CC BY
107
УДК 528. 16: 528.087
УРАВНИВАНИЕ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ МЕТОДОМ ПСЕВДОНОРМАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Амридон Гемзаевич Барлиани
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, к.т.н., доцент кафедры прикладной информатики, тел. (983)319-99-31
Светлана Александровна Егорова
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доцент кафедры прикладной информатики, тел. (923)109-05-15, e-mail: EgorovaS. A@yandex.ru
В статье рассматривается получение псевдообратной матрицы на основе разбиения матрицы на блоки.
Ключевые слова: геодезическая сеть, псевдообратная матрица, нивелирная сеть.
GEODETIC NETWORK ADJUSTMENT AND ACCURACY EVALUATION BY PSEUDO NORMAL OPTIMIZATION TECHNIQUE
Amridon G. Barliani
Ph.D.,Assoc. Prof., Department of Applied Informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., phone: (983) 319-99-31
Svetlana A. Yegorova
Assist. Prof., Department of Applied Informatics, Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., phone (923) 109-05-15, e-mail: EgorovaS.A@yandex.ru
Development of pseudonormal matrix on the basis of matrix partition into blocks is considered.
Key words: geodetic network, pseudonormal matrix, leveling network.
В геодезической практике существует много задач, для которых в привязке сети к исходным твердым пунктам нет необходимости, например, при создании геодезического обоснования с целью выноса проекта инженерных сооружении, при наблюдениях за деформациями инженерных сооружений и др. [1]. Более того, при уравнивании геодезических сетей (особенно обширных) коэффициенты уравнений поправок вычисляются приближенно, что может привести к плохой обусловленности или даже вырожденности матрицы коэффициентов нормальных уравнений.
Естественно в этих и других условиях, уравнивание и оценка точности геодезических сетей выходит за рамки классического метода наименьших квадратов. Поэтому при качественном решении плохо обусловленных систем уравнений можно улучшить, если отказаться от поиска решения по методу наименьших квадратов в пользу метода псевдонормальной оптимизации.
Для начала остановиться на конкретном классе задач, которые связаны с уравниванием и оценкой точности свободных геодезических сетей. Можно рассмотреть следующую систему параметрических уравнений поправок:
лА+1 = V. (1)
Особенность свободных геодезических сетей заключается в том, что из-за недостатка исходных данных столбцы матрицы параметрических уравнении
поправок (1) становятся линейно зависимыми, поэтому классическое
предписание метода наименьших квадратов:
VTPV = Шп, (2)
не обеспечивает решение системы нормальных уравнений:
ДА = Ь. (3)
В связи с тем, что матрица Я коэффициентов нормальных уравнений
является вырожденной и не имеет обратной матрицы Я~1. Следовательно, в указанных условиях система параметрических уравнений поправок (1) и система нормальных (3) становятся несовместными.
Для решения несовместных систем линейных уравнений, существует единственный вариант применить метод псевдонормальной оптимизации [3, 4].
Наконец, стоит перейти к поставленной задаче уравнивания свободных геодезических сетей. Если уравнивается свободная геодезическая сеть с равноточно измеренными величинами, то система параметрических уравнений поправок (1) может иметь следующее псевдонормальное решение:
А = A+V - А+1, (4)
где А+ - псевдообратная матрица к матрице параметрических уравнений поправок А, которая обладает известными свойствами псевдообратных матриц [1].
Нетрудно заметить, что в данном выражении произведение A+V = 0, поэтому псевдонормальное решение параметрических уравнений поправок будет иметь вид:
А = - Л+1. (5)
Итак, на основании формулы (5) решается задача уравнивания свободных геодезических сетей методом псевдонормальной оптимизации. В данном
случае основная проблема состоит в вычислении псевдообратной матрицы А+.
Ниже предлагается алгоритм нахождения псевдообратной матрицы на основе разбиения матрицы на блоки.
Для этого матрица параметрических уравнений поправок (1) необходимо записать в виде:
А =
\А2 і -Д 22/
(6)
где А і — неособенная квадратная матрица сі et (А і ) ^ 0 и ранг матрицы Аіі равняется рангу матрицы А ( = Д^) . А также А2 2 — А2 і ■ А -^ ■ А і2.
В этих условиях запишем известное выражение [1, 2] для псевдообратной матрицы А через блоки А іі5 А і2, и А 2 і
А + = 1 , і1 ) (А і і А [і + А і 2 А г,) - 1 А (А ^ А і і + А ^ А2 і) - 1 (А ^ А [і) . (7)
^Л12,
Для оценки точности параметров результатов псевдообратной оптимизации воспользуемся ковариационной матрицей [1]:
К ~ =м2 А+А+т,
(8)
/л- среднеквадратическая ошибка единицы веса, вычисляемая по формуле:
Л =
\УтУ п - к
(9)
Необходимо заметить, что при оценке точности параметров, как правило, нет необходимости в вычислении полной ковариационной матрицы (2.75), а нужно оценить точность только каждого параметра. Для этого на основании выражения (2.75) можно получить простую формулу, позволяющую вычислить среднеквадратическую ошибку любого параметра. Она имеет вид:
т~ = л
3
а
(10)
где
а
евклидова норма 7-го вектора-строки псевдообратной матрицы ЛЛ
вычисленной по формуле (7).
