CC BY
105
УДК 528.236.3
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ ПО ПЛОСКИМ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ ГАУССА - КРЮГЕРА
Константин Федорович Афонин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11
Федор Константинович Афонин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, заместитель начальника методического отдела, тел. 8-913-7774124
Предложены три способа и технологии вычисления площадей земельных участков на поверхности эллипсоида вращения по плоским прямоугольным координатам Гаусса -Крюгера. Плоские прямоугольные координаты Гаусса - Крюгера можно использовать как в государственных (СК-42, СК-95), так и в местных (МСК-54, СК НСО и других) системах координат. Выполнены экспериментальные вычисления и даны практические рекомендации по применению разработанных авторами технологий.
Ключевые слова: площади участков, системы координат.
COMPUTATION OF LAND UNITS AREAS ON THE ELLIPSOID OF REVOLUTION SURFACE BY PLANE RECTANGULAR GAUSS - KRUGER COORDINATES
Konstantin F. Afonin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph.D., Assoc Prof, Department of Advanced Geodesy, tel. (383)343-29-11
Fedor K. Afonin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Assistant head of the Department of Methodology, tel. 8-913-7774124
Three methods and technologies for calculating the area of land units on the ellipsoid of revolution surface are offered. The areas are to be calculated by rectangular Gauss-Kruger coordinates, which can be applied both in national (SK-42, SK-95) and local (MSK-54, SK Novosibirsk region, etc) coordinate systems. Experimental calculations have been conducted. Practical recommendations on application of the techniques developed by the authors are given.
Key words: unit lands areas, coordinate systems.
Предположим, что известны координаты поворотных точек (вершин) участка в какой-либо системе координат. Это могут быть геодезические или прямоугольные пространственные координаты, или плоские прямоугольные координаты в проекции Гаусса-Крюгера. В учебниках по высшей геодезии [1,2] имеются формулы для взаимного преобразования координат из одной системы в другую, поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что координаты вершин участка известны в любой из перечисленных систем координат.
Площадь земельных участков может быть вычислена с использованием различных координат и на разных поверхностях. Если использовать
геодезические координаты (широту и долготу), то площадь участка будет получена на поверхности эллипсоида вращения. Координаты плоские прямоугольные позволяют вычислить площадь участка на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера. Пространственные прямоугольные координаты позволяют получить площадь пространственной многогранной поверхности.
Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки, поэтому при выборе способа необходимо использовать какие-либо критерии. На наш взгляд, такими критериями должны быть:
• Инвариантность площади по отношению к используемой системе координат (СК-95, СК НСО и другие). Это позволит объединять площади земельных участков административных районов, субъектов федерации и т. д.
• Равенство суммы площадей новых участков и площади старого участка при его делении на части.
Эти критерии будут выполняться в том случае, если площади будут получены на поверхности эллипсоида вращения. О необходимости применения такого подхода к вычислению площадей территорий утверждали в своих работах А.В. Виноградов [3] и В.И. Обиденко [4]. Для вычисления площадей территорий эти авторы предлагают использовать геодезические координаты вершин и формулы сфероидической геодезии.
Наше предложение заключается в том, чтобы вычислять площадь участка на поверхности эллипсоида вращения, используя при этом плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера. Такой подход позволяет, по нашему мнению, значительно упростить решение задачи. Сами плоские прямоугольные координаты вершин участка должны вычисляться по результатам инструментальных измерений на местности при инвентаризации объектов недвижимости. Они могут быть получены в любой системе, в том числе и в системе координат СК НСО.
Для того чтобы иметь возможность оценить точность вычисления площадей в качестве земельных участков будем использовать трапеции топосъемки масштаба 1:25000, покрывающие лист карты О-44-139 масштаба 1:100000. В этом случае площади 16 трапеций масштаба 1:25000 и одной трапеции масштаба 1:100000 можно вычислить по формуле сфероидической геодезии [3]
Рэлл = b2 {(sin В2 - sin Вг) +-3e2(sin3B2 - sin3Bt) +
-e4(sin5B2- sin5B1) + -e6(sin7B2- sin7B1) + •••], (1)
5 7 J
Здесь
b - малая полуось эллипсоида вращения;
e2 - квадрат первого эксцентриситета эллипсоида вращения;
В1, В2 - геодезические широты южной и северной граничных параллелей;
Lb L2 - геодезические долготы западного и восточного граничных меридианов.
