CC BY
67
УДК 528.16 А.Г. Барлиани СГГА, Новосибирск
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МАТРИЦЫ И ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАТРИЦЫ
В статье рассмотрены уравнивание и оценка точности геодезических сетей на основе вычисления обратной матрицы нормальных уравнений посредством характеристического многочлена присоединенной матрицы.
A.G. Barliany SSGA, Novosibirsk
COMPUTATION OF THE INVERSE MATRIX ON THE BASIS OF THE CHARACTERISTIC POLYNOMIAL AND THE ADJOINT MATRIX
Adjustment and accuracy evaluation of geodetic networks are considered. The operations can be based on the computation of the inverse matrix of normal equations by characteristic polynomial of the adjoint matrix.
Приведем алгоритм обращения квадратной невырожденной матрицы, которая опирается на определение коэффициентов характеристического многочлена этой матрицы и присоединенной матрицы.
Для квадратной матрицы А размеров п х п характеристической матрицей называется матрица XI-А. Здесь / - единичная матрица соответствующих размеров. Определитель характеристической матрицы:
А (Я) = det(A/ - А) = Яп - Яп~1 - р2Яп~2-,...-рп (1)
представляет собой скалярный многочлен относительно Я и называется характеристическим многочленом матрицы A. Здесь p, p2, p,..., pn - скалярные
коэффициенты характеристического многочлена.
Матрица:
Ьц(Я) Ъ12{Л) Ъи{Л) . •A nW
В(Л) = Ь21(Я) Ь22(Я) *23^)- b2n<*) (2)
Ьп2(Л) b*w- •Ьпп(Я)
называется присоединенной матрицей для матрицы А. Присоединенную матрицу (2) можно записать в виде матричного ряда:
в(Я) = ап~1 + вхяп-2 + в2яп~2 + въяп~ъ +.. .вп_х, (3)
где матрицы В^В2,В^,...,Вп_^ можно вычислить из рекуррентных
соотношений:
В^АВ^-М. (4)
Если коэффициенты характеристического многочлена (1) известны, то присоединенную матрицу Вп определим по формуле (4). Если квадратная
матрица неособая с рангом п то обратную к этой матрице получим по выражению:
А~1=р-1В (5)
п-1 у 7
Теперь рассмотрим метод одновременного определения скалярных коэффициентов р,р,---,Рп характеристического многочлена (1) и матричных
коэффициентов В^,В2,...,В присоединенной матрицы (4), предложенный в
[!]•
Для изложения данного метода введем понятие о следе матрицы. Под следом матрицы А (&А) будем понимать сумму ее диагональных элементов: п
1гА = -£ап .
1=1
В работе [1, 2] доказывается, что след матрицы равняется сумме
характеристических чисел этой матрицы, то есть: п п
(гА = л = Х«/7 = £Л;, (6)
/=1 /=1
где Л1,Л2,Л^,...,Лп - характеристические числа матрицы А.
Так как степень матрицы Ак имеет своими характеристическими числами степени Л*,Л*,Л*,...,4 (к = ОД,2,3,...,«), то:
1гАк = в ,=1Л* (7)
7=1
Таким образом, если к = 1, то я^=&А, если же, к = 2 то 82 = &А и т.д. Известно, что суммы ^ степеней корней многочлена (1) связаны с коэффициентами этого уравнения формулами Ньютона: р\=в1
51Р1+2 Р2= З2
^2+^2 +3 рз =^3
(8)
5 іРі+З оРо+^ оРо + ••• + Пр = З п-г 1 п-2^2 п-3^3 ^п п
Решают данную систему уравнений и получают вектор коэффициентов
характеристического многочлена р . Затем по формуле (4) последовательно
вычисляют матричные коэффициенты 2?, В^,В^,... ,В _ 1.
Предлагается другой подход [1] суть которого состоит в том, что вместо определения следов матричных степеней А,А2,А3,...,Ап последовательно вычисляются присоединенные матрицы йр52,Л3,...,5 р по формулам:
А^= А, Л| = 1гА^, В^= А - л-! /;
А2 = АВХ, = 2~1&а2, в2=а2-^;
Л
и
АВ 15 я
и -1 и
ии Зп
А I
П П
0.
(9)
После установления л,, и 5?1 по выражению (5) найдем обратную матрицу А~1.
Рассмотрим реализацию данного алгоритма для параметрического способа. Для этого запишем систему нормальных уравнений, которая имеет вид:
КА-Ь = 0.
Вектор столбец к приближенным параметрам найдем по формуле:
А = -Д~1Ь. (10)
Адаптируем итерационный алгоритм вычисления обратной матрицы (6) к
вычислению і?-1. Для этого выражение (9) перепишем следующим образом:
= Я, = іїАК. В^ = Е^- ^/;
Я =
2 ЯВ1
*2=2~1,гЯ2’
В2= Я2~ V;
(11)
Як Я1В4-1’ Зк к 1гЯк’ Вк Як Зк1 0'
После установления и В по формулам (11), обратную матрицу
рассчитаем по выражению:
д_1=^Ч-г <12>
Выполним уравнивание
нивелирной сети представленной на рисунке 1.
На данном рисунке А - это исходный репер с отметкой х4 = 126,425
м.
Результаты измеренных
превышений приведены в табл. 1.
Рис. 1. Несвободная нивелирная сеть
Номера превышений Измеренные превышения (м) у1 Веса измеренных превышений Р,
1 9,853 0,16
2 5,017 0,25
3 14,839 0,36
4 28,276 0,49
5 18,439 0,64
6 13,411 0,81
Для данной нивелирной сети матрица нормальных уравнений равна: 1,05-0,25 -0,64
Я =
■0,25
-0,64
1,42
-0,81
0,81
1,94
Приближенные значения параметров равны:
:°=х +у =209,978 м; х° = х+у =214,996 м; х° = х+у =228,401 м.
1 А Л ’ ’ 2 А ’ ’ 3 А ^4 ’
Чтобы найти обратную матрицу Я 1 по формулам (11) нужно построить цепочки матриц:
-3,36-0,25-0,64
*1 =
*2 =
1,05-0,25-0,64 -0,25 1,42-0,81 -0,64-0,81 1,94 -3,0559 1,0034
1,0034 -3,5272 1,1113 1,0105-
-0,25-
-0,64
1,1113
1,0105
3,7261
я = -5,1546;
2,99-0,81 0,81-2,47
2,0987 1,0034 1,1113 1,0034 1,6274 1,0105 1,1113 1,0105 1,4285
в2 =
1,241553 0 0 0 0 0
*3 = 0 1,241553 0 , 5 =1,241553, В3 = 0 0 0
0 0 1,241553 0 0 0
Х-1=*31В2 =
Так как В = 0, поэтому согласно формуле (12) обратную матрицу найдем по выражению:
1,6904 0,8082 0,8951 1,3108 0,8139 1,1506
Вектор столбец параметрических уравнений и нормальных уравнений поправок найдем по формулам:
1Т =(р(х°)г -ут =(0 -0,031 0 0 -0,016 0,026);
Ът =(АТР1)Г =(0,01799 -0,02881 0,01082).
По формуле (10) определим вектор столбец к приближенным параметрам и он равен:
Ат = |-0,0168 0,0144 -0,0051| м.
Наконец найдем вектор уравненных отметок, для этого воспользуемся следующей формулой:
Таким образом, решается задача уравнивания геодезических построений предложенным итерационным алгоритмом.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барлиани А.Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе псевдонормального решения: монография / А.Г. Барлиани. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.
© А.Г. Барлиани, 2011
