоморфна (см. приложение 1 в [7]).

(2) В [3] также доказано, что почти всегда любой неприводимый характер РС(©)-группы входит в разложение квадрата характера ©. Исключение составляют группы порядка, равного степени двойки. Типичный пример — экстраспециальная 2-группа. Первое предположение о том, что только такие группы и являются исключениями, оказалось неверным. Примеры неэкстраспециальных

2-групп, являющихся LC(©)-группами, также были также найдены с помощью

GAP [5].

Так, LC(©)-группы порядка 128 обладают неприводимым характером ©

степени 23. У экстраспециальной группы порядка 27 имеется 64 характера

степени 1 и один характер © степени 8, а таблица характеров РС(©)-группы

Таблица 1

\с\ 1А 16 2 А 16 2 В 16 2 С 32 2 В 32 2 Е 64 2 Р оо 2 « 8 4 А 8 4 В 16 4 С 16 4 В 16 4 Е 16 32 4 С 8 8А 16 АН

XI Х2 Хз Х4 Х5 Хб Х7 Х8 Х9 Хю XII Х12 Х13 Х14 Х15 Х16 Х17 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 8 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 -2 2 0 1 1 1 1 0 0 -2 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 -2 -2 2 -2 -2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 -2 -2 -2 -2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 -4 -4 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 -8 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 -2 0 1 1 1 1 0 0 0 -2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 2 0 0 -2 0 0 0 1 1 1 1 2 -2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 -2 -2 -2 2 2 -2 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 -2 0 0 0 0

порядка 27, не являющейся экстраспециальной, приведена в табл. 1,

в = (((Се * С2) * С2) * С2) * С2, |О| = 128 = 27, 9(1) = 8 = 23.

Рассмотрим исключительные ЬС(9)-группы с 9(1) = 32 • 2.

В [1] доказано, что если 9(1) = 32 • 2, то порядок группы О содержится в {342,486, 504, 648}. Остановимся подробнее на каждой из этих исключительных ЬС(9)-групп.

(3) ЬС(9)-группа порядка 342 = 2 • 32 • 19 обладает неприводимым характером 9 степени 32 • 2 и О = (С19 * С9) * С2 = С19 * С18. У данной группы всего 18 характеров степени 1 и один характер 9 степени 18. Силовская 19-подгруппа М из О абелева нормальная индекса 18.

(4) Исключительная ЬС(9)-группа порядка 486 обладает неприводимым характером 9 степени 32 • 2. Пусть О = ((С3 х (С9 * С3)) * С3) * С2 и |О| = 486 = 2 • 35. Силовская 3-подгруппа Р из О нормальная индекса 2. У данной группы всего 6 линейных характеров, по 12 характеров степени 2 и 3, один характер 9 степени 18. Имеется абелева нормальная подгруппа С3 х С3 х С3 индекса 18.

Таблица характеров данной группы О приведена в табл. 2.

(5) Следующая исключительная ЬС(9)-группа порядка 504 обладает неприводимым характером 9 степени 32 • 2. Пусть О = ((С7 * С3) х А4) * С2 и |О| =

Таблица 2

(а = 4 = b = 2 • е3 = -1 + с = 3 • е§ = -з-з-л^з)

|G| 18 162 27 27 162 243 18 18 162 27 27 162 27 162 18

1А 2А ЗА ЗВ зс 3D ЗЕ 6А 6В 3F 3G ЗН 31 9А 3J 6С

XI 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Х2 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1

