CC BY
81
УДК 528.236.3 К.Ф. Афонин СГГА, Новосибирск
ТЕХНОЛОГИЯ РЕДУЦИРОВАНИЯ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН НА ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ РАСШИРЕННЫХ ЗОН ПРОЕКЦИИ ГАУССА -КРЮГЕРА
При использовании расширенных зон проекции Г аусса - Крюгера придется по-новому решать две старые задачи. Первая заключается в выборе формул вычисления поправок в измеренные величины, которые можно использовать для перехода с поверхности эллипсоида вращения на плоскость проекции, и обосновании технологии такого перехода. Вторая состоит в исследовании существующих формул связи двух систем координат (плоских прямоугольных Гаусса - Крюгера и геодезических), позволяющих решать задачи с заданными погрешностями, и выработки технологий этих преобразований. Данная статьи посвящена решению первой задачи.
K.F. Afonin SSGA, Novosibirsk
TECHNOLOGY OF REDUCING MEASURED VALUES ON THE PLANE FOR THE EXPANDED ZONES OF GAUSS - KRUGER PROJECTION
When using the expanded zones of Gauss - Kruger projection the two old problems have to be solved in a different way. The first problem is choosing the formulas for calculating the measured values corrections, which may be used for transition from the ellipsoid of rotation plane to that of the projection and for this transition technology substantiation. The second problem involves investigation of the existing formulas connecting the two coordinate systems (plane rectangular Gauss -Kruger coordinates and the geodetic ones), which permit solving the problems with the given corrections and developing these transformations technologies. The article presents the solution of the first problem.
В работе [2] была показана возможность и целесообразность использования зон произвольной ширины при вводе региональных и местных систем плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера. Предпосылкой к этому служит практически полная автоматизация работ по сбору и математической обработке измерительной информации. В идеальном случае на территории региона можно будет образовать только одну зону и тогда исчезнет необходимость в преобразовании координат Гаусса - Крюгера из одной зоны в другую.
Однако при использовании таких зон придется по-новому решать две старые задачи. Первая заключается в выборе формул вычисления поправок в измеренные величины, которые можно использовать для перехода с поверхности эллипсоида вращения на плоскость проекции, и обосновании технологии такого перехода. Вторая состоит в исследовании существующих формул связи двух систем координат (плоских прямоугольных Гаусса -Крюгера и геодезических), позволяющих решать задачи с заданными погрешностями, и выработки технологий этих преобразований. Данная статьи посвящена решению первой задачи.
Наиболее полные формулы для редуцирования измеренных величин на плоскость проекции Гаусса - Крюгера приведены в учебнике [1]. Для редуцирования расстояний с поверхности эллипсоида на плоскость автором [1] рекомендована формула
у2 Ау2 У4 У6
Ж1 24Я2 24Я4 7207? V }
где я12, £12 - расстояния на поверхности эллипсоида вращения и на плоскости соответственно;
R - средний радиус кривизны, который можно вычислить с помощью известных соотношений [1], например, через полярный радиус с, квадрат второго эксцентриситета е’2 и геодезическую широту В.
Средняя ордината уср и разности координат Ах12, Ау12 двух точек должны
вычисляться по их приближенным значениям.
В учебнике [1] приведена следующая формула поправки 612 за кривизну изображения геодезической линии 1-2 на плоскости
Ау 12 У% . Ре'2 вт 2Ву2срАуп
Ъ = -/а*12 0% -----> (2)
в которой
/ — —^~г - (3)
2Л
Для исследования влияния различных членов формул (1), (2) на величины полных поправок представим эти формулы в виде
812 = $12 + АЛ<1 + АБ2 + А53 + А84, (4)
312 - -81 +32 +33 -д4. (5)
Слагаемые формул (4), (5) соответственно равны
у2
д^=^12, (6)
2Я2
(7)
24 Я К '
у4
а^з=^т^2, (8)
3 24Я4 12 47
у6
А^4=^Т^2, (9)
7207?