Вычисленные по формуле (1) площади 16 трапеций масштаба 1:25000 и трапеции О-44-139 приведены в 3 колонке таблицы 1. Эти значения мы будем считать эталоном площади на поверхности эллипсоида вращения. По геодезическим координатам вершин съемочных трапеций были вычислены плоские прямоугольные координаты в системах СК-95 и СК НСО. Эти координаты были использованы для вычисления площадей трапеций по формуле [6]
Рху = \{*1(У2 ~ Уп) + х2(у3 ~ Уг) + ••• + - У1-1) + + хп(у1 -
Уп-1)}, (2)
где 1,2,..л, ...п - номера вершин земельного участка (нумерация должна выполняться по ходу часовой стрелки). Площади участков в СК-95 и СК НСО приведены в колонках 4, 5 табл. 1. Различия площадей трапеций, вычисленных по координатам Гаусса-Крюгера в системах СК-95 и СК НСО
Л
превышают 0,002 км . А это, на наш взгляд, недопустимо потому, что будет приводить к неоднозначности в определении площадей территорий разных административных районов и субъектов РФ.
Допустимую величину расхождения площадей можно определить, опираясь на формулы, приведенные в [5]. Для трапеции масштаба 1:25000 ДРдоп не должна превышать 0,0008 км .
Таблица 1
Площади участков на поверхности эллипсоида вращения и на плоскости в
системах координат СК-95 и СК НСО
Номер трапеции Номенклатура трапеции Рэлл (км2) Рху в СК-95 (км2) Рху в СК НСО (км2)
1 2 3 4 5
1 О-44-139-А-а 71,823686 71,823684 71,824382
2 О-44-139-А-б 71,823686 71,823895 71,825047
3 О-44-139-А-в 71,978896 71,978896 71,979599
4 О-44-139-А-г 71,978896 71,979103 71,980262
5 О-44-139-Б-а 71,823686 71,824300 71,825910
6 О-44-139-Б-б 71,823686 71,824944 71,827001
7 О-44-139-Б-в 71,978896 71,979521 71,981141
8 О-44-139-Б-г 71,978896 71,980159 71,982226
9 О-44-139-В-а 72,133947 72,133946 72,134653
10 О-44-139-В-б 72,133947 72,134148 72,135320
11 О-44-139-В-в 72,288837 72,288827 72,289554
12 О-44-139-В-г 72,288837 72,289042 72,290224
13 О-44-139-Г-а 72,133947 72,134584 72,136206
14 О-44-139-Г-б 72,133947 72,135221 72,137308
15 О-44-139-Г-в 72,288837 72,289481 72,291114
16 О-44-139-Г-г 72,288837 72,290122 72,292219
Сумма 1152,901464 1152,909873 1152,932165
17 О-44-139 1152,901467 1152,899534 1152,921813
Переход от площади участка на плоскости Рху к соответствующей площади на поверхности эллипсоида вращения Р можно выполнить тремя
способами. Первый способ заключается в учете масштаба изображения и вычислении площади по формулам
Рвыч = Гху/™2, (3)
т = 1 + У'р
2Д2 24Д4
Здесь уср - средняя действительная ордината участка; Я - средний радиус, вычисленный для средней широты объекта.
Таблица 2
Площади участков на поверхности эллипсоида вращения, вычисленная по _плоским прямоугольным координатам в системе СК НСО_
Номер трапеции 1 вари ант 2 вари ант 3 вари ант
Р Р выч. 1ДР1 Р Р выч. 1ДР1 Р Р выч. 1ДР1
1 2 3 4 5 6 7
1 71,823651 3*10-5 71,823115 6*10-4 71,824197 5*10-4
2 71,823654 3*10-5 71,823780 9*10-5 71,824201 5*10-4
3 71,978863 3*10-5 71,978329 6*10-4 71,979411 5*10-4
4 71,978860 4*10-5 71,978992 1*10-4 71,979408 5*10-4
5 71,823645 4*10-5 71,824642 1*10-3 71,824191 5*10-4
6 71,823653 3*10-5 71,825734 2*10-3 71,824200 5*10-4
7 71,978861 4*10-5 71,979870 1*10-3 71,979409 5*10-4
8 71,978856 3*10-5 71,980956 2*10-3 71,979404 5*10-4
9 72,133912 4*10-5 72,133380 6*10-4 72,134461 5*10-4
10 72,133909 4*10-5 72,134047 1*10-4 72,134458 5*10-4
11 72,288808 3*10-5 72,288278 6*10-4 72,289358 5*10-4
12 72,288804 3*10-5 72,288948 1*10-4 72,289354 5*10-4
13 72,133911 4*10-5 72,134933 1*10-3 72,134460 5*10-4
14 72,133916 3*10-5 72,136035 2*10-3 72,134465 5*10-4
15 72,288805 3*10-5 72,289838 1*10-3 72,289355 5*10-4
16 72,288805 3*10-5 72,290943 2*10-3 72,289355 5*10-4
Сумма 1152,9009 1152,9118 1152,9097
17 1152,8927 9*10-3 1152,9015 0 1152,9015 0
Второй способ состоит в использовании, так называемого, нормирующего коэффициента К, который получается как соотношение площадей контрольной съемочной трапеции, вычисленных через геодезические и плоские прямоугольные координаты
К = Рэлл/Р^ . (4)