Хз 1 -1 а 1 1 1 1 —а -1 а а а а 1 1 —а

Х4 1 а 1 1 1 1 —а а а а а 1 1 —а

Х5 1 1 а 1 1 1 1 а 1 а а а а 1 1 а

Хб 1 1 а 1 1 1 1 а 1 а а а а 1 1 а

Х7 2 0 2 2 2 0 0 2 2 -1 2 -1 2 0

Х8 2 0 2 -1 2 2 0 0 2 -1 2 2 -1 2 0

Х9 2 0 2 -1 -1 2 2 0 0 2 -1 -1 2 -1 2 0

Хю 2 0 2 -1 -1 2 2 0 0 2 -1 -1 2 2 0

Xu 2 0 Ъ -1 2 2 0 0 Ъ Ъ —а Ъ 2 0

Х12 2 0 Ъ 2 2 0 0 Ь Ъ —а Ъ -1 2 0

Х13 2 0 Ь -1 2 2 0 0 Ъ —а Ь Ь -1 2 0

Х14 2 0 Ъ -1 2 2 0 0 Ь —а Ъ Ъ -1 2 0

Х15 2 0 Ъ -1 -1 2 2 0 0 Ь —а —а Ъ -1 2 0

Х16 2 0 Ь -1 -1 2 2 0 0 Ъ —а —а Ь -1 2 0

Х17 2 0 Ъ -1 -1 2 2 0 0 Ь —а —а Ъ 2 2 0

Х18 2 0 Ь -1 -1 2 2 0 0 Ъ —а —а Ь 2 2 0

Х19 3 -1 3 0 0 с 3 -1 —а 3 0 0 с 0 с -1

Х20 3 -1 3 0 0 с 3 -1 —а 3 0 0 с 0 с -1

Х21 3 -1 с 0 0 с 3 —а —а с 0 0 с 0 с —а

Х22 3 -1 с 0 0 с 3 —а —а с 0 0 с 0 с —а

Х23 3 -1 с 0 0 с 3 —а —а с 0 0 3 0 с —а

Х24 3 -1 с 0 0 с 3 —а —а с 0 0 3 0 с —а

Х25 3 1 3 0 0 с 3 1 а 3 0 0 с 0 с 1

Х26 3 1 3 0 0 с 3 1 а 3 0 0 с 0 с 1

Х27 3 1 с 0 0 с 3 а а с 0 0 с 0 с а

Х28 3 1 с 0 0 с 3 а а с 0 0 с 0 с а

Х29 3 1 с 0 0 с 3 а а с 0 0 3 0 с а

Хзо 3 1 с 0 0 с 3 а а с 0 0 3 0 с а

Хз1 18 0 0 0 0 0 -9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таблица 2 (окончание)

18 18 27 27 162 27 162 27 18 18 27 162 27 18 27

6Б 6Е ЗК ЗЬ ЗМ 9В ЗМ 9С 6Е 6С 9Б 30 9Е 6Н 9Е

XI 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Х2 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1

Хз —а -1 а а а а а 1 —а —а а а а —а а

Х4 —а а а а а а 1 —а —а а а а —а а

Х5 а 1 а а а а а 1 а а а а а а а

Хб а 1 а а а а а 1 а а а а а а а

Х7 0 0 2 -1 2 -1 2 -1 0 0 -1 2 -1 0 -1

Х8 0 0 -1 2 2 -1 2 -1 0 0 -1 2 -1 0 -1

Х9 0 0 -1 -1 2 -1 2 0 0 -1 2 2 0 2

Хю 0 0 -1 -1 2 2 2 -1 0 0 2 2 -1 0 -1

Х11 0 0 Ъ —а Ъ —а Ь -1 0 0 —а Ъ —а 0 —а

Х12 0 0 Ь —а Ь —а Ъ -1 0 0 —а Ь —а 0 —а

Х13 0 0 —а Ъ Ъ —а Ь -1 0 0 —а Ъ —а 0 —а

Х14 0 0 —а Ь Ь —а Ъ -1 0 0 —а Ь —а 0 —а

Х15 0 0 —а —а Ь —а Ъ 0 0 —а Ь Ъ 0 Ь

Х16 0 0 —а —а Ъ —а Ь 0 0 —а Ъ Ь 0 Ъ

Х17 0 0 —а —а Ь Ъ Ъ -1 0 0 Ь Ь —а 0 —а

Х18 0 0 —а —а Ъ Ь Ь -1 0 0 Ъ Ъ —а 0 —а

Х19 —а —а 0 0 с 0 с 0 —а —а 0 с 0 —а 0

Х20 —а —а 0 0 с 0 с 0 —а —а 0 с 0 —а 0

Х21 —а —а 0 0 3 0 3 0 -1 -1 0 с 0 —а 0

Х22 —а —а 0 0 3 0 3 0 -1 -1 0 с 0 —а 0

Х23 -1 —а 0 0 с 0 с 0 —а —а 0 3 0 -1 0

Х24 -1 —а 0 0 с 0 с 0 —а —а 0 3 0 -1 0

Х25 а а 0 0 с 0 с 0 а а 0 с 0 а 0

Х26 а а 0 0 с 0 с 0 а а 0 с 0 а 0

Х27 а а 0 0 3 0 3 0 1 1 0 с 0 а 0

Х28 а а 0 0 3 0 3 0 1 1 0 с 0 а 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Х29 1 а 0 0 с 0 с 0 а а 0 3 0 1 0

Хзо 1 а 0 0 с 0 с 0 а а 0 3 0 1 0

Х31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

504 = 23 • 32 • 7. Силовская 7-подгруппа Т из С нормальная индекса 72. Подгруппа, изоморфная С7 х У4, абелева нормальная индекса 18.