д]=/Лх12 уср, (Ю)
,3
f^X^ 7 У~
8Ъ= 12;ср , (12)
3 ЗЯ2 47
ре'2 вт 25Ау19 у2
£4=^Г------------(13)
2Я3
В таблице 1 приведены результаты вычисления поправок для зон разной ширины и расстояний в 10 км при широте 50о. Размеры зоны в 12о можно использовать в таких регионах, как Новосибирская и Вологодская области, Алтайский и Приморский края. Зоны шириной в 18о могут найти применение в Томской, Амурской. Читинской областях и Хабаровском крае. Зональный размер в 24о применим в Иркутской и Камчатской областях, а 30о зоны можно реализовать, например, в Архангельской и Тюменской областях.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1. В результаты высокоточных и точных классических геодезических измерений необходимо вводить все поправки и вычислять их по формулам (1), (2) или (4)-(13);
2. В результаты геодезических измерений технического класса точности, а также при проложении тахеометрических ходов и выполнении съемки необходимо учитывать только поправки в измеренные расстояния;
3. При использовании зон шириной менее 24° и расстояниях до десяти километров поправку ДЛ’4 можно не учитывать.
Таблица 1
Размер зон 12о 18о 24о 30о
В 50о 50о 50о 50о
430 645 860 1075
Б12 (км) 10 10 10 10
(м) 22 51 91 142
А£2 (м) 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010
А^з (м) 0,0086 0,0435 0,1376 0,3360
А£4 (м) 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003
дх (сек) 11 16 22 27
82 (сек) 0,042 0,042 0,042 0,042
8Ъ (сек) 0,016 0,056 0,132 0,258
8Л (сек) 0,005 0,011 0,019 0,030
Однако для вычисления поправок (6)-(13) необходимо знать плоские прямоугольные координаты Г аусса-Крюгера, которые для определяемых пунктов не известны. Оценим погрешности, с которыми должны вычисляться приближенные координаты этих пунктов, по известным формулам высшей геодезии. Для редуцирования расстояний с поверхности эллипсоида вращения
на плоскость необходимо знать ординаты определяемых пунктов с погрешностями ту, которые можно оценить по формуле
Л2 ґт
У
— (14)
Уср Я
т1
где —= 2000000 допустимая относительная погрешность редуцирования.
Погрешности тху, с которыми нужно знать координаты определяемых пунктов для вычисления поправок 5 в горизонтальные направления за кривизну изображения геодезической линии эллипсоида на плоскости, можно определить с помощью соотношения
2 К2тх
™Ху =------------
РУс,
(15)
СР
Здесь т8 = 0,01" допустимая погрешность вычисления данной поправки.
Результаты расчетов по формулам (14), (15) для зон разной ширины приведены в таблице 2. С другой стороны не учет поправок в расстояния А Б будет приводить к ошибкам Аху§ в вычислении координат на величины порядка АБ1. Не учет поправок в направления 5 также будет приводить к погрешностям в вычисленных приближенных координатах на величины Аху5.
Таблица 2
Размер зон 12о 18о 24о 30о
Шу(м) 47 31 23 18
Шху(м) 9 6 4 3
Аху§(м) 22 51 91 142
Аху5(м) 0,6 0,8 1,1 1,4
Таким образом, при редуцировании измеренных величин вблизи границ 12о зоны приближенные координаты определяемых пунктов необходимо вычислять с погрешностями порядка 9 метров. В 18о, 24о, 30о зонах эти погрешности составят 6, 4, 3 метра соответственно. Такой точности определения приближенных координат нельзя достичь без учета поправок в результаты измерений.
Поэтому технология решения редукционной задачи в зонах указанной ширины, на наш взгляд, должна содержать пять этапов:
1. Вычисление грубых поправок ДБ! по известным координатам только исходных пунктов и введение их в результаты линейных измерений.
2. Вычисление грубых значений приближенных координат определяемых пунктов с использованием грубо редуцированных (линейных) и нередуцированных (угловых) измеренных величин.
3. Вычисление величин приближенных поправок и введение их в результаты измерений.
4. Вторичное вычисление приближенных координат определяемых пунктов с необходимыми погрешностями.
5. Вычисление окончательных поправок и введение их в результаты измерений.
Конечно, при расположении объекта вблизи осевых меридианов зон данная технология может упрощаться до стандартной технологии редуцирования, которая используется в настоящее время при производстве работ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Морозов, В. П. Курс сфероидической геодезии. Учебник для вузов. Изд.
2, перераб. и доп. [Текст] / В.П. Морозов. - М.: Недра, 1979. - 296 с.
2. Афонин, К.Ф. О выборе размеров зон в проекции Гаусса-Крюгера [Текст] / К.Ф. Афонин // «ГЕО-Сибирь»: сб. науч. тр. V междунар. науч. конгр. -Новосибирск, 2009. - С. 155-159.
© К.Ф. Афонин, 2011
