CC BY
71
Геодезия
УДК 528.236.3
К. Ф. Афонин СГГ А, Новосибирск
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ ГАУССА - КРЮГЕРА ИЗ МСК-54 В СК НСО
В статье рассмотрено решение задачи по трансформированию плоских прямоугольных координат Г аусса - Крюгера из МСК-54 в СК НСО, возникшей в связи с введением на территории Новосибирской области новой местной системы координат. На реальном производственном объекте выполнено исследование применения различных математических моделей и технологий преобразования координат и сделано сравнение полученных результатов. Даны практические рекомендации по применению разработанных автором технологий на производстве.
система координат, местная система координат, МСК-54, СК НСО.
K.F. Afonin SSGA, Novosibirsk
RECTANGULAR PLANE COORDINATES TRANSFORMATION
In the paper a solution of the task of rectangular plane coordinates transformation appeared with the introduction of new local coordinate system in Novosibirsk region is shown. The research of different mathematical models and coordinates transformation techniques has been done under the condition of real manufacturing entity and the results obtained has been analysed. Practical guidelines for the usage of developed by the author techniques are given.
coordinate system, local coordinate system.
В соответствии с предложением инициативной группы [2] постановлением Губернатора В.А. Толоконского от 25.12.2009 № 471-па на территории Новосибирской области введена новая местная система координат, получившая название СК НСО. Эта система координат должна обеспечивать высокую точность определения пространственного положения объектов недвижимости и границ земельных участков, формирования основы для создания единой электронной картографической продукции регионального назначения. Кроме этого, она будет повышать оперативность проведения на территории области геодезических и топографических работ. Система координат СК НСО введена в соответствии с Федеральным законом от 26.12.1995 № 209-ФЗ «О геодезии и картографии» и Правилами установления местных систем координат, утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 03.03.2007 № 139.
В соответствии с этими документами каталоги координат всех новых пунктов местных сетей различного назначения и точек должны создаваться только в СК НСО. Координаты существующих на момент подписания постановления № 471-па пунктов и точек были вычислены в старых местных системах координат, например в МСК-54 или ей подобных. Поэтому перед геоде-
57
Геодезия
зистами области возникнет задача по оперативному и точному трансформированию координат из МСК-54 в СК НСО. Прежде чем переходить к решению задачи, рассмотрим, чем вызваны и какого порядка могут быть различия в плоских прямоугольных координатах Гаусса - Крюгера, вычисленных в МСК-54 и СК НСО.
В работе [2] был обоснован выбор трехградусных зон, долготы осевого меридиана первой зоны L0, координат х 0, уо начала региональной действительной системы плоских прямоугольных координат относительно начала региональной условной системы. Числовые значения величин L0, x0, y0 будут являться ключами перехода от государственной системы координат СК-95 к СК НСО. Было принято решение оставить значения этих ключей неизменными. Это было сделано по двум соображениям. Во-первых, будет обеспечена преемственность при связи старой системы региональных координат (МСК-54) и новой (СК НСО) с государственными системами СК-42 и СК-95 соответственно. Во-вторых, различия в плоских прямоугольных координатах Гаусса - Крюгера, вычисленных в МСК-54 и СК НСО, будут вызваны только расхождением в координатах пунктов государственных сетей и сетей сгущения в старой СК-42 и новой СК-95 системах координат. Поэтому логично предположить, что разности координат Г аусса - Крюгера, вычисленных в МСК-54 и СК НСО, будут такого же порядка, как и разности плоских прямоугольных координат, полученных в старой СК-42 и новой СК-95 государственных системах. Для Западной Сибири разности плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера в системах СК-42 и СК-95 могут составлять: по оси абсцисс - 6 м, по оси ординат - 3 м.
В данной работе выполнено исследование погрешностей трансформирования плоских прямоугольных координат Г аусса - Крюгера из МСК-54 в СК НСО в зависимости от применяемых математических моделей и технологий. Допустимыми считаются расхождения в координатах, не превышающие по абсолютной величине 6 см. Исследование выполнено на реальном производственном объекте - фрагменте государственной геодезической сети, состоящем из 13 пунктов 1-го, 2-го классов. Примерная площадь объекта составляет 3 000 км . Взаимное расположение пунктов сети показано на схеме (рисунок). В распоряжение автора были предоставлены усеченные слева плоские прямоугольные координаты этих пунктов в старой СК-42 и новой СК-95 системах, причем координаты пунктов в системе СК-95 были получены строго путем пе-реуравнивания геодезических сетей.
Конечно, погрешности трансформирования координат пунктов будут зависеть и от размеров, и от конфигурации территории, на которой они размещены. В данной работе сделана попытка решить задачу на объекте с максимально возможной (насколько позволяли исходные данные) площадью. В идеальном случае площадь объекта, на наш взгляд, должна быть близка к площади административного района НСО. Влияние конфигурации территории объекта также не исследовалось из-за недостаточности производственных материалов.
58
Геодезия
о
0 2 13
6
о
1
3
5
0 4
° 7
8
° 9
° 10
11
° 12
Рис. Взаимное расположение пунктов сети
Попытка использовать для трансформирования координат осредненных разностей одноименных координат Г аусса - Крюгера в системах СК-95 и СК-42, вычисленных для объекта (см. рисунок), дала неудовлетворительные результаты. Сравнение трансформированных путем введения средних разностей координат с известными координатами показало, что для 10 пунктов из 13 погрешности преобразования превысили допустимые значения. При этом максимальная погрешность преобразования достигала 0,35 м. Поэтому далее в статье приведены результаты применения более сложных математических моделей и технологий для решения поставленной задачи.