(6) Интересным оказался случай, когда ЬС(0)-группы имеют порядок 648. Пусть С = ((С2 х С2 х ((С3 х С3) х С3)) х С3) х С2 и С обладает неприводи-

Таблица 3

(а = 2 • е| + + е| + 2 . е7. & = _£2 _ 2 . £4 _ 2 . £5 _ £7.

С --~~I- > ^ - ^ 3 - 2 ' ^ - ^ * ^3 --\/ 3;

/ = 3.£2 = ^Е1;д = 4.е2 = _2_2.^)

\С\ 216 324 108 108 36 27 27 27 72 36 72

1А 2А ЗА 6А зв 6В 9А 9В 9С ЗС 6С 6Б

XI 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Х2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Хз 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <1 <1 <1

Х4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 а а <1

Х5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 <1 <1 <1

Хб 1 1 1 1 1 1 1 1 1 а а <1

Х7 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 2 2 2

Х8 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 е е е

Х9 2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 е е е

Хю 3 -1 3 -1 3 -1 0 0 0 3 -1 -1

Хп 3 -1 3 -1 3 -1 0 0 0 3 -1 -1

Х12 3 -1 3 -1 3 -1 0 0 0 /

Х13 3 -1 3 -1 3 -1 0 0 0 / -И -И

Х14 3 -1 3 -1 3 -1 0 0 0 /

Х15 3 -1 3 -1 3 -1 0 0 0 / -И -И

Х16 6 6 6 6 -3 -3 0 0 0 0 0 0

Х17 6 -2 6 -2 -3 1 0 0 0 0 -2 4

Х18 6 -2 6 -2 -3 1 0 0 0 0 —е 9

Х19 6 -2 6 -2 -3 1 0 0 0 0 —е 9

Х20 6 6 -3 -3 0 0 а с ъ 0 0 0

Х21 6 6 -3 -3 0 0 Ь а с 0 0 0

Х22 6 6 -3 -3 0 0 с Ь а 0 0 0

Х23 18 -6 -9 3 0 0 0 0 0 0 0 0

мым характером В степени 18 (табл. 3). У данной группы всего шесть характеров степени 1 и 3, три характера степени 2, семь характеров степени 6 и один характер В степени 18. Подгруппа, изоморфная С2 х С2 х Сз х Сз, абелева нормальная индекса 18.

В доказательстве теоремы 2 из [1] использована лемма 12. Напомним, что хотя она требует коррекции, от этого результат теоремы 2 не изменится. Формулировка и доказательство этой леммы должны быть изменены следующим образом.

Таблица 3 (окончание)

9 72 36 72 9 12 12 12 12 12 12

ЗБ ЗЕ 6Е 6Е ЗЕ 2В 4А 6С 12А 6Н 12В

XI 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Х2 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Хз <1 а <1 а а -1 -1 -И -И

Х4 а <1 <1 <1 <1 -1 -1 -И -И

Х5 <1 а <1 а а 1 1 <1 <1 а <1

Хб а <1 <1 <1 <1 1 1 <1 а <1 <1

Х7 -1 2 2 2 -1 0 0 0 0 0 0

Х8 -а е е е 0 0 0 0 0 0

Х9 е е е -а 0 0 0 0 0 0

Хю 0 3 -1 -1 0 1 -1 1 -1 1

Хп 0 3 -1 -1 0 1 1 -1 1 -1

Х12 0 / -И 0 -1 1 <1 -И <1

Х13 0 / 0 -1 1 -И а <1

Х14 0 / -И 0 1 <1 -а а -И

Х15 0 / -<], 0 1 <1 -И <1 -<],

Х16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Х17 0 0 -2 4 0 0 0 0 0 0 0

Х18 0 0 —е 9 0 0 0 0 0 0 0

Х19 0 0 —е 9 0 0 0 0 0 0 0

Х20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Х21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Х22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Х23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Лемма. Пусть С — ЬС(О)-группа с 0(1) = р2д, где р и д — различные простые числа и р > д. Тогда силовская р-подгруппа Р группы С имеет порядок не больше р5. Если Р о С, то |С| = 486. Если Р не нормальна в С и |С| = 648, то |Р| < р3.

