Коррелатная версия уравнивания геодезических сетей на основе псевдообратных матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.41

КОРРЕЛАТНАЯ ВЕРСИЯ УРАВНИВАНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ НА ОСНОВЕ ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ

Татьяна Николаевна Кондратенко

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, магистрант, кафедра физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (923)151-77-01, e-mail: tanusha_.90@mail.ru

В статье предлагается новый подход к коррелатной версии уравнивания и оценки точности геодезических сетей, основанный методе псевдорешения.

Ключевые слова: псевдонормальное решение, псевдообратная матрица, коррелатная версия, присоединенная матрица, ранг матрицы.

KORRELATNAYA VERSION ADJUSTMENT

OF GEODETIC NETWORKS BASED ON THE PSEUDOINVERSE

Tatyana N. Kondratenko

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., graduate student, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (923)151-77-01, e-mail: tanusha_.90@mail.ru

The paper proposes a new approach to equalization korrelatnoy version and evaluate the accuracy of geodetic networks based method of pseudo.

Key words: pseudonormal decision, pseudoinverse, korrelatnaya version attached matrix, rank of a matrix.

Известно, что уравнивание и оценка точности свободных и несвободных геодезических сетей по методу наименьших квадратов успешно выполняется коррелатным способом. Но при этом становится сложной и громоздкой процедура оценки точности результатов уравнивания из-за сложных формул оценки точности. Ниже на основании псевдонормального решения предлагается иная коррелатная версия уравнивания таких сетей.

Для удобства дальнейшего изложения необходимо вновь переписать матричную систему условных уравнений связи:

BV + W = 0. (1)

Псевдонормальному решению системы условных уравнений связи (1) будет соответствовать выражение [1,2,3]:

V = - B+W. (2)

Здесь матрица B + - псевдообратная матрица к исходной матрице условных уравнений связи B , она должна удовлетворять всем условиям псевдообратных матриц [3].

После установления вектора поправок определим вектор уравненных измерений:

У = у + к = у - Б+Ж. (3)

Для того чтобы получить псевдонормальное решение по формуле (2) необходимо знать псевдообратную матрицу условных уравнений связи В +. Известно, что условных уравнений связи матрица В размеров г х п состоит из линейно независимых строк. Тогда на основании разработанного алгоритма [3] можно построить цепочки матриц:

В = ввт, ^ = гтВх, с = В - V;

В = ВлСл, Я = -ггВ , С = В - 8 /;

2 1 1' 2 2 2 2 2 2 '

В = влс , $ =1 *В, С = В - ;

3 1 2' 3 3 3' 3 33'

В = ВС 15 $ = - гтВ , С = В - 8 1.

Г 1 Г - 1 Гт.Г г г г

(4)

где ггВ. - след матрицы В , I - единичная матрица размера г х г.

В данном случае г - ранг матрицы условных уравнений связи В. Совершенно очевидно, что в этих условиях С х будет являться присоединенной

матрицей для матрицы В, а 8 - определителем матрицы В. Поэтому, используя полученную в предложении 4 формулу (1.12) [3], можно записать выражение для вычисления псевдообратной матрицы, а именно:

В + = Вт — С

8

г -1

(5)

После установления произведем оценку точности уравненного вектора измеренных величин. Для этого воспользуемся известной формулой [Монография]:

= иЛ/1 - Ь • Ь ,

у. г-и ; ; ,

(6)

где Ь+ - ¡-я строка псевдообратной матрицы В +, Ь. - ¡-й столбец матрицы В ц- среднеквадратическая ошибке единицы веса рассчитываемая по формуле:

>

г

II

УТУ

п - к )

УТУ

(7)

Реализуем предложенный алгоритм на примере свободной нивелирной сети (рисунок). Пусть высота репера хх = 100,234 м, и она временно фиксирована.

Рис. Свободная нивелирная сеть

В данной сети число измеренных превышении п = 6, а число необходимых к = 3. Следовательно, число избыточных измерений г = п - к = 3. Таким образом, число независимых условных уравнений связи будет равняться трем. В общем виде эти условные уравнения связи запишутся так:

>1 + У1 - >4 - У4 + У 5 + У5 = 0 У2 + У2 - >5 - У5 + >6 + У6 = 0

V - У + У + У - У - У = 0

3 у4 4-^6 6

(7)

Следовательно, матрица коэффициентов условных уравнений поправок В

равна:

В =

10 0 -1 1 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 -1

(8)

а вектор-столбец невязок:

Ж =

0,038 - 0,046 0,074

(9)

г

<

Чтобы найти псевдообратную матрицу В+ по формулам (4) нужно построить цепочки матриц:

В = ВВТ = 1

3 -1 -1 -1 3 -1 -1 -1 3

В = &В = 9 , С =

-6 -1 -1 -1 -6 -1 -1 -1 - 6

-16 4 4

В = 4 -16 4

2

4 4 -16

82 =-24, С2

В3 =

16 0 0 0 16 0 0 0 16

83 =16, С3 =

8 4 4

4 8 4

4 4 8

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Так как С = 0, то по формуле (5) можно найти псевдообратную матрицу,

и для удобство запишем ее в транспонированном виде:

с

В + т =

т 1

Вт — С,

т

8,

2

3

0.50 0.25 - 0.25 - 0.25 0.25 0.25 0.5 - 0.25 0 - 0.25 0.25 0.25 - 0.50 0.25 0

0 0.25 0.25

Определим среднеквадратическую ошибку единицы веса, для этого воспользуемся формулой (7):

УтУ

0,003348

п - к

3

= 0,0334 м.

Компоненты вектора поправок находим по формуле (2), а по формулам (3) и (6) рассчитаем элементы вектора уравненных превышений и их среднеквад-ратические ошибки. Результаты выполнения этих операций сведены в итоговую таблицу.

Так как в данной свободной нивелирной сети геометрические связи между реперами одинаковы, и превышения измерены равноточно. Поэтому средне-квадратические ошибки уравненных параметров должны быть равны между собой, что подтверждается результатами вычисления (см. таблицу).

Аналогичным образом по предложенному алгоритму выполняется уравнивание и оценка точности плановых и пространственных геодезических сетей. Отличие заключается только в разнице вычисления коэффициентов условных уравнений связи.

Таблица

Результаты уравнивания и оценки точности измеренных превышений

Номера превышений Измеренные превышения (м) У1 Поправки к измеренным превышениям (м) У1 Уравненные превышения (м) у Среднеквадратиче-ские ошибки уравненных превышений (см) т у.

1 9,868 -0,026 9,842 2,36

2 10,345 -0,005 10,340 2,36

3 20,147 0,035 20,182 2,36

4 56,559 -0,009 56,550 2,36

5 46,729 -0,021 46,708 2,36

6 36,338 0,030 36,368 2,36

В заключении стоит отметить, что непосредственное решение условных уравнений связи по методу псевдонормального решения на основании рекурсивного алгоритма имеет очевидное преимущество перед классическим методом наименьших квадратов. Это выражается в том, что в предложенном методе отпадает необходимость составления и решения нормальных уравнений корре-лат, также для оценки точности результатов уравнивания получены простые формулы, которые упрощают задачу оценки точности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 271-273.

2. Барлиани А. Г. Модифицированный алгоритм Тихонова для решения вырожденных систем уравнений // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск : СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 120-122.

3. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе псевдонормального решения : монография. -Новосибирск : СГГА, 2010. - 135 с.

© Т. Н. Кондратенко, 2016