Первая математическая модель преобразования координат представлена формулами
x = ax - by + x0; (1)
у = bx + ay + y0, (2)
где x, у - плоские прямоугольные координаты в новой системе координат (СК-95 или СК НСО);
x, у - плоские прямоугольные координаты в старой системе координат (СК-42 или МСК-54);
a, b, x0, у0 - параметры преобразования.
Последовательность действий по реализации этой модели заключалась в следующем. На первом этапе необходимо составить уравнения вида (1), (2)
59
Геодезия
для двух опорных пунктов, координаты которых известны в старой и новой системах. Таким образом, была получена система уравнений с 4 неизвестными a, b, x0, y0. Решение этой системы уравнений относительно неизвестных
a, b, x0, y0 позволяет получить параметры преобразования.
Второй этап состоит в применении уравнений (1), (2) и найденных для опорных пунктов параметров преобразования для трансформирования координат остальных 11 пунктов объекта в новую систему координат. Вычисленные таким способом координаты сравнивались с известными плоскими прямоугольными координатами этих 11 пунктов.
Эта математическая модель преобразования названа первым вариантом (таблица). Средние и максимальные по модулю различия в координатах, а также количество пунктов (nx, ny), для которых не выполнено точностное условие трансформирования, приведены в таблице. Анализ полученных результатов не позволяет рекомендовать первую модель для практического применения, так как для 3 пунктов из 11 координаты были преобразованы грубо. Кроме того, имеются пункты, для которых разности координат превышают допустимые значения в два раза.
Таблица
Результаты преобразования координат
Номер варианта 1 2 3 4 5
Количество опорных пунктов 2 4 3 4 4
|Лх1ср 4 см 11 см 3 см 3 см 2 см
|Ау.1ср 4 см 3 см 3 см 3 см 2 см
1 Лх 1 max 10 см 24 см 8 см 6 см 6 см
|ЛУ |max 12 см 15 см 8 см 8 см 8 см
Пх 2 9 2 0 0
Пу 3 4 1 1 1
Для повышения точности трансформирования автор сделал попытку усложнить математическую модель (второй вариант) и применил формулы
x = a1 x + a2 y + a3 y 2 + a 4, (3)
y = b1 x + b2 y + b3 y3 + b4, (4)
где at, b - параметры преобразования.
Однако второй вариант по всем показателям оказался хуже первого (см. таблицу).
60
Геодезия
В третьем варианте преобразования координат была использована следующая технология. На первом этапе была использована технологическая цепочка первого варианта. Однако полученные таким образом координаты далее рассматривались только как приближенные координаты х', у' пунктов в новой системе координат. Второй этап заключается в уточнении координат
х = х + Ax; (5)
У = У' + Ay. (6)
Для определения разностей координат Ах, Ау можно использовать одну из двух математических моделей. Первая заключается в применении многочленов вида
Ax = а1 х' + а2 у + а3; (7)
Ay = b1 х + b2 у' + b3. (8)
Результаты применения такой технологии названы третьим вариантом и также приведены в таблице. Здесь наблюдается заметное повышение точности трансформирования координат. Увеличение количества опорных пунктов до четырех (четвертый вариант) позволяет сделать преобразование координат практически идеальным (см. таблицу). В этом варианте ордината только одного пункта из девяти была получена с недопустимой погрешностью.
Аналогичные результаты можно получить, если на втором этапе технологической схемы использовать более сложные многочлены
Ax = а1х + а2у + а3х у + а4; (9)
Ay = b1х + b2 у + b3 х у + b4. (10)
Здесь (пятый вариант) также ордината только одного пункта была преобразована с недопустимой погрешностью. Кроме этого, средние погрешности трансформирования координат уменьшились до 2 см.
Таким образом, полученные результаты (см. таблицу) позволяют сделать, на наш взгляд, обоснованный вывод. Для преобразования плоских прямоугольных координат из МСК-54 в СК НСО на объектах, занимающих площадь не более 3 000 км с погрешностью порядка 6 см можно использовать технологии, соответствующие четвертому и пятому вариантам (см. таблицу). При этом необходимо, чтобы на этом объекте было не менее 4 точек с координатами в двух системах координат (МСК-54 и СК НСО).
61
Геодезия
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афонин, К.Ф. О преобразовании плоских прямоугольных координат Гаусса - Крюгера из СК-42 в СК-95 / К.Ф. Афонин // Современные проблемы геодезии и оптики: тезисы докладов LI научно-технической конференции преподавателей СГГА. - Новосибирск: СГГА, 2001. - С. 31.
2. Карпик, А.П. Система региональных плоских прямоугольных координат Новосибирской области / А.П. Карпик, К.Ф. Афонин, Н.А. Телеганов, П.К. Шитиков, Д.Н. Ветошкин,
С.В. Кужелев, В.А. Тимонов // Сб. материалов IV Международного научного конгресса «Гео-Сибирь-2008», т. 1, ч. 1. Новосибирск: СГГА, 2008. - С. 20-31.
Получено 19.07.2010
© К.Ф. Афонин, 2010
62