Доказательство. Пусть С — ЬС(О)-группа с 0(1) = р2д, где р > д. Так как |С| < 2р4д2, то |Р| < р6, иначе д не делит |С|. Если |Р| = р6, то 2р4д2 < 2р6 ввиду д < р. Значит, |С| = |Р| = р6, что неверно, ибо в таком случае д не делит |С|. Итак, |Р| < р5.

Допустим, что |Р| = р5. Так как |С| = р5дьт < 2р4д2, где (т,рд) = 1, то Ь < 2. Однако р > д > 2. Следовательно, можно считать, что Ь =1. В этом случае рт < 2д. Если т = 2, то р < д вопреки предположению. При т = 1 будет Р о С и |С| = р5д.

По теореме 9.12 из [8] и лемме 9 из [4]

Op = £ Xi,

i=i

где Xi G Irr(P), причем из 0(1) = p2q следует, что Xi(1) = p2 для i = 1, 2,. .. , q. Так как xi — неприводимые характеры P, то Z(P) С Z(xi). Поэтому

£ |Xi(z)|2 = |Z(P)|p4 <|P| = p5.

zez(p)

Следовательно, |Z(P)| = p. Так как |Z(P)|0(1)2 = |G| = p5q, то Z(G) = 1 и подгруппа Q G Sylq(G) порядка q действует на Z(P) нетривиально. Отсюда q|p— 1. Существует сопряженных характеров группы G степени p2q, исчезающих на P—Z(P). Группа Q разбивает множество характеров xi степени p2 на орбиты длины q. Таким образом, у группы G имеется характеров степени p2q. Так как G не может иметь более одного характера степени p2q, то p — 1 = q. Стало быть, p = 3, q = 2 и |G| = 486 (см. табл. 2). Вычисления с помощью GAP [5] показывают, что группа с рассматриваемыми свойствами существует.

Допустим, что P G Sylp(G) имеет порядок p4. Если PoG, то по теореме 6.2 из [9] имеем

s

Op = e53xi >

i=i

где e, s||G/P| и xi G Irr(P). Так как |G/P| взаимно просто с p и 0(1) = p2q, то Xi(1) = p2. Это приводит к противоречию, поскольку сумма степеней неприводимых характеров группы P не может быть больше |P| = p4. Стало быть, P не может быть нормальной. Поскольку |G| < 2p4q2, то |G| = p4qbm, где qbm < 2q2 и (m,pq) = 1. Отсюда имеются также возможности для G:

1) b = 2, |G| = p4q2;

2) b = 2, |G| = 8p4,q = 2;

3) b = 1, |G| = p4qm, где m < 2q.

Предположим, что |G| = 8p4. Тогда G имеет подгруппу P индекса 8 и ввиду того, что P не нормальна в G, получаем, что |G : Ng(P)| равно 4 или 8. В первом случае получаем p = 3 и |G| = 648 (см. табл. 3). Использование GAP [5] показывает, что группа с рассматриваемыми свойствами существует. Если p = 7, то Ng(P) = P и по теореме 1.1 из [10] G разрешима. Легко видеть, что G/O7(G) — группа Фробениуса порядка 56 = 23 • 7. Подгруппа 07(G) не может быть абелевой ввиду теоремы 6.15 (Ито) из [9]. Поэтому она неабелева. Так как 107(G) = 73, имеется циклическая подгруппа T порядка 7, нормальная в G, и

|G : Cg(T)| делит |Out(T)| = 6. Так как G не имеет подгрупп индекса 2 или 3, то T < Z(G). Это противоречит тому, что Z(G) = 1.

Рассмотрим теперь случай 3. Порядок G равен p4mq, где m < 2q и (m, pq) =

I. По теореме А из [11] получаем, что P П Px = Op(G) для некоторого ж G G. При этом |P/Op(G)|2 < |G/Op(G)|. Так как mq < 2p2, при P = Ng(P) получаем, что |Op(G)| > p3, а при P = Ng(P) группа G разрешима. Если |Op(G)| = p2, то ввиду теоремы Бернсайда (группа P/Op(G) абелева) получаем, что G/Op(G) — p-нильпотентна. Из существования подгруппы порядка p4q в G теперь следует, что Ng(P) = P. Поэтому можно считать, что |Op(G)| > p3. Так как P не нормальна в G по предыдущему, то |Op (G)| = p3 и Op (G) неабелева по теореме 6.15 (Ито) из [9]. Поэтому Z(Op(G)) = T имеет порядок p и T < G. Следовательно, Cg(T) < G и G/Cg(T) < Aut(T) имеет порядок, делящий p — 1. По лемме 10 из [4] получаем, что |G/Cg(T)| — степень q. Отсюда |G/Cg(T)| = q. В частности, |Cg(T)| = р4то. По теореме 9.12 из [8] заключаем, что имеется характеров группы G степени p2q, так что p = q + 1 = 3, q = 2. Отсюда m < 2. Этот случай уже рассмотрен выше. Лемма доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Поисеева С. С. Конечные группы с большой степенью неприводимого характера // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 4. С. 43-61.

2. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. Oxford: Clarendon Press., 1985.

3. Казарин Л. С., Поисеева C. С. Конечные группы с большим неприводимым характером // Мат. заметки. 2015. Т. 98, №. 2. C. 237-246.

4. Казарин Л. С., Поисеева C. С. О конечных группах с большой степенью неприводимого характера // Моделирование и анализ информационных систем. 2015. Т. 22, № 4. C. 483499.

5. The GAP Group GAP — Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10. [Электронный ресурс] / Aachen, St. Andrews, 2008. Режим доступа: http://www.gap-system.org

6. Зенков В. И. О p-блоках дефекта 0 в р-разрешимых группах // Тр. ИММ УрО РАН. М.: Факториал, 1995. № 2. С. 36-40.

7. Белоногов В. А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990.

8. Feit W. Characters of finite groups. New York, Amsterdam: Yale University, 1967.

9. Isaacs I. M. Character theory of finite groups. New York, San Francisco, London: Acad. Press, 1976.

10. Guralnick R. M., Malle G., Navarro G. Self-normalizing Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 132, No 4. P. 973-979.

II. Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах // Фундамент. и прикл. математика. 1996. Т. 2, № 1. С. 1-92.

Статья поступила 11 июня 2016 г. Поисеева Саргылана Семеновна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 pss.iiiSmail. ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2016. Том 23, № 3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

UDC 512.547.214

ON THE STRUCTURE OF FINITE GROUPS WITH LARGE IRREDUCIBLE CHARACTER DEGREE p2q S. S. Poiseeva

Abstract. We study a finite nontrivial group G with an irreducible complex character 0 degree 0(1) = p2q such that |G| < 20(1)2, where p,q are primes.

Keywords: finite group, character of a finite group, irreducible character degree of a finite group.

REFERENCES

1. Poiseeva S. S. "Finite groups with an irreducible character large degree," Mat. Zamet. SVFU, 22, №. 4, 43-61 (2015).

2. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., and Wilson R. A., Atlas of finite groups: maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Clarendon Press, Oxford (1985).

3. Kazarin L. S. and Poiseeva S. S. "Finite groups with large irreducible character," Math. Notes, 98, №. 1, 265-272 (2015).

4. Kazarin L. S. and Poiseeva S. S. "On finite groups with large degree irreducible character," Model. Analiz Inform. Sistem, 22, №. 4, 483-499 (2015).

5. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10. St. Andrews, Aachen (2008).

6. Zenkov V. I. "On p-blocks of zero defect in p-solvable groups," Tr. Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, №. 2, 36-40 (1995).

7. Belonogov V. A., Representations and characters of finite groups, Akad. Nauk USSR, Sverdlovsk (1990).

8. Feit W., Characters of finite groups, Yale Univ., New York; Amsterdam (1967).

9. Isaacs I. M., Character theory of finite groups, Acad. Press, New York; San Francisco; London (1976).

10. Guralnick R. M., Malle G., and Navarro G. "Self-normalizing Sylow subgroups," Proc. Amer. Math. Soc., 132, №. 4, 973-979 (2003).

11. Zenkov V. I. "The intersections of nilpotent subgroups in finite groups," Fundam. Prikl. Mat., 2, №. 1, 1-92 (1996).

Submitted June 11, 2016

Sargylana Semyonovna Poiseeva M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 48 Kulakovskii Street, Yakutsk 677000, Yakutia, Russia pss.iiiSmail. ru

О СТРОЕНИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С БОЛЬШИМ НЕПРИВОДИМЫМ ХАРАКТЕРОМ СТЕПЕНИ $p^2q$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Поисеева Саргылана Семеновна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Поисеева Саргылана Семеновна

ON THE STRUCTURE OF FINITE GROUPS WITH LARGE IRREDUCIBLE CHARACTER DEGREE $p^2q$

Текст научной работы на тему «О СТРОЕНИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП С БОЛЬШИМ НЕПРИВОДИМЫМ ХАРАКТЕРОМ СТЕПЕНИ $p^2q$»