CC BY
43
УДК 528.15:528.087
УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННО-ОБРАТНЫХ МАТРИЦ
Анастасия Александровна Кошкина
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, магистрант, кафедра физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (913)922-25-15, e-mail: simpson_24@mail.ru
Максим Александрович Кошкин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, магистрант, кафедра физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (913)922-25-26, e-mail: koshkinmaxim@gmail.com
Амридон Гемзаевич Барлиани
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31
В статье рассмотрена параметрическая версия уравнивания и оценки геодезических сетей на основе обобщенного решения.
Ключевые слова: уравнивание, геодезические сети, обобщеннообратная матрица, метод наименьших квадратов, рекурсивный алгоритм.
ADJUSTMENT OF GEODETIC NETWORKS BASED ON GENERALIZED INVERSE MATRICES
Anastasia A. Koshkina
Siberian State University of Geosystems and 10 Plakhotnogo St., undergraduate, Department tel. (913)922-25-15, e-mail: simpson_24@mail.ru
Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, of Physical Geodesy and Remote Sensing,
Maxim A. Koshkin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., undergraduate, Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, tel. (913)922-25-26, e-mail: koshkinmaxim@gmail.com
Amridon G. Barliani
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., candidate of technical sciences, associate professor of Applied Informatics and Information Systems, tel. (983)319-99-31
In article the parametrical version of equalizing and an assessment of geodetic networks on the basis of the generalized decision is considered.
Key words: equalizing, geodetic networks, obobshchennoobratny matrix, method of the smallest squares, recursive algorithm.
В геодезической практике для определения искомых параметров в геодезических сетях (высот реперов, координат геодезических пунктов) выполняются п измерений, число которых намного больше необходимых. Избыточные измерения, а также тот факт, что измерения сопровождаются случайными ошибками наблюдений, приводят к неоднозначному определению искомых параметров в геодезических сетях. В связи с этим возникает задача уравнивания геодезических сетей.
Уравнивание геодезических сетей выполняется методом наименьших квадратов параметрическим и коррелатным способами.
Параметрический способ уравнивания геодезических сетей предполагает, что между вектором истинных значений измеряемых величин У и вектором точных значений определяемых параметров X существует следующая функциональная связь:
У = Ф( X)
Запишем систему параметрических уравнений в линейном виде:
АА + Ь = 0,
(1)
(2)
где А = X - х0 - вектор-столбец точных значений поправок к приближенным значениям параметров; Ь = У - ф(х0), а матрица частных производных
дф Эф дф
А
дх0 дх2 дх 0 к
дф п дф п дфп1
дх0 дх0
дх
к У
Вследствие того, что результаты измерений сопровождаются ошибками наблюдений, поэтому при замене вектора истинных значений измеряемых величин У, вектором измеренных значений у, в правой части выражения (2) получается неизвестный вектор ошибок, то есть:
АА +1 = 8,
(3)
где I = ф(х0) - у - вектор свободных членов, 8 - вектор - столбец случайных
2 -1
ошибок измерении с ковариационной матрицей ^ = ае Р .
Если в геодезических сетях измерения выполнены равноточно, то ковариационная матрица имеет вид:
0
К =а2 Р—1, (4)
ее у 7
где Р - весовая матрица размера п х п.
В системе уравнений (3) компоненты вектора е неизвестны, поэтому число неизвестных п - к больше числа уравнений п . Поэтому линейная система уравнений (3) несовместна. Для решения несовместной системы применяют метод наименьших квадратов и переходят к совместной системе нормальных уравнений, которая имеет вид:
Ат А Д + АТ1 = 0
После решения этой системы получают оценку вектора поправок к приближенным параметрам Д, которая при подстановке в уравнение (3) дает вектор остатков с минимальной нормой:
А Д +1 = V (5)
Рассмотрим другой метод, основанный на обобщенном решение. Реализуем предлагаемую методику для уравнивания нивелирных сетей с равноточно измеренными величинами. Обобщенное решение системы уравнений (3) дает оценку вектора Д, которая может быть записана так [1,2]:
Д = - А' I,
где А' — рефлексивно £-обратная матрица с минимальной нормой для А, удовлетворяющая свойствам:
А 'АЛ' = А'; (А' А)т = А 'А. (6)
Можно считать Д обобщенным решением, а матрицу А' обобщеннообрат-ной матрицей к А.
Пусть произвольная прямоугольная матрица представлена в блочном виде:
А = (а ^2 — ак), (7)
где а ^ — вектор-столбец высоты п.
На основании доказанной теоремы [2] можно записать рекурсивный алгоритм последовательного обращения матриц, который имеет вид:
А =
Ч—1—^ • ьр
Ь
(8)
где
= А! _1 ■ а;, (9)
Т ■
Ь. =-Т;а., (10)
Т
; )
с . = а .-А . . • С .. (11)
Процедура начинается с первого столбца А1 = а1. Так как А1 состоит из одного столбца, А1 находится по следующей формуле:
А1= а[=-Т(12)
ах • а.