Вычисление средних квадратических ошибок любых уравненных измерений выполним по формуле [1]:
т~
Уі
л
ал+ г ]
(11)
Теперь по представленному алгоритму выполним уравнивание свободной нивелирной сети с равноточно измеренными превышениями (рис. 1). На рисунке измеренные превышения выписаны напротив каждого нивелирного хода.
у. = 9,868 м
4
Рис. 1. Свободная нивелирная сеть
Пусть высота репера х= 100,234 м, и она временно фиксирована. Известным образом находятся значения приближенных параметров:
х0 = х = 100,234 м; х° = х° + у = 110,102 м;
11’ ’ 2 1 Л
х0 = х0 + у = 156,793 м; х0 = х0 + у = 120,381 м.
3 1 ^2 ’ 4 1 ^3
Матрице коэффициентов и вектор свободных членов параметрических уравнений поправок (1) будут соответствовать:
-1 1 0 0 0
-1 0 1 0 0
-1 0 0 1 0
0 -1 1 0 II 1 э ж II - 0,038
0 -1 0 1 - 0,066
0 0 1 -1 0,074
Теперь необходимо перейти к формированию псевдообратной матрицы А+ . Так как в свободной нивелирной сети дефект матрицы уравнении поправок равен 1, то ранг этой матрицы составляет = 4 — 1 = 3. Таким образом, блок квадратной матрицы А 1 1 должна иметь размерность 3x3 .
Тогда запишем блоки матрицы А:
/-1 1 0\ /0\ /0 —1 1\ /0
А 1 1 — ( — 1 0 1 1 ; А 1 2 = ( 0 1 ; А 2 1 = ( 0 — 1 0 1 ; А2 2 — I 1
\-1 0 0/ \1/ \0 0 1/ \-1
Для формулы (7) найдем составляющие:
04цаЇі "І" -^12-^12) 1 —
(Л11Л11 + А12А12) —
С учетом формулы (7) получим:
А
+
-1-1-1^ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
А 3-1 -Л А -1 3-1
V
1 -1 3
У
-1 0 1 100
4
1 2 1 112
1 -1 -1 0 0 0 ^ 1 0 0-1 -10 0 1 0 1 0 1
После перемножения матриц окончательно запишем:
А+ =■
г-1 - 1- 1 0 0 0 > - 0,25 0,25 - 0,25 0 0 0
1 1 0 0- 1- 1 0 = А+ = 0,25 0 0- 0,25 - 0,25 0
4 0 1 0 1 0 1 0 0,25 0 0,25 0 0,25
V 0 0 1 0 1- -1 У 0 0 0,25 0 0,25 - 0,25
Результаты уравнивания и оценки точности необходимых параметров сведены в табл. 1.
Таблица 1
Уравненные параметры и их оценка точности
У
Номера парамет ров Приближенные значения параметров (м) х 0 і Поправки к приближенным параметрам (м) д і Уравненные значения параметров (м) ~і Среднеквадратичес кие ошибки параметров (см) т~ і
1 100,234 0,000 100,234 1,45
2 110,102 -0,026 110,076 5 ,4
3 156,793 -0,009 156,784 5 ,4
4 120,381 0,035 120,416 1,45
Так как в данной свободной нивелирной сети геометрические связи между реперами одинаковы, и превышения измерены равноточно. Поэтому среднеквадратические ошибки уравненных параметров должны быть равны между собой, что подтверждается результатами вычисления (см. табл. 1).
Далее по данному алгоритму вычисляются уравненные превышения и их среднеквадратические ошибки, которые сведены в табл. 2.
Таблица 2
Уравненные превышения и их среднеквадратические ошибки
Номера превыше ний Измеренные превышения (м) У1 Поправки к измеренным превышениям (м) V Уравненные превышения (м) ~ Среднеквадратические ошибки уравненных превышений (см) т У
1 9,868 -0,026 9,842 2,36
2 56,559 -0,009 56550 2,36
3 20,147 0,035 20,182 2,36
4 46,729 -0,021 46,708 2,36
5 10,345 -0,005 10,340 2,36
6 36,338 0,030 36,368 2,36
Тот факт, что среднеквадратические ошибки уравненных превышений одинаковы, показывает равноточность измеренных параметров и симметричность уравниваемой свободной нивелирной сети.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барлиани А.Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). -Новосибирск: СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 271-273.
2. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.
3. Барлиани А.Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография. -Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.
4. Модифицированный алгоритм Тихонова для решения вырожденных систем уравнений // ГЕ0-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск,
20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. Т. 1, ч. 1. - С. 120-122.
5. Барлиани А.Г., Егорова С.А. Единый рекурсивный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических наблюдений // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. -С. 85-89.
6. Барлиани А.Г., Егорова С.А. Исследование рекурсивного алгоритма псевдообращения на возмущение исходных данных // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. УШ Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. - С. 90-94.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.
8. Падве В.А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК -оптимизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. - № 4. - С. 34-39.
© А .Г. Барлиани, С.А. Егорова, 2013