Съемочная трапеция должна быть такого масштаба, чтобы на ее территории размещались все земельные участки. В нашем случае в роли
контрольной трапеции выступает трапеция О-44-139 масштаба 1:100000. Полученный таким образом нормирующий коэффициент К можно использовать для преобразования площадей всех земельных участков
Р = КР (5)
1 выч ш ху- К-';
Таблица 3
Площади участков на поверхности эллипсоида вращения, вычисленная по _плоским прямоугольным координатам в системе СК -95_
Номер трапеции 1 вари ант 2 вари ант 3 вари ант
Р Р выч. 1ДР1 Р Р выч. 1ДР1 Р 1ДР1
1 2 3 4 5 6 7
1 71,823658 3*10-5 71,823805 1*10-4 71,824203 5*10-4
2 71,823658 3*10-5 71,824016 3*10-4 71,824203 5*10-4
3 71,978870 3*10-5 71,979017 1*10-4 71,979416 5*10-4
4 71,978864 3*10-5 71,979224 3*10-4 71,97941 5*10-4
5 71,823640 5*10-5 71,824421 7*10-4 71,824186 5*10-4
6 71,823652 3*10-5 71,825065 1*10-3 71,824186 5*10-4
7 71,978857 4*10-5 71,979641 7*10-4 71,979403 5*10-4
8 71,978858 4*10-5 71,980280 1*10-3 71,979405 5*10-4
9 72,133920 3*10-5 72,134067 1*10-4 72,134467 5*10-4
10 72,133908 4*10-5 72,134269 3*10-4 72,134455 5*10-4
11 72,288800 4*10-5 72,288949 1*10-4 72,289349 5*10-4
12 72,288800 4*10-5 72,289163 3*10-4 72,289348 5*10-4
13 72,133916 3*10-5 72,134705 8*10-4 72,134464 5*10-4
14 72,133912 4*10-5 72,135342 1*10-3 72,134459 5*10-4
15 72,288808 3*10-5 72,289602 8*10-4 72,134464 5*10-4
16 72,288804 3*10-5 72,290243 1*10-3 72,134459 5*10-4
Сумма 1152,9009 1152,9118 1152,9097
17 1152,8927 9*10-3 1152,9015 0 1152,9015 0
Третий способ заключается в совместном учете масштаба изображения т и нормирующего коэффициента К. Для каждого из способов была разработана технология и выполнены экспериментальные вычисления, результаты которых приведены в табл. 2, 3. В колонках 3, 5, 7 этих таблиц помещены модули разностей ДР=(Рвыч-Рэлл). Выполнение условия
|ЛР| < ЬРдоп (6)
является критерием допустимости предлагаемого варианта вычисления площади.
Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что первый и третий способы можно использовать для вычисления площадей земельных участков на поверхности эллипсоида вращения по плоским
прямоугольным координатам в проекции Гаусса-Крюгера. При этом плоские координаты вершин участков могут быть и в государственной (СК-95), и в местной СК НСО) системах координат.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афонин К. Ф. Высшая геодезия. Системы координат и преобразования между ними [Текст]: учебно-методическое пособие. - Новосибирск: СГГА, 2011. - 56 с.
2. Телеганов Н. А., Елагин А. В. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем: учебное пособие. - Новосибирск: СГГА, 2004. - 238 с.
3. Виноградов А. В. Вычисление площади участка на поверхности эллипсоида // Геодезия и картография. - 2007. - № 6. - С. 41-46.
4. Обиденко В. И. Разработка и исследование методики определения формы и размеров территорий по геопространственным данным: автореферат дис. кандидата техн. наук. - Новосибирск, 2012. - 24 с.
5. Инструкция по межеванию земель. - М.: Роскомзем, 1996. - 16 с.
6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - М.: Физматгиз, 1963. -
872 с.
7. Обиденко В. И. Технология определения метрических параметров территории Российской Федерации по геопространственным данным // Вестник СГГА. - 2012. -Вып. 2 (19). - С. 3-13.
8. Карпик А. П. Основные принципы формирования геодезического информационного пространства // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 73-78.
9. Антонович К. М., Москвин В. Н., Клюшниченко В. Н. К вопросу о многоконтурных земельных участках // Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. -№ 4/С. -С.130-132.
10. Афонин К. Ф., Афонин Ф. К. Технология преобразования плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера в СК НСО // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15-26 апреля 2013 г.). -Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. -С. 124-129 .
© К. Ф. Афонин, Ф. К. Афонин, 2014