Затем по формулам (8) с учетом формул (9), (10) и (11) последовательно вычисляются А^, А3, пока не будет получена А'к = А'.
В этих условиях при уравнивании нивелирных сетей присоединение столбцов а2, а3,---,ак_1 блочной матрицы (7) по формуле (8) Ь. будет определяться по формуле (12).
Для присоединения последнего столбца ак матрицы (7) используем формулу:
ь; = ; (13)
; 1 + с1Т • dj
Вектор уравненных значений неизвестных параметров ~ можно выразить через вектор-столбец приближенных параметров х° и вектор-столбец поправок А следующим образом:
~ = х0+А
Вектор-столбец уравненных измерений ~ определяется по формуле:
~ = У + V
Для вычисления среднеквадратических ошибок уравненных параметров воспользуемся известной формулой [2]:
т~ = и
а . ;
где
а . 7
- евклидовая норма для 7 строки обощеннообратной матрицы А,
Л - среднеквадратическая ошибка единицы веса.
А среднеквадратические ошибки уравненных измерений получим по выражению [2]:
т ~ = и
у7
а.а . * 7
где а . - 1-ая строка матрицы коэффициентов параметрических уравнений поправок А;
ау - столбец обощеннообратной матрицы А;
а.а . * 7
евклидова норма.
Рассмотрим уравнивание нивелирной сети, представленной на рисунке. Исходные репера имеют отметки: хА — 100,238 м. и хв — 121,322 м. На основании результатов измерений находятся приближенные значения необходимых параметров (отметок реперов), они равны соответственно:
X0 = хА + у — 110,542м; х0 — хв + у3 — 130,674 м;
т0_ т0 х3 = V у 5
0 + у = 140,750 м;
1 5
г0 _ г0 Л^ —
0 + у —157,083 м.
Рис. Несвободная нивелирная сеть
Матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок можно определить уже известным образом и запишем ее транспонированном виде:
Ат =
Г1 -1 о о -1 -1 о о^ 0 11 -1 0 0-1 о 0 0 0 1 1 о о-1 ч о о 0 0 0 1 1 1у
По предложенному алгоритму находится обобщеннообратная матрица А" которая равна:
Г 0,02264 - 0,20000 0,02264 - 0,00377 - 0,20377 - 0,22264 - 0,02264 0,01887^ 0,02264 0,20000 0.22264 - 0,20377 - 0,00377 - 0,02264 - 0,22264 0,01887 0,02830 0,00000 0,02830 0,24528 0,24528 - 0,02830 - 0,02830 0,27358 ч 0,16038 0,00000 - 0,16038 - 0,05660 - 0,05660 0,16038 0,16038 0,21698 ,
—
Результаты уравнивания и оценки точности по предложенному методу и методу наименьших квадратов представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
№ пара- Вычислен- Метод обобщенного Метод наименьших
метров ные решения квадратов
параметры А, м у , м тУ, мм А, м х, м т %, мм
1 110,542 0,0015 110,5435 5,116 0,0032 110,5452 9,207
2 130,674 -0,0049 130,6691 5,116 -0,0032 130,6708 9,207
3 140,750 -0,0138 140,7362 5,340 -0,0118 140,7382 11,118
4 157,083 0,0118 157,0948 4,741 0,0148 157,0978 11,118
Таблица 2
№ превышении Измеренные превышения Метод обобщенного решения Метод наименьших квадратов
V, м У, м т У, мм У V, м У, м т,, мм У
1 10,304 0,0015 10,3055 5,657 0,0032 10,3072 9,207
2 20,119 0,0066 20,1256 7,583 0,0066 20,1256 7,517
3 9,352 -0,0049 9,3471 5,657 -0,0032 9,3488 9,207
4 10,064 0,0030 10,0670 8,034 0,0034 10,0674 8,192
5 30,208 -0,0154 30,1926 8,034 -0,0150 30,1930 8,192
6 46,541 0,0103 46,5513 7,420 0,0116 46,5526 8,192
7 26,427 -0,0013 26,4257 7,420 -0,0000 26,4270 8,192
8 16,371 -0,0123 16,3587 8,397 -0,0115 16,3595 8,405
Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о том, что точность, как уравненных параметров, так и уравненных превышений значительно повышаются с применением предложенного метода по сравнению с методом наименьших квадратов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.
2. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография / А. Г. Барлиани. - Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.
3. Падве В. А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК-оптимизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2011. - № 2. - С. 34-42.
4. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Новый этап развития геодезии -переход к изучению деформаций блоков земной коры в раионах освоения угольных месторождений // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23). - С. 3-9.
5. Карпик А. П. Разработка методики качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 137-142.
© А. А. Кошкина, М. А. Кошкин, А. Г. Барлиани, 2016